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2008高考數學概念方法題型易誤點技巧總結（二）
函　數
1．映射: AB的概念。
在理解映射概念時要注意：
⑴A中元素必須都有象且唯一；
⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如
（1）設是集合到的映射，下列說法正確的是　A、中每一個元素在中必有象 B、中每一個元素在中必有原象　　C、中每一個元素在中的原象是唯一的 　D、是中所在元素的象的集合（答：A）；
（2）點在映射的作用下的象是，則在作用下點的原象為點________（答：（2，－1））；
（3）若，，，則到的映射有 個，到的映射有 個，到的函數有 個（答：81,64,81）；
（4）設集合，映射滿足條件“對任意的，是奇數”，這樣的映射有____個（答：12）；
（5）設是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則一定是_____（答：或{1}）.
2．函數: AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數集！據此可知函數圖像與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。如
（1）已知函數，，那么集合中所含元素的個數有 個（答： 0或1）；
（2）若函數的定義域、值域都是閉區間，則＝ （答：2）
3．同一函數的概念。構成函數的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數。如若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“天一函數”，那么解析式為，值域為{4，1}的“天一函數”共有______個（答：9）
4．求函數定義域的常用方法（在研究函數問題時要樹立定義域優先的原則）：
（1）根據解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數中且，三角形中, 最大角，最小角等。如
（1）函數的定義域是____(答：)；
（2）若函數的定義域為R，則_______(答：)；
（3）函數的定義域是，，則函數的定義域是__________(答：)；
（4）設函數，①若的定義域是R，求實數的取值范圍；②若的值域是R，求實數的取值范圍（答：①；②）
（2）根據實際問題的要求確定自變量的范圍。
（3）復合函數的定義域：若已知的定義域為,其復合函數的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當于當時，求的值域（即的定義域）。如
（1）若函數的定義域為，則的定義域為__________（答：）；
（2）若函數的定義域為，則函數的定義域為________（答：[1,5]）．
5．求函數值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函數（二次函數在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關系），如
（1）求函數的值域（答：[4,8]）；
（2）當時，函數在時取得最大值，則的取值范圍是___（答：）；（3）已知的圖象過點（2,1），則的值域為______（答：[2, 5]）
（2）換元法――通過換元把一個較復雜的函數變為簡單易求值域的函數，其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，如
（1）的值域為_____（答：）；
（2）的值域為_____（答：）（令，。運用換元法時，要特別要注意新元的范圍）；
（3）的值域為____（答：）；
（4）的值域為____（答：）；
（3）函數有界性法――直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定所求函數的值域，最常用的就是三角函數的有界性，如
求函數，，的值域（答： 、（0,1）、）；
（4）單調性法――利用一次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等函數的單調性，如求，，的值域為______（答：、、）；
（5）數形結合法――函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如
（1）已知點在圓上，求及的取值范圍（答：、）；
（2）求函數的值域（答：）；
（3）求函數及的值域（答：、）注意：求兩點距離之和時，要將函數式變形，使兩定點在軸的兩側，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在軸的同側。
（6）判別式法――對分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：
①型，可直接用不等式性質，如求的值域（答：）
②型，先化簡，再用均值不等式，如
（1）求的值域（答：）；
（2）求函數的值域（答：）
③型，通常用判別式法；如已知函數的定義域為R，值域為[0，2]，求常數的值（答：）
④型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域（答：）
（7）不等式法――利用基本不等式求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如
設成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是____________.（答：）。
（8）導數法――一般適用于高次多項式函數，如求函數，的最小值。（答：－48）
提醒：（1）求函數的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數的最值與值域之間有何關系？
6．分段函數的概念。分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數，它是一類較特殊的函數。在求分段函數的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集。如
（1）設函數，則使得的自變量的取值范圍是__________（答：）；
（2）已知，則不等式的解集是________（答：）
7．求函數解析式的常用方法：
（1）待定系數法――已知所求函數的類型（二次函數的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：，要會根據已知條件的特點，靈活地選用二次函數的表達形式）。如
已知為二次函數，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。（答：）
（2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式。如
（1）已知求的解析式（答：）；
（2）若，則函數=_____（答：）；
（3）若函數是定義在R上的奇函數，且當時，，那么當時，=________（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。
（3）方程的思想――已知條件是含有及另外一個函數的等式，可抓住等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關于及另外一個函數的方程組。如
（1）已知，求的解析式（答：）；
（2）已知是奇函數，是偶函數，且+= ,則= __（答：）。
8．反函數：
（1）存在反函數的條件是對于原來函數值域中的任一個值，都有唯一的值與之對應，故單調函數一定存在反函數，但反之不成立；偶函數只有有反函數；周期函數一定不存在反函數。如
函數在區間[1, 2]上存在反函數的充要條件是
A、　B、　　C、　　D、　（答：D）
（2）求反函數的步驟：①反求；②互換 、；③注明反函數的定義域（原來函數的值域）。注意函數的反函數不是，而是。如
設.求的反函數（答：）．
（3）反函數的性質：
①反函數的定義域是原來函數的值域，反函數的值域是原來函數的定義域。如
單調遞增函數滿足條件= x ，其中≠ 0 ，若的反函數的定義域為 ，則的定義域是____________（答：[4,7]）.
②函數的圖象與其反函數的圖象關于直線對稱，注意函數的圖象與的圖象相同。如
（1）已知函數的圖象過點(1,1),那么的反函數的圖象一定經過點_____（答：（1,3））；
（2）已知函數，若函數與的圖象關于直線對稱，求的值（答：）；
③。如
（1）已知函數，則方程的解______（答：1）；
（2）設函數f(x)的圖象關于點（1,2）對稱，且存在反函數，f (4)＝0，則＝　 （答：－2）
④互為反函數的兩個函數具有相同的單調性和奇函數性。如
已知是上的增函數，點在它的圖象上，是它的反函數，那么不等式的解集為________（答：（2,8））；
⑤設的定義域為A，值域為B，則有，
，但。
9．函數的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函數的定義域的特征：定義域必須關于原點對稱！為此確定函數的奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱。如若函數，
為奇函數，其中，則的值是 （答：0）；
（2）確定函數奇偶性的常用方法（若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：
①定義法：如判斷函數的奇偶性____（答：奇函數）。
②利用函數奇偶性定義的等價形式：或（）。如
判斷的奇偶性___.（答：偶函數）
③圖像法：奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數的圖象關于軸對稱。
（3）函數奇偶性的性質：
①奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
②如果奇函數有反函數，那么其反函數一定還是奇函數.
③若為偶函數，則.如
若定義在R上的偶函數在上是減函數，且=2，則不等式的解集為______.（答：）
④若奇函數定義域中含有0，則必有.故是為奇函數的既不充分也不必要條件。如若為奇函數，則實數＝____（答：1）.
⑤定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函數的和（或差）”。如設是定義域為R的任一函數， ，。①判斷與的奇偶性； ②若將函數，表示成一個奇函數和一個偶函數之和，則＝____（答：①為偶函數，為奇函數；②＝）
⑥復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.
⑦既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.
10．函數的單調性。
（1）確定函數的單調性或單調區間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號）、導數法（在區間內，若總有，則為增函數；反之，若在區間內為增函數，則，請注意兩者的區別所在。如已知函數在區間上是增函數，則的取值范圍是____(答：）)；
②在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意
型函數的圖象和單調性在解題中的運用：增區間為，減區間為.如
（1）若函數 在區間（－∞，4] 上是減函數，那么實數的取值范圍是______(答：）)；
（2）已知函數在區間上為增函數，則實數的取值范圍_____（答：）；
（3）若函數的值域為R，則實數的取值范圍是______(答：且）)；
③復合函數法：復合函數單調性的特點是同增異減，如函數的單調遞增區間是________(答：（1,2）)。
（2）特別提醒：求單調區間時，一是勿忘定義域，如若函數在區間上為減函數，求的取值范圍（答：）；二是在多個單調區間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函數單調性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大小；②解不等式；③求參數范圍）.如已知奇函數是定義在上的減函數,若，求實數的取值范圍。（答：）
11．常見的圖象變換
①函數的圖象是把函數的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如設的圖像與的圖像關于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移1個單位得到，則為__________(答： )
②函數(的圖象是把函數的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如
（1）若，則函數的最小值為____(答：2)；
（2）要得到的圖像，只需作關于_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到(答：；右)；
（3）函數的圖象與軸的交點個數有____個(答：2)
③函數+的圖象是把函數助圖象沿軸向上平移個單位得到的；
④函數+的圖象是把函數助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如
將函數的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關于直線對稱,那么 　　(答：C)
⑤函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如
（1）將函數的圖像上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數為_____(答：)；
（2）如若函數是偶函數，則函數的對稱軸方程是_______(答：)．
⑥函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.
12．函數的對稱性。
①滿足條件的函數的圖象關于直線對稱。如
已知二次函數滿足條件且方程有等根，則＝_____(答：)；
②點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為；
③點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為；
④點關于原點的對稱點為；函數關于原點的對稱曲線方程為；
⑤點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為
；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。如己知函數,若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數解析式是___________（答：）；
⑥曲線關于點的對稱曲線的方程為。如若函數與的圖象關于點（-2，3）對稱，則＝______（答：）
⑦形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線
(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數確定)，對稱中心是點。如已知函數圖象與關于直線對稱，且圖象關于點（2，－3）對稱，則a的值為______（答：2）
⑧的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到。如
（1）作出函數及的圖象；
（2）若函數是定義在R上的奇函數，則函數的圖象關于____對稱 （答：軸）　　
提醒：
（1）從結論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質上是利用代入法轉化為求點的對稱問題；
（2）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；
（3）證明圖像與的對稱性，需證兩方面：
①證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上；
②證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上。如
（1）已知函數。求證：函數的圖像關于點成中心對稱圖形；
（2）設曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動單位長度后得曲線。①寫出曲線的方程（答：）；②證明曲線C與關于點對稱。
13．函數的周期性。
（1）類比“三角函數圖像”得：
①若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為；
②若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數，且一周期為；
③如果函數的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸，則函數必是周期函數，且一周期為；
如已知定義在上的函數是以2為周期的奇函數，則方程在上至少有__________個實數根（答：5）
（2）由周期函數的定義“函數滿足，則是周期為的周期函數”得：
①函數滿足，則是周期為2的周期函數；
②若恒成立，則；
③若恒成立，則.
如(1) 設是上的奇函數，，當時，，則等于_____(答：)；
(2)定義在上的偶函數滿足，且在上是減函數，若是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系為_________(答：)；
（3）已知是偶函數，且=993，=是奇函數，求的值(答：993)；
（4）設是定義域為R的函數，且，又，則= (答：)
14．指數式、對數式：
，，，，，，，，，，， 。如的值為________(答：)
15．指數、對數值的大小比較：
（1）化同底后利用函數的單調性；
（2）作差或作商法；
（3）利用中間量（0或1）；
（4）化同指數（或同真數）后利用圖象比較。
16．函數的應用。
（1）求解數學應用題的一般步驟：
①審題――認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景，尋找各量之間的內存聯系；
②建模――通過抽象概括，將實際問題轉化為相應的數學問題，別忘了注上符合實際意義的定義域；
③解模――求解所得的數學問題；
④回歸――將所解得的數學結果，回歸到實際問題中去。
（2）常見的函數模型有：
①建立一次函數或二次函數模型；
②建立分段函數模型；
③建立指數函數模型；
④建立型。
17. 抽象函數：抽象函數通常是指沒有給出函數的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函數問題。求解抽象函數問題的常用方法是：
（1）借鑒模型函數進行類比探究。幾類常見的抽象函數 ：
①正比例函數型： ---------------；
②冪函數型： --------------，；
③指數函數型： ------------，；
④對數函數型： -----，；
⑤三角函數型： ----- 。如已知是定義在R上的奇函數，且為周期函數，若它的最小正周期為T，則____（答：0）
（2）利用函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）進行演繹探究：如
（1）設函數表示除以3的余數，則對任意的，都有　A、 B、 C、 D、（答：A）；
（2）設是定義在實數集R上的函數，且滿足，如果，，求（答：1）；
（3）如設是定義在上的奇函數，且，證明：直線是函數圖象的一條對稱軸；
（4）已知定義域為的函數滿足，且當時，單調遞增。如果，且，則的值的符號是____（答：負數）
（3）利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如
（1）若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數）；
（2）若，滿足，則的
奇偶性是______（答：偶函數）；
（3）已知是定義在上的奇函數，當時，的圖像如右圖所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；
（4）設的定義域為，對任意，都有，且時，，又，①求證為減函數；②解不等式.（答：）．

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