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第十講 整式的乘法與除法
　　中學代數中的整式是從數的概念基礎上發展起來的，因而保留著許多數的特征，研究的內容與方法也很類似．例如，整式的四則運算就可以在許多方面與數的四則運算相類比；也像數的運算在算術中占有重要的地位一樣，整式的運算也是代數中最基礎的部分，它在化簡、求值、恒等變形、解方程等問題中有著廣泛的應用．通過整式的運算，同學們還可以在準確地理解整式的有關概念和法則的基礎上，進一步提高自己的運算能力．為此，本講著重介紹整式運算中的乘法和除法．
　　整式是多項式和單項式的總稱．整式的乘除主要是多項式的乘除．下面先復習一下整式計算的常用公式，然后進行例題分析．
　　正整數指數冪的運算法則：
　　(1)aM· an=aM+n； (2)(ab)n=anbn；
　　(3)(aM)n=aMn； (4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)；
　
　　常用的乘法公式：
　　(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；
　　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；
　
　　(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；　　
　　(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
　　例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展開后，x2項的系數 ．
　　解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因為x2項只在-(x-1)3中出現，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2項的系數即可．根據乘法公式有
(1-x)3=1-3x+3x2-x3，
　　所以x2項的系數為3．
　　說明 應用乘法公式的關鍵，是要理解公式中字母的廣泛含義，對公式中的項數、次數、符號、系數，不要混淆，要達到正確、熟練、靈活運用的程度，這樣會給解題帶來極大便利．
　　
　　(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．
　　解 原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)
　　　　 　=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)
　　　　　 =13x-7=9-7=2．
　　說明 注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．
　　例3 化簡(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n為大于1的整數．
　　解 原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1
　　　　　　　+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n
　　　　　 =1+(-x)n．
　　說明 本例可推廣為一個一般的形式：
(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn．
　　例4 計算
　　(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；
　　(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．
　　分析與解 (1)這兩個多項式對應項或者相同或者互為相反數，所以可考慮應用平方差公式，分別把相同項結合，相反項結合．
　　原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2
　　 　　=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．
　　(2)(x+2y)(x-2y)的結果是x2-4y2，這個結果與多項式x4-8x2y2+16y4相乘時，不能直接應用公式，但
x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2
　　與前兩個因式相乘的結果x2-4y2相乘時就可以利用立方差公式了．
　　原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3
　　　　=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3
　　　　=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．
　　例5 設x，y，z為實數，且
(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，
　　
　　解 先將已知條件化簡：
左邊=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，
右邊=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．
　　所以已知條件變形為
2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，
　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．
　　因為x，y，z均為實數，所以x=y=z．所以
　　
　　說明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所區別，請仔細琢磨，靈活運用公式，會給解題帶來益處．
　　我們把形如
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
　　(n為非負整數)的代數式稱為關于x的一元多項式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多項式．
　　多項式的除法比較復雜，為簡單起見，我們只研究一元多項式的除法．像整數除法一樣，一元多項式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一個一元多項式f(x)除以另一個一元多項式g(x)時，總存在一個商式q(x)與一個余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次數小于g(x)的次數．特別地，當r(x)=0時，稱f(x)能被g(x)整除．
　　例6 設g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．
　　解法1 用普通的豎式除法
　　　
　　解法2 用待定系數法．
　　由于f(x)為3次多項式，首項系數為1，而g(x)為2次，首
　　
r(x)= bx+ c．
　　根據f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得
x3-3x2-x-1
　　比較兩端系數，得
　
　　
　　例7 試確定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．
　　解 由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若設
f(x)=x4+ax2-bx+2，
　　假如f(x)能被x2+3x+2整除，則x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，當x=-1時，f(-1)=0，即
　　1+a+b+2=0， ①
　　當x=-2時，f(-2)=0，即
　　16+4a+2b+2=0， ②
　　由①，②聯立，則有
練習十
　　1．計算：
　　(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；
　　(2)(x+y)4(x-y)4；
　　(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．
　　2．化簡：
　　(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；
　　(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；
　　(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．
　　3．已知z2=x2+y2，化簡
(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．
　　4．設f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．

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