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立體幾何中的最值問題四則
1. 用配方法求距離的最值
例1. 如圖1，正方形ABCD、ABEF邊長都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若。試求當a為何值時，MN的值最小。
圖1
分析：此題的解題關鍵是想用含a的代數式表示距離，再用配方法求最值。
解：過M作，垂足為H，連結NH，如圖1所示。
在正方形ABCD中，，
所以，
因為平面平面AE，
所以平面AE，即。
因為，
所以
即，
，
由余弦定理求得。
所以
當時，，即M、N分別移到AC、BF的中點時，MN的值最小，最小值為
2. 結合實際找最值位置
例2. 在一張硬紙上，摳去一個半徑為的圓洞，然后把此洞套在一個底面邊長為4，高為6的正三棱錐A—BCD上，并使紙面與錐面平行，則能穿過這張紙面的棱錐的高的最大值是________。
圖2
解：如圖2所示，假設硬紙上的圓洞剛好卡在B'C'D'處。設正三棱錐的頂點A在平面BCD上的射影為A'，在平面B'C'D'上的射影為O。
連結BA'、B'O并延長分別交CD、C'D'于E、E'點，則
平面平面BCD，
所以，
，
即。
又因為，
所以
又，
所以，
即能穿過這張紙面的棱錐的高的最大值是。
3. 利用函數的有界性求體積最值
例3. 如圖3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，當變化時，求三棱錐體積的最大值。
圖3
解：因為平面ABC
平面ABC，
所以
又因為，
所以平面PAC，
又平面PAC，
所以，
又，
所以平面PBC，即。
EF是AE在平面PBC上的射影，
因為，
所以，
即平面AEF。
在三棱錐中，
，
所以，
因為，
所以
因此，當時，取得最大值為。
4. 結合圖形列方程求解。
例4. 棱長為2cm的正方體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應該為多大？
圖4
解：過正方形對角線的截面圖如圖4所示。
，
設小球的半徑為r。
在，
，
所以，
解得，為所求。

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