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淺淡賦值法在抽象函數中的應用
我們把未給出具體解析式的函數稱為抽象函數。這種函數表現形式的抽象性，使得直接求解析式比較難。解決這類函數可以通過化抽象為具體的方法，即賦予恰當的數值或代數式，經過恰當的運算和推理加以解決。下面分類舉例加以說明。
一、判斷函數的奇偶性
例1. 若對于任意實數x，y均成立，且f(x)不恒為0，請判斷函數f(x)的奇偶性。
解：令則有，故有
令，則有，故有，又因為不恒為0，所以函數f(x)是奇函數。
例2. 已知函數為非零函數，若有，試判斷函數的奇偶性。
解：令，則有，故有
令，則有，故有
令，則有，且為非零函數，所以函數是偶函數。
二、判斷函數的單調性
例3. 函數，當時，，且對任何實數x，y恒有，試判斷函數的單調性。
解：令，則有，故有
又有
當時，，當時，，故有，而，故有。
又當x＝0時，，故對于任何，有。
令，
故
所以函數是減函數。
三、判斷函數的周期性
例4. 函數，對任何實數a、b恒有，且存在常數，使，求證：為周期函數。
證明：令，
則
即
又
所以函數是周期函數，最小正周期為2c。
四、求函數的解析式
例5. 設x≠0，函數滿足，求函數的解析式。
解：由題意知
用x換代入上式得：
則①×2－②得：
所以
五、求函數的值域
例6. 函數為增函數，且滿足，求函數的值域。
解：令，則有。
①當時，不妨令，
則有
故當。
②當時，有
有
故當時，有
所以當時函數的值域為R。
［練一練］
若對常數m和實數，等式恒成立，求證：函數是周期函數。
提示：，
。

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