資源簡介

專題22　　電場能的性質
題型 選擇題 命題趨勢和備考策略
高考考點 電勢高低及電勢能大小的比較； 電場中電場強度和電勢差的關系； 電場線、等勢面及帶電粒子的運動軌跡問題 電場中的圖像問題； 電場力做功與功能關系； 【命題規律】 近3年新高考卷對于本節內容的考查共計31次，主要考查： 電勢高低及電勢能大小的比較； 電場中電場強度和電勢差的關系； 電場線、等勢面及帶電粒子的運動軌跡問題； 電場中的圖像問題； 電場力做功與功能關系； 【備考策略】 熟練理解并掌握點電荷周圍的電場和電勢的分布情況，掌握電場線和等勢面的特點；理解帶電粒子在電場中運動的能量變化，并利用功能關系解決能量問題；理解電場中的圖像所表達的物理含義，并能分析圖線的變化處理粒子的運動和能量變化情況；掌握在勻強電場中利用電場力做功的計算方法和能量變化情況。 【命題預測】 本節內容即可單獨命題，也可與運動學、動力學和磁場等知識結合在一起，本節內容在高考中題型難度覆蓋較廣，及可靠查電荷的平面運動情況，空間運動也是近今年的常考范圍。2024年考生可適當加大本節內容的刷題量。
新高考 2023 廣東卷9題、山東卷11題、浙江卷12題、湖北卷3題、遼寧卷9題、海南卷12題、全國乙卷20題、上海卷8題、
2022 天津卷2題、福建卷3題、重慶卷8題、海南卷8題、江蘇卷9題、浙江卷9題、廣東卷8題、河北卷6題、湖南卷2題、全國乙卷20題、浙江春招11題
2021 江蘇卷10題、海南卷11題、湖北卷8題、遼寧卷6題、天津卷8題、北京卷9題、山東卷6題、浙江卷1題、廣東卷6題、全國乙卷19題、全國甲卷19題、河北卷10題
【導航窗口】
知識梳理
一、電勢能、電勢、電勢差、等勢面 2
二、電場線、電勢、電勢能、等勢面之間的關系 3
三、公式E＝的理解 3
四、靜電感應和靜電平衡 3
考點突破
考點一　電場能的性質的理解 4
角度1：根據帶電粒子的運動軌跡判斷運動、受力和電勢高低 4
角度2：等量異種電荷周圍電勢、電勢能高低的判斷 6
角度3：不等量電荷周圍電勢、電勢能高低的判斷 8
考點二　電勢差與電場強度的關系 9
考點三　靜電場中圖象問題 13
角度1：E-x圖像分析 13
角度2：φ-x圖像分析 14
角度3：Ep-x圖像分析 15
考點四　電場中的功能關系 18
微專題突破
一、兩個等量異種點電荷電場 20
二、兩個等量同種點電荷電場 22
考點過關
【素質基礎練】 24
【能力提高練】 30
【高考通關練】 38
一、電勢能、電勢、電勢差、等勢面
1．靜電力做功
(1)特點：靜電力做功與路徑無關，只與初、末位置有關．
(2)計算方法
①W＝qEd，只適用于勻強電場，其中d為沿電場方向的距離．
②WAB＝qUAB，適用于任何電場．
2．電勢能
(1)定義：電荷在某點的電勢能，等于把它從這點移動到零勢能位置時靜電力做的功．
(2)靜電力做功與電勢能變化的關系：靜電力做的功等于電勢能的減少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.
(3)電勢能的相對性：電勢能是相對的，通常把電荷離場源電荷無窮遠處的電勢能規定為零，或把電荷在大地表面的電勢能規定為零．
3．電勢
(1)定義：電荷在電場中某一點的電勢能與它的電荷量的比值．
(2)定義式：φ＝.
(3)矢標性：電勢是標量，有正負之分，其正(負)表示該點電勢比零電勢高(低)．
(4)相對性：電勢具有相對性，同一點的電勢因選取零電勢點的不同而不同．
4．電勢差
(1)定義：電荷在電場中，由一點A移到另一點B時，電場力所做的功與移動電荷的電荷量的比值．
(2)定義式：UAB＝.
(3)電勢差與電勢的關系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
5．等勢面
(1)定義：電場中電勢相等的各點組成的面．
(2)四個特點：
①在同一等勢面上移動電荷時電場力不做功．
②電場線一定與等勢面垂直，并且從電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面．
③等差等勢面越密的地方電場強度越大，反之越小．
④任意兩個等勢面都不相交．
二、電場線、電勢、電勢能、等勢面之間的關系
1．電場線與電場強度：電場線越密的地方表示電場強度越大，電場線上某點的切線方向表示該點的電場強度方向．
2．電場線與等勢面：電場線與等勢面垂直，并從電勢較高的等勢面指向電勢較低的等勢面．
3．電場強度大小與電勢：無直接關系，零電勢可人為選取，電場強度的大小由電場本身決定，故電場強度大的地方，電勢不一定高．
4．電勢能與電勢：正電荷在電勢高的地方電勢能大；負電荷在電勢低的地方電勢能大．
三、公式E＝的理解
1．只適用于勻強電場．
2．d為某兩點沿電場強度方向上的距離，或兩點所在等勢面之間的距離．
3．電場強度的方向是電勢降低最快的方向．
四、靜電感應和靜電平衡
1．靜電感應
當把一個不帶電的金屬導體放在電場中時，導體的兩端分別感應出等量的正、負電荷，“近端”出現與施感電荷異種的感應電荷，“遠端”出現與施感電荷同種的感應電荷．這種現象叫靜電感應．
2．靜電平衡
(1)定義：導體放入電場中時，附加電場與原電場在導體內部大小相等且方向相反，使得疊加場強為零時，自由電荷不再發生定向移動，導體處于靜電平衡狀態．
(2)處于靜電平衡狀態的導體的特點
①導體內部的場強處處為零；
②導體是一個等勢體，導體表面是等勢面；
③導體表面處的場強方向與導體表面垂直；
④導體內部沒有凈電荷，凈電荷只分布在導體的外表面上；
⑤在導體外表面越尖銳的位置，凈電荷的密度(單位面積上的電荷量)越大，凹陷的位置幾乎沒有凈電荷．
考點一　電場能的性質的理解
1．電勢高低的四種判斷方法
(1)依據電場線方向：沿電場線方向電勢逐漸降低．
(2)依據電場力做功：根據UAB＝，將WAB、q的正負號代入，由UAB的正負判斷φA、φB的高低．
(3)電荷的正負：取無窮遠處電勢為零，正電荷周圍電勢為正值，負電荷周圍電勢為負值；靠近正電荷處電勢高，靠近負電荷處電勢低．
(4)依據電勢能的高低：正電荷在電勢能大處電勢較高，負電荷在電勢能大處電勢較低．
2．電勢能高低的四種判斷方法
(1)做功判斷法：電場力做正功，電勢能減小；電場力做負功，電勢能增大．
(2)電荷電勢法：正電荷在電勢高的地方電勢能大，負電荷在電勢低的地方電勢能大．
(3)公式法：由Ep＝qφ，將q、φ的大小、正負號一起代入公式，Ep的正值越大，電勢能越大，Ep的負值越小，電勢能越大．
(4)能量守恒法：在電場中，若只有電場力做功時，電荷的動能和電勢能相互轉化，動能增大時，電勢能減小，反之電勢能增大．
角度1：根據帶電粒子的運動軌跡判斷運動、受力和電勢高低
【典例1】（2023·全國·統考高考真題）在一些電子顯示設備中，讓陰極發射的電子束通過適當的非勻強電場，可以使發散的電子束聚集。下列4幅圖中帶箭頭的實線表示電場線，如果用虛線表示電子可能的運動軌跡，其中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】A．電子做曲線運動滿足合力指向軌跡凹側，A正確；
B．電子做曲線運動滿足合力指向軌跡凹側，對電子受力分析有

可見與電場力的受力特點相互矛盾，B錯誤；
C．電子做曲線運動滿足合力指向軌跡凹側，對電子受力分析有
可見與電場力的受力特點相互矛盾，C錯誤；
D．電子做曲線運動滿足合力指向軌跡凹側，對電子受力分析有
可見與電場力的受力特點相互矛盾，D錯誤；
故選A。
1．某點速度方向即為該點軌跡的切線方向．
2．從軌跡的彎曲方向判斷受力方向(軌跡向合外力方向彎曲)，從而分析電場方向或電荷的正負．
3．結合軌跡、速度方向與電場力的方向，確定電場力做功的正負，從而確定電勢能、電勢和電勢差的變化等．
【變式】（2023·全國·高三模擬考試）如圖所示，在兩個點電荷、產生的電場中，實線為其電場線分布，虛線為電子（不計重力）從A點運動到B點的運動軌跡，則下列判斷正確的是（　　）
A．電子經過A點的加速度比經過B點的加速度小 B．的電荷量小于的電荷量
C．電子在A點的電勢能大于在B點的電勢能 D．兩個點電荷連線中點O的場強為零
【答案】B
【詳解】A．A點電場線較B點密集，則A點場強較B點大，電子經過A點的加速度比經過B點的加速度大，故A項錯誤；
B．由電場線的分布可知，的電荷量小于的電荷量，故B項正確；
C．由電子的運動軌跡可知，帶正電，也帶正電，則A點的電勢高于B點的電勢，電子在A點的電勢能小于在B點的電勢能，故C項錯誤；
D．由于兩電荷帶電荷量不等，則兩個點電荷連線中點O的場強不為零，故D項錯誤。
故選B。
角度2：等量異種電荷周圍電勢、電勢能高低的判斷
【典例2】（2022·河北·統考高考真題）如圖，真空中電荷量為和的兩個點電荷分別位于點與點，形成一個以延長線上點為球心，電勢為零的等勢面（取無窮處電勢為零），為連線上的一點，S為等勢面與直線的交點，為等勢面上的一點，下列說法正確的是（　　）
A．點電勢低于點電勢 B．點電場強度方向指向O點
C．除無窮遠處外，MN直線上還存在兩個電場強度為零的點
D．將正試探電荷從T點移到P點，靜電力做正功
【答案】B
【詳解】A．在直線上，左邊正電荷在右側電場強度水平向右，右邊負電荷在直線上電場強度水平向右，根據電場的疊加可知間的電場強度水平向右，沿著電場線電勢逐漸降低，可知點電勢高于等勢面與交點處電勢，則點電勢高于點電勢，故A錯誤；
C．由于正電荷的電荷量大于負電荷電荷量，可知在N左側電場強度不可能為零，則右側，設距離為，根據，可知除無窮遠處外，直線MN電場強度為零的點只有一個，故C錯誤；
D．由A選項分析可知：點電勢低于電勢，則正電荷在點的電勢能低于在電勢的電勢能，將正試探電荷從T點移到P點，電勢能增大，靜電力做負功，故D錯誤；
B．設等勢圓的半徑為，距離為，距離為，如圖所示
根據，結合電勢的疊加原理、滿足，，解得，
由于電場強度方向垂直等勢面，可知T點的場強方向必過等勢面的圓心，O點電勢
可知，可知T點電場方向指向O點，故B正確。
故選B。
【變式】（2023·全國·高三專題練習）真空中相距為的兩個點電荷、，分別固定于軸上，和的兩點上，在它們連線上各點的電場強度隨變化的關系如圖所示，下列判斷正確的是（　　）
A．點電荷、一定為同種電荷
B．在軸上，的區域內，有一點電場強度為零
C．點電荷、所帶電荷量的絕對值之比為
D．若設無窮遠處為電勢零點，則處的電勢一定為零
【答案】A
【詳解】A．若兩電荷為異種電荷，則在處電場強度不可能為，所以兩電荷為同種電荷，故A正確；
B．兩電荷為同種電荷，在軸上，只有一點電場強度為零，即處，故B錯誤；
C．在處產生的場強為
N在處產生的場強為
由于處場強為零，故有，解得
所以點電荷、所帶電荷量的絕對值之比為，故C錯誤；
D．若設無窮遠處為電勢能零點，由于電荷從無窮遠處到處電場力做功不為零，則處電勢不為零，故D錯誤。
故選A。
角度3：不等量電荷周圍電勢、電勢能高低的判斷
【典例3】（2023·海南·統考高考真題）如圖所示，正三角形三個頂點固定三個等量電荷，其中帶正電，帶負電，為邊的四等分點，下列說法正確的是（ ）

A．、兩點電場強度相同 B．、兩點電勢相同
C．負電荷在點電勢能比在點時要小 D．負電荷在點電勢能比在點時要大
【答案】BC
【詳解】A．根據場強疊加以及對稱性可知，MN兩點的場強大小相同，但是方向不同，選項A錯誤；
B．因在AB處的正電荷在MN兩點的合電勢相等，在C點的負電荷在MN兩點的電勢也相等，則MN兩點電勢相等，選項B正確；
CD．因負電荷從M到O，因AB兩電荷的合力對負電荷的庫侖力從O指向M，則該力對負電荷做負功，C點的負電荷也對該負電荷做負功，可知三個電荷對該負電荷的合力對其做負功，則該負電荷的電勢能增加，即負電荷在M點的電勢能比在O點小；同理可知負電荷在N點的電勢能比在O點小。選項C正確，D錯誤。
故選BC。
【變式】（2023·河北·模擬預測）在A、B兩點放置電荷量分別為和的點電荷，其形成的電場線分布如圖所示，C為A、B連線上的一點，并且AB間C點的電場強度最小，D是紙面上的另一點，DC連線與AB垂直，已知無窮遠電勢為零，電荷Q在其周圍產生的電勢為。則下列說法正確的是（　　）

A．AB間C點電勢最低
B．在整個直線AB上不可能存在另一個與C電場強度相同的點
C．AB連線上B的右側有一點非無窮遠電勢和電場強度均為零
D．若將另一負電荷從C點移到D點，電荷電勢能減小
【答案】B
【詳解】A．沿電場線方向電勢逐漸降低，C點電勢高于其右側點電勢，故不是AB間電勢最低的點，A錯誤；
B．C的電場強度由兩個電荷產生的電場同向疊加而成，方向向右，A的左側電場方向向左故不可能存在，B的右側兩電荷產生電場反向疊加，并且當的電場大于的電場時，電場方向與C相同，但因為此位置相對于A的距離比C相對于A的距離遠，所以在此區域產生的電場強度一定小于C處的場強，B正確；
C．B右側場強為0的點滿足，電勢為0的點滿足，很明顯不是同一位置，C錯誤；
D．由圖中電場線分布可知C的電勢高于D點；所以負電荷在C點的電勢能低，移到D點時電勢能增大，D錯誤。
故選B。
考點二　電勢差與電場強度的關系
1．在勻強電場中，不與電場線垂直的同一直線上的距離相同的兩點間的電勢差相等，相互平行的相等線段的兩端點電勢差也相等．
2．在勻強電場中，不與電場線垂直的同一條直線上或幾條相互平行的直線上兩點間的電勢差與兩點間的距離成正比．如圖6所示AC∥PR，則有：＝＝＝.
角度1：非勻強電場中電場強度與電勢差的關系
【典例4】（多選）（2022·重慶·高考真題）如圖為兩點電荷Q、的電場等勢面分布示意圖，Q、位于x軸上，相鄰等勢面的電勢差為。若x軸上的M點和N點位于等勢面上，P為某等勢面上一點，則（　　）
A．N點的電場強度大小比M點的大 B．Q為正電荷
C．M點的電場方向沿x軸負方向 D．P點與M點的電勢差為
【答案】AD
【詳解】A．等差等勢線的密度體現場強的大小，由圖可知N點的等差等勢線比M點更密，則N點的電場強度大小比M點的大，故A正確；
B．沿著電場線電勢逐漸降低，由圖可知電場線由N指向Q，則Q為負電荷，故B錯誤；
C．沿著電場線電勢逐漸降低，結合各等勢線的電勢高低關系可知M點的電場方向沿x軸正方向，故C錯誤；
D．M點與N點等勢均為0V，P點與N點的等勢線間隔四個，而相鄰等勢面的電勢差為，則P點與M點的電勢差為，故D正確。
故選AD。
1．先確定等勢線，根據“兩點確定一條直線”，找出電場中電勢相等的兩個點，然后連接成一條等勢線；因勻強電場的電勢在一條直線上均勻變化，任一線段中點的電勢為兩端點電勢的平均值．
2．電場線跟等勢線一定垂直，作出等勢線的垂線即得電場線．
3．比較電勢的高低，即沿著電場線的方向，電勢逐漸降低；根據電勢高低在電場線上標出箭頭，表示電場的方向．
【變式】（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考模擬預測）空間中P、Q兩點處各固定一個點電荷，其中P為正電荷。P、Q兩點附近電場的等勢面分布如圖所示，相鄰等勢面間電勢差相等，a、b、c、d為電場中的4個點。下列說法正確的是（　　）

A．P、Q兩點處的電荷帶同種電荷
B．c點與d點場強方向相同，電勢也相同，a點電場強度小于b點電場強度
C．一負電子從c點到b點電場力做正功
D．負電子在a點電勢能比在b點的電勢能大
【答案】B
【詳解】A．由等勢面作出電場線，如圖所示
可知P、Q兩點處的電荷帶異種電荷，故A錯誤；
B．根據點電荷場強決定式以及場強的疊加原理可知，c點與d點場強方向相同，因為c點與d點在同一等勢面上，所以c點與d點電勢也相同，又因b點等差等勢面比a點密集，可知b點場強較大，即a點電場強度小于b點電場強度，故B正確；
C．電場線從高電勢面指向低電勢面，所以c點電勢高于b點電勢，由可知，c點電勢能低于b點電勢能，所以一負電子從c點到b點電場力做負功，故C錯誤；
D．因為a點電勢高于b點電勢，由可知電子在a點電勢能比在b點的電勢能小，故D錯誤。
故選B。
角度2：勻強電場中電場強度與電勢差的關系
【典例5】（多選）（2021·海南·高考真題）如圖，在勻強電場中有一虛線圓，和是圓的兩條直徑，其中與電場方向的夾角為，，與電場方向平行，a、b兩點的電勢差。則（　　）
A．電場強度的大小 B．b點的電勢比d點的低
C．將電子從c點移到d點，電場力做正功 D．電子在a點的電勢能大于在c點的電勢能
【答案】AD
【詳解】A．根據
可得電場強度的大小，選項A正確；
B．沿電場線電勢逐漸降低，可知b點的電勢比d點的電勢高，選項B錯誤；
C．將電子從c點移到d點，因電子所受的電場力與位移反向，可知電場力做負功，選項C錯誤；
D．因a點的電勢低于c點電勢，則電子在a點的電勢能大于在c點的電勢能，選項D正確。
故選AD。
【變式】（2024·湖南·校聯考二模）有一勻強電場的方向平行于平面，平面內a、b、c三點的位置如圖所示，其中a、b、c三點電勢分別為0、、，有一電荷量為的點電荷在該電場中運動，下列判斷正確的是（　　）

A．y軸為一等勢面
B．電荷在該電場中受到的電場力的大小為
C．電荷在該電場中受到的電場力的方向與x軸的夾角為
D．將該點電荷從a點移到b點，其電勢能增加
【答案】B
【詳解】A．坐標原點O點的電勢為，，所以y軸不是等勢面，故A錯誤；
BC．y方向的電場強度
x方向的電場強度
勻強電場中的電場強度
電荷在該電場中受到的電場力的大小為
電場力的方向與x軸的夾角滿足
解得，故B正確，C錯誤；
D．根據，故將該點電荷從a點移到b點，其電勢能減少，故D錯誤。
故選B。
考點三　靜電場中圖象問題
幾種常見圖象的特點及規律
v－t圖象 根據v－t圖象中速度變化、斜率確定電荷所受合力的方向與合力大小變化，確定電場的方向、電勢高低及電勢能變化
φ－x圖象 ①電場強度的大小等于φ－x圖線的斜率大小，電場強度為零處，φ－x圖線存在極值，其切線的斜率為零；②在φ－x圖象中可以直接判斷各點電勢的高低，并可根據電勢高低關系確定電場強度的方向；③在φ－x圖象中分析電荷移動時電勢能的變化，可用WAB＝qUAB，進而分析WAB的正負，然后做出判斷
E－t圖象 根據題中給出的E－t圖象，確定E的方向，再在草稿紙上畫出對應電場線的方向，根據E的大小變化，確定電場的強弱分布
E－x圖象 ①反映了電場強度隨位移變化的規律；②E＞0表示場強沿x軸正方向，E＜0表示場強沿x軸負方向；③圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據電場方向判定
Ep－x圖象 ①反映了電勢能隨位移變化的規律；②圖線的切線斜率大小等于電場力大小；③進一步判斷場強、動能、加速度等隨位移的變化情況
角度1：E-x圖像分析
【典例6】（2023·湖北·模擬預測）已知均勻帶電球體在其外部產生的電場與一個位于球心的、電荷量相等的點電荷產生的電場相同，而均勻帶電球売在其內部任意一點形成的電場強度為零。如圖甲所示，真空中有一半徑為R、電荷量為＋Q的均勻帶電球體，以球心為坐標原點，沿半徑方向建立x軸。理論分析表明，x軸上各點的場強隨x變化關系如圖乙所示，靜電力常量為k，則（　　）

A． x2處場強大小為
B．均勻帶電球體為等勢體
C． x1處電勢低于R處電勢
D．假設將試探電荷沿x軸移動，則從x1移到R處和從R移到x2處電場力做功相同
【答案】A
【詳解】A．計算x2處的電場強度時，可把帶電球體等效為位于原點的點電荷，則x2處場強大小為
x2與x1的電場強度相等，R以內x處
所以x2處場強大小為，故A正確；
BC．由題圖乙可知，球內部由O到球表面區間電場強度均勻增大，所以內部電場為非勻強電場，x軸上O點右側的電場方向始終是向右的，沿著電場的方向電勢逐漸減小，可知x1處電勢高于R處電勢，故BC錯誤；
D．E－x 圖像與x軸所圍面積表示電勢差，由題圖乙可知兩處面積不相等，所以x1處與球表面、球表面與x2處的電勢差不同，則將試探電荷沿x軸從x1移到R處和從R移到x2處電場力做功不相同，故D錯誤。
故選A。
角度2：φ-x圖像分析
【典例7】（2021·山東·高考真題）如圖甲所示，邊長為a的正方形，四個頂點上分別固定一個電荷量為的點電荷；在區間，x軸上電勢的變化曲線如圖乙所示。現將一電荷量為的點電荷P置于正方形的中心O點，此時每個點電荷所受庫侖力的合力均為零。若將P沿x軸向右略微移動后，由靜止釋放，以下判斷正確的是（　　）
A．，釋放后P將向右運動 B．，釋放后P將向左運動
C．，釋放后P將向右運動 D．，釋放后P將向左運動
【答案】C
【詳解】對y軸正向的點電荷，由平衡知識可得
解得
因在區間內沿x軸正向電勢升高，則場強方向沿x軸負向，則將P沿x軸正向向右略微移動后釋放，P受到向右的電場力而向右運動。
故選C。
角度3：Ep-x圖像分析
【典例8】（多選）（2023·安徽·校聯考模擬預測）已知試探電荷在場源點電荷的電場中所具有電勢能表達式為，其中為靜電力常量，為試探電荷與場源點電荷間的距離，且規定無窮遠處的電勢能為0。真空中有兩個點電荷和，分別固定在坐標軸和的位置上。一帶負電的試探電荷在軸上各點具有的電勢能隨變化關系如圖所示，其中試探電荷在A、兩點的電勢能為零，A點的坐標是點為點電荷右邊電勢能最小的點，則下列說法正確的是（　　）

A．為正電荷，為負電荷
B．點電荷與電量之比為
C．點對應軸位置的坐標是
D．兩點電荷在軸上電場強度相同的點的位置為
【答案】AC
【詳解】A．由圖可知，帶負電的試探電荷在0~15間的電勢能逐漸增大，可知為正電荷，為負電荷，故A正確；
B．由圖可知，A點的電勢能為0，則有，解得點電荷與電量之比為，故B錯誤；
C．根據電勢能的計算公式，可知圖象的斜率代表電場力，則C點的電場力為0，有
解得，故C正確；
D．根據點電荷產生的電場公式有，解得cm，故D錯誤；
故選AC。
【變式1】（多選）（2024·四川巴中·統考模擬預測）有一電場在x軸上各點的電場強度分布如圖所示。現將一帶正電的粒子（不計重力）從O點靜止釋放，僅在電場力的作用下，帶電粒子沿x軸運動，則關于該電場在x軸上各點的電勢φ、帶電粒子的動能、電勢能以及動能與電勢能之和隨x變化的圖像，正確的是（　　）

A． B．C． D．
【答案】BD
【詳解】A.帶正電的粒子（不計重力）從O點靜止釋放，僅在電場力的作用下，帶電粒子沿x軸運動，則電場力方向沿x軸正方向，電場線方向沿x軸正方向。沿電場線方向電勢降低，A錯誤；
C.電場力做正功，動能增加，電勢能減小，C錯誤；
B.由圖像斜率大小代表電場力大小，斜率正負代表電場力方向，由圖可知，場強先減小后增大，方向一直為正方向，電場力
先減小后增大，一直為正方向，與題中電場強度沿x軸變化一致，B正確；
D.由能量守恒，動能與電勢能之和不變，D正確。
故選BD。
【變式2】（2021·全國·統考模擬預測）空間存在著平行于x軸方向的靜電場，A、M、O、N、B為x軸上的點，OA＜OB，OM=ON，AB間的電勢φ隨x的分布為如圖．一個帶電粒子在電場中僅在電場力作用下從M點由靜止開始沿x軸向右運動，則下列判斷中正確的是（ ）
A．粒子可能帶正電 B．粒子一定能通過N點
C．粒子從M向O運動過程所受電場力逐漸增大 D．AO間的電場強度小于OB間的電場強度
【答案】B
【詳解】A．由圖可知，AB兩點電勢相等，O點的電勢最高，A到O是逆電場線，粒子僅在電場力作用下，從M點由靜止開始沿x軸向右運動即逆電場線方向運動，故粒子一定帶負電，A錯誤；
B．由圖可知，AB兩點電勢相等，M點的電勢小于N點的電勢，故M到O電場力做的功大于O到N電場力做的功，所以粒子能通過N點，故B正確；
C．由于AO的斜率不變，即AO之間的電場強度不變，所以粒子從M向O運動過程電場力不變，故C錯誤；
D．由于OA＜OB，所以OA之間的電勢變化快于OB之間的電勢的變化，即AO間的電場強度大于OB間的電場強度，故D錯誤；
故選B。
【變式3】（2023·湖北·模擬預測）一帶負電的粒子只在電場力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能Ep隨位移x變化的關系如圖所示，其中O~x2段是關于直線x=x1對稱的曲線，x2~x3段是直線，則下列說法正確的是（　　）
A．x1處電場強度最小，但不為零
B．粒子在O~x2段做勻變速運動，x2~x3段做勻速直線運動
C．在O、x1、x2、x3處電勢φ0、φ1、φ2、φ3的關系為φ1>φ2=φ0>φ3
D．0~x2段的電場強度大小、方向均不變
【答案】C
【詳解】A．Ep-x圖像的斜率表示粒子所受電場力F，根據F=qE可知x1處電場強度最小，為零，故A錯誤；
B．O~x1段，場強減小，電勢能減小，帶負電粒子做加速度減小的加速運動，x1~x2段，場強增大，電勢能增大，粒子做加速度增大的減速運動，x2~x3段，場強不變，電勢能增大，粒子做勻減速直線運動，故B錯誤；
C．帶負電的粒子在O、x1、x2、x3處電勢能Ep0、Ep1、Ep2、Ep3的關系為Ep1由，可知φ0、φ1、φ2、φ3的關系為φ1>φ2=φ0>φ3，故C正確；
D．O~x1段，電場方向水平向左，x1~x3電場方向水平向右，故D錯誤。
故選C。
考點四　電場中的功能關系
1．電場力做功的計算
(1)由公式W＝Flcos α計算，此公式只適用于勻強電場，可變形為：W＝qElcos α.
(2)由W＝qU來計算，此公式適用于任何形式的靜電場．
(3)由動能定理來計算：W電場力＋W其他力＝ΔEk.
(4)由電勢能的變化來計算：WAB＝EpA－EpB.
2．幾種功能關系
(1)若只有電場力做功，電勢能與動能之和保持不變；
(2)若只有電場力和重力做功，電勢能、重力勢能、動能之和保持不變；
(3)除重力外，其他各力對物體所做的功等于物體機械能的變化．
(4)所有力對物體所做功的代數和，等于物體動能的變化．
【典例9】（2022·浙江·統考高考真題）如圖所示，帶等量異種電荷的兩正對平行金屬板M、N間存在勻強電場，板長為L（不考慮邊界效應）。t=0時刻，M板中點處的粒子源發射兩個速度大小為v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到達N板時速度大小為；平行M板向下的粒子，剛好從N板下端射出。不計重力和粒子間的相互作用，則（　　）
A．M板電勢高于N板電勢 B．兩個粒子的電勢能都增加
C．粒子在兩板間的加速度 D．粒子從N板下端射出的時間
【答案】C
【詳解】A．由于不知道兩粒子的電性，故不能確定M板和N板的電勢高低，故A錯誤；
B．根據題意垂直M板向右的粒子，到達N板時速度增加，動能增加，則電場力做正功，電勢能減小；則平行M板向下的粒子到達N板時電場力也做正功，電勢能同樣減小，故B錯誤；
CD．設兩板間距離為d，對于平行M板向下的粒子剛好從N板下端射出，在兩板間做類平拋運動，有，
對于垂直M板向右的粒子，在板間做勻加速直線運動，因兩粒子相同，在電場中加速度相同，有，聯立解得，，故C正確，D錯誤；
故選C。
（多選）（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校考三模）如圖所示，一質量為m、帶正電的液滴，在水平向右的勻強電場中運動，運動軌跡在豎直平面內，A、B為其運動軌跡上的兩點，已知該液滴在A點的速度大小為，方向與豎直方向的夾角為，它運動到B點時速度大小仍為，方向與豎直方向的夾角為，則液滴從A運動到B的過程（　　）

A．液滴在水平方向和豎直方向的分位移相等 B．重力勢能增加
C．電勢能增加 D．機械能增加
【答案】AD
【詳解】A．將液滴的運動分解，水平方向滿足
豎直方向滿足，聯立解得，A正確；
B．豎直方向由位移速度公式可得
則重力勢能增加量為，B錯誤；
CD．電場力對液滴做正功，電場力做的功為
液滴在水平方向做勻加速直線運動
聯立解得，液滴的電勢能減少，機械能增加，C錯誤，D正確。
故選D。
一、兩個等量異種點電荷電場
1．電場特征
(1)兩個等量異種點電荷電場電場線的特征是：電場線大部分是曲線，起于正電荷，終止于負電荷；有三條電場線是直線．如圖所示．
(2)在兩電荷連線上，連線的中點電場強度最小但是不等于零；連線上關于中點對稱的任意兩點場強大小相等，方向相同，都是由正電荷指向負電荷；由連線的一端到另一端，電場強度先減小再增大．以兩電荷連線為x軸，關于x＝0對稱分布的兩個等量異種點電荷的E－x圖象是關于E軸(縱軸)對稱的U形圖線，如圖甲所示．
甲　　　　　　　　乙
(3)在兩電荷連線的中垂線上，電場強度以中點處最大；中垂線上關于中點對稱的任意兩點處場強大小相等，方向相同，都是與中垂線垂直，由正電荷指向負電荷；由中點至無窮遠處，電場強度逐漸減小．以兩電荷連線中垂線為y軸，關于y＝0對稱分布的兩個等量異種點電荷在中垂線上的E－y圖象是關于E軸(縱軸)對稱的形圖線，如圖乙所示．
2．電勢特征
(1)沿電場線，由正電荷到負電荷電勢逐漸降低，其等勢面如圖所示．若取無窮遠處電勢為零，在兩電荷連線上的中點處電勢為零．
(2)中垂面是一個等勢面，由于中垂面可以延伸到無限遠處，所以若取無窮遠處電勢為零，則在中垂面上電勢為零．
(3)若將兩電荷連線的中點作為坐標原點，兩電荷連線作為x軸，則兩個等量異種點電荷的電勢φ隨x變化的圖象如圖所示．
【典例10】(多選)某靜電場中的一條電場線與x軸重合，其電勢的變化規律如圖21所示．在O點由靜止釋放一電子，電子僅受電場力的作用，則在－x0～x0區間內(　　)
圖21
A．該靜電場是勻強電場
B．該靜電場是非勻強電場
C．電子將沿x軸正方向運動，加速度逐漸減小
D．電子將沿x軸正方向運動，加速度逐漸增大
答案　BC
解析　由于電勢φ隨x的變化不是均勻變化，即不是常數，所以該靜電場一定是非勻強電場，且O點電場強度最大，x0處電場強度最小，選項A錯誤，B正確；由電勢變化規律可知，電場線方向指向x軸負方向，在O點由靜止釋放一電子，電子所受電場力的方向指向x軸正方向，電子將沿x軸正方向運動，且加速度逐漸減小，選項C正確，D錯誤．
二、兩個等量同種點電荷電場
1．電場特征
(1)電場線大部分是曲線，起于正電荷，終止于無窮遠；只有兩條電場線是直線．(如圖所示)
(2)在兩電荷連線上的中點電場強度最小為零；連線上關于中點對稱的任意兩點場強大小相等，方向相反，都是指向中點；由連線的一端到另一端，電場強度先減小到零再增大．
(3)若以兩電荷連線中點作為坐標原點，沿兩電荷連線作為x軸建立直角坐標系，則關于坐標原點對稱分布的兩個等量同種點電荷在連線方向上的E－x圖象是關于坐標原點對稱的圖線，兩個等量正點電荷的E－x圖象如圖所示的曲線．
(4)在兩等量同種電荷的連線中垂線上，以中點最小為零；中垂線上關于中點對稱的任意兩點場強大小相等，方向相反，都沿著中垂線指向無窮遠處；在中垂線上由中點至無窮遠處，電場強度先從零開始增大再減小至零，其間必有一個位置場強最大．若把中垂線作為y軸，沿中垂線方向的E－y圖象大致如圖所示的曲線．
2．電勢特征
(1)兩個等量正點電荷電場中各點電勢均為正值，兩個等量負點電荷電場中各點電勢均為負值，兩個等量正點電荷電場的等勢面如圖所示．
(2)在兩個等量正點電荷連線上，由連線的一端到另一端電勢先降低再升高，中點處電勢最低但不為零，電勢φ隨x變化的圖象大致如圖所示．
(3)在兩個等量正點電荷連線的中垂線上中點處電勢最高，由中點至無窮遠處逐漸降低至零．若把中垂線作為y軸，沿中垂線方向的φ－y圖象大致如圖所示的曲線．
【典例11】(多選)某靜電場中x軸上的電勢隨x坐標變化的圖象如圖所示，φ－x圖象關于φ軸對稱，a、b兩點到O點的距離相等．將一電荷從x軸上的a點由靜止釋放后電荷沿x軸運動到b點，運動過程中電荷只受電場力作用，則下列說法正確的是(　　)
A．該電荷一定帶負電
B．電荷在b點時動能為零
C．從O到b，電荷的電勢能減小
D．從a到b，電場力對電荷先做正功，后做負功
答案　BD
解析　此φ－x圖象可視為在x軸上關于坐標原點對稱的兩個等量正點電荷，在它們連線上電勢隨x坐標變化的圖象．由于a、b兩點等電勢，該電荷一定帶正電，由動能定理可知，將該電荷從x軸上的a點由靜止釋放后沿x軸運動到b點，電荷到b點時動能為零，選項A錯誤，B正確；電荷從O運動到b，電勢升高，電荷的電勢能增大，選項C錯誤；電荷從a運動到b，電勢能先減小后增大，電場力對電荷先做正功，后做負功，選項D正確．
考點過關
【素質基礎練】
1．（2023·天津·模擬預測）一對等量正點電荷電場的電場線（實線）和等勢線（虛線）如圖所示，A、B為靜電場中兩點，其電場強度分別是EA、EB，電勢分別是ΦA、ΦB，MN為兩正電荷連線的中垂面，下列判斷正確的是（　　）
A．EA>EB，ΦA<ΦB
B．若將一試探電荷+q緩慢地由A點移動到B點，則需克服電場力做功
C．若一試探電荷-q以初速度v0，由A點運動到B點，則其電勢能最終將變大
D．若在平面MN內釋放一試探電荷，其可以在該平面內做勻速圓周運動、簡諧運動、勻變速直線運動
【答案】C
【詳解】A．由圖可知A點的電場線比B點電場線密集，則EA>EB
沿電場線方向電勢降低，則ΦA>ΦB，選項A錯誤；
B．若將一試探電荷+q緩慢地由A點移動到B點，電勢能減小，電場力做正功，B錯誤；
C．若一試探電荷-q以初速度v0，由A點運動到B點，電場力做負功，則其電勢能變大，C正確；
D．若在平面MN內釋放一試探電荷，其可以在該平面內以O點為圓心做勻速圓周運動，由于力不是隨位移均勻變化因此不能做簡諧運動、在此平面上受力不能滿足做勻變速直線運動；D錯誤。
故選C。
2．（2022·寧夏銀川·六盤山高級中學校考三模）如圖，在等邊三角形abc中心O處有一帶正電的點電荷，d為ac邊的中點，則在該點電荷產生的電場中（　　）
A．a、b、c點的電場強度相同
B．a、c、d點的電勢差滿足
C．電子在a點時的電勢能大于在d點的電勢能
D．電子在a點時的電勢能小于在d點的電勢能
【答案】C
【詳解】A．a、b、c點的電場強度大小相同，方向不一樣，A錯誤；
B．d點距離點電荷最近，電勢最高，三點間滿足的電勢差關系應為
CD．因為d點的電勢最大，因此電子在d點的電勢能最小，故a點的電勢能大于在d點的電勢能，C正確，D錯誤。
故選C。
3．（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）如圖所示，空間中存在與紙面平行的勻強電場，在紙面內從正方形的頂點A沿任意方向發射速度相同的帶正電粒子，不計粒子重力和粒子間的相互作用，已知經過B點的粒子在B點時的動能是初動能的3倍，經過C點的粒子在C點時的動能是初動能的7倍，則經過D點的粒子在D點時的動能是初動能的（　　）

A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．6倍
【答案】C
【詳解】根據題意，設電場強度沿AB方向的分量為，沿AD方向的分量為，粒子在A點時的動能為。粒子從A到B的過程，有
粒子從A到C的過程，有
則粒子從A到D的過程，有，解得
故選C。
4．（2023·上海·統考模擬預測）空間中有一電場，電勢分布如圖所示，現放入一個負點電荷，隨后向右移動此電荷，下列電荷電勢能隨位置變化的圖像正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由電勢能的表達式得，負點電荷向右移動此電荷，電勢能為負值并且逐漸增大，故選C。
5．（2023·四川成都·成都市第二十中學校校考模擬預測）如圖所示，虛線為某電場中的三條電場線1、2、3，實線表示某帶電粒子僅在電場力作用下的運動軌跡，a、b是軌跡上的兩點，則下列說法中正確的是（　　）
A．粒子在a點的加速度大小大于在b點的加速度大小
B．粒子在a點的電勢能大于在b點的電勢能
C．粒子在a點的速度大小大于在b點的速度大小
D．a點的電勢高于b點的電勢
【答案】B
【詳解】A．電場線越密處場強越大，電場力越大，粒子的加速度越大，所以粒子在a點的加速度大小小于在b點的加速度大小，A錯誤；
BCD．粒子受力指向軌跡凹面，大致向右，所以粒子從a點到b點電場力做正功，電勢能減小，動能增大，故粒子在a點的速度大小小于在b點的速度大小。因為粒子帶負電，受力方向與電場方向相反，所以電場強度方向大致向左，根據沿著電場線方向電勢降低，所以a點的電勢低于b點的電勢，B正確，CD錯誤。
故選B。
6．（2023·湖南邵陽·統考模擬預測）某電場的電場線分布如圖所示。一帶正電荷的粒子僅在電場力的作用下從a點沿電場線運動了b點，則下列說法正確的是（　　）

A．電場力對該正電荷做了正功 B．該正電荷電勢能增加了
C．該正電荷在a、b兩點受到的電場力Fa>Fb D．該正電荷從a到b做加速運動
【答案】B
【詳解】AB．正電荷所受電場力的方向與電場強度方向相同，所以將一帶正電的粒子從a點移到b點，電場力做負功，電勢能增加，故B正確，A錯誤；
C．根據電場線越密電場強度越大，粒子所受的電場力越大，可知粒子在b點所受的電場力大于在a點所受的電場力，故C錯誤；
D．帶正電的粒子僅在電場力的作用下從a點沿電場線運動了b點，電場力做負功，粒子從a到b做減速運動，故D錯誤。
故選B。
7．（2023·湖北武漢·湖北省武昌實驗中學校考模擬預測）兩個點電荷固定于x軸上，將一帶負電的試探電荷從足夠遠處沿x軸負方向移近（位于坐標原點O），在移動過程中，試探電荷的電勢能隨位置的變化關系如圖所示。則下列判斷正確的是（　　）

A．M點場強為零，N點電勢為零 B．M點電勢為零，N點場強為零
C．帶正電，帶負電，且電荷量較大 D．帶負電，帶正電，且電荷量較小
【答案】B
【詳解】AB．因圖像的斜率等于電場力，可知N點場強為零；因M點電勢能為零，可知M點電勢為零，選項A錯誤，B正確；
CD．因帶負電的試探電荷在Q2附近的電勢能為正值，可知帶負電，帶正電，N點場強為零，根據，可知，選項CD錯誤。
故選B。
8．（2023·福建龍巖·統考模擬預測）如圖所示，帶電絕緣體球的球心為O，用r表示球內、外各點到球心的距離，其中A、B、C位置離球心的距離分別為、、，用表示球內、外各點電勢，其圖像如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A．該絕緣體球帶負電
B．A點的電場強度小于B點的電場強度
C．B點的電場強度大小為
D．負點電荷在B點的電勢能比在C點的電勢能小
【答案】D
【詳解】A．根據圖像可知，離絕緣體球球心越遠，電勢越低，可知該絕緣體球帶正電，故A錯誤；
B．根據圖像的切線斜率絕對值表示電場強度大小，可知A點的電場強度大于B點的電場強度，故B錯誤；
C．根據圖像的切線斜率絕對值表示電場強度大小，可知B點的電場強度大小應滿足
故C錯誤；
D．由圖像可知B點的電勢大于C點的電勢，根據，可知負點電荷在B點的電勢能比在C點的電勢能小，故D正確。
故選D。
9．（多選）（2023·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）空間中有兩個固定點電荷A和B，帶電荷量的絕對值分別為QA和QB，以點電荷A、B連線上某點為原點，以點電荷A和B所在的直線為x軸建立直角坐標系，分別作出部分和圖像，如圖所示，無窮遠處電勢為零．則下列說法正確的是（　　）
A．A為正點電荷，B為負點電荷，且QA>QB
B．A為負點電荷，B為正點電荷，且QA> QB
C．1是圖像，2是圖像
D．1是圖像，2是圖像
【答案】BD
【詳解】AB．由于正點電荷周圍電勢趨于正無窮大，所以由圖可知B為正點電荷，因為點電荷B右側有場強為0的點，說明A為負點電荷，因電場強度疊加為0的位置，離B近，離A遠，故由
可知QA>QB，B正確，A錯誤；
CD．當圖像斜率為0時，場強為0，結合圖中的輔助線，可知1是圖像，2是圖像，D正確，C錯誤。
故選BD。
10．（2023·云南昆明·云南師大附中校考模擬預測）如圖所示，桿上兩點固定兩根繩子，兩點的間距為，繩1的長度為，繩子另一端共同系一帶電量為、質量為的小球，在豎直向上的勻強電場中以某一角速度隨桿做勻速圓周運動可以使繩子1、2均處于繃直狀態；如果撤去電場，小球以同樣的角速度隨桿做勻速圓周運動時的圓心剛好是點。重力加速度大小為，求：
（1）小球做勻速圓周運動的角速度；
（2）保持角速度大小不變，且可以使繩子1、2均處于繃直狀態，求勻強電場的場強取值范圍。

【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）撤去電場，小球以同樣角速度繞桿做勻速圓周運動，如圖所示

由幾何關系可知軌道半徑，
繩1與水平方向的夾角為，則有，
根據牛頓第二定律，有
在豎直方向上，有，，聯立解得
（2）滿足題中可以使繩子1、2均處于繃直狀態的最小的勻強電場是繩子2拉力為零，最大的勻強電場是繩子1拉力為零，有，解得
根據牛頓第二定律，有
在豎直方向上，有，聯立解得
故勻強電場的場強大小取值范圍為。
【能力提高練】
1．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）某電場等勢面分布情況如圖所示，A、B分別為場中兩點，一帶電粒子在此電場中的軌跡如虛線所示，下列判斷正確的是（　　）
A．帶電粒子帶負電
B．帶電粒子在B點的加速度大于在A點的加速度
C．帶電粒子運動到B點的速度大于在A點的速度
D．負的點電荷在B點由靜止釋放，只在電場力的作用下電荷將沿著等勢面e運動
【答案】C
【詳解】A．電場強度方向與等勢面垂直，且由高電勢點指向低電勢點方向，根據圖像可知電場方向整體方向向外，而帶電粒子所受電場力方向指向軌跡彎曲一側，根據軌跡可知，電場力方向與電場方向相同，可判定粒子帶正電故，故A錯誤；
B．圖中相鄰等勢線之間的電勢差相等，而等差等勢面的疏密程度能夠間接反映場強大小，根據圖像可知，帶電粒子在B位置電場線分布比A點稀疏一些，則粒子在B處的電場強度小于A處的電場強度，可知帶電粒子在B點的加速度小于在A點的加速度，故B錯誤；
C．帶電粒子帶正電，A點電勢大于B點電勢，根據
可知，粒子從A到B電場力做正功，電勢能減小，動能增大，速度增大，即帶電粒子運動到B點的速度大于在A點的速度，故C正確；
D．場強方向與等勢面垂直，故點電荷受到的電場力方向與等勢面垂直，只在電場力的作用下電荷由靜止釋放不可能沿著等勢面e運動，故D錯誤。
故選C。
2．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）如圖所示，其空中有一足夠大的水平向右的勻強電場，質量均為、帶電量分別為和的兩小球同時從點以速度斜向右上方射入勻強電場中，方向與水平方向成，A、B（圖中末畫出）兩點分別為兩小球運動軌跡的最高點，帶正電的小球經過A點的速度大小仍然為，不考慮兩球間的庫侖力。下列說法錯誤的是（　　）

A．兩小球同時到A、B兩點
B．帶負電的小球經過點的速度大小也為
C．兩小球到達A、B兩點過程中電勢能變化量之比為
D．與水平距離之比為
【答案】C
【詳解】A．由題可知，將帶電小球的運動分解成水平方向和豎直方向的運動，由受力可知，兩小球在豎直方向只受重力，故在豎直方向做豎直上拋運動，豎直方向的初速度大小均為
上升到最高點時，豎直方向速度為零，由此可知，兩球到達A、B兩點的時間相同，A正確，不符合題意；
B．水平方向只受電場力，故水平方向做勻變速直線運動，水平方向的初速度為
由題可知，帶正電的小球有
帶負電的小球有，解得
帶負電的小球經過點的速度大小也為，B正確，不符合題意；
C．由B解析可知，到達最高點時兩小球的速度大小相等，水平方向只有電場力做功，由動能定理可知，兩球到達A、B兩點過程中電勢能變化量之比為，C錯誤，符合題意；
D．由上分析可知，
聯立解得，故，
代入數據解得，即與水平距離之比為，D正確，不符合題意。
故選C。
3．（2023·甘肅·統考三模）如圖所示，一對面積較大的平行板電容器AB水平放置，A板帶正電荷，B板接地，P為兩板中點，再使A、B分別以中心點O、O 為軸在豎直平面內轉過一個相同的小角度θ，下列結論正確的是（　　）

A．電容器AB的電容不變 B．兩板間電場強度變大
C．兩板間的P點電勢增大 D．兩板間的P點電勢降低
【答案】D
【詳解】A．根據題意，兩極板在豎直平面內轉過一個相同的小角度θ，兩極板間的距離d減小，根據電容的決定式和定義式，，由此可知，d減小，C增大，故A錯誤；
B．根據公式，可知，兩板間電場強度不變，故B錯誤；
CD．由圖可知，P與B板間的距離減小，由于電容器內部電場強度不變，所以P與B板間的電勢差減小，B板接地，其電勢為零，所以P點電勢降低，故C錯誤，D正確。
故選D。
4．（2023·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）如圖所示，一長為L的絕緣輕繩一端系著質量為m、帶電荷量為+q的小球（可視為質點）、另一端固定在O點，整個空間存在與豎直方向夾角為的勻強電場。小球繞O點在豎直面ACBD內做圓周運動，其中AB水平，CD豎直，E、F連線與電場平行且經過O點，小球運動到A點時速度最小，為，g為重力加速度，則下列說法正確的是（　　）

A．勻強電場的電場強度大小為 B．小球從A點運動到B點，合力做功為4mgL
C．小球在B點時輕繩的拉力大小為6mg D．小球運動到E點時機械能最小
【答案】D
【詳解】A．小球運動到A點時速度最小，則電場力和重力的合力水平向右，電場力mg
解得勻強電場的電場強度大小，故A錯誤；
B．電場力和重力的合力大小F合=mg，方向水平向右，所以小球從A點運動到B點合力做功為2mgL，故B錯誤；
C．A到B過程，由動能定理有，小球在B點時有
解得小球在B點時輕繩的拉力大小，故C錯誤；
D．由能量守恒知，小球運動到E點時電勢能最大，機械能最小，故D正確。
故選D。
5．（多選）（2023·湖南長沙·長沙一中校考二模）如圖所示，兩個等大的均勻帶電圓環，帶電量分別為和，圓心分別為A、C。將它們平行放置，AC與環面垂直，B是AC的中點。現有一個質量為m，帶電量為的微粒（重力不計）在電場中運動，關于微粒運動，下列判斷正確的是（　　）

A．若使微粒從B點開始沿垂直AC的直線運動，則電勢能不變
B．若微粒從A點由靜止釋放，則微粒在AC間做往返運動
C．若微粒從A點由靜止釋放，則微粒的電勢能先減小后增大，在C點時電勢能最小
D．若微粒從A點由靜止釋放，則微粒的最終速度與經過B點時的速度相等
【答案】AD
【詳解】A．取無限遠處電勢為零，則過B點垂直AC的平面是電勢為零的等勢面，若使微粒從B點開始沿垂直AC的直線運動，則電勢能不變，A正確；
BCD．若微粒從A點由靜止釋放，則電場力先做正功后做負功，電勢能先減小后增大，電勢能最低的位置在C點右側場強為零處，微粒最終可到達無限遠處，最終速度與經過B點時的速度相等，BC錯誤，D正確。
故選AD。
6．（多選）（2023·全國·校聯考模擬預測）如圖，為空間中的八個點，八個點恰好位于正方體的八個頂點。勻強電場恰好沿正方體的對角線方向，已知正方體邊長為間的電勢差為，下列關于間電勢高低及電場強度大小分析正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】AB．由圖易得，可得，
根據勻強電場的特點可知，故，A正確，B錯誤；
CD．與間夾角滿足，又
帶入數據可得，C正確，D錯誤。
故選AC。
7．（2023·江西九江·統考三模）如圖所示，豎直平面內有一個半徑為R的圓周，A、D兩點為其水平直徑的兩端，C、F兩點為其豎直直徑的兩端。空間有與圓周平面平行的勻強電場，在圓周上的B點有一粒子源，在圓周平面內，以相同大小的初速度v0沿各個方向發射質量為m的帶相同正電荷的微粒。對比到達圓周上各點的微粒的能量，發現到達D點的微粒機械能最大，到達E點的微粒動能最大。已知重力加速度為g，則（ ）

A．電場的方向沿半徑O到E
B．微粒所受電場力大小為
C．微粒動能的最小值為
D．微粒動能的最大值為
【答案】BC
【詳解】A．微粒從B到達D點時機械能最大，說明B到D電場力做功最多，由數學關系知過D點做圓的切線為電場的等勢線，即電場沿OD方向，故A錯誤；
B．在E點的微粒動能最大，說明B到E合力做功最多，即重力和電場力的合力方向沿OE方向，根據幾何關系有，故B正確；
C．微粒運動到圓周上與E點關于圓心對稱的P點時，動能最小，從B點到P點，根據動能定理可得，
解得，故C正確；
D．微粒運動到圓周上與E點時，動能最大，從B點到E點，根據動能定理可得，解得，故D錯誤。
故選BC。
8．（2023·海南·統考模擬預測）如圖所示，曲線為一帶電粒子僅在電場力作用下通過一個固定正點電荷產生的電場區域時的運動軌跡，為這條軌跡上的三個點，且帶電粒子在點所受的電場力方向與速度方向垂直，由此可知下列說法正確的是（　　）

A．粒子在兩點的加速度大小 B．粒子在兩點的加速度大小
C．兩點的電場強度大小 D．兩點的電勢
【答案】BD
【詳解】ABC．距離正電荷越近，電場強度越大，則，根據牛頓第二定律，
可知，故AC錯誤，B正確；
D．沿著電場線方向電勢逐漸降低，所以離正電荷越遠的點，電勢較小，故，故D正確；
故選BD。
9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）如圖甲所示，圓形區域存在與圓平面平行的勻強電場E（圖中未畫出），圓的兩條直徑AB與CD間的夾角為，從A點向圓形平面內不同方向發射速率相同的質子（不計質子間相互作用），發現從圓邊界射出的粒子中D點射出的粒子速度最大。以A為坐標原點。沿AB方向建立x坐標軸，B點的坐標為，x軸上從A到B的電勢變化如圖乙所示，則（　　）

A．CD間電勢差 B．CD間電勢差
C．電場強度 D．電場強度
【答案】BD
【詳解】CD．從圓邊界射出的粒子中D點射出的粒子速度最大，可知電場力做功最大，沿電場線方向的位移最大，可知場強沿CD方向，則
可得電場強度，故C項錯誤，D項正確。
AB．CD間電勢差，，故A項錯誤，B項正確。
故選BD。
10．（2023·云南保山·統考三模）如圖所示，圓心為O、半徑為R的圓形區域內存在一個平行于該區域的勻強電場，MN為圓的一條直徑。質量為m、電荷量為+q的粒子從M點以速度v射入電場，速度方向與MN夾角θ=45°，一段時間后粒子運動到N點，速度大小也為v，不計粒子重力，規定M點電勢為零。求：
（1）勻強電場的場強大小；
（2）粒子電勢能的最大值；
（3）僅改變粒子速度大小，當粒子離開圓形區域的電勢能最小時，粒子射入電場的速度大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】解：（1）從M到N粒子動能不變，電場力不做功，所以MN為等勢線，電場線與MN垂直，粒子做類似斜拋的運動，沿MN方向，粒子勻速運動
垂直MN方向
根據牛頓第二定律，，解得
（2）粒子垂直MN方向速度為0時，電勢能最大，根據能量守恒
（3）如圖所示，當粒子運動到P點時，電勢能最小，由

，，聯立求得
【高考通關練】
1．（2023·廣東·統考高考真題）電子墨水是一種無光源顯示技術，它利用電場調控帶電顏料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈現出不同顏色．透明面板下有一層膠囊，其中每個膠囊都是一個像素．如圖所示，膠囊中有帶正電的白色微粒和帶負電的黑色微粒．當膠囊下方的電極極性由負變正時，微粒在膠囊內遷移（每個微粒電量保持不變），像素由黑色變成白色．下列說法正確的有（ ）

A．像素呈黑色時，黑色微粒所在區域的電勢高于白色微粒所在區域的電勢
B．像素呈白色時，黑色微粒所在區域的電勢低于白色微粒所在區域的電勢
C．像素由黑變白的過程中，電場力對白色微粒做正功
D．像素由白變黑的過程中，電場力對黑色微粒做負功
【答案】AC
【詳解】A．像素呈黑色時，當膠囊下方的電極帶負電，像素膠囊里電場線方向向下，所以黑色微粒所在的區域的電勢高于白色微粒所在區域的電勢，故A正確；
B．像素呈白色時，當膠囊下方的電極帶正電，像素膠囊里電場線方向向上，所以黑色微粒所在的區域的電勢高于白色微粒所在區域的電勢，故B錯誤；
C．像素由黑變白的過程中，白色微粒受到的電場力向上，位移向上，電場力對白色微粒做正功，故C正確；
D．像素由白變黑的過程中，黑色微粒受到的電場力向下，位移向下，電場力對黑色微粒做正功，故D錯誤。
故選AC。
2．（2023·遼寧·統考高考真題）圖（a）為金屬四極桿帶電粒子質量分析器的局部結構示意圖，圖（b）為四極桿內垂直于x軸的任意截面內的等勢面分布圖，相鄰兩等勢面間電勢差相等，則（　　）

A．P點電勢比M點的低
B．P點電場強度大小比M點的大
C．M點電場強度方向沿z軸正方向
D．沿x軸運動的帶電粒子，電勢能不變
【答案】CD
【詳解】A．因P點所在的等勢面高于M點所在的等勢面，可知P點電勢比M點的高，選項A錯誤；
B．因M點所在的等差等勢面密集，則M點場強較P點大，即P點電場強度大小比M點的小，選項B錯誤；
C．場強方向垂直等勢面，且沿電場線方向電勢逐漸降低，可知M點電場強度方向沿z軸正方向，選項C正確；
D．因x軸上個點電勢相等，則沿x軸運動的帶電粒子，則電勢能不變，選項D正確。
故選CD。
3．（2023·全國·統考高考真題）在O點處固定一個正點電荷，P點在O點右上方。從P點由靜止釋放一個帶負電的小球，小球僅在重力和該點電荷電場力作用下在豎直面內運動，其一段軌跡如圖所示。M、N是軌跡上的兩點，OP > OM，OM = ON，則小球（ ）

A．在運動過程中，電勢能先增加后減少
B．在P點的電勢能大于在N點的電勢能
C．在M點的機械能等于在N點的機械能
D．從M點運動到N點的過程中，電場力始終不做功
【答案】BC
【詳解】ABC．由題知，OP > OM，OM = ON，則根據點電荷的電勢分布情況可知，φM = φN > φP
則帶負電的小球在運動過程中，電勢能先減小后增大，且EpP > EpM = EpN
則小球的電勢能與機械能之和守恒，則帶負電的小球在M點的機械能等于在N點的機械能，A錯誤、BC正確；
D．從M點運動到N點的過程中，電場力先做正功后做負功，D錯誤。
故選BC。
4．（2022·北京·高考真題）如圖所示，真空中平行金屬板M、N之間距離為d，兩板所加的電壓為U。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M板由靜止釋放。不計帶電粒子的重力。
（1）求帶電粒子所受的靜電力的大小F；
（2）求帶電粒子到達N板時的速度大小v；
（3）若在帶電粒子運動距離時撤去所加電壓，求該粒子從M板運動到N板經歷的時間t。
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）兩極板間的場強，
帶電粒子所受的靜電力
（2）帶電粒子從靜止開始運動到N板的過程，根據功能關系有，解得
（3）設帶電粒子運動距離時的速度大小為v′，根據功能關系有
帶電粒子在前距離做勻加速直線運動，后距離做勻速運動，設用時分別為t1、t2，有，
則該粒子從M板運動到N板經歷的時間
5．（2022·遼寧·高考真題）如圖所示，光滑水平面和豎直面內的光滑圓弧導軌在B點平滑連接，導軌半徑為R。質量為m的帶正電小球將輕質彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，脫離彈簧后經過B點時的速度大小為，之后沿軌道運動。以O為坐標原點建立直角坐標系，在區域有方向與x軸夾角為的勻強電場，進入電場后小球受到的電場力大小為。小球在運動過程中電荷量保持不變，重力加速度為g。求：
（1）彈簧壓縮至A點時的彈性勢能；
（2）小球經過O點時的速度大小；
（3）小球過O點后運動的軌跡方程。
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）小球從A到B，根據能量守恒定律得，
（2）小球從B到O，根據動能定理有，
解得
（3）小球運動至O點時速度豎直向上，受電場力和重力作用，將電場力分解到x軸和y軸，則x軸方向有
豎直方向有，解得，
說明小球從O點開始以后的運動為x軸方向做初速度為零的勻加速直線運動，y軸方向做勻速直線運動，即做類平拋運動，則有，
聯立解得小球過O點后運動的軌跡方程
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題22　　電場能的性質
題型 選擇題 命題趨勢和備考策略
高考考點 電勢高低及電勢能大小的比較； 電場中電場強度和電勢差的關系； 電場線、等勢面及帶電粒子的運動軌跡問題 電場中的圖像問題； 電場力做功與功能關系； 【命題規律】 近3年新高考卷對于本節內容的考查共計31次，主要考查： 電勢高低及電勢能大小的比較； 電場中電場強度和電勢差的關系； 電場線、等勢面及帶電粒子的運動軌跡問題； 電場中的圖像問題； 電場力做功與功能關系； 【備考策略】 熟練理解并掌握點電荷周圍的電場和電勢的分布情況，掌握電場線和等勢面的特點；理解帶電粒子在電場中運動的能量變化，并利用功能關系解決能量問題；理解電場中的圖像所表達的物理含義，并能分析圖線的變化處理粒子的運動和能量變化情況；掌握在勻強電場中利用電場力做功的計算方法和能量變化情況。 【命題預測】 本節內容即可單獨命題，也可與運動學、動力學和磁場等知識結合在一起，本節內容在高考中題型難度覆蓋較廣，及可靠查電荷的平面運動情況，空間運動也是近今年的常考范圍。2024年考生可適當加大本節內容的刷題量。
新高考 2023 廣東卷9題、山東卷11題、浙江卷12題、湖北卷3題、遼寧卷9題、海南卷12題、全國乙卷20題、上海卷8題、
2022 天津卷2題、福建卷3題、重慶卷8題、海南卷8題、江蘇卷9題、浙江卷9題、廣東卷8題、河北卷6題、湖南卷2題、全國乙卷20題、浙江春招11題
2021 江蘇卷10題、海南卷11題、湖北卷8題、遼寧卷6題、天津卷8題、北京卷9題、山東卷6題、浙江卷1題、廣東卷6題、全國乙卷19題、全國甲卷19題、河北卷10題
【導航窗口】
知識梳理
一、電勢能、電勢、電勢差、等勢面 2
二、電場線、電勢、電勢能、等勢面之間的關系 3
三、公式E＝的理解 3
四、靜電感應和靜電平衡 3
考點突破
考點一　電場能的性質的理解 4
角度1：根據帶電粒子的運動軌跡判斷運動、受力和電勢高低 4
角度2：等量異種電荷周圍電勢、電勢能高低的判斷 6
角度3：不等量電荷周圍電勢、電勢能高低的判斷 8
考點二　電勢差與電場強度的關系 9
考點三　靜電場中圖象問題 13
角度1：E-x圖像分析 13
角度2：φ-x圖像分析 14
角度3：Ep-x圖像分析 15
考點四　電場中的功能關系 18
微專題突破
一、兩個等量異種點電荷電場 20
二、兩個等量同種點電荷電場 22
考點過關
【素質基礎練】 24
【能力提高練】 30
【高考通關練】 38
一、電勢能、電勢、電勢差、等勢面
1．靜電力做功
(1)特點：靜電力做功與路徑無關，只與 有關．
(2)計算方法
①W＝qEd，只適用于 電場，其中d為沿 的距離．
②WAB＝qUAB，適用于 電場．
2．電勢能
(1)定義：電荷在某點的電勢能，等于把它從這點移動到 位置時靜電力做的功．
(2)靜電力做功與電勢能變化的關系：靜電力做的功等于 ，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.
(3)電勢能的相對性：電勢能是相對的，通常把電荷離場源電荷 處的電勢能規定為零，或把電荷在 表面的電勢能規定為零．
3．電勢
(1)定義：電荷在電場中某一點的 與它的電荷量的比值．
(2)定義式：φ＝.
(3)矢標性：電勢是標量，有正負之分，其正(負)表示該點電勢比零電勢高(低)．
(4)相對性：電勢具有 ，同一點的電勢因選取零電勢點的不同而不同．
4．電勢差
(1)定義：電荷在電場中，由一點A移到另一點B時， 與移動電荷的 的比值．
(2)定義式：UAB＝.
(3)電勢差與電勢的關系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
5．等勢面
(1)定義：電場中 的各點組成的面．
(2)四個特點：
①在同一等勢面上移動電荷時電場力
②電場線一定與等勢面垂直，并且從電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面．
③等差等勢面越密的地方電場強度 ，反之
④任意兩個等勢面都不相交．
二、電場線、電勢、電勢能、等勢面之間的關系
1．電場線與電場強度：電場線越密的地方表示電場強度越大，電場線上某點的切線方向表示該點的電場強度方向．
2．電場線與等勢面：電場線與等勢面垂直，并從電勢較高的等勢面指向電勢較低的等勢面．
3．電場強度大小與電勢：無直接關系，零電勢可人為選取，電場強度的大小由電場本身決定，故電場強度大的地方，電勢不一定高．
4．電勢能與電勢：正電荷在電勢高的地方電勢能大；負電荷在電勢低的地方電勢能大．
三、公式E＝的理解
1．只適用于 電場．
2．d為某兩點沿 方向上的距離，或兩點所在等勢面之間的距離．
3．電場強度的方向是 最快的方向．
四、靜電感應和靜電平衡
1．靜電感應
當把一個不帶電的金屬導體放在電場中時，導體的兩端分別感應出等量的正、負電荷，“近端”出現與施感電荷異種的感應電荷，“遠端”出現與施感電荷同種的感應電荷．這種現象叫靜電感應．
2．靜電平衡
(1)定義：導體放入電場中時，附加電場與原電場在導體內部大小相等且方向相反，使得疊加場強為零時，自由電荷不再發生 ，導體處于靜電平衡狀態．
(2)處于靜電平衡狀態的導體的特點
①導體內部的場強 ；
②導體是一個等勢體，導體表面是等勢面；
③導體表面處的場強方向與導體表面 ；
④導體內部沒有凈電荷，凈電荷只分布在導體的外表面上；
⑤在導體外表面越尖銳的位置，凈電荷的密度(單位面積上的電荷量)越大，凹陷的位置幾乎沒有凈電荷．
考點一　電場能的性質的理解
1．電勢高低的四種判斷方法
(1)依據電場線方向：沿電場線方向電勢逐漸降低．
(2)依據電場力做功：根據UAB＝，將WAB、q的正負號代入，由UAB的正負判斷φA、φB的高低．
(3)電荷的正負：取無窮遠處電勢為零，正電荷周圍電勢為正值，負電荷周圍電勢為負值；靠近正電荷處電勢高，靠近負電荷處電勢低．
(4)依據電勢能的高低：正電荷在電勢能大處電勢較高，負電荷在電勢能大處電勢較低．
2．電勢能高低的四種判斷方法
(1)做功判斷法：電場力做正功，電勢能減小；電場力做負功，電勢能增大．
(2)電荷電勢法：正電荷在電勢高的地方電勢能大，負電荷在電勢低的地方電勢能大．
(3)公式法：由Ep＝qφ，將q、φ的大小、正負號一起代入公式，Ep的正值越大，電勢能越大，Ep的負值越小，電勢能越大．
(4)能量守恒法：在電場中，若只有電場力做功時，電荷的動能和電勢能相互轉化，動能增大時，電勢能減小，反之電勢能增大．
角度1：根據帶電粒子的運動軌跡判斷運動、受力和電勢高低
【典例1】（2023·全國·統考高考真題）在一些電子顯示設備中，讓陰極發射的電子束通過適當的非勻強電場，可以使發散的電子束聚集。下列4幅圖中帶箭頭的實線表示電場線，如果用虛線表示電子可能的運動軌跡，其中正確的是（ ）
A． B． C． D．
1．某點速度方向即為該點軌跡的切線方向．
2．從軌跡的彎曲方向判斷受力方向(軌跡向合外力方向彎曲)，從而分析電場方向或電荷的正負．
3．結合軌跡、速度方向與電場力的方向，確定電場力做功的正負，從而確定電勢能、電勢和電勢差的變化等．
【變式】（2023·全國·高三模擬考試）如圖所示，在兩個點電荷、產生的電場中，實線為其電場線分布，虛線為電子（不計重力）從A點運動到B點的運動軌跡，則下列判斷正確的是（　　）
A．電子經過A點的加速度比經過B點的加速度小 B．的電荷量小于的電荷量
C．電子在A點的電勢能大于在B點的電勢能 D．兩個點電荷連線中點O的場強為零
角度2：等量異種電荷周圍電勢、電勢能高低的判斷
【典例2】（2022·河北·統考高考真題）如圖，真空中電荷量為和的兩個點電荷分別位于點與點，形成一個以延長線上點為球心，電勢為零的等勢面（取無窮處電勢為零），為連線上的一點，S為等勢面與直線的交點，為等勢面上的一點，下列說法正確的是（　　）
A．點電勢低于點電勢 B．點電場強度方向指向O點
C．除無窮遠處外，MN直線上還存在兩個電場強度為零的點
D．將正試探電荷從T點移到P點，靜電力做正功
【變式】（2023·全國·高三專題練習）真空中相距為的兩個點電荷、，分別固定于軸上，和的兩點上，在它們連線上各點的電場強度隨變化的關系如圖所示，下列判斷正確的是（　　）
A．點電荷、一定為同種電荷
B．在軸上，的區域內，有一點電場強度為零
C．點電荷、所帶電荷量的絕對值之比為
D．若設無窮遠處為電勢零點，則處的電勢一定為零
角度3：不等量電荷周圍電勢、電勢能高低的判斷
【典例3】（2023·海南·統考高考真題）如圖所示，正三角形三個頂點固定三個等量電荷，其中帶正電，帶負電，為邊的四等分點，下列說法正確的是（ ）

A．、兩點電場強度相同 B．、兩點電勢相同
C．負電荷在點電勢能比在點時要小 D．負電荷在點電勢能比在點時要大
【變式】（2023·河北·模擬預測）在A、B兩點放置電荷量分別為和的點電荷，其形成的電場線分布如圖所示，C為A、B連線上的一點，并且AB間C點的電場強度最小，D是紙面上的另一點，DC連線與AB垂直，已知無窮遠電勢為零，電荷Q在其周圍產生的電勢為。則下列說法正確的是（　　）

A．AB間C點電勢最低
B．在整個直線AB上不可能存在另一個與C電場強度相同的點
C．AB連線上B的右側有一點非無窮遠電勢和電場強度均為零
D．若將另一負電荷從C點移到D點，電荷電勢能減小
考點二　電勢差與電場強度的關系
1．在勻強電場中，不與電場線垂直的同一直線上的距離相同的兩點間的電勢差相等，相互平行的相等線段的兩端點電勢差也相等．
2．在勻強電場中，不與電場線垂直的同一條直線上或幾條相互平行的直線上兩點間的電勢差與兩點間的距離成正比．如圖6所示AC∥PR，則有：＝＝＝.
角度1：非勻強電場中電場強度與電勢差的關系
【典例4】（多選）（2022·重慶·高考真題）如圖為兩點電荷Q、的電場等勢面分布示意圖，Q、位于x軸上，相鄰等勢面的電勢差為。若x軸上的M點和N點位于等勢面上，P為某等勢面上一點，則（　　）
A．N點的電場強度大小比M點的大 B．Q為正電荷
C．M點的電場方向沿x軸負方向 D．P點與M點的電勢差為
1．先確定等勢線，根據“兩點確定一條直線”，找出電場中電勢相等的兩個點，然后連接成一條等勢線；因勻強電場的電勢在一條直線上均勻變化，任一線段中點的電勢為兩端點電勢的平均值．
2．電場線跟等勢線一定垂直，作出等勢線的垂線即得電場線．
3．比較電勢的高低，即沿著電場線的方向，電勢逐漸降低；根據電勢高低在電場線上標出箭頭，表示電場的方向．
【變式】（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考模擬預測）空間中P、Q兩點處各固定一個點電荷，其中P為正電荷。P、Q兩點附近電場的等勢面分布如圖所示，相鄰等勢面間電勢差相等，a、b、c、d為電場中的4個點。下列說法正確的是（　　）

A．P、Q兩點處的電荷帶同種電荷
B．c點與d點場強方向相同，電勢也相同，a點電場強度小于b點電場強度
C．一負電子從c點到b點電場力做正功 D．負電子在a點電勢能比在b點的電勢能大
角度2：勻強電場中電場強度與電勢差的關系
【典例5】（多選）（2021·海南·高考真題）如圖，在勻強電場中有一虛線圓，和是圓的兩條直徑，其中與電場方向的夾角為，，與電場方向平行，a、b兩點的電勢差。則（　　）
A．電場強度的大小 B．b點的電勢比d點的低
C．將電子從c點移到d點，電場力做正功 D．電子在a點的電勢能大于在c點的電勢能
【變式】（2024·湖南·校聯考二模）有一勻強電場的方向平行于平面，平面內a、b、c三點的位置如圖所示，其中a、b、c三點電勢分別為0、、，有一電荷量為的點電荷在該電場中運動，下列判斷正確的是（　　）

A．y軸為一等勢面 B．電荷在該電場中受到的電場力的大小為
C．電荷在該電場中受到的電場力的方向與x軸的夾角為
D．將該點電荷從a點移到b點，其電勢能增加
考點三　靜電場中圖象問題
幾種常見圖象的特點及規律
v－t圖象 根據v－t圖象中速度變化、斜率確定電荷所受合力的方向與合力大小變化，確定電場的方向、電勢高低及電勢能變化
φ－x圖象 ①電場強度的大小等于φ－x圖線的斜率大小，電場強度為零處，φ－x圖線存在極值，其切線的斜率為零；②在φ－x圖象中可以直接判斷各點電勢的高低，并可根據電勢高低關系確定電場強度的方向；③在φ－x圖象中分析電荷移動時電勢能的變化，可用WAB＝qUAB，進而分析WAB的正負，然后做出判斷
E－t圖象 根據題中給出的E－t圖象，確定E的方向，再在草稿紙上畫出對應電場線的方向，根據E的大小變化，確定電場的強弱分布
E－x圖象 ①反映了電場強度隨位移變化的規律；②E＞0表示場強沿x軸正方向，E＜0表示場強沿x軸負方向；③圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據電場方向判定
Ep－x圖象 ①反映了電勢能隨位移變化的規律；②圖線的切線斜率大小等于電場力大小；③進一步判斷場強、動能、加速度等隨位移的變化情況
角度1：E-x圖像分析
【典例6】（2023·湖北·模擬預測）已知均勻帶電球體在其外部產生的電場與一個位于球心的、電荷量相等的點電荷產生的電場相同，而均勻帶電球売在其內部任意一點形成的電場強度為零。如圖甲所示，真空中有一半徑為R、電荷量為＋Q的均勻帶電球體，以球心為坐標原點，沿半徑方向建立x軸。理論分析表明，x軸上各點的場強隨x變化關系如圖乙所示，靜電力常量為k，則（　　）

A． x2處場強大小為
B．均勻帶電球體為等勢體
C． x1處電勢低于R處電勢
D．假設將試探電荷沿x軸移動，則從x1移到R處和從R移到x2處電場力做功相同
角度2：φ-x圖像分析
【典例7】（2021·山東·高考真題）如圖甲所示，邊長為a的正方形，四個頂點上分別固定一個電荷量為的點電荷；在區間，x軸上電勢的變化曲線如圖乙所示。現將一電荷量為的點電荷P置于正方形的中心O點，此時每個點電荷所受庫侖力的合力均為零。若將P沿x軸向右略微移動后，由靜止釋放，以下判斷正確的是（　　）
A．，釋放后P將向右運動 B．，釋放后P將向左運動
C．，釋放后P將向右運動 D．，釋放后P將向左運動
角度3：Ep-x圖像分析
【典例8】（多選）（2023·安徽·校聯考模擬預測）已知試探電荷在場源點電荷的電場中所具有電勢能表達式為，其中為靜電力常量，為試探電荷與場源點電荷間的距離，且規定無窮遠處的電勢能為0。真空中有兩個點電荷和，分別固定在坐標軸和的位置上。一帶負電的試探電荷在軸上各點具有的電勢能隨變化關系如圖所示，其中試探電荷在A、兩點的電勢能為零，A點的坐標是點為點電荷右邊電勢能最小的點，則下列說法正確的是（　　）

A．為正電荷，為負電荷
B．點電荷與電量之比為
C．點對應軸位置的坐標是
D．兩點電荷在軸上電場強度相同的點的位置為
【變式1】（多選）（2024·四川巴中·統考模擬預測）有一電場在x軸上各點的電場強度分布如圖所示。現將一帶正電的粒子（不計重力）從O點靜止釋放，僅在電場力的作用下，帶電粒子沿x軸運動，則關于該電場在x軸上各點的電勢φ、帶電粒子的動能、電勢能以及動能與電勢能之和隨x變化的圖像，正確的是（　　）

A． B．C． D．
【變式2】（2021·全國·統考模擬預測）空間存在著平行于x軸方向的靜電場，A、M、O、N、B為x軸上的點，OA＜OB，OM=ON，AB間的電勢φ隨x的分布為如圖．一個帶電粒子在電場中僅在電場力作用下從M點由靜止開始沿x軸向右運動，則下列判斷中正確的是（ ）
A．粒子可能帶正電 B．粒子一定能通過N點
C．粒子從M向O運動過程所受電場力逐漸增大 D．AO間的電場強度小于OB間的電場強度
【變式3】（2023·湖北·模擬預測）一帶負電的粒子只在電場力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能Ep隨位移x變化的關系如圖所示，其中O~x2段是關于直線x=x1對稱的曲線，x2~x3段是直線，則下列說法正確的是（　　）
A．x1處電場強度最小，但不為零
B．粒子在O~x2段做勻變速運動，x2~x3段做勻速直線運動
C．在O、x1、x2、x3處電勢φ0、φ1、φ2、φ3的關系為φ1>φ2=φ0>φ3
D．0~x2段的電場強度大小、方向均不變
考點四　電場中的功能關系
1．電場力做功的計算
(1)由公式W＝Flcos α計算，此公式只適用于勻強電場，可變形為：W＝qElcos α.
(2)由W＝qU來計算，此公式適用于任何形式的靜電場．
(3)由動能定理來計算：W電場力＋W其他力＝ΔEk.
(4)由電勢能的變化來計算：WAB＝EpA－EpB.
2．幾種功能關系
(1)若只有電場力做功，電勢能與動能之和保持不變；
(2)若只有電場力和重力做功，電勢能、重力勢能、動能之和保持不變；
(3)除重力外，其他各力對物體所做的功等于物體機械能的變化．
(4)所有力對物體所做功的代數和，等于物體動能的變化．
【典例9】（2022·浙江·統考高考真題）如圖所示，帶等量異種電荷的兩正對平行金屬板M、N間存在勻強電場，板長為L（不考慮邊界效應）。t=0時刻，M板中點處的粒子源發射兩個速度大小為v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到達N板時速度大小為；平行M板向下的粒子，剛好從N板下端射出。不計重力和粒子間的相互作用，則（　　）
A．M板電勢高于N板電勢 B．兩個粒子的電勢能都增加
C．粒子在兩板間的加速度 D．粒子從N板下端射出的時間
（多選）（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校考三模）如圖所示，一質量為m、帶正電的液滴，在水平向右的勻強電場中運動，運動軌跡在豎直平面內，A、B為其運動軌跡上的兩點，已知該液滴在A點的速度大小為，方向與豎直方向的夾角為，它運動到B點時速度大小仍為，方向與豎直方向的夾角為，則液滴從A運動到B的過程（　　）

A．液滴在水平方向和豎直方向的分位移相等 B．重力勢能增加
C．電勢能增加 D．機械能增加
一、兩個等量異種點電荷電場
1．電場特征
(1)兩個等量異種點電荷電場電場線的特征是：電場線大部分是曲線，起于正電荷，終止于負電荷；有三條電場線是直線．如圖所示．
(2)在兩電荷連線上，連線的中點電場強度最小但是不等于零；連線上關于中點對稱的任意兩點場強大小相等，方向相同，都是由正電荷指向負電荷；由連線的一端到另一端，電場強度先減小再增大．以兩電荷連線為x軸，關于x＝0對稱分布的兩個等量異種點電荷的E－x圖象是關于E軸(縱軸)對稱的U形圖線，如圖甲所示．
甲　　　　　　　　乙
(3)在兩電荷連線的中垂線上，電場強度以中點處最大；中垂線上關于中點對稱的任意兩點處場強大小相等，方向相同，都是與中垂線垂直，由正電荷指向負電荷；由中點至無窮遠處，電場強度逐漸減小．以兩電荷連線中垂線為y軸，關于y＝0對稱分布的兩個等量異種點電荷在中垂線上的E－y圖象是關于E軸(縱軸)對稱的形圖線，如圖乙所示．
2．電勢特征
(1)沿電場線，由正電荷到負電荷電勢逐漸降低，其等勢面如圖所示．若取無窮遠處電勢為零，在兩電荷連線上的中點處電勢為零．
(2)中垂面是一個等勢面，由于中垂面可以延伸到無限遠處，所以若取無窮遠處電勢為零，則在中垂面上電勢為零．
(3)若將兩電荷連線的中點作為坐標原點，兩電荷連線作為x軸，則兩個等量異種點電荷的電勢φ隨x變化的圖象如圖所示．
【典例10】(多選)某靜電場中的一條電場線與x軸重合，其電勢的變化規律如圖所示．在O點由靜止釋放一電子，電子僅受電場力的作用，則在－x0～x0區間內(　　)
A．該靜電場是勻強電場 B．該靜電場是非勻強電場
C．電子將沿x軸正方向運動，加速度逐漸減小 D．電子將沿x軸正方向運動，加速度逐漸增大
二、兩個等量同種點電荷電場
1．電場特征
(1)電場線大部分是曲線，起于正電荷，終止于無窮遠；只有兩條電場線是直線．(如圖所示)
(2)在兩電荷連線上的中點電場強度最小為零；連線上關于中點對稱的任意兩點場強大小相等，方向相反，都是指向中點；由連線的一端到另一端，電場強度先減小到零再增大．
(3)若以兩電荷連線中點作為坐標原點，沿兩電荷連線作為x軸建立直角坐標系，則關于坐標原點對稱分布的兩個等量同種點電荷在連線方向上的E－x圖象是關于坐標原點對稱的圖線，兩個等量正點電荷的E－x圖象如圖所示的曲線．
(4)在兩等量同種電荷的連線中垂線上，以中點最小為零；中垂線上關于中點對稱的任意兩點場強大小相等，方向相反，都沿著中垂線指向無窮遠處；在中垂線上由中點至無窮遠處，電場強度先從零開始增大再減小至零，其間必有一個位置場強最大．若把中垂線作為y軸，沿中垂線方向的E－y圖象大致如圖所示的曲線．
2．電勢特征
(1)兩個等量正點電荷電場中各點電勢均為正值，兩個等量負點電荷電場中各點電勢均為負值，兩個等量正點電荷電場的等勢面如圖所示．
(2)在兩個等量正點電荷連線上，由連線的一端到另一端電勢先降低再升高，中點處電勢最低但不為零，電勢φ隨x變化的圖象大致如圖所示．
(3)在兩個等量正點電荷連線的中垂線上中點處電勢最高，由中點至無窮遠處逐漸降低至零．若把中垂線作為y軸，沿中垂線方向的φ－y圖象大致如圖所示的曲線．
【典例11】(多選)某靜電場中x軸上的電勢隨x坐標變化的圖象如圖所示，φ－x圖象關于φ軸對稱，a、b兩點到O點的距離相等．將一電荷從x軸上的a點由靜止釋放后電荷沿x軸運動到b點，運動過程中電荷只受電場力作用，則下列說法正確的是(　　)
A．該電荷一定帶負電
B．電荷在b點時動能為零
C．從O到b，電荷的電勢能減小
D．從a到b，電場力對電荷先做正功，后做負功
考點過關
【素質基礎練】
1．（2023·天津·模擬預測）一對等量正點電荷電場的電場線（實線）和等勢線（虛線）如圖所示，A、B為靜電場中兩點，其電場強度分別是EA、EB，電勢分別是ΦA、ΦB，MN為兩正電荷連線的中垂面，下列判斷正確的是（　　）
A．EA>EB，ΦA<ΦB
B．若將一試探電荷+q緩慢地由A點移動到B點，則需克服電場力做功
C．若一試探電荷-q以初速度v0，由A點運動到B點，則其電勢能最終將變大
D．若在平面MN內釋放一試探電荷，其可以在該平面內做勻速圓周運動、簡諧運動、勻變速直線運動
2．（2022·寧夏銀川·六盤山高級中學校考三模）如圖，在等邊三角形abc中心O處有一帶正電的點電荷，d為ac邊的中點，則在該點電荷產生的電場中（　　）
A．a、b、c點的電場強度相同 B．a、c、d點的電勢差滿足
C．電子在a點時的電勢能大于在d點的電勢能 D．電子在a點時的電勢能小于在d點的電勢能
3．（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）如圖所示，空間中存在與紙面平行的勻強電場，在紙面內從正方形的頂點A沿任意方向發射速度相同的帶正電粒子，不計粒子重力和粒子間的相互作用，已知經過B點的粒子在B點時的動能是初動能的3倍，經過C點的粒子在C點時的動能是初動能的7倍，則經過D點的粒子在D點時的動能是初動能的（　　）

A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．6倍
4．（2023·上海·統考模擬預測）空間中有一電場，電勢分布如圖所示，現放入一個負點電荷，隨后向右移動此電荷，下列電荷電勢能隨位置變化的圖像正確的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·四川成都·成都市第二十中學校校考模擬預測）如圖所示，虛線為某電場中的三條電場線1、2、3，實線表示某帶電粒子僅在電場力作用下的運動軌跡，a、b是軌跡上的兩點，則下列說法中正確的是（　　）
A．粒子在a點的加速度大小大于在b點的加速度大小
B．粒子在a點的電勢能大于在b點的電勢能
C．粒子在a點的速度大小大于在b點的速度大小
D．a點的電勢高于b點的電勢
6．（2023·湖南邵陽·統考模擬預測）某電場的電場線分布如圖所示。一帶正電荷的粒子僅在電場力的作用下從a點沿電場線運動了b點，則下列說法正確的是（　　）

A．電場力對該正電荷做了正功 B．該正電荷電勢能增加了
C．該正電荷在a、b兩點受到的電場力Fa>Fb D．該正電荷從a到b做加速運動
7．（2023·湖北武漢·湖北省武昌實驗中學校考模擬預測）兩個點電荷固定于x軸上，將一帶負電的試探電荷從足夠遠處沿x軸負方向移近（位于坐標原點O），在移動過程中，試探電荷的電勢能隨位置的變化關系如圖所示。則下列判斷正確的是（　　）

A．M點場強為零，N點電勢為零 B．M點電勢為零，N點場強為零
C．帶正電，帶負電，且電荷量較大 D．帶負電，帶正電，且電荷量較小
8．（2023·福建龍巖·統考模擬預測）如圖所示，帶電絕緣體球的球心為O，用r表示球內、外各點到球心的距離，其中A、B、C位置離球心的距離分別為、、，用表示球內、外各點電勢，其圖像如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A．該絕緣體球帶負電 B．A點的電場強度小于B點的電場強度
C．B點的電場強度大小為 D．負點電荷在B點的電勢能比在C點的電勢能小
9．（多選）（2023·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）空間中有兩個固定點電荷A和B，帶電荷量的絕對值分別為QA和QB，以點電荷A、B連線上某點為原點，以點電荷A和B所在的直線為x軸建立直角坐標系，分別作出部分和圖像，如圖所示，無窮遠處電勢為零．則下列說法正確的是（　　）
A．A為正點電荷，B為負點電荷，且QA>QB B．A為負點電荷，B為正點電荷，且QA> QB
C．1是圖像，2是圖像 D．1是圖像，2是圖像
10．（2023·云南昆明·云南師大附中校考模擬預測）如圖所示，桿上兩點固定兩根繩子，兩點的間距為，繩1的長度為，繩子另一端共同系一帶電量為、質量為的小球，在豎直向上的勻強電場中以某一角速度隨桿做勻速圓周運動可以使繩子1、2均處于繃直狀態；如果撤去電場，小球以同樣的角速度隨桿做勻速圓周運動時的圓心剛好是點。重力加速度大小為，求：
（1）小球做勻速圓周運動的角速度；
（2）保持角速度大小不變，且可以使繩子1、2均處于繃直狀態，求勻強電場的場強取值范圍。

【能力提高練】
1．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）某電場等勢面分布情況如圖所示，A、B分別為場中兩點，一帶電粒子在此電場中的軌跡如虛線所示，下列判斷正確的是（　　）
A．帶電粒子帶負電
B．帶電粒子在B點的加速度大于在A點的加速度
C．帶電粒子運動到B點的速度大于在A點的速度
D．負的點電荷在B點由靜止釋放，只在電場力的作用下電荷將沿著等勢面e運動
2．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）如圖所示，其空中有一足夠大的水平向右的勻強電場，質量均為、帶電量分別為和的兩小球同時從點以速度斜向右上方射入勻強電場中，方向與水平方向成，A、B（圖中末畫出）兩點分別為兩小球運動軌跡的最高點，帶正電的小球經過A點的速度大小仍然為，不考慮兩球間的庫侖力。下列說法錯誤的是（　　）

A．兩小球同時到A、B兩點
B．帶負電的小球經過點的速度大小也為
C．兩小球到達A、B兩點過程中電勢能變化量之比為
D．與水平距離之比為
3．（2023·甘肅·統考三模）如圖所示，一對面積較大的平行板電容器AB水平放置，A板帶正電荷，B板接地，P為兩板中點，再使A、B分別以中心點O、O 為軸在豎直平面內轉過一個相同的小角度θ，下列結論正確的是（　　）

A．電容器AB的電容不變 B．兩板間電場強度變大
C．兩板間的P點電勢增大 D．兩板間的P點電勢降低
4．（2023·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）如圖所示，一長為L的絕緣輕繩一端系著質量為m、帶電荷量為+q的小球（可視為質點）、另一端固定在O點，整個空間存在與豎直方向夾角為的勻強電場。小球繞O點在豎直面ACBD內做圓周運動，其中AB水平，CD豎直，E、F連線與電場平行且經過O點，小球運動到A點時速度最小，為，g為重力加速度，則下列說法正確的是（　　）

A．勻強電場的電場強度大小為 B．小球從A點運動到B點，合力做功為4mgL
C．小球在B點時輕繩的拉力大小為6mg D．小球運動到E點時機械能最小
5．（多選）（2023·湖南長沙·長沙一中校考二模）如圖所示，兩個等大的均勻帶電圓環，帶電量分別為和，圓心分別為A、C。將它們平行放置，AC與環面垂直，B是AC的中點。現有一個質量為m，帶電量為的微粒（重力不計）在電場中運動，關于微粒運動，下列判斷正確的是（　　）

A．若使微粒從B點開始沿垂直AC的直線運動，則電勢能不變
B．若微粒從A點由靜止釋放，則微粒在AC間做往返運動
C．若微粒從A點由靜止釋放，則微粒的電勢能先減小后增大，在C點時電勢能最小
D．若微粒從A點由靜止釋放，則微粒的最終速度與經過B點時的速度相等
6．（多選）（2023·全國·校聯考模擬預測）如圖，為空間中的八個點，八個點恰好位于正方體的八個頂點。勻強電場恰好沿正方體的對角線方向，已知正方體邊長為間的電勢差為，下列關于間電勢高低及電場強度大小分析正確的是（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·江西九江·統考三模）如圖所示，豎直平面內有一個半徑為R的圓周，A、D兩點為其水平直徑的兩端，C、F兩點為其豎直直徑的兩端。空間有與圓周平面平行的勻強電場，在圓周上的B點有一粒子源，在圓周平面內，以相同大小的初速度v0沿各個方向發射質量為m的帶相同正電荷的微粒。對比到達圓周上各點的微粒的能量，發現到達D點的微粒機械能最大，到達E點的微粒動能最大。已知重力加速度為g，則（ ）

A．電場的方向沿半徑O到E B．微粒所受電場力大小為
C．微粒動能的最小值為 D．微粒動能的最大值為
8．（2023·海南·統考模擬預測）如圖所示，曲線為一帶電粒子僅在電場力作用下通過一個固定正點電荷產生的電場區域時的運動軌跡，為這條軌跡上的三個點，且帶電粒子在點所受的電場力方向與速度方向垂直，由此可知下列說法正確的是（　　）

A．粒子在兩點的加速度大小 B．粒子在兩點的加速度大小
C．兩點的電場強度大小 D．兩點的電勢
9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）如圖甲所示，圓形區域存在與圓平面平行的勻強電場E（圖中未畫出），圓的兩條直徑AB與CD間的夾角為，從A點向圓形平面內不同方向發射速率相同的質子（不計質子間相互作用），發現從圓邊界射出的粒子中D點射出的粒子速度最大。以A為坐標原點。沿AB方向建立x坐標軸，B點的坐標為，x軸上從A到B的電勢變化如圖乙所示，則（　　）

A．CD間電勢差 B．CD間電勢差
C．電場強度 D．電場強度
10．（2023·云南保山·統考三模）如圖所示，圓心為O、半徑為R的圓形區域內存在一個平行于該區域的勻強電場，MN為圓的一條直徑。質量為m、電荷量為+q的粒子從M點以速度v射入電場，速度方向與MN夾角θ=45°，一段時間后粒子運動到N點，速度大小也為v，不計粒子重力，規定M點電勢為零。求：
（1）勻強電場的場強大小；
（2）粒子電勢能的最大值；
（3）僅改變粒子速度大小，當粒子離開圓形區域的電勢能最小時，粒子射入電場的速度大小。

【高考通關練】
1．（2023·廣東·統考高考真題）電子墨水是一種無光源顯示技術，它利用電場調控帶電顏料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈現出不同顏色．透明面板下有一層膠囊，其中每個膠囊都是一個像素．如圖所示，膠囊中有帶正電的白色微粒和帶負電的黑色微粒．當膠囊下方的電極極性由負變正時，微粒在膠囊內遷移（每個微粒電量保持不變），像素由黑色變成白色．下列說法正確的有（ ）

A．像素呈黑色時，黑色微粒所在區域的電勢高于白色微粒所在區域的電勢
B．像素呈白色時，黑色微粒所在區域的電勢低于白色微粒所在區域的電勢
C．像素由黑變白的過程中，電場力對白色微粒做正功
D．像素由白變黑的過程中，電場力對黑色微粒做負功
2．（2023·遼寧·統考高考真題）圖（a）為金屬四極桿帶電粒子質量分析器的局部結構示意圖，圖（b）為四極桿內垂直于x軸的任意截面內的等勢面分布圖，相鄰兩等勢面間電勢差相等，則（　　）

A．P點電勢比M點的低 B．P點電場強度大小比M點的大
C．M點電場強度方向沿z軸正方向 D．沿x軸運動的帶電粒子，電勢能不變
3．（2023·全國·統考高考真題）在O點處固定一個正點電荷，P點在O點右上方。從P點由靜止釋放一個帶負電的小球，小球僅在重力和該點電荷電場力作用下在豎直面內運動，其一段軌跡如圖所示。M、N是軌跡上的兩點，OP > OM，OM = ON，則小球（ ）

A．在運動過程中，電勢能先增加后減少 B．在P點的電勢能大于在N點的電勢能
C．在M點的機械能等于在N點的機械能 D．從M點運動到N點的過程中，電場力始終不做功
4．（2022·北京·高考真題）如圖所示，真空中平行金屬板M、N之間距離為d，兩板所加的電壓為U。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M板由靜止釋放。不計帶電粒子的重力。
（1）求帶電粒子所受的靜電力的大小F；
（2）求帶電粒子到達N板時的速度大小v；
（3）若在帶電粒子運動距離時撤去所加電壓，求該粒子從M板運動到N板經歷的時間t。
5．（2022·遼寧·高考真題）如圖所示，光滑水平面和豎直面內的光滑圓弧導軌在B點平滑連接，導軌半徑為R。質量為m的帶正電小球將輕質彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，脫離彈簧后經過B點時的速度大小為，之后沿軌道運動。以O為坐標原點建立直角坐標系，在區域有方向與x軸夾角為的勻強電場，進入電場后小球受到的電場力大小為。小球在運動過程中電荷量保持不變，重力加速度為g。求：
（1）彈簧壓縮至A點時的彈性勢能；
（2）小球經過O點時的速度大小；
（3）小球過O點后運動的軌跡方程。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑