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2008屆高考數學概念方法題型易誤點技巧總結（八）
圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩個定義：
（1）第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F的距離的和等于常數，且此常數一定要大于，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F的距離的差的絕對值等于常數，且此常數一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F為端點的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。
如（1）已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A． B． C． D．（答：C）；
（2）方程表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支）
（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉化。如已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：
（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數方程，其中為參數），焦點在軸上時＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同號，A≠B）。
如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為____（答：）；（2）若，且，則的最大值是____，的最小值是___（答：）
（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：＝1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號）。
如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_______（答：）；
（2）設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_______（答：）
（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。
3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：
（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是__（答：）
（2）雙曲線：由,項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。
特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；
（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。
4.圓錐曲線的幾何性質：
（1）橢圓（以（）為例）：
①范圍：；
②焦點：兩個焦點；
③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；
④準線：兩條準線； ⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。
如（1）若橢圓的離心率，則的值是__（答：3或）；
（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為__（答：）
（2）雙曲線（以（）為例）：
①范圍：或；
②焦點：兩個焦點；
③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；
④準線：兩條準線；
⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；
⑥兩條漸近線：。
如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于______（答：或）；（2）雙曲線的離心率為，則= （答：4或）；
（3）設雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e∈[,2],則兩條漸近線夾角θ的取值范圍
是________（答：）；
（3）拋物線（以為例）：
①范圍：；
②焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；
③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；
④準線：一條準線；
⑤離心率：，拋物線。如設，則拋物線的焦點坐標為________（答：）；
5、點和橢圓（）的關系：
（1）點在橢圓外；
（2）點在橢圓上＝1；
（3）點在橢圓內
6．直線與圓錐曲線的位置關系：
（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。
如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_______（答：(-,-1)）；
（2）直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
（3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條（答：3）；
（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；
（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。
特別提醒：
（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；
（2）過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：
①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；
②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；
③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；
④P為原點時不存在這樣的直線；
（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。
如（1）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有______（答：2）；
（2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______（答：）；
（3）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有____條（答：3）；
（4）對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線C的位置關系是_______（答：相離）；
（5）過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則_______（答：1）；
（6）設雙曲線的右焦點為，右準線為，設某直線交其左支、右支和右準線分別于，則和的大小關系為___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；
（7）求橢圓上的點到直線的最短距離（答：）；
（8）直線與雙曲線交于、兩點。①當為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？②當為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點？（答：①；②）；
7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應的準線的距離。
如（1）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準線的距離為____（答：）；
（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于____；
（3）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標為_____（答：）；
（4）點P在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為_______（答：）；
（5）拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為______（答：2）；
（6）橢圓內有一點，F為右焦點，在橢圓上有一點M，使 之值最小，則點M的坐標為_______（答：）；
8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中，
①＝，且當即為短軸端點時，最大為＝；
②，當即為短軸端點時，的最大值為bc；
對于雙曲線的焦點三角形有：
①；
②。
如（1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為________（答：6）；
（2）設P是等軸雙曲線右支上一點，F1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為 （答：）；
（3）橢圓的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當·<0時，點P的橫坐標的取值范圍是 （答：）；
（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝，F1、F2是它的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且是與等差中項，則＝__________（答：）；
（5）已知雙曲線的離心率為2，F1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，．求該雙曲線的標準方程（答：）；
9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：
（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；
（2）設AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF；
（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PA⊥PB；
（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。　　　　
10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，若弦AB所在直線方程設為，則＝。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。
如（1）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；
（2）過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標原點，則ΔABC重心的橫坐標為_______（答：3）；
11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。
如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；
（2）已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______（答：）；
（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線對稱（答：）；
特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！
12．你了解下列結論嗎？
（1）雙曲線的漸近線方程為；
（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數，≠0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為_______（答：）
（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準距（焦點到相應準線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準距為；
（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線的焦點弦為AB，，則①；②
（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經過定點
13．動點軌跡方程：
（1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；
（2）求軌跡方程的常用方法：
①直接法：直接利用條件建立之間的關系；如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程．（答：或）；
②待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數。如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為 （答：）；　
③定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；
如(1)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=600，則動點P的軌跡方程為 （答：）；
（2）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______ （答：）；
(3) 一動圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動圓圓心的軌跡為 （答：雙曲線的一支）；
④代入轉移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為__________（答：）；
⑤參數法：當動點坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程）。
如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點，使，求點的軌跡。（答：）；
（2）若點在圓上運動，則點的軌跡方程是____（答：）；
（3）過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是________（答：）；
注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化。
如已知橢圓的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足（1）設為點P的橫坐標，證明；（2）求點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由. （答：（1）略；（2）；（3）當時不存在；當時存在，此時∠F1MF2＝2）
②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.
③在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.
④如果在一條直線上出現“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率或向量”為橋梁轉化.
14、解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：
（1） 給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交,等于已知過的中點;
（3）給出,等于已知是的中點;
（4）給出,等于已知與的中點三點共線;
（5） 給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數
,等于已知三點共線.
（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即
（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,
（8）給出,等于已知是的平分線/
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；
（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
（14）在中，給出等于已知通過的內心；
（15）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；
（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;

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