資源簡介

2008高考數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點技巧總結(jié)（十三）
導(dǎo) 數(shù)
1、導(dǎo)數(shù)的背景：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。
如一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為_____（答：5米/秒）
2、導(dǎo)函數(shù)的概念：如果函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，對于開區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一個，都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù) ，這樣在開區(qū)間（a,b）內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)， 記作 ，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)。
3、求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟：
（1）求函數(shù)的改變量；
（2）求平均變化率；
（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。
4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即曲線在點處的切線的斜率是，相應(yīng)地切線的方程是。
特別提醒：
（1）在求曲線的切線方程時，要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線，還是過某點的切線：曲線上某點處的切線只有一條，而過某點的切線不一定只有一條，即使此點在曲線上也不一定只有一條；
（2）在求過某一點的切線方程時，要首先判斷此點是在曲線上，還是不在曲線上，只有當(dāng)此點在曲線上時，此點處的切線的斜率才是。
如（1）P在曲線上移動，在點P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是______（答：）；
（2）直線是曲線的一條切線,則實數(shù)的值為_______（答：－3或1）；
（3）已知函數(shù)（為常數(shù)）圖象上處的切線與的夾角為，則點的橫坐標(biāo)為_____（答：0或）；
（4）曲線在點處的切線方程是______________（答：）；
（5）已知函數(shù)，又導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于。①求的值；②求過點的曲線的切線方程（答：①1；②或）。
5、導(dǎo)數(shù)的運算法則：
（1）常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（C為常數(shù)）；　
（2），與此有關(guān)的如下：；
（3）若有導(dǎo)數(shù)，則①；②。
如（1）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則_____（答：）；
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為__________（答：）；
（3）若對任意，，則是______（答：）
6、多項式函數(shù)的單調(diào)性：
（1）多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：
①若,則為增函數(shù)；若,則為減函數(shù)；若恒成立,則為常數(shù)函數(shù)；若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù)。
②若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增，則，反之等號不成立；若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，則，反之等號不成立。
如（1）函數(shù)，其中為實數(shù)，當(dāng)時，的單調(diào)性是______（答：增函數(shù)）；
（2）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍______（答：）；
（3）已知函數(shù)為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是____________（答：）；
（4）已知，，設(shè)，試問是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)，并且在上是增函數(shù)？（答：）
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：
（1）求；
（2）求方程的根，設(shè)根為；
（3）將給定區(qū)間分成n+1個子區(qū)間，再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷的符號，由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性。
如設(shè)函數(shù)在處有極值，且，求的單調(diào)區(qū)間。（答：遞增區(qū)間（－1,1），遞減區(qū)間）
7、函數(shù)的極值：
（1）定義：設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值。記作＝，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極小值。記作＝。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。
（2）求函數(shù)在某個區(qū)間上的極值的步驟：
（i）求導(dǎo)數(shù)；
（ii）求方程的根；
（iii）檢查在方程的根的左右的符號：“左正右負(fù)”在處取極大值；“左負(fù)右正”在處取極小值。
特別提醒：
（1）是極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。
（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！
如（1）函數(shù)的極值點是 A、極大值點 B、極大值點 C、極小值點 D、極小值點（答：C）；
（2）已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)的取值范圍是_____（答：或）；
（3）函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為____（答：－7）；
（4）已知函數(shù)在區(qū)間[－1,2 ]上是減函數(shù)，那么b＋c有最___值___（答：大，）
8、函數(shù)的最大值和最小值：
（1）定義：函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”。
（2）求函數(shù)在[]上的最大值與最小值的步驟：
（1）求函數(shù)在（）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與，比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。
如（1）函數(shù)在[0，3]上的最大值、最小值分別是______（答：5；）；
（2）用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m。那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積。（答：高為1.2米時，容積最大為）
特別注意：
（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時，要注意列表！
（2）要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值)，研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題。
如（1）是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是 ( 答：D )
（2）方程的實根的個數(shù)為______（答：1）；
（3）已知函數(shù)，拋物線，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在拋物線的上方，求的取值范圍（答：）。

展開更多......

收起↑