資源簡介

歷屆高考中的“隨機變量及其分布”試題選編（自我測試）
一、選擇題
1.(2007安徽理)以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間（）內(nèi)取值的概率，若隨機變量服從正態(tài)分布，則概率等于（ ）
（A）- （B） （C） （D）
2.（2007山東理）位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是.質(zhì)點P 移動5次后位于點的概率為（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.（2007浙江文）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即以先贏2局者為勝．根據(jù)經(jīng)驗，每局比賽中甲獲勝的概率為0．6，則本次比賽甲獲勝的概率是（ ）
(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648
4.（2007浙江理）已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（ ）
A． B． C． D，
5．（2006江西文）袋中有40個小球，其中紅色球16個、藍色球12個，白色球8個，黃色球4個，
從中隨機抽取10個球作成一個樣本，則這個樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6.（2004廣東）一臺X型號自動機床在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8000，有四臺這種型號的自動機床各自獨立工作，則在一小時內(nèi)至多2臺機床需要工人照看的概率是
（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728
7.(2004重慶理)某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：（ ）
A. B. C. D.
8.（2004遼寧）已知隨機變量的概率分布如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
則( )
A． B． C． D．
二.填空題:
9.（2007福建理)兩封信隨機投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望＝________；
10.（2007浙江理）隨機變量的分布列如下：
其中成等差數(shù)列，若，則的值是 ．
11.（2007全國Ⅱ理）在某項測量中，測量結(jié)果(服從正態(tài)分布N（1，(2）（(）0），若(在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則(在（0，2）內(nèi)取值的概率為 。
12．（2006福建理）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1,一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是
13.（2005天津理）某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果：
投資成功
投資失敗
192次
8次
則該公司一年后估計可獲收益的期望是___________（元）
14.（2004全國Ⅱ卷理）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有ξ個紅球，則隨機變量ξ的概率分布為_____________
ξ
0
1
2
P
三、解答題：
15.（2007陜西理）某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響. （Ⅰ）求該選手被淘汰的概率； （Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)數(shù)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）
16.(2007全國Ⅱ理)從某批產(chǎn)品中,有放回地抽取產(chǎn)品二次,每次隨機抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96. (1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p;
(2)若該批產(chǎn)品共有100件,從中任意抽取2件,?表示取出的?件產(chǎn)品中二等品的件數(shù),求?的分布列.
17．（2006山東理）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：（1）取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
(3)計分介于20分到40分之間的概率.
18.（2006湖南理）某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格,則必須進行整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計算(結(jié)果精確到0.01):
(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改; (Ⅲ)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.
19.（2005湖南理）某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒游覽的景點數(shù)之差的絕對值。 （Ⅰ）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；
(Ⅱ)記“函數(shù)f(x)＝x2－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率。
20.（2004福建理）甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題。規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格。（Ⅰ）求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。
歷屆高考中的“隨機變量及其分布”試題選編（自我測試）
參考答案
一、選擇題：（每小題5分，計40分）
二.填空題:
9. ； 10. ； 11. 0.8 ； 12. ； 13. 4760 ； 14. 0.1，0.6，0.3 ；
三、解答題：
15.（Ⅰ）解法一：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，
則，，，
該選手被淘汰的概率
．
（Ⅰ）解法二：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，
則，，．
該選手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）的可能值為，，
，
．
的分布列為
1
2
3
．
16.解：（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，
表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”．
則互斥，且，故
=
==
于是． 解得（舍去）．
（2）的可能取值為．
若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其二等品有件，故
． ． ．
所以的分布列為
0
1
2
17. 解：（I）解法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為，
則
解法二：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為，則事件和事件是互斥事件，因為
所以.
（II）由題意有可能的取值為：2，3，4，5.


所以隨機變量的概率分布為
2
3
4
5
因此的數(shù)學(xué)期望為
（Ⅲ）“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為，則
18. 解：（Ⅰ）．每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的.
所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是
.
（Ⅱ）．由題設(shè)，必須整改的煤礦數(shù)服從二項分布B(5,0.5).從而的數(shù)學(xué)期望是
E＝，
即平均有2.50家煤礦必須整改.
(Ⅲ)．某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9.由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨立的，所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是
19.【正確解答】（I）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”
為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，
P（A3）=0.6.
客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取
值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3.
P（=3）=P（A1·A2·A3）+ P（）
= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（=1）=1－0.24=0.76.
所以的分布列為
E=1×0.76+3×0.24=1.48.
（Ⅱ）解法一 因為
所以函數(shù)上單調(diào)遞增，
要使上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)
從而
解法二：的可能取值為1，3.
當(dāng)=1時，函數(shù)上單調(diào)遞增，
當(dāng)=3時，函數(shù)上不單調(diào)遞增.0
所以
【解后反思】這是一道初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相結(jié)合的中檔題.這一類題目要求學(xué)生生熟練掌握數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)和計算，掌握由給出的試驗確定隨機變量的分布，再計算有關(guān)的數(shù)字結(jié)果.將函數(shù)的單調(diào)性與高等數(shù)學(xué)相關(guān)系,具有很強的新穎性.
20.本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）依題意，甲答對試題數(shù)ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
3
P
甲答對試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望
Eξ=0×+1×+2×+3×=.
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則
P(A)===，
P(B)===.
因為事件A、B相互獨立，
方法一：
∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為
P()=P()P()=1-)(1-)=.
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為
P=1-P()=1-=.
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.
方法二：
∴甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為
P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)
=×+×+×=.
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

展開更多......

收起↑