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“配速法”處理復合場中擺線問題的備考研究
--------基于核心素養下的分析
高中物理電磁模塊一直是高考題型中的重難點，核心素養的考查下也將成為各地區高考命題的熱點。近幾年高考出現復合場可用配速法的有：2019年天津高考題，2022年高考全國甲卷題，2022年廣東卷題，2023年江蘇省物理卷題，這些壓軸大題均可以用配速發來處理擺線運動。
復合疊加場是常見的情景設置，擺線問題的處理也由動力學大綜合轉向了配速法。近十年各屆高考試題的疊加場中一些特殊問題往往用配速來處理更快捷。對于該問題的研究有一定的拔尖的價值，從物理核心素養的角度來說，提高學生思維綜合能力和處理復雜問題技巧方法。下面我們來探討這個問題。
一、認識“配速法”：
1、若帶電粒子在磁場中所受合力不會零，則粒子的速度會改變，洛倫茲力也會隨著變化，合力也會跟著變化，則粒子做一般曲線運動，運動比較麻煩，此時，我們可以把初速度分解成兩個分速度，使其一個分速度對應的洛倫茲力與重力（或電場力，或重力和電場力的合力）平衡，另一個分速度對應的洛倫茲力使粒子做勻速圓周運動，這樣一個復雜的曲線運動就可以分解分兩個比較常見的運動，這種方法叫配速法。
如圖所示，空間存在豎直向下的勻強電場和水平的勻強磁場（垂直紙面向里），電場強度大小為E，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子在場中運動，不計粒子所受重力。
若該粒子在M點由靜止釋放，其運動將比較復雜。為了研究該粒子的運動，可以應用運動的合成與分解的方法，將它為0的初速度分解為大小相等的水平向左和水平向右的速度。求粒子沿電場方向運動的最大距離ym和運動過程中的最大速率vm。
2、配速法的原理
這個運動之所以復雜是因為洛倫茲力改變了運動的方向，帶電粒子在磁場中做的最簡單的運動是勻速圓周運動，我們就可以想方設法將其分解為勻速圓周運動。
粒子的初速度為零，可分解為水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v對應的洛倫茲力與電場力平衡：Bqv=Eq；因此，粒子的運動是水平向右速度為v的勻速直線運動和初速度水平向左，大小為v的逆時針勻速圓周運動的合運動，圓周運動的軌道半徑
所以，
通過例題分析可以看到，所謂“配速法”其本質是應用了運動的合成與分解的思想，將復雜的運動簡化為兩個簡單的分運動來處理。化繁為簡的物理方法能夠幫助我們找到這個復雜運動的規律及運動的路徑。因此，高三后期要學會靈活應用運動合成與分解的思想，提升我們的解題效率。
3、認識擺線：
擺線，又稱旋輪線、圓滾線，在數學中，擺線（Cycloid）被定義為，一個圓沿一條直線運動時，圓邊界上一定點所形成的軌跡。它是一般旋輪線的一種。擺線也是最速降線問題和等時降落問題的解。
一個圓在一條定直線上滾動時，圓周上一個定點的軌跡形成擺線。圓上定點的初始位置為坐標原點，定直線為x軸。當圓滾動θ角以后，圓上定點從o點位置到達P點位置。當圓滾動一周，即θ從0變動2π時，動圓上定點描畫出擺線的第一拱。再向前滾動一周， 動圓上定點描畫出第二拱，繼續滾動，可得第三拱，第四拱……，所有這些拱的形狀都是完全相同的 ，每一拱的拱高為2a（即圓的直徑），拱寬為2πa（即圓的周長）。
二、配速法的歸納：
1、常見類型如下表：
2、其他情況如下表
3、適用條件：
（1）在組合場中；（2）合力不為零。
4、規律總結：（1）是把速度分解成兩個速度，使其一個分速度對應的洛倫茲力與重力（或電場力、或重力和電場力的合力）平衡，使粒子在這個方向上做勻速直線運動；
（2）初速度為零時，速度分解為兩個等大、反向的速度；初速度不為零時，按矢量分解法則分解。
例題分析：
例1．如圖甲所示，空間存在一范圍足夠大的垂直于xoy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．讓質量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁場中．不計重力和粒子間的影響．
（1）若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經過x軸上的A（a，0）點，求v1的大小；
（2）已知一粒子的初速度大小為v（v＞v1），為使該粒子能經過A（a，0）點，其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有幾個？并求出對應的sinθ值；
（3）如圖乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v0沿y軸正向發射．研究表明：粒子在xOy平面內做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標成正比，比例系數與場強大小E無關．求該粒子運動過程中的最大速度值vm．
解析：
(1)當粒子沿y軸正向入射，轉過半個圓周至A點，半徑R1＝a/2
由運動定律有
解得
(2)如右圖所示，O、A兩點處于同一圓周上，且圓心在
x＝的直線上，半徑為R，當給定一個初速率v時，
有2個入射角，分別在第1、2象限．
即 sinθ′＝sinθ＝
另有
解得 sinθ′＝sinθ＝
(3)粒子在運動過程中僅電場力做功，因而在軌道的最高點處速率最大，用ym表示其y坐標，由動能定理有 qEym＝mv－mv
由題知 vm＝kym
若E＝0時，粒子以初速度v0沿y軸正向入射，有 qv0B＝m
在最高處有 v0＝kR0
聯立解得
考點：帶電粒子在復合場中的運動；動能定理．
從例題的展示我們可以總結出以下兩條：
其一，將帶電粒子的速度進行這樣的分解——其中一個分速度 v1引起的洛倫茲力與電場力（或重力、或重力電場力的合力）平衡；
其二，按前述分解后，得到帶電粒子的兩個分運動——v1引起的勻速直線運動和 v2引起的勻速圓周運 動，則帶電粒子的實際運動是這兩個分運動的合運動。
例2．如圖，絕緣粗糙的豎直平面MN左側同時存在相互垂直的勻強電場和勻強磁場，電場方向水平向右，電場強度大小為E，磁場方向垂直紙面向外，磁感應強度大小為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電的小滑塊從A點由靜止開始沿MN下滑，到達C點時離開MN做曲線運動．A、C兩點間距離為h，重力加速度為g．
（1）求小滑塊運動到C點時的速度大小vc；
（2）求小滑塊從A點運動到C點過程中克服摩擦力做的功Wf；
（3）若D點為小滑塊在電場力、洛倫茲力及重力作用下運動過程中速度最大的位置，當小滑塊運動到D點時撤去磁場，此后小滑塊繼續運動到水平地面上的P點．已知小滑塊在D點時的速度大小為vD，從D點運動到P點的時間為t，求小滑塊運動到P點時速度的大小vp.
解析：小滑塊到達C點時離開MN，此時與MN間的作用力為零，對小滑塊受力分析計算此時的速度的大小；由動能定理直接計算摩擦力做的功Wf；撤去磁場后小滑塊將做類平拋運動，根據分運動計算最后的合速度的大小；
（1）由題意知，根據左手定則可判斷，滑塊在下滑的過程中受水平向左的洛倫茲力，當洛倫茲力等于電場力qE時滑塊離開MN開始做曲線運動，即
解得：
（2）從A到C根據動能定理：
解得：
（3）設重力與電場力的合力為F，由圖意知，在D點速度vD的方向與F地方向垂直，從D到P做類平拋運動，在F方向做勻加速運動a=F/m，t時間內在F方向的位移為
從D到P，根據動能定理：，其中
聯立解得：
總結：解決本題的關鍵是分析清楚小滑塊的運動過程，在與MN分離時，小滑塊與MN間的作用力為零，在撤去磁場后小滑塊將做類平拋運動，根據滑塊的不同的運動過程逐步求解即可．
例題3．（2019·天津高三）如甲所示，空間存在一范圍足夠大、方向垂直于豎直平面xoy向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B．讓質量為m，電荷量為q（q>0）的粒子從坐標原點o沿xoy平面入射．不汁粒子重力，重カ加速度カg．
（1）若亥粒子沿y軸負方向入射后，恰好能經過x軸上的A（a，0）點，求粒子速度v0的大小；
（2）若亥粒子以速度v沿y軸負方向入射的同吋，一不帶電的小球從x軸上方某一點平行于x軸向右拋出，二者經過時間恰好相遇，求小球拋出點的縱坐標；
（3）如圖乙所示，在此空間再加入沿y軸負方向、大小為E的勻強電場，讓該粒子改為從o點靜止釋放，研究表明：粒子在xoy平面內將做周期性運動，其周期，且在任一時刻，粒子速度的水平分量vx與其所在位置的y軸坐標絕對值的關系為．若在粒子釋放的同時，另有一不帶電的小球從x軸上方某一點平行于x軸向右拋出，二者經過時間恰好相遇，求小球拋出點的縱坐標．
解析：
(1)由題意可知，粒子做勻速圓周運動的半徑為，有：
洛倫茲力提供向心力，有：
解得：
(2)洛倫茲力提供向心力，又有：
解得：
粒子做勻速圓周運動的周期為T，有：
則相遇時間為：
在這段時間粒子轉動的圓心角為，有：
如圖所示，相遇點的縱坐標絕對值為：
小球拋出點的縱坐標為：
(3)相遇時間：
由對稱性可知相遇點在第二周期運動的最低點
設粒子運動到最低點時，離軸的距離為，水平速度為
由動能定理，有：
聯立解得：
故小球拋出點的縱坐標為：
真題訓練：
1（2022年全國甲卷）.空間存在著勻強磁場和勻強電場，磁場的方向垂直于紙面（xoy平面）向里，電場的方向沿y軸正方向。一帶正電的粒子在電場和磁場的作用下，從坐標原點o由靜止開始運動。下列四幅圖中,可能正確描述該粒子運動軌跡的是(　　)
2(2022年廣東卷).如圖所示，磁控管內局部區域分布有水平向右的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場。電子從M點由靜止釋放，沿圖中所示軌跡依次經過N、P兩點。已知M、P在同一等勢面上，下列說法正確的有（ ）
A．電子從N到P，電場力做正功
B．N點的電勢高于P點的電勢
C．電子從M到N，洛倫茲力不做功
D．電子在M點所受的合力大于在P點所受的合力
3（2023江蘇卷）.霍爾推進器某局部區域可抽象成如圖所示的模型。oxy平面內存在豎直向下的勻強電場和垂直坐標平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。質量為m、電荷量為e的電子從o點沿x軸正方向水平入射。入射速度為v0時，電子沿x軸做直線運動；入射速度小于v0時，電子的運動軌跡如圖中的虛線所示，且在最高點與在最低點所受的合力大小相等。不計重力及電子間相互作用。
（1）求電場強度的大小E；
（2）若電子入射速度為，求運動到速度為時位置的縱坐標y1；
（3）若電子入射速度在0 < v < v0范圍內均勻分布，求能到達縱坐標位置的電子數N占總電子數N0的百分比。
用“配速法”分析處理帶電粒子在復合場中的運動顯得“直觀、形象、簡潔明了”。除了涉及牛頓第二定律的運用及其作用效果的“重組等效”外，并不需要運用其他任何物理規律；相反，不用配速法，那么往往要綜合運用高中物理的核心規律——牛頓第二定律、動能定理、動量定理等，其中可能還要運用到“微元”思想，思維難度不小。對于考生而言具有思維挑戰性。
另本文撰寫時間倉促，疏漏和錯誤之處在所難免，歡迎各位專家老師批評指正，為謝!

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