資源簡(jiǎn)介

備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)――把關(guān)題跟蹤演練(精選44題含詳細(xì)解答）
1．（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)，它們?cè)谳S上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（Ⅰ）求這三條曲線的方程；
（Ⅱ）已知?jiǎng)又本€過點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。
解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，將代入方程得
………………………………………………（1分）
由題意知橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為…………………（2分）
對(duì)于橢圓，
………………………………（4分）
對(duì)于雙曲線，
………………………………（6分）
（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，的方程為：，以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為
令………………………………………………（7分）
…………（12分）
2．（14分）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，點(diǎn)在拋物線上；數(shù)列中，點(diǎn)在過點(diǎn)，以方向向量為的直線上。
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，問是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍。
解：（Ⅰ）將點(diǎn)代入中得
…………………………………………（4分）
（Ⅱ）………………………………（5分）
……………………（8分）
（Ⅲ）由
………………………………（14分）
3.（本小題滿分12分）將圓O: 上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?(橫坐標(biāo)不變),
得到曲線C.
(1) 求C的方程;
(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn), 過點(diǎn)的直線l與C交于A、B兩點(diǎn), N為線段AB的中點(diǎn),
延長(zhǎng)線段ON交C于點(diǎn)E.
求證: 的充要條件是.
解: (1)設(shè)點(diǎn), 點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意可知………………(2分)
又∴.
所以, 點(diǎn)M的軌跡C的方程為.………………(4分)
(2)設(shè)點(diǎn), , 點(diǎn)N的坐標(biāo)為,
㈠當(dāng)直線l與x軸重合時(shí), 線段AB的中點(diǎn)N就是原點(diǎn)O, 不合題意,舍去; ………………(5分)
㈡設(shè)直線l:
由消去x,
得………………①
∴………………(6分)
∴,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為.………………(8分)
①若, 坐標(biāo)為, 則點(diǎn)E的為, 由點(diǎn)E在曲線C上,
得, 即 ∴舍去).
由方程①得
又
∴.………………(10分)
②若, 由①得∴
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為, 射線ON方程為: ,
由 解得 ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為
∴.
綜上, 的充要條件是.………………(12分)
4.（本小題滿分14分）已知函數(shù).
(1) 試證函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
(2) 若數(shù)列的通項(xiàng)公式為, 求數(shù)列的前m項(xiàng)和
(3) 設(shè)數(shù)列滿足: , . 設(shè).
若(2)中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)n, 恒成立, 試求m的最大值.
解: (1)設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn), 其關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.
由 得
所以, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為P.………………(2分)
由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上, 得.
∵
∴點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上.
∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. ………………(4分)
(2)由(1)可知, , 所以,
即………………(6分)
由, ……………… ①
得 ………………②
由①＋②, 得
∴………………(8分)
(3) ∵, ………………③
∴對(duì)任意的. ………………④
由③、④, 得即.
∴.……………(10分)
∵∴數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
∴關(guān)于n遞增. 當(dāng), 且時(shí), .
∵
∴………………(12分)
∴即∴ ∴m的最大值為6. ……………(14分)
5．（12分）、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)。
當(dāng)時(shí)，求的面積；
當(dāng)時(shí)，求的大小；
求的最大值。
解：（1）
（2）因，
則
設(shè)
，
當(dāng)時(shí)，
6．（14分）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足，
求的表達(dá)式及的值；
求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
設(shè)，求證：當(dāng)且時(shí)，。
解：（1）
所以是等差數(shù)列。則。
。
（2）當(dāng)時(shí)，，
綜上，。
（3）令，當(dāng)時(shí)，有 （1）
法1：等價(jià)于求證。
當(dāng)時(shí)，令
，
則在遞增。
又，
所以即。
法（2）
（2）
（3）
因
所以
由（1）（3）（4）知。
法3：令，則
所以
因則
所以 （5）
由（1）（2）（5）知
7． (本小題滿分14分)
第21題
設(shè)雙曲線=1( a > 0, b > 0 )的右頂點(diǎn)為A，P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點(diǎn).
(1) 證明：無論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有||2 = |·| ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))；
(2) 若以O(shè)P為邊長(zhǎng)的正方形面積等于雙曲線實(shí)、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；
解：(1) 設(shè)OP：y = k x, 又條件可設(shè)AR: y = (x – a ),
解得：= (,), 同理可得= (,),
∴|·| =|+| =. 4分
設(shè) = ( m, n ) , 則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得:
m2 =, n2 = ,
∴ ||2 = :m2 + n2 = + = ,
∵點(diǎn)P在雙曲線上，∴b2 – a2k2 > 0 .
∴無論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有||2 = |·| . 4分
（2）由條件得：= 4ab, 2分
即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分
8. (本小題滿分12分)
已知常數(shù)a > 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是關(guān)于x的函數(shù).
(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.
(2) 對(duì)任意n ( a , 證明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)
解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）單調(diào)遞減. 4分
（2）由上知：當(dāng)x > a>0時(shí), fn ( x ) = xn – ( x + a)n是關(guān)于x的減函數(shù),
∴ 當(dāng)n ( a時(shí), 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ( n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分
∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分
9. (本小題滿分12分)
已知：y = f (x) 定義域?yàn)椋郇C1，1］，且滿足：f (–1) = f (1) = 0 ，對(duì)任意u ,v([–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判斷函數(shù)p ( x ) = x2 – 1 是否滿足題設(shè)條件？
(2) 判斷函數(shù)g(x)=，是否滿足題設(shè)條件？
解： (1) 若u ,v ( [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，
取u = ([–1，1]，v = ([–1，1],
則 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | > | u – v |，
所以p( x)不滿足題設(shè)條件.
（2）分三種情況討論：
10. 若u ,v ( [–1，0]，則|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，滿足題設(shè)條件；
20. 若u ,v ( [0，1]， 則|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，滿足題設(shè)條件；
30. 若u([–1，0]，v([0，1]，則：
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，滿足題設(shè)條件;
40 若u([0，1]，v([–1，0], 同理可證滿足題設(shè)條件.
綜合上述得g(x)滿足條件.
10. (本小題滿分14分)
已知點(diǎn)P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x ( –1)的圖象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ( 0 ).
(1) 求證：| ac | ( 4;
(2) 求證：在(–1，+∞）上f ( x )單調(diào)遞增.
(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
證：(1) ∵ t(R, t ( –1,
∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ( 0 ，
∵ c ( 0, ∴c2a2 ( 16 , ∴| ac | ( 4.
(2) 由 f ( x ) = 1 – ,
法1. 設(shè)–1 < x1 < x2, 則f (x2) – f ( x1) = 1– –1 + = .
∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,
∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ( 0時(shí)，f ( x )單調(diào)遞增.
法2. 由f ` ( x ) = > 0 得x ( –1,
∴x > –1時(shí)，f ( x )單調(diào)遞增.
（3）（僅理科做）∵f ( x )在x > –1時(shí)單調(diào)遞增，| c | ( > 0 ,
∴f (| c | ) ( f () = =
f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1.
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
11．（本小題滿分15分）
設(shè)定義在R上的函數(shù)（其中∈R，i=0,1,2,3,4），當(dāng)
x= －1時(shí)，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y=f (x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)（－1，0）對(duì)稱．
求f (x)的表達(dá)式；
試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上；
若，求證：
解：（1）…………………………5分
（2）或…………10分
（3）用導(dǎo)數(shù)求最值，可證得……15分
12．（本小題滿分13分）
設(shè)M是橢圓上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MN⊥MQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程．
解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)
則……1分
………………………………………………………3分
由（1）－（2）可得………………………………6分
又MN⊥MQ，所以
直線QN的方程為，又直線PT的方程為……10分
從而得所以
代入（1）可得此即為所求的軌跡方程.………………13分
13．（本小題滿分12分）
過拋物線上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。
解法（一）：（1）設(shè)
由得：
………………………………3分
直線PA的方程是：即 ①
同理，直線PB的方程是： ②
由①②得：
∴點(diǎn)P的軌跡方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：
…………………………10分
所以
故存在=1使得…………………………………………12分
解法（二）：（1）∵直線PA、PB與拋物線相切，且
∴直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且
設(shè)PA的直線方程是
由得：
即…………………………3分
即直線PA的方程是：
同理可得直線PB的方程是：
由得：
故點(diǎn)P的軌跡方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：
………………………………10分
故存在=1使得…………………………………………12分
14．（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)。
求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
設(shè)，求證：
解：（1）對(duì)恒成立，
對(duì)恒成立
又 為所求。…………………………4分
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，
即……………………………………8分
另一方面，設(shè)函數(shù)
∴在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又
∴當(dāng)時(shí)，
∴ 即
綜上所述，………………………………………………14分
15．(本小題滿分12分)
如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，，、在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在邊上，，的周長(zhǎng)為12．若一雙曲線以、為焦點(diǎn)，且經(jīng)過、兩點(diǎn)．
(1) 求雙曲線的方程；
(2) 若一過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：(1) 設(shè)雙曲線的方程為，
則．
由，得，即．
∴ （3分）
解之得，∴．
∴雙曲線的方程為． （5分）
(2) 設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使．
設(shè)直線的方程為，．
由，得．
即 ① （6分）
∵，
，
∴．
即． ② （8分）
把①代入②，得
③ （9分）
把代入并整理得
其中且，即且．
． （10分）
代入③，得
，
化簡(jiǎn)得 ．
當(dāng)時(shí)，上式恒成立．
因此，在軸上存在定點(diǎn)，使． （12分）
16．(本小題滿分14分)
已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意都有（為大于1的常數(shù)），記．
(1) 求；
(2) 試比較與的大小（）；
(3) 求證：，（）．
解：(1) ∵， ①
∴． ②
②－①，得
，
即． （3分）
在①中令，可得．
∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，． （4分）
(2) 由(1)可得
．
．
∴， （5分）
．
而，且，
∴，．
∴，（）． （8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴當(dāng)時(shí)，．
∴
， （10分）
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
另一方面，當(dāng)，時(shí)，
．
∵，∴．
∴， （13分）
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
∴．
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
綜上所述，，（）．（14分）
17．（本小題滿分13分）
如圖，已知雙曲線C：的右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（I）求證：；
（II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線過點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數(shù)方法給出證明。
解：（I）
右準(zhǔn)線，漸近線



……3分
（II）

雙曲線C的方程為： ……7分
（III）由題意可得 ……8分
證明：設(shè)，點(diǎn)
由得
與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q

……11分
，得



的取值范圍是（0，1） ……13分
18．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)，數(shù)列滿足
（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整數(shù)N，使得不等式對(duì)一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小的正整數(shù)N；若不存在，請(qǐng)說明理由。
（IV）請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的數(shù)列，使得存在，并求出這個(gè)極限值。
解：（I）

……1分

……

將這n個(gè)式子相加，得


……3分
（II）為一直角梯形（時(shí)為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長(zhǎng)分別為，高為1

……6分
（III）設(shè)滿足條件的正整數(shù)N存在，則

又
均滿足條件
它們構(gòu)成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列。
設(shè)共有m個(gè)滿足條件的正整數(shù)N，則，解得
中滿足條件的正整數(shù)N存在，共有495個(gè)， ……9分
（IV）設(shè)，即
則
顯然，其極限存在，并且 ……10分
注：（c為非零常數(shù)），等都能使存在。
19. （本小題滿分14分）
設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為2。
（I）求此雙曲線的漸近線的方程；
（II）若A、B分別為上的點(diǎn)，且，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；
（III）過點(diǎn)能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且。若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。
解：（I）

，漸近線方程為 4分
（II）設(shè)，AB的中點(diǎn)


則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓。（9分）
（III）假設(shè)存在滿足條件的直線
設(shè)


由（i）（ii）得
∴k不存在，即不存在滿足條件的直線。 14分
20. （本小題滿分13分）
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意自然數(shù)都成立，其中m為常數(shù)，且。
（I）求證數(shù)列是等比數(shù)列；
（II）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足：
，試問當(dāng)m為何值時(shí)，
成立？
解：（I）由已知
（2）
由得：，即對(duì)任意都成立

（II）當(dāng)時(shí)，




由題意知
13分
21．（本小題滿分12分）
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸于，兩點(diǎn)，且分向量所成的比為8∶5．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若過三點(diǎn)的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程．
解：（1）設(shè)點(diǎn)其中．
由分所成的比為8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分
∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分
而，
∴．．②，　　　　　　　　　　　5分
由①②知．
∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
（2）滿足條件的圓心為，
，　　　　　　　　　　　　　　8分
圓半徑．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
由圓與直線：相切得，，
又．
∴橢圓方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分
22．（本小題滿分14分）
（理）給定正整數(shù)和正數(shù)，對(duì)于滿足條件的所有無窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差．
（文）給定正整數(shù)和正數(shù)，對(duì)于滿足條件的所有無窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差．
（理）解：設(shè)公差為，則．　　3分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分
又．
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
∴．　　　　　　　　　　　　13分
當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)，公差時(shí)，，
∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　14分
（文）解：設(shè)公差為，則．　　　3分
，　　　　　　　　　　　6分
又．
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
∴．　　　　　　　　　　　　　13分
當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)，公差時(shí)，．
∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分
23．（本小題滿分12分）
垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點(diǎn)，A1、A2分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，設(shè)直線A1M與A2N交于點(diǎn)P（x0，y0）
（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）過P作斜率為的直線l，原點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的最小值.
解（Ⅰ）證明：
　　　　①
直線A2N的方程為 ②……4分
①×②，得
（Ⅱ）
……10分
當(dāng)……12分
24．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若
（Ⅲ）若的大小關(guān)系（不必寫出比較過程）.
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）設(shè)
……6分
（Ⅲ）在題設(shè)條件下，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)……14分
25．（本小題滿分14分）
已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.
本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，
∴f＇(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立. ①
設(shè)(x)=x2－ax－2，
方法一：
(1)=1－a－2≤0，
① －1≤a≤1，
(－1)=1+a－2≤0.
∵對(duì)x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二：
≥0， <0，
① 或
(－1)=1+a－2≤0 (1)=1－a－2≤0
0≤a≤1 或 －1≤a≤0
－1≤a≤1.
∵對(duì)x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(－1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實(shí)根，
x1+x2=a，
∴ 從而|x1－x2|==.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，
即m2+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立. ②
設(shè)g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0，
②
g(1)=m2+m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；
當(dāng)m≠0時(shí)，
m>0， m<0，
② 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.
26．（本小題滿分12分）
如圖，P是拋物線C：y=x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.
（Ⅰ）若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍.
本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.
解：（Ⅰ）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=x2， ①
得y＇=x.
∴過點(diǎn)P的切線的斜率k切= x1，
∴直線l的斜率kl=－=-，
∴直線l的方程為y－x12=－ (x－x1)，
方法一：
聯(lián)立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)
x0==-，
∴
y0=x12－(x0－x1).
消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).
方法二：
由y1=x12，y2=x22，x0=，
得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
則x0==kl=-，
∴x1=－，
將上式代入②并整理，得
y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).
（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).
分別過P、Q作PP＇⊥x軸，QQ＇⊥y軸，垂足分別為P＇、Q＇，則
.
y=x2
由 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③
y=kx+b
y1+y2=2(k2+b)，
則
y1y2=b2.
方法一：
∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，
∴的取值范圍是（2，+）.
方法二：
∴=|b|=|b|.
當(dāng)b>0時(shí)，=b==+2>2；
當(dāng)b<0時(shí)，=－b=.
又由方程③有兩個(gè)相異實(shí)根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，
于是k2+2b>0，即k2>－2b.
所以>=2.
∵當(dāng)b>0時(shí)，可取一切正數(shù)，
∴的取值范圍是（2，+）.
方法三：
由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=KTP，
即=.
則x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
于是b==－x1x2.
∴==+=+≥2.
∵可取一切不等于1的正數(shù)，
∴的取值范圍是（2，+）.
27．（本小題滿分12分）
某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成
400萬元的損失. 現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用. 單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施
所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9
和0.85. 若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請(qǐng)確定預(yù)防
方案使總費(fèi)用最少.
（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.）
本小題考查概率的基本知識(shí)和數(shù)學(xué)期望概念及應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，滿分12分.
解：①不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；
②若單獨(dú)采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為
1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費(fèi)用為45+40=85（萬元）
③若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85=0.15，損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費(fèi)用為30+60=90（萬元）；
④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（1－0.9）（1－0.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費(fèi)用為75+6=81（萬元）.
綜合①、②、③、④，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少.
28．（本小題滿分14分）
已知
（I）已知數(shù)列極限存在且大于零，求（將A用a表示）；
（II）設(shè)
（III）若都成立，求a的取值范圍.
本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，滿分14分.
解：（I）由

（II）

（III）

（i）當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立（已驗(yàn)證）.
（ii）假設(shè)當(dāng)

故只須證明

即n=k+1時(shí)結(jié)論成立.
根據(jù)（i）和（ii）可知結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立.
故
29．（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分10分）
已知，函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求使成立的的集合；
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想和分析推理能力. 滿分14分.
解：（Ⅰ）由題意，.
當(dāng)時(shí)，，解得或；
當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上，所求解集為.
（Ⅱ）設(shè)此最小值為.
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，.
因?yàn)?br/> ，，
則在區(qū)間上是增函數(shù)，所以.
②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，由知
.
③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，.
.
若，在區(qū)間內(nèi)，從而為區(qū)間上的增函數(shù)，
由此得
.
若，則.
當(dāng)時(shí)，，從而為區(qū)間上的增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，從而為區(qū)間上的減函數(shù).
因此，當(dāng)時(shí)，或.
當(dāng)時(shí)，，故；
當(dāng)時(shí)，，故.
綜上所述，所求函數(shù)的最小值

30．（本小題滿分14分，第一小問滿分2分，第二、第三小問滿分各6分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且
，
其中為常數(shù).
(Ⅰ)求與的值；
(Ⅱ)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(Ⅲ)證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.
本小題主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)、不等式的證明方法，考查思維能力、運(yùn)算能力.
解：（Ⅰ）由已知，得，，.
由，知
即
解得 ，.
（Ⅱ）方法1
由（Ⅰ），得 ， ①
所以 . ②
②-①，得 ， ③
所以 . ④
④-③，得 .
因?yàn)? ，
所以 .
又因?yàn)? ，
所以 ，
即 ，.
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
方法2
由已知，得，
又，且，
所以數(shù)列是唯一確定的，因而數(shù)列是唯一確定的.
設(shè)，則數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和.
于是 ，
由唯一性得 ，即數(shù)列為等差數(shù)列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.
要證 ，
只要證 .
因?yàn)? ，，
故只要證 ，
即只要證 .
因?yàn)?

，
所以命題得證.
31．（本小題滿分14分）
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足
（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；
（Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（Ⅲ）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，
使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)
用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.滿分14分.
（Ⅰ）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
由P在橢圓上，得
由，所以 ………………………3分
證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記
則
由
證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為
由橢圓第二定義得，即
由，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.
當(dāng)|時(shí)，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).
在△QF1F2中，，所以有
綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是…………………………7分
解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.
當(dāng)|時(shí)，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則
因此 ①
由得 ②
將①代入②，可得
綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

由③得，由④得 所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；
當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分
當(dāng)時(shí)，，
由，
，
，得
解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

由④得 上式代入③得
于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；
當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分
當(dāng)時(shí)，記，
由知，所以…………14分
32．（本小題滿分12分）
函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且 設(shè)
是曲線在點(diǎn)（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）證明：當(dāng)；
（Ⅲ）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，
求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.
本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問題的能力.滿分12分
（Ⅰ）解：…………………………………………2分
（Ⅱ）證明：令
因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)；
當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的
最小值為0，因此即…………………………6分
（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.
對(duì)任意成立的充要條件是

另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為
于是的充要條件是…………………………10分
綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是
①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.…………12分
（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.
對(duì)任意成立的充要條件是
………………………………………………………………8分
令，于是對(duì)任意成立的充要條件是
由
當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即………………10分
綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是
①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.…………12分
33．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且
（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)并比較與的大小.
解：由已知可得兩式相減得
即從而當(dāng)時(shí)所以又所以從而
故總有，又從而即數(shù)列是等比數(shù)列；
（II）由（I）知
因?yàn)樗?br/>從而=
=-=
由上-=
=12①
當(dāng)時(shí)，①式=0所以；
當(dāng)時(shí)，①式=-12所以
當(dāng)時(shí)，又
所以即①?gòu)亩?br/>34．(本小題滿分14分)
已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.
（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
解：（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；
（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知①
（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由①知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過定點(diǎn)
（2）當(dāng)時(shí)，由，得==
將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，
此時(shí)，直線的方程可表示為即
所以直線恒過定點(diǎn)
所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn).
35．（本小題滿分12分）
已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍.
解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C2的方程為，則
故C2的方程為
（II）將
由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得
即 ①
.
由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B得

解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范圍為
36．（本小題滿分12分）
數(shù)列{an}滿足.
（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中無理數(shù)
e=2.71828….
（Ⅰ）證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，，不等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即
那么. 這就是說，當(dāng)時(shí)不等式成立.
根據(jù)（1）、（2）可知：成立.
（Ⅱ）證法一：
由遞推公式及（Ⅰ）的結(jié)論有
兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得
故
上式從1到求和可得
即
（Ⅱ）證法二：
由數(shù)學(xué)歸納法易證成立，故
令
取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得
上式從2到n求和得
因
故成立.
37．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列
（1）證明
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.
解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，
∴，命題正確.
2°假設(shè)n=k時(shí)有
則

而
又
∴時(shí)命題正確.
由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有
方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；
2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，
令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)
有：即
也即當(dāng)n=k+1時(shí) 成立，所以對(duì)一切
（2）下面來求數(shù)列的通項(xiàng)：所以
,
又bn=－1，所以
38．（本小題滿分14分）
如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).
（1）求△APB的重心G的軌跡方程.
（2）證明∠PFA=∠PFB.
解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，
∴切線AP的方程為：
切線BP的方程為：
解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：
所以△APB的重心G的坐標(biāo)為 ，
所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：
（2）方法1：因?yàn)?br/>由于P點(diǎn)在拋物線外，則
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：
即
所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：
直線BF的方程：
所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：
，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
39．（本小題滿分12分）
設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；
（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.
（此題不要求在答題卡上畫圖）
本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)以及推理運(yùn)算能力和綜合解決問題的能力.
（Ⅰ）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 ①
設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根，
∴ ②
且由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得

解得k=－1，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）.
于是，直線AB的方程為
解法2：設(shè)則有

依題意，
∵N（1，3）是AB的中點(diǎn)， ∴
又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，∴
∴的取值范圍是（12，+∞）.
直線AB的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入橢圓方程，整理得
又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根，
∴
于是由弦長(zhǎng)公式可得 ④
將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得 ⑤
同理可得 ⑥
∵當(dāng)時(shí)，
假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.
點(diǎn)M到直線AB的距離為 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當(dāng)>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）
A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|·|DN|，
即 ⑧
由⑥式知，⑧式左邊
由④和⑦知，⑧式右邊
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得
③
將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨設(shè)
∴
計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.
又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）
40．（本小題滿分14分）
已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足
（Ⅰ）證明
（Ⅱ）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；
（Ⅲ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意b>0，都有
本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想.
（Ⅰ）證法1：∵當(dāng)
即
于是有
所有不等式兩邊相加可得
由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，
∵
證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式
（i）當(dāng)n=3時(shí)， 由
知不等式成立.
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即
則
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有極限，且
（Ⅲ）∵
則有
故取N=1024，可使當(dāng)n>N時(shí)，都有
41．如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，求∠F1PF2最大值．
本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。
解：(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則
(Ⅱ)
42．已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且．
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；
(Ⅱ)解不等式；
(Ⅲ)若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
本題主要考查函數(shù)圖象的對(duì)稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力。滿分14分。
解：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則
∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上
∴
(Ⅱ)由
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無解。
當(dāng)時(shí)，，解得。
因此，原不等式的解集為。
（Ⅲ）
①
②
ⅰ）
ⅱ）
43．(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分.
對(duì)定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 當(dāng)x∈Df且x∈Dg
規(guī)定: 函數(shù)h(x)= f(x) 當(dāng)x∈Df且xDg
g(x) 當(dāng)xDf且x∈Dg
若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,x∈R,寫出函數(shù)h(x)的解析式;
求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常數(shù),且α∈[0,π],請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x),及一個(gè)α的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明.
[解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)
1 x=1
(2) 當(dāng)x≠1時(shí), h(x)= =x-1++2,
若x>1時(shí), 則h(x)≥4,其中等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立
若x<1時(shí), 則h(x)≤ 0,其中等號(hào)當(dāng)x=0時(shí)成立
∴函數(shù)h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
則g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+sin2x, α=,
g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.
44．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分8分, 第3小題滿分6分.
在直角坐標(biāo)平面中,已知點(diǎn)P1(1,2),P2(2,22),┄,Pn(n,2n),其中n是正整數(shù).對(duì)平面上任一點(diǎn)A0,記A1為A0關(guān)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn), A2為A1關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn), ┄, AN為AN-1關(guān)于點(diǎn)PN的對(duì)稱點(diǎn).
(1)求向量的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)A0在曲線C上移動(dòng)時(shí), 點(diǎn)A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x∈(0,3]時(shí),f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4]上的解析式;
(3)對(duì)任意偶數(shù)n,用n表示向量的坐標(biāo).
[解](1)設(shè)點(diǎn)A0(x,y), A0為P1關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A0的坐標(biāo)為(2-x,4-y),
A1為P2關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(2+x,4+y),
∴={2,4}.
(2) ∵={2,4},
∴f(x)的圖象由曲線C向右平移2個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位得到.
因此, 曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,其中g(shù)(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x∈(-2,1]時(shí),g(x)=lg(x+2)-4.于是,當(dāng)x∈(1,4]時(shí),g(x)=lg(x-1)-4.
另解設(shè)點(diǎn)A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,
若3< x2≤6,則0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).
當(dāng)1< x≤4時(shí), 則3< x2≤6,y+4=lg(x-1).
∴當(dāng)x∈(1,4]時(shí),g(x)=lg(x-1)-4.
(3) =,
由于,得
=2()
=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})
=2{,}={n,}

展開更多......

收起↑