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例析反函數的幾種題型及解法
反函數是高中數學中的重要概念之一，也是學生學習的難點之一。在歷年高考中也占有一定的比例。為了更好地掌握反函數相關的內容，本文重點分析關于反函數的幾種題型及其解法。
一. 反函數存在的充要條件類型
例1. （2004年北京高考）函數在區間上存在反函數的充要條件是（ ）
A. B.
C. D.
解析：因為二次函數不是定義域內的單調函數，但在其定義域的子區間或上是單調函數。
而已知函數在區間［1，2］上存在反函數
所以或者
即或
故選（C）
評注：函數在某一區間上存在反函數的充要條件是該函數在這一區間上是一一映射。特別地：如果二次函數在定義域內的單調函數，那么函數f（x）必存在反函數；如果函數f（x）不是定義域內的單調函數，但在其定義域的某個子區間上是單調函數，那么函數f（x）在這個子區間上必存在反函數。
二. 反函數的求法類型
例2. （2005年全國卷）函數的反函數是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：由可得，故
從解得
因
所以
即其反函數是
故選（B）。
評注：這種類型題目在歷年高考中比較常見。在求反函數的過程中必須注意三個問題：
（1）反函數存在的充要條件是該函數在某一區間上是一一映射；
（2）求反函數的步驟：①求原函數的值域，②反表示，即把x用y來表示，③改寫，即把x與y交換，并標上定義域。其中例3在反表示后存在正負兩種情況，由反函數存在的充要條件可知，只能根據函數的定義域（）來確定，再結合原函數的值域即可得出正確結論。另外，根據反函數的定義域即為原函數的值域，所以求反函數時應先求出原函數的值域，不應該直接求反函數的定義域。例如：求的反函數。
由可得
反表示解出
由應取
即
所以為其反函數。
（3）f（x）與互為反函數，對于函數來說，其反函數不是，而是。同理的反函數也不是，而是。
三. 求反函數定義域、值域類型
例3. （2004年北京春季）若為函數的反函數，則f－1（x）的值域為_________。
解析：通法是先求出f（x）的反函數，可求得f－1（x）的值域為，而利用反函數的值域就是原函數的定義域這條性質，立即得f－1（x）的值域為。
評注：這種類型題目可直接利用原函數的定義域、值域分別是反函數的值域和定義域這一性質求解。
四. 反函數的奇偶性、單調性類型
例4. 函數的反函數是（ ）
A. 奇函數，在（）上是減函數
B. 偶函數，在（）上是減函數
C. 奇函數，在（）上是增函數
D. 偶函數，在（）上是增函數
解析：因為在（）上是增函數，在（）上是減函數
所以在（）上是增函數
易知為奇函數
利用函數與f－1（x）具有相同的單調性，奇函數的反函數也為奇函數這兩條性質，立即選（C）。
五. 反函數求值類型
例5. （2005年湖南省高考）設函數f（x）的圖象關于點（1，2）對稱，且存在反函數，則___________。
解析：由，可知函數f（x）的圖象過點（4，0）。而點（4，0）關于點（1，2）的對稱點為（-2，4）。由題意知點（-2，4）也在函數f（x）的圖象上，即有，所以。
評注：此題是關于反函數求值的問題，但又綜合了函數圖象關于點的對稱問題。在反函數求值時經常要用到這條性質：當函數f（x）存在反函數時，若，則。
如（2004年湖南省高考）設f－1（x）是函數的反函數，若，則的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
分析：直接利用：若，則。
選（B）。
六. 反函數方程類型
例6. （2004年上海市高考）已知函數，則方程f－1（x）=4的解x=_____________。
解析：當函數f（x）存在反函數時，若，則。所以只需求出的值即為f－1（x）=4中的x的值。易知，所以即為所求的值。
評注：此題除了這種方法外，也可以用常規方法去求。即先求出反函數f－1（x）的解析式，再解方程f－1（x）=4，也可得。
七. 反函數不等式類型
例7. （2005年天津市高考）設f－1（x）是函數的反函數，則f－1（x）>1成立時x的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
解析：由，知函數f（x）在R上為增函數，所以f－1（x）在R上也為增函數。
故由f－1（x）>1，有
而
可得
故選（A）。
評注：此題除了這種方法外，也可以用常規方法去求，但比較繁瑣。而下面的題目選用常規方法解則更為簡便。
如（2004年湖南省高考）設f－1（x）是函數的反函數，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
分析：依題意知。畫出略圖，故選（A）。
八. 反函數的圖象類型
例8. （2004年福建省高考）已知函數的反函數是，則的圖象是（ ）
解析：由題意知
則
所以的圖象可由的圖象向右平移1個單位而得到。
故選（C）。
評注：解反函數的圖象問題，通常方法有：平移法，對稱法等。對稱法是指根據原、反函數的圖象關于直線對稱來求解；特殊地，若一個函數的反函數是它本身，則它的圖象關于直線y=x對稱，這種函數稱為自反函數。
九. 與反函數有關的綜合性類型
例9. （2003年黃岡市模考）設，f（x）是奇函數，且。
（1）試求f（x）的反函數f－1（x）的解析式及f－1（x）的定義域；
（2）設，若時，恒成立，求實數k的取值范圍。
解析：（1）因為f（x）是奇函數，且
所以
得
所以
可求得
令，反解出
從而
（2）因為，所以
由得
所以
即對恒成立
令
其在上為單調遞減函數
則
所以
又，故實數k的取值范圍是
評注：本題綜合了反函數與函數的奇偶性，換元法求函數的解析式，對數不等式的解法以及含參不等式在定區間上恒成立等知識，是一道綜合性較強的好題。

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