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空間向量與立體幾何解答題精選
1 已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點
（Ⅰ）證明：面面；
（Ⅱ）求與所成的角；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的大小
證明：以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為

（Ⅰ）證明：因
由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面 又在面上，故面⊥面
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在上取一點，則存在使
要使
為
所求二面角的平面角
2 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形,
平面底面
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求面與面所成的二面角的大小
證明：以為坐標原點，建立如圖所示的坐標圖系
（Ⅰ）證明：不防設作，
則， ，
由得，又，因而與平面內兩條相交直線，都垂直 ∴平面
（Ⅱ）解：設為中點，則，
由
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小為
3 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側棱底面，，，， 為的中點
（Ⅰ）求直線與所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側面內找一點，使面，
并求出點到和的距離
解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則的坐標為、
、、、
、，
從而
設的夾角為，則
∴與所成角的余弦值為
（Ⅱ）由于點在側面內，故可設點坐標為，則
，由面可得，
∴
即點的坐標為，從而點到和的距離分別為
4 如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所
截面而得到的，其中
（Ⅰ）求的長； （Ⅱ）求點到平面的距離
解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
設
∵為平行四邊形，
（II）設為平面的法向量，
的夾角為，則
∴到平面的距離為
5 如圖，在長方體，中，，點在棱上移動 （1）證明：；
（2）當為的中點時，求點到面的距離；
（3）等于何值時，二面角的大小為
解：以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則
（1）
（2）因為為的中點，則，從而，
，設平面的法向量為，則
也即，得，從而，所以點到平面的距離為
（3）設平面的法向量，∴
由 令，
∴
依題意
∴（不合，舍去），
∴時，二面角的大小為
6 如圖，在三棱柱中，側面，為棱上異于的一點，，已知，求：
（Ⅰ）異面直線與的距離；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值
解：（I）以為原點，、分別為軸建立空間直角坐標系
由于，
在三棱柱中有
,
設

又側面，故 因此是異面直線的公垂線，
則，故異面直線的距離為
（II）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角
7 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是上
一點， 已知
求（Ⅰ）異面直線與的距離；
（Ⅱ）二面角的大小
解：（Ⅰ）以為原點，、、分別為
軸建立空間直角坐標系
由已知可得
設
由，
即 由，
又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線
,的距離為
（Ⅱ）作，可設 由得
即作于，設，
則
由，
又由在上得
因故的平面角的大小為向量的夾角
故 即二面角的大小為

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