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名師指點解題技巧：二面角的計算方法選講
二面角是高中數學的主要內容之一，是每年高考數學的一個必考內容，本文主要通過一些典型的例子說明二面角的基本計算方法，供同學們學習參考。
一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知識求解之。通常作二面角的平面角的途徑有：
⑴定義法：在二面角的棱上取一個特殊點，由此點出發在二面角的兩個面內分別作棱的垂線；
⑵三垂線法：如圖1，C是二面角的面內
的一個點，于O，只需作OD⊥AB
于D，連接CD，用三垂線定理可證明∠CDO就是
所求二面角的平面角。
⑶垂面法：即在二面角的棱上取一點，過此點作平面，使垂直于二面角的棱，則 與二面角的兩個面的交線所成的角就是該二面角的平面角。
例1 如圖2，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形,
平面VAD⊥底面ABCD．
（1）證明AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小．
解：（1）證明：

（2）解：取VD的中點E，連結AF，BE，
∵△VAD是正三形，四邊形ABCD為正方形，
∴由勾股定理可知，
∴AE⊥VD，BE⊥VD，
∴∠AEB就是所求二面角的平面角.
又在Rt△ABE中，∠BAE=90°，AE=AD=AB，
因此，tan∠AEB=
即得所求二面角的大小為
如圖3，AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD與平面BCD成30°的角，且AB=BC.
（1）求AD與平面ABC所成的角的大小；
（2）求二面角C-AD-B的大小；
（3）若AB=2，求點B到平面ACD的距離。
解：(1) ∵AB⊥平面BCD ，
∴∠ADB 就是AD與平面BCD所成的角,即∠ADB=300,
且CD⊥AB，
又∵DC⊥BC，,
∴ CD⊥平面ABC，
∴ AD與平面ABC所成的角為∠DAC ，
設AB=BC=a,則AC=， BD=acot300=,AD=2a, ,
∴ tan∠DAC=, ∴ ,
即，AD與平面ABC所成的角為450.
(2)作CE⊥BD于E，取AD的中點F，連CF，
∵ AB⊥面BCD，
∴ 面ABD⊥面BCD，
又∵ 面ABD面BCD=BD，CE⊥BD，
∴ CE⊥面ABD，
又∵AC=BC=，AF=FD，∴AD⊥EF，
有三垂線定理的逆定理可知，∠CFE就是所求二面角的平面角.
計算可知, ，，
∴ ，∴∠CFE=arcsin.
故，所求的二面角為arcsin
3.略
例3如圖4，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，，P在平面ABC內的射影為BF的中點O.
（1）證明⊥；
（2）求面與面所成二面角的大小。
解：（1）在正六邊形ABCDEF中，為等腰三角形，
∵ P在平面ABC內的射影為O，
∴ PO⊥平面ABF，
∴ AO為PA在平面ABF內的射影；
又∵ O為BF中點，為等腰三角形，
∴ AO⊥BF，
∴ 有三垂線定理可知,PA⊥BF.
（2）∵O為BF中點，ABCDEF是正六邊形 ，
∴ A、O、D共線，且直線AD⊥BF，
∵ PO⊥平面ABF，,
∴ 由三垂線定理可知, AD⊥PB,
過O在平面PBF內作OH⊥PB于H，連AH、DH， 則 PB⊥平面AHD,所以為所求二面角平面角。
又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴，，。
，
；
故,所求的二面角為
二、面積射影法：
如圖5，二面角為銳二面角, △ABC在半 平面內,
△ABC在平面內的射影為△A1B1C1，那么二面角的大小
.
例4 如圖6，矩形ABCD中,AB=6,BC=,沿對角線BD將折起,使點A移至點P,且P在平面BCD內的射影為O,且O在DC上.
（1）求證:PD⊥PC；
（2）求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；
（3）求CD與平面PBD所成的角的正弦值.
解: （1）證明: ∵ PC在面BCD內的射影為OC, 且OC⊥BC，
∴由三垂線定理可知，BC⊥PC，又∵PB=6，BC=，
∴PC=而PD=，DC=
∴ 36=DC，∴ PD⊥PC.
（2）
.
設OC=x,則OD=6-x , ∵
∴ , ∴
∴
設二面角P-DB-C的大小為，則

三、空間向量法：
I、先用傳統方法作出二面角的平面角，再利用向量的夾角公式進行計算。
例5 如圖7，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE＝EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的大小；
（3）求點D到平面ACE的距離。
解：（1）∵ 二面角D-AB-E為直二面角，AB為棱，CB⊥AB，
∴ CB⊥平面EAB，進而可得，CB⊥AE，
又∵ BF⊥平面ACE，∴ AE⊥BF，
而∴AE⊥平面BCE.
（2）連結BD交AC于點O，連結OF，由于ABCD為正方形，所以OB⊥AC，
又因為BF⊥平面ACE，由三垂線定理的逆定理可知，OF⊥AC，
∴ ∠BOF就是所求二面角的平面角.
在平面ABE內作Ax⊥AB,以A為原點，分別以Ax、AB、AD為x軸、y軸、z軸，建立 如圖7的空間直角坐標系，易知△AEB為等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), O ( 0, 1 , 1), B(0, 2, 0), C(0 , 2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 ),設F（m, n, t ），∵ C、E、F三點共線，
∴
∴
又∵ BF⊥AC，∴
∴
∴
∴
故，所求的二面角為arccos II、直接求出平面的法向量，利用向量的夾角公式求的夾角，再根據法向量分別相對于二面角的方向確定出二面角的大小。一般地，當法向量都是從二面角的內部向外部（或外部向內部）穿行時，二面角的大小就是的夾角的補角；當法向量一個從二面角的內部向外部穿行，另一個從二面角的外部向內部穿行時，二面角的大小就是的夾角。
例6 （2006年四川卷）如圖8，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，
（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱錐的體積。
解：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則

∵分別是的中點
∴
（1）
取，顯然面
又，∴
而面 ∴面
（2）顯然，是平面ABCD的一個法向量；設是平面PAE的一個法向量，則而
∴ ∴ 可取
∴
又法向量是從二面角的外部向內部穿行的，法向量是從二面角的內部向外部穿行的.
故，所求二面角為
（3）設為平面的法向量，則
又
∴ 即 ∴可取
∴點到平面的距離為
∵，
∴
∴

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