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2008高考數(shù)學概念方法題型易誤點技巧總結（十）
排列、組合和二項式定理
1.排列數(shù)中、組合數(shù)中.
(1)排列數(shù)公式
；。
如（1）1！+2！+3！+…+n！（）的個位數(shù)字為 （答：3）；
（2）滿足的＝ （答：8）
(2)組合數(shù)公式
；規(guī)定，.
如已知，求 n，m的值（答：m＝n＝2）
(3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質：
①；
②；
③；
④；
⑤；⑥.
2.解排列組合問題的依據是：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結果都不是最后的結果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關聯(lián)的），有序排列，無序組合．
如（1）將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有 種（答：）；
（2）從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有 種（答：70）；
（3）從集合和中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是___（答：23）；
（4）72的正約數(shù)（包括1和72）共有 個（答：12）；
（5）的一邊AB上有4個點，另一邊AC上有5個點，連同的頂點共10個點，以這些點為頂點，可以構成_____個三角形（答：90）；
（6）用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有 種不同涂法（答：480）；
（7）同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有 種（答：9）；
（8）是集合到集合的映射，且
，則不同的映射共有 個（答：7）；
（9）滿足的集合A、B、C共有 組（答：）
3.解排列組合問題的方法有：
（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。
如（1）某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內，則不同的裝飾效果有_____種（答：300）；
（2）某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字（如2816）的方法設計密碼，當積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0. 這樣設計出來的密碼共有_______種（答：100）；
（3）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)_______個（答：156）；（4）某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_____（答：6）；
（5）四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。①恰有兩個空盒的放法有__________種；②甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有_________種（答：84；96）；
（6）設有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有_________種（答：31）
（2）間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）)。如在平面直角坐標系中，由六個點(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以確定三角形的個數(shù)為_____（答：15）。
（3）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。
如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_____（答：2880）；
（2）某人射擊８槍，命中４槍，４槍命中中恰好有３槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_____（答：20）；
（3）把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是_____（答：144）
（4）不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。
如（1）3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_______種（答：24）；
（2）某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_____（答：42）。
（5）多排問題單排法。如若2n個學生排成一排的排法數(shù)為x，這2 n個學生排成前后兩排，每排各n個學生的排法數(shù)為y，則x,y的大小關系為_____（答：相等）；
（6）多元問題分類法。
如（1）某化工廠實驗生產中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實驗方案共有_______種（答：15）；
（2）某公司新招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有______種（答：36）；
（3）9名翻譯中，6個懂英語，4個懂日語，從中選撥5人參加外事活動，要求其中3人擔任英語翻譯，選撥的方法有____________種（答：90）；
（7）有序問題組合法。
如（1）書架上有3本不同的書，如果保持這些書的相對順序不便，再放上2本不同的書，有 種不同的放法（答：20）；
（2）百米決賽有6名運動A、B、C、D、E、F參賽，每個運動員的速度都不同，則運動員A比運動員F先到終點的比賽結果共有_____種（答：360）；
（3）學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績且滿足，則這四位同學考試成績的所有可能情況有_____種（答：15）；
（4）設集合，對任意，有，則映射的個數(shù)是_____（答：）；
（5）如果一個三位正整數(shù)形如“”滿足，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個數(shù)為_____（答：240）；
（6）離心率等于(其中且)的不同形狀的的雙曲線的個數(shù)為_____（答：26）。
（8）選取問題先選后排法。
如某種產品有4只次品和6只正品，每只產品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_____（答：576）。
（9）至多至少問題間接法。
如從7名男同學和5名女同學中選出5人，至少有2名女同學當選的選法有_______種（答：596）
（10）相同元素分組可采用隔板法。
如（1）10個相同的球各分給3個人，每人至少一個，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？（答：36；15）；
（2）某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？（答：84）
4、分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！。如4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學校去為學生體檢，每所學校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有_______種（答：37440）；
5.二項式定理：，其中組合數(shù)叫做第r+1項的二項式系數(shù)；展開式共有n+1項，其中第r+l項稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項.
特別提醒：
（1）項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第ｒ＋１項的二項式系數(shù)為，第ｒ＋１項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；
（2）當n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；
（3）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？
如（1）的展開式中常數(shù)項是____（答：14）；
（2）的展開式中的的系數(shù)為______ （答：330）；
（3）數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是____（答：3）；
（4）展開后所得的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有____項（答：7）；
（5）若的值能被5整除，則的可取值的個數(shù)有____個（答：5）；
（6）若二項式按降冪展開后，其第二項不大于第三項，則 的取值范圍是 （答：）；
（7）函數(shù)的最大值是_______（答：1024）.
6、二項式系數(shù)的性質：
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；
（2）增減性與最大值：當時，二項式系數(shù)C的值逐漸增大，當時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數(shù)時，中間一項（第＋1項）的二項式系數(shù)取得最大值。當n為奇數(shù)時，中間兩項（第和＋1項）的二項式系數(shù)相等并同時取最大值。
如（1）在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為______（答：－426）；
（2）在的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則＝____（答：17,18或19）。
（3）二項式系數(shù)的和：；。
如（1）如果，則 （答：128）；
（2）化簡（答：）
7、賦值法：應用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項”系數(shù)和為。
如（1）已知，則等于_____（答：）；
（2），則＋
＝_____（答：2004）；
（3）設,則_____（答：）。
8、系數(shù)最大項的求法：設第項的系數(shù)最大，由不等式組確定。
如求的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項和系數(shù)最大的項。（答：系數(shù)絕對值最大的項為，系數(shù)最大的項為）
9、二項式定理的應用：二項式定理的主要應用有近似計算、證明整除性問題或求余數(shù)、應用其首尾幾項進行放縮證明不等式。
如（1）(0.998)5精確到0.001近似值為________（答：0.990）；
（2）被4除所得的余數(shù)為_____（答：0）；
（3）今天是星期一，10045天后是星期_____（答：二）；
（4）求證：能被64整除；
（5）求證：

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