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2008高考數學考點分析（一）
巨人學校數學組：秦樹增
通過幾年來輔導高考學生的實踐，也通過對幾年來北京地區高考數學試卷的分析，現將對2008年數學高考的考點進行分析，由于水平有限，分析難免有誤，僅供參考，歡迎指正。
一、關于集合與簡易邏輯的考點
這部分內容主要是考察集合的概念，集合元素的無序性、互異性和確定性，集合符號的使用，集合的幾種表示法，集合的交并補的運算。這部分內容往往是以選擇題的形式出現，約占5分。如：
例1：（2007全國Ⅰ）設，集合，則（ C ）
A．1 B． C．2 D．
本題主要考查了集合的相等的概念，以及元素的互異性，同時還考察了分步討論的方法。有時出這種題時增加了不等式的解法。也有的題在集合描述時給出一元二次不等式或是分式不等式。因此考生也要重視不等式的解法，特別是分式不等式的解法易錯。如：集合，就是一道很簡單而又易錯的分式不等式。
簡易邏輯和四種命題的關系，主要考查的是充分、必要條件的判定。這方面的題有時是與空間幾何的命題、不等式的命題結合出現的。
例2：（2006年朝陽模擬）已知m是平面外的一條直線，直線n，那么是的（　　　）
　A　充分不必要條件　　B　必要不充分條件
　　C　充要條件　　D　既不充分也不必要條件上
還要注意四種例題的關系，會根據原命題寫出其他幾種例題：
例3：(2007山東)命題“對任意的”的否定是（C ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 對任意的
二、關于函數部分：
函數部分是高中數學的重點考查內容，這方法的考點基本上是選擇題或是填空題一道，這部分內容配之以極限和導數內容，出一道解答題，共約占18分左右。
函數內容在選擇題中考查的一般是函數的定義域、值域、反函數、單調性、奇偶性、周期性等。
例4：（2006年北京理）已知 是上的減函數，那么 a 的取值范圍是
（A）（0，1） （B）（0，） 　（C） 　 （D）
這個題主要考查了分段表示的函數，基本初等函數的性質（一次函數、對數函數）的單調性，同時配合考查了不等式的解法。因此考生要很好的注意分段函數表示，以及分段函數求反函數、求函數值的方法。另外在求反函數時，要特別注意函數與反函數的定義域和值域互換的問題。
關于函數的表示法方面，不但要注意圖象法、公式法，還要注意表格法表示的函數關系。2007年北京高考題中就有一道表格法表示的函數關系。有些同學就吃了些虧。
在解答題方面，函數部分的題主要是利用導數求切線方程、求單調區間、求最大值、極值等。理科的考生要注意復合函數求導，指數函數、對數函數的導數公式。這方面的題有時是逆向思維的。
例5：（2007北京東城區二模）已知函數的圖象與直線相切，切點為（1，－11），（1）求a,b的值　（2）求函數的單調遞減區間。
　　考生們在學校平時主要練習求某個函數在某點處的切線方程，而對于這種已知切線方程逆向求a,b的值不太熟悉。所以考生要注意正向或逆向兩種情況。都要練習。
　有時出用函數的極值和導數進行逆向求解。
例6（2006北京理）（本小題共13分）
已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，，如圖所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
關于函數的應用題也是值得注意的。2007年北京理科卷中就出一道關于函數的應用題：
例7 (2007北京理19　本小題共13分）
如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為　
（I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；
（II）求面積的最大值　
三、關于數列
按高考的要求主要考查的是等差數列和等比數列，要特別注意這兩種典型數列的通項公式和前n項和公式的靈活運用，還要掌握運用兩種數列的定義判定數列的方法。數列也是高中數學重點考查的內容，一般是一道小題一道解答題，約占18分左右。這里要特別注意不能用個別代表一般。在證明某個數列是等差或是等比數列時，一定要用后項減前項或后項比前項是否等于常數來判定，而不能只用個別項代值計算。在求時也要注意用遞推公式求（累乘法、疊加法、遞歸法等）。在這里要注意公式的使用。
例8：（2007北京理10）若數列的前項和，則此數列的通項公式為 ；數列中數值最小的項是第 項．（ ）
本題主要是給出前n項和的公式，要求求通項公式，就要用上述公式求出，還要注意檢驗。2007年在北京的高考題中還出現了利用遞推公式求通項的題目。
例9：（2007北京理15　本小題共13分）數列中，，（是常數，），且成公比不為的等比數列　
（I）求的值；
（II）求的通項公式　
此題第一問中主要是利用等比數列的有關知識求出c=2,，然后再利用疊加法求出通項公式。而后計算通項公式時還要用到等到差數列的前n項和的公式，考察的比較全面。
在數列的解答題中，有時敘述的比較多，有些考生一讀那么多限制就頭痛，于是就放棄了，其實要是硬著頭皮讀下去，多讀幾次認真分析一下，還是會有結果的。
在數列的解答題中，還有一種不等式的證明很值得注意，因為一般考題中都要涉及到它。
例9　在數列中，,是其前n項和，且，（1）求和；（2）求證：
在第2問證明中，考生會碰到這樣的式子：。在這種式子的證明中，需要放縮法的應用，，然后再用裂項相消法，算出前n項和。
四、三角函數部分
三角函數、平面向量、解三角形部分的考查是高考數學中一個重要考點。這部分內容一般是一至兩道選擇或填空題，一道解答題，約占20分左右。
三角函數方面主要是同角三角函數關系式、誘導公式、和差倍角公式的應用，特別要注意倍角公式的變形：，對這個公式要會多向變形。這幾年對三角函數公式的考查降低難度，主要是用倍角公式。還要輔助角公式的變形（也叫提斜變形）：即
＝。這種變化成了必考之點了。
例10　（2007北京海淀一模）已知函數，（1）求函數的最小正周期　（2）當時，求函數的最大值和最小值
　　這題中主要用了倍角公式和輔助角公式變形，然后求出最小正周期。在求最值時，要注意x的限定條件，這種限定往往是在這個區間上的兩個端點處有一個不是最值，因此解這個問題時，可以輔助以圖象就更直觀些了。
在解答題有時是一道與解三角形正余弦定理有關的題。
例11　（2006北京文）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b與a-b的夾角的大小是 .
（2006北京文）　在△ABC中，A，B，C所對的邊長分別為a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,則a∶b∶c= , B的大小是 .
　　這兩個題都是三角函數，平面向量、解三角形的題。考生在復習時也要很注意正余弦定理的應用，特別是利用正余弦定理邊角互相轉換的證明題。
　　在這部分中還有三角函數圖象的考查，主要是正弦波函數圖像的平移、解析式的求法等。
例12（2007陜西理17）設函數，其中向量，，，且的圖象經過點．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）求函數的最小值及此時值的集合．
這是一道函數、三角函數和平面向量結合的題。難度不大，但是考察的很全面。
五、不等式部分
這部分內容通常不單獨考查，而是和數列、函數等題目綜合考查。有時是解答題的第三問。這部分主要是算術平均數大于幾何平均數的應用。在這里特別注意：“積定和最小，和定積最大”的應用。在不等式的證明中注意作差（商）、判號，還要注意放縮法的運用（見數列）。2007年北京高考卷中就出了一道關于不等式的小題：
例13 （（2007北京理科7）如果正數滿足，那么（　A　）
Ａ．，且等號成立時的取值唯一
Ｂ．，且等號成立時的取值唯一
Ｃ．，且等號成立時的取值不唯一
Ｄ．，且等號成立時的取值不唯一
有時不等式的考題專門針對“一正二定三相等”的限定條件。如：
例14：有下列函數：①y=x+；②y=－2；③y=；④y=sin2x－cos2x，其中最小值為2的函數有　　　　.(注：把你認為正確的序號都填上)
這道題就是考查不等式中“一正二定三相等”的限定條件的。其中正確的只有（2），（1）不符合“正”，（3）不符合“相等”，（4）最小值-2。
六、直線和圓的方程部分
這部分內容一般不出現在解答題，而是在選擇題或填空題中與向量綜合出現。當然直線的五種方程形式，直線與直線、直線與圓的位置關系，特別是切線的求法，重點是點斜式直線方程要熟記會用。在圓的方程上要會從圓的一般方程變成圓的標準方程，從中找出圓心坐標和半徑。有些題要畫出準確一點的草圖，更有利于解題。在這部分中，要會熟練地運用兩點間距離公式、定比分點公式、點到直線的距離公式等。
例15　（2005全國北京）從原點向圓作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為（　　　　）
　A　　　B　2　　C　3　　　D　4
這題考查了圓的一般方程到標準方程的變形、弧長公式及圖形結合的解題方法。有些解析幾何問題要靠畫準確一點的草圖來解，更有助于考生的思路，有時可以把問題簡化。
例16（2006年全國湖北）已知直線與圓相切，則的值為
這題可以用常規的方法，用判別式為“0”的方法，求出a的值，通過畫草圖，估計出解的可能性。
　在直線和圓的方程部分還有線性規劃的題，一般都是占5分的題。不過此種題必考。要充分注意。線性規劃是最優化問題，出題的形式主要是目標函數不同，最常見求：的最大值或最小值，也有的最值的，還有求區域面積，或區域圖形變化參數的。例如2007年北京高考題中就出了一道求區域圖形參數的題：
例17：（2007年北京6　）若不等式組表示的平面區域是一個三角形，則的取值范圍是（　　）
Ａ　 Ｂ　 Ｃ　 Ｄ　或
七、圓錐曲線部分：
這部分內容是高考的重點，在這部分中一般是一道選擇或填空，一道較難的解答題，約占20分左右。
這部分的主要內容是橢圓的標準方程、長軸、短軸和焦距的關系，離心率、準線方程；雙曲線的標準方程，實軸、虛軸、焦距的關系，離心率、漸近線方程、準線方程；拋物線主要是標準方程，焦準距P等。對于圓錐曲線的統一定義要有個認識，并且會用來解題。
高考中有時出的選擇題是直接用定義就可以解的。
例18：（2007年北京某區二模）過拋物線的焦點作垂直于軸的直線，交拋物線于 兩點，則以為圓心 為直徑的圓方程是________________
這道題主要是利用拋物線的定義，直接可以算出圓的半徑，從而完成圓的方程。
在完成圓錐曲線的解答題時，要特別注意應用二次方程的根與系數的關系，恰當地設交點的坐標，利用韋達定理，直接得到關于某些參數的方程，設而不解，列而不解。特別是弦的中點等用這種方法的居多。
例19：（2006年北京理）已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.
解答：
（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知動點 P 的軌跡是以 為焦點的雙曲線的右支，實
半軸長
又半焦距 c=2，故虛半軸長
所以 W 的方程為,
（這一步就是用曲線的性質直接列方程）
（Ⅱ）設 A，B 的坐標分別為, ｛設交點坐標｝
當 AB⊥x軸時,從而從而
當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為,與W的方程聯立,消去y得
故 （使用一元二次方程根與系數的關系）
所以
.
又因為,所以,從而
綜上,當AB⊥軸時, 取得最小值2.
上述兩部分主要是解析幾何的內容，考生在復習時要特別注意基礎知識的掌握。有時高考題在這部
分出題時是很全面的，涉及面廣而不難，如2007年北京高考題的解析幾何的解答題就是很全面的，從
直線、圓到雙曲線都考到了。難度并不很大。

例20 （2007年北京19　本小題共14分）
如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上　
（I）求邊所在直線的方程；
（II）求矩形外接圓的方程；
（III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程　
從上述三問中，幾乎都是可以用直線、圓和雙曲線的定義來求方程的。
2008高考數學考點分析（二）
一、空間幾何部分
空間幾何主要是由兩部分組成，一是空間的直線與平面，二是簡單幾何體。高考中這部分主要是一道選擇或填空題，另有一道解答題，約占20分左右。
選擇題通常是關于直線與平面位置關系（平行，垂直等）的一些命題的判斷，這種題就要求考生對直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直的判定定理和性質定理有較好的理解。
例1 (2007年北京?理?3題）平面平面的一個充分條件是（　D　）
A．存在一條直線 B．存在一條直線
C．存在兩條平行直線
D．存在兩條異面直線
　　解本題主要是概念要清楚，對定理要有清醒的認識。
在立體幾何的選擇題或是填空題上還會有四面體與球體的結合題，這方面要對球中有關概念：球的大圓、球面距離、體積、表面積等要掌握，并會進行計算。
例2（2006年北京理）已知A、B、C三點在球心為 O，半徑為R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 兩點間的球面距離為______ 球心到平面 ABC 的距離為______.
解本題主要是球中的有關概念和三棱錐的有關計算。
立體幾何的解答題主要是證明直線與平面平行、垂直，求異面直線的夾角、直線與平面的夾角，二面角、還有點面距離。這些方面的證明和計算題可以用幾何法證明與計算，也可以用空間向量的方法進行計算和證明。對于文科考生，特別是有些空間想象力差的學生最好掌握空間向量的求法。要掌握各種空間角的向量算法、平面的法向量求法，點面距離的向量求法。
例3　（2007年北京?理?16題）如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．
（I）求證：平面平面；
（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大小；
（III）求與平面所成角的最大值．
　　這道高考題，也是本著廣而不難的原則，學生很容易上手，對于立體幾何的知識幾乎都涉及到了，從線面平行、垂直，面面平行垂直、異面直線的夾角、線面角、二面角都涉及到了。而且第三問還涉及到角的動態變化。本題如果用空間向量法來解，也是較好，坐標系可以設為：以O為原點，AO所在直線為Z軸，OC所在的直線為X軸，OB所在的直線為Y軸。
對于文科試卷一般在題中所給出的底面為規則的圖形（正方形或正三角形），
對于理科卷則底面給一個菱形或是平行四邊形，計算各點坐標就費點事。當然也是可以計算出來的，如2007年全國高考卷的一道題就是如此：
例4：（2007年全國Ⅰ?理?19題）四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。
(Ⅰ)證明：SA⊥BC；
(Ⅱ)求直線SD與平面SAB所成角的大小；
解：（這里只給出空間向量的解法）
（Ⅰ）作，垂足為，連結，由側面底面，得平面．
因為，所以．
又，為等腰直角三角形，．
如圖，以為坐標原點，為軸正向，建立直角坐標系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中點，，
連結，取中點，連結，．
，，．
，，與平面內兩條相交直線，垂直．
所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．
，．
，，
所以，直線與平面所成的角為．
這道題的底面是一個平行四邊形，確定各點的坐標有些難度。考生遇到這樣的題可以先把底面的平面圖畫出，然后再確定點的坐標。
二、排列組合二項式定理部分
這方面考題一般只占5分，或是選擇或是填空題。這方面主要是加法原理和乘法原理要掌握。同時還有排列數和組合數的計算公式和的計算。在這里要注意捆綁法和插空法、隔板法的應用，除此之外，沒有必要在這方面做太多太復雜的練習。
例5（2007年北京理科第5題）記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（　B　）
Ａ．1440種 Ｂ．960種 Ｃ．720種 Ｄ．480種
二項式定理也是必考的題，但主要是一道小題約占5分。通常是求展開式的常數項或是某一項，有時也要逆向思維。同時要學會把二項式中的項整理成的形式。
例6（2007年全國Ⅰ卷理科第10題）的展開式中，常數項為15，則n= （ D ）
A．3 B．4 C．5 D．6
三、概率統計
關于概率統計方面大約占一道解答題約13分。主要是二項分布的概型居多。所以考生要特別注意這方面的計算，還有期望、方差的簡單計算，有時也出抽樣調查的樣本計算。2007年北京高考題中出的就是一道既有概率又有統計的應用題。2008年估計在這方面的應用題可能要與奧運會體育比賽有關的題目，考生可以從這方面加以練習。
例7　（2007年北京理18本小題共13分）
某中學號召學生在今年春節期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）　該校合唱團共有100名學生，他們參加活動的次數統計如圖所示　
（I）求合唱團學生參加活動的人均次數；
（II）從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率　
（III）從合唱團中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望　
四、關于復數
復數方面的計算就是一道小題，這里要注意復數的四則運算和共軛復數的計算。
對理科考生這也是必考的小題。
例8（2007年北京理）
高考數學主要是考查學生對基本概念、基本公式的應用，也考查學生的一些基本技能和技巧。考生在準備高考時，沒有必要做太多高難度的習題，也不必太多在技巧題上下功夫。應當重在對基本知識和基本技能的掌握上，對整個高中的數學知識要融會貫通，計算要準確，不但要有思路，而要真正解出答案。有些考生很聰明，有些題一看就會了，有思路，可以一做就錯了，一是馬虎，二是了草。所以我給考生幾個字：認真、徹底、準確、創新。如果考生按這幾個字辦了，我想會對你的高考有幫助的。
考生有拿高分的愿望是對的，也是好的，但是有時也要從自己的實際出發，根據自己的能力，在基礎上下功夫，高考卷中有大約80%的是基礎或中檔題，而高檔題主要是為拉開檔次，只是面對少數尖子生的。大部分考生，應當立足于基本題和中檔題。基礎題爭取拿全分，中檔題力爭拿下80%，高檔題盡力而為。
在基礎的復習上要力爭對每個知識點和基本技能都要進行精練，基本公式做到記憶牢、使用熟，不但會正面用，也會逆向用。我建議考生對每個知識點和每個公式要每周回顧一次，對每個知識點的習題，要熟練再熟練，最好找相應的題目反復練習，爭取又快又準地解決問題。

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