資源簡介

歷屆高考中的“圓錐曲線與方程”解答題選講
1．（2006上海理）在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．
（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．
2.（2006北京文）橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且 （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程.
3．（2007北京文、理)如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．
（I）求邊所在直線的方程；
（II）求矩形外接圓的方程；
（III）若動圓過點，且與矩形的
外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．
4.（2007福建理)如圖，已知點F（1，0），直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且＝。
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，
已知，，求的值。
5．（2005重慶文）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
（其中O為原點）. 求k的取值范圍.
6.（2007全國Ⅱ文、理）在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線：相切
（1）求圓O的方程 （2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，求的取值范圍。
7.（2007四川理）設、分別是橢圓的左、右焦點.
（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為
坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.
8.(2007安徽文)設F是拋物線G:x2=4y的焦點.(Ⅰ)過點P（0，-4）作拋物線G的切線,求切線方程:
（Ⅱ）設A、B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足,延長AF、BF分別交拋物線G于點
C,D，求四邊形ABCD面積的最小值.
9.（2002廣東、河南、江蘇）A、B是雙曲線x2－＝1上的兩點，點N(1,2)是線段AB的中點
(1)求直線AB的方程；(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？
10．（2006全國Ⅰ卷理）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B,且向量.求：(Ⅰ)點M的軌跡方程；(Ⅱ)的最小值。
11、（2007江蘇）如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；
(2)若為線段的中點,求證：為此拋物線的切線；
(3)試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。
12．（2007山東文、理）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1． （1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
歷屆高考中的“圓錐曲線與方程”解答題選講
參考答案
1．（2006上海理）在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．
（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．
1.[解]（1）設過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).
當直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,－).
∴=3；
當直線的鈄率存在時,設直線的方程為，其中，
由得
又 ∵ ， ∴，
綜上所述，命題“如果直線過點T(3,0)，那么=3”是真命題；
(2)逆命題是：設直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).
該命題是假命題.
例如：取拋物線上的點A(2,2)，B(,1)，此時=3,
直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；
說明：由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過點(－1,0),而不過點(3,0).
2.（2006北京文）橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且 （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程.
2..解：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=,
從而b2=a2－c2=4, 所以橢圓C的方程為＝1.
(Ⅱ)解法一：設A，B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）.
已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.
從而可設直線l的方程為 y=k(x+2)+1,
代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因為A，B關于點M對稱.， 所以
解得， 所以直線l的方程為
即8x-9y+25=0. (經檢驗，所求直線方程符合題意)
(Ⅱ) 解法二：已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.
設A，B的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且
① ②
由①－②得 ③
因為A、B關于點M對稱，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝（x+2），
即8x－9y+25=0.(經檢驗，所求直線方程符合題意.)
3．（2007北京文、理)如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．
（I）求邊所在直線的方程；
（II）求矩形外接圓的方程；
（III）若動圓過點，且與矩形的
外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．
3．解：（I）因為邊所在直線的方程為，
且與垂直，所以直線的斜率為．
又因為點在直線上，
所以邊所在直線的方程為．即．
（II）由解得點的坐標為，
因為矩形兩條對角線的交點為．
所以為矩形外接圓的圓心．
又．
從而矩形外接圓的方程為．
（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，
所以， 即．
故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．
因為實半軸長，半焦距． 所以虛半軸長．
從而動圓的圓心的軌跡方程為．
4.（2007福建理)如圖，已知點F（1，0），直線l：x＝－1，P為平面
上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且＝。
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，
已知，，求的值。
4．本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．
（Ⅰ）解法一：設點，則，由＝得：
，化簡得．
（Ⅰ）解法二：由＝得：，
，， ．
所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．
（Ⅱ）設直線的方程為：．
設，，又，
聯立方程組，消去得：
，，故
由，得：，，
整理得：，，
．
5．（2005重慶文）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
（其中O為原點）. 求k的取值范圍.
5.解：（Ⅰ）設雙曲線方程為
由已知得
故雙曲線C的方程為
（Ⅱ）將
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
即 ①
設，則，
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范圍為
6.（2007全國Ⅱ文、理）在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線：相切
（1）求圓O的方程 （2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，求的取值范圍。
6．解：（1）依題設，圓的半徑等于原點到直線的距離， 即．
得圓的方程為．
（2）不妨設．由即得．
設，由成等比數列，得
，即 ．
由于點在圓內，故
由此得．所以的取值范圍為．
7.（2007四川理）設、分別是橢圓的左、右焦點.
（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為
坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.
7.本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知所以，設，
則
因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值
當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值
（Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，
聯立，消去，整理得：
∴
由得：
或①
又 ∴
又
∵，即 ∴ ②
故由①、②得或
8.(2007安徽文)設F是拋物線G:x2=4y的焦點.(Ⅰ)過點P（0，-4）作拋物線G的切線,求切線方程:
（Ⅱ）設A、B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足,延長AF、BF分別交拋物線G于點
C,D，求四邊形ABCD面積的最小值.
8.本小題主要考查拋物線的方程與性質，拋物線的切點和焦點，向量的數量積，直線與拋物線的位置關系，平均不等式等基礎知識，考查綜合分析問題、解決問題的能力，
解：（Ⅰ）設切點知拋物線在Q點處的切線斜率為，故所求切線方程為 即
因為點P（0，-4）在切線上，所以
所以切線方程為y=±2x-4.
(Ⅱ)設
由題設知，直線AC的斜率k存在，由對稱性，不妨設k＞0.
因直線AC過焦點F（0，1），所以直線AC的方程為y=kx+1.
點A，C的坐標滿足方程組 消去y，得
由根與系數的關系知
同理可求得
當k=1時，等號成立.所以，四邊形ABCD面積的最小值為32.
9. （2002廣東、河南、江蘇）A、B是雙曲線x2－＝1上的兩點，點N(1,2)是線段AB的中點
(1)求直線AB的方程；(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？
9.解：(1)依題意，可設直線方程為y＝k(x－1)＋2代入x2－＝1，整理得 (2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①
記A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1、x2是方程①的兩個不同的實數根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝由N(1,2)是AB中點得(x1＋x2)＝1 ∴ k(2－k)＝2－k2解得k＝1，所易知霰AB的方程為y＝x＋1.(2)將k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0解出 x1＝－1,x2＝3由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4 即A、B的坐標分別為(－1,0)和(3，4)由CD垂直平分AB，得直線CD的方程為y＝－(x－1)＋2即 y＝3－x 代入雙曲線方程，整理得 x2＋6x－11＝0 ②
記C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中點為M(x0,y0)，則x3、x4是方程②的兩個的實數根，所以
x3＋x4＝－6, x3x4＝－11
從而 x0＝(x3＋x4)＝－3,y0＝3－x0＝6
|CD|＝ ＝∴ |MC|＝|MD|＝|CD|＝2
又|MA|＝|MB|＝即A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓.
10．（2006全國Ⅰ卷理）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B,且向量.求：(Ⅰ)點M的軌跡方程；(Ⅱ)的最小值。
10.解: 橢圓方程可寫為:  +  =1 式中a>b>0 , 且  得a2=4,b2=1,
所以曲線C的方程為: x2+  =1 (x>0,y>0).
y=2(0設P(x0,y0),因P在C上,有0得切線AB的方程為:y=－ (x－x0)+y0 .
設A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y=  .
由= +得M的坐標為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,得點M的軌跡方程為:
 +  =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+  ,
∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且當x2－1= ,即x=>1時,上式取等號.
故||的最小值為3.
11、（2007江蘇）如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；
(2)若為線段的中點,求證：為此拋物線的切線；
(3)試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。
11.解：（1）設過C點的直線為，所以
，即，
設A，則=，，
因為，所以
，即，
所以，即
所以
（2）設過Q的切線為，，所以，即，它與的交點為M，
又，所以Q，
因為,所以，所以M,
所以點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。
（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，因為PQ軸，所以
因為，所以P為AB的中點。
12．（2007山東文、理）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
12．解：（1）由題意設橢圓的標準方程為，
由已知得：， a=2 , c=1 ,
橢圓的標準方程為．
（2）設．
聯立 消去y，整理得，則

又．
因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，
，即．
．
．．
解得：，且均滿足．
當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；
當時，的方程為，直線過定點．
所以，直線過定點，定點坐標為．

展開更多......

收起↑