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第四講 一元一次方程
　　方程是中學數學中最重要的內容．最簡單的方程是一元一次方程，它是進一步學習代數方程的基礎，很多方程都可以通過變形化為一元一次方程來解決．本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧．
　　用等號連結兩個代數式的式子叫等式．如果給等式中的文字代以任何數值，等式都成立，這種等式叫恒等式．一個等式是否是恒等式是要通過證明來確定的．
　　如果給等式中的文字(未知數)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，則等式不成立，這種等式叫作條件等式．條件等式也稱為方程．使方程成立的未知數的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．
　　只含有一個未知數(又稱為一元)，且其次數是1的方程叫作一元一次方程．任何一個一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的標準形式(最簡形式)．
　　解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項，化為最簡形式ax=b；(5)方程兩邊同除以未知數的系數，得出方程的解．
　　 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值來確定：
　
　　(2)若a=0，且b=0，方程變為0·x=0，則方程有無數多個解；
　　(3)若a=0，且b≠0，方程變為0·x=b，則方程無解．
　　例1 解方程
　　
　　解法1 從里到外逐級去括號．去小括號得
　　去中括號得
　　去大括號得
　　　
　　解法2 按照分配律由外及里去括號．去大括號得
　　化簡為
　　去中括號得
　　去小括號得
　　　
　　　
　　
　　例2 已知下面兩個方程
3(x+2)=5x，①
4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②
有相同的解，試求a的值．
　　分析 本題解題思路是從方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．
　　解 由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根據方程解的定義，把x=3代入方程②時，應有
4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
7(a-3)-3(a-3)=18-12，
　　
　　例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．
　　解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由題設知a+2=5，所以a=3．于是有
2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，
　　例4 解關于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
　　分析 這個方程中未知數是x，m，n是可以取不同實數值的常數，因此需要討論m，n取不同值時，方程解的情況．
　　解 把原方程化為
m2x+mnx-mn-n2=0，
整理得 m(m+n)x=n(m+n)．
　　
　　當m+n≠0，且m=0時，方程無解；
　　當m+n=0時，方程的解為一切實數．
說明 含有字母系數的方程，一定要注意字母的取值范圍．解這類方程時，需要從方程有唯一解、無解、無數多個解三種情況進行討論．
例5 解方程
(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．
　　分析 本題將方程中的括號去掉后產生x2項，但整理化簡后，可以消去x2，也就是說，原方程實際上仍是一個一元一次方程．
　　解 將原方程整理化簡得
(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，
　　 即 (a2-b2)x=(a-b)2．
　　(1)當a2-b2≠0時，即a≠±b時，方程有唯一解
　　(2)當a2-b2=0時，即a=b或a=-b時，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b時，方程無解；若a-b=0，即a=b，方程有無數多個解．
　　例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關于x的一元一次方程，求代數式199(m+x)(x-2m)+m的值．
　　解 因為(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關于x的一元一次方程，所以
m2-1=0，即m=±1．
　　(1)當m=1時，方程變為-2x+8=0，因此x=4，代數式的值為
199(1+4)(4-2×1)+1=1991；
　　(2)當m=-1時，原方程無解．
　　所以所求代數式的值為1991．
　　例7 已知關于x的方程a(2x-1)=3x-2無解，試求a的值．
　　解 將原方程變形為
2ax-a=3x-2，
　　即 (2a-3)x=a-2．
　　由已知該方程無解，所以
　　　　
　　例8 k為何正數時，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正數？
　　來確定：
　　(1)若b=0時，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，則b=0成立．
　　(2)若ab＞0時，則方程的解是正數；反之，若方程ax=b的解是正數，則ab＞0成立．
　　(3)若ab＜0時，則方程的解是負數；反之，若方程ax=b的解是負數，則ab＜0成立．
　　解 按未知數x整理方程得
(k2-2k)x=k2-5k．
　　要使方程的解為正數，需要
(k2-2k)(k2-5k)＞0．
　　看不等式的左端
(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
　　因為k2≥0，所以只要k＞5或k＜2時上式大于零，所以當k＜2或k＞5時，原方程的解是正數，所以k＞5或0＜k＜2即為所求．
　　例9 若abc=1，解方程
　　解 因為abc=1，所以原方程可變形為
　　化簡整理為
　　化簡整理為
　
　　
　　說明 像這種帶有附加條件的方程，求解時恰當地利用附加條件可使方程的求解過程大大簡化．
　　例10 若a，b，c是正數，解方程
　　解法1 原方程兩邊乘以abc，得到方程
　　ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移項、合并同類項得
ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]
+ac[x-(a+b+c)]=0，
　　因此有
[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．
　　因為a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以
x-(a+b+c)=0，
　　即x=a+b+c為原方程的解．
解法2 將原方程右邊的3移到左邊變為-3，再拆為三個“-1”，并注意到
　　其余兩項做類似處理．
　　設m=a+b+c，則原方程變形為
　　所以
　　　
　　
　　即
x-(a+b+c)=0．
所以x=a+b+c為原方程的解．
　　說明 注意觀察，巧妙變形，是產生簡單優美解法所不可缺少的基本功之一．
　　例11 設n為自然數，[x]表示不超過x的最大整數，解方程：
　　分析 要解此方程，必須先去掉[ ]，由于n是自然數，所以n與(n+1)
　　 …，n[x]都是整數，所以x必是整數．
　　解 根據分析，x必為整數，即x=[x]，所以原方程化為
　　合并同類項得
　　　
　　故有
　　　
所以x=n(n+1)為原方程的解．
　　例12 已知關于x的方程
　　且a為某些自然數時，方程的解為自然數，試求自然數a的最小值．
　　解 由原方程可解得
　　
　
　
a最小，所以x應取x=160．所以
　　所以滿足題設的自然數a的最小值為2．
練習四
　　1．解下列方程：*
　　
　　2．解下列關于x的方程：
　　(1)a2(x-2)-3a=x+1；
　 　
　　　　
　　4．當k取何值時，關于x的方程3(x+1)=5-kx，分別有：(1)正數解；(2)負數解；(3)不大于1的解．

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