資源簡介

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專題4.4 整式
模塊1：學習目標
1、了解單項式、多項式、整式的概念；
2、理解單項式的系數和次數的概念；理解多項式中項、項的系數、多項式的次數等概念；
3、了解整式在解決實際問題中的應用。
模塊2：知識梳理
單項式：數或字母的積（單獨的一個數或一個字母也是單項式）。例：5x；100；x；10ab等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是單項式。例：不是單項式。
單項式的系數：單項式中的數字叫做單項式的系數。例：的系數為。
單項式的次數：一個單項式中所有字母的指數的和。例： 的次數為3次。
多項式：幾個單項式的和。
項：每個單項式叫做多項式的項，有幾項，就叫做幾項式。 常數項：不含字母的項。
多項式的次數：所有項中，次數最高的項的次數就是多項式的次數（最高次數是n次，就叫做n次式）。
整式：單項式與多項式統稱為整式。
注：①多項式是由多個單項式構成的；②單項式和多項式的區別在于是否含有加減運算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是單項式或多項式）
模塊3：核心考點與典例
考點1、單項式的概念
例1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期中）代數式：，，，t，，，，其中單項式的個數是（ ）
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】B
【分析】單項式就是數與字母的乘積，單獨的數或字母是單項式，根據定義即可判斷．
【詳解】解：單項式就是數與字母的乘積，單獨的數或字母是單項式，
所以是單項式的是：，，t，，所以單項式的個數是4個．故選：B．
【點睛】本題考查了單項式的定義，正確理解定義是關鍵．
變式1．（2023·廣東惠州·七年級統考期中）下列代數式 ，0， ， ， ， ， 中，單項式共有（ ）個．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】據單項式的定義：數字和字母的乘積的形式，單個數字和字母，也是單項式，進行判斷即可．
【詳解】解： ，0， ， ， ， ， 中，屬于單項式的有 ，0， ，共4個；故選B．
【點睛】本題考查單項式．熟練掌握單項式的定義，是解題的關鍵．
變式2．（2022秋·河北唐山·七年級統考期中）代數式，，，a，20，，中單項式的個數是（　　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】B
【分析】根據單項式的定義：數字與字母的乘積叫做單項式，單獨的一個數或單獨的一個字母也是單項式，求解即可．
【詳解】解：單項式有：，a，20，，共有5個，故選：B．
【點睛】本題主要考查了單項式的定義，熟悉相關性質是解題的關鍵，注意單獨的一個數或單獨的一個字母也是單項式．
考點2、單項式的系數與次數
例2．（2023·福建三明·七年級校考期中）下面的說法中，正確的是（ ）
A．單項式的次數是2次 B．中底數是2 C．的系數是3 D．3是單項式
【答案】D
【分析】根據單項式的相關概念逐項判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、單項式的次數是3次，故此選項錯誤，不符合題意；
B、中底數是，故此選項錯誤，不符合題意；
C、的系數是，故此選項錯誤，不符合題意；
D、3是單項式，故此選項正確，符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了單項式的相關概念，由數與字母的積和字母與字母的積組成的代數式叫做單項式；單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數；一個單項式中,所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數，熟練掌握相關概念是解題的關鍵．
變式1．（2022秋·江西贛州·七年級統考期末）若單項式的次數為 ．
【答案】3
【分析】根據單項式的次數的定義得出即可．
【詳解】單項式的次數為 故答案為：．
【點睛】本題考查了單項式的次數的定義，能熟記單項式的次數的定義的內容是解此題的關鍵，注意：單項式中的字母的指數的和，叫單項式的次數．
變式2．（2023秋·四川成都·七年級校考階段練習）單項式的系數是 ．
【答案】
【分析】根據單項式中的數字因數叫做單項式的的系數解答即可．
【詳解】解：單項式的系數是．故答案為：．
【點睛】本題考查了單項式的概念，只含加、減、乘、乘方的代數式叫做整式，不含有加減運算的整式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式．單項式中的數字因數叫做單項式的的系數，系數包括它前面的符號，單項式的次數是所有字母的指數的和．
變式3．（2023秋·浙江七年級課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．單項式既沒有系數，也沒有次數 B．單項式的系數是
C．式子是單項式 D．有理數是單項式
【答案】D
【分析】根據單項式及其系數、次數的定義：只含有數與字母的積的整式叫做單項式．單獨的一個數或一個字母也是單項式．單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數．一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數．判斷選擇即可．
【詳解】A、單項式系數是，次數是，故原說法錯誤；
B、單項式的系數是，故原說法錯誤；
C、式子是分式，不是單項式，故原說法錯誤；
D、有理數是單獨的一個數，也是單項式，故原說法正確．故選：D．
【點睛】本題考查單項式及其系數、次數的定義，熟練掌握單項式及其系數、次數的定義是解題關鍵．
考點3、多項式的概念
例3．（2023·江西贛州·七年級統考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多項式的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】多項式是幾個單項式和的形式．
【詳解】解：多項式有：、共2個 故選：B．
【點睛】本題考了多項式的概念，抓住多項式是幾個單項式的和．
變式1．（2022秋·河南鶴壁·七年級統考期中）下列代數式中，不是多項式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據多項式是幾個單項式的和去判斷即可．
【詳解】A. 是多項式，不符合題意；B. 是多項式，不符合題意；
C. 不是多項式，符合題意； D. 是多項式，不符合題意；故選B．
【點睛】本題考查了多項式，熟練掌握定義是解題的關鍵．
變式2．（2023秋·浙江·七年級專題練習）下列式子：，，，4，，，，其中是多項式的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】根據多項式的定義解答即可．
【詳解】解：由題意得，，均是多項式，共三個；
的分母含字母，不是整式；，4，是單項式；故選：B．
【點睛】本題考查了多項式的概念，幾個單項式的和叫做多項式．多項式中的每個單項式都叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項．
考點4、多項式的項、系數與次數
例4．（2023·江西吉安·七年級統考期中）多項式是（ ）
A．三次四項式 B．三次三項式 C．四次四項式 D．四次三項式
【答案】C
【分析】根據多項式的定義解答即可．
【詳解】解：項式是四次四項式．故選C．
【點睛】本題考查了多項式的概念，幾個單項式的和叫做多項式．多項式中的每個單項式都叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項，多項式的每一項都包括前面的符號，多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數．
變式1．（2023·安徽合肥·七年級校考階段練習）對于多項式，下列說法正確的是（ ）
A．最高次項是 B．二次項系數是 C．常數項是 D．是三次四項式
【答案】D
【分析】根據幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項．多項式中次數最高的項的次數叫作多項式的次數進行分析即可．
【詳解】解：多項式最高次項是，二次項系數是，常數項是，是三次四項式，故D選項正確，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了多項式的定義，關鍵是掌握和多項式有關的定義．
變式2．（2023·福建·七年級校考期中）關于多項式，下列說法錯誤的是（ ）
A．這個多項式是五次四項式 B．常數項是1
C．按y降冪排列為 D．四次項的系數是3
【答案】D
【分析】根據多項式的概念和降冪排序的方法進行判斷即可．
【詳解】解：A、這個多項式是五次四項式，故此項不符合題意；
B、常數項是1，故此項不符合題意；
C、按y降冪排列為，故此不項符合題意；
D、四次項的系數是，故此項符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查多項式的定義及多項式的降冪排序，熟練掌握多項式的相關定義是解題的關鍵．
考點5、整式的概念
例5．（2023·上海浦東新·七年級校考期中）在代數式；；；；；中整式的個數有（ ）個．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】單項式和多項式統稱為整式，利用整式的定義即可判斷．
【詳解】、分母中含字母，不是整式，
是多項式、、、是單項式，屬于整式，
故整式有，共4個，故選：．
【點睛】此題考查了整式，單項式和多項式統稱為整式，解答題的關鍵是正確理解：單項式是字母和數的乘積，只有乘法，沒有加減法；多項式是若干個單項式的和，有加減法．
變式1．（2023·福建漳州·七年級漳州實驗中學校考期中）在代數式：中，整式有（ ）．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】根據整式的定義，單項式和多項式統稱為整式解決此題．
【詳解】解：根據整式的定義，整式有，共4個．故選：C．
【點睛】本題主要考查整式，熟練掌握整式的定義是解決本題的關鍵．
變式2．（2023·河北唐山·模擬預測）在，，，，等五個代數式中整式一共有（ ）個．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據單項式和多項式統稱為整式．單項式是字母和數的乘積，只有乘法，沒有加減法．多項式是若干個單項式的和，有加減法．
【詳解】解：是不是整式，、、、是整式，故整式的個數有4個，故選：B．
【點睛】本題主要考查的是整式的定義，屬于基礎題型．正確理解整式的定義是解決這個問題的關鍵．
考點6、寫出滿足條件的單項式
例6．（2023秋·安徽亳州·七年級統考期中）請寫出一個系數是負數，次數是5的單項式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據單項式定義直接求解即可得到答案．
【詳解】解：由單項式定義可得滿足條件的一個單項式為，故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查單項式定義，熟記單項式定義是解決問題的關鍵．
變式1．（2023·河南鶴壁·七年級統考期中）寫一個含有3個字母，系數是，次數是4的單項式，則這個單項式可以是 ．（寫一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據單項式的次數和系數的定義構造單項式即可．
【詳解】解：由題意可得：這個單項式可以是，故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查單項式的次數和系數，熟記概念是關鍵．
變式2．（2023秋·浙江·七年級專題練習）寫出一個系數為，且含字母和的3次單項式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據單項式的系數與次數的含義即可求解．單項式中的數字因數叫做單項式的系數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數．
【詳解】解：依題意，一個系數為，且只含有字母，的3次單項式為：，
故答案為：（答案不唯一）
【點睛】本題考查了單項式的系數與次數，熟記概念是解題的關鍵．
考點7、寫出滿足條件的多項式
例7．（2023·上海·七年級統考期末）寫一個只含有字母x，且一次項系數為的二次三項式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據多項式的次數和項數的概念解答即可．二次三項式是指最高次為2次，并含有三項，而一次系數為．
【詳解】解：由題意得：滿足題意的可為：，答案不唯一．
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】此題考查的是對多項式的性質的理解，此題答案不唯一，只要滿足條件即可．
變式1. （2023 乾安縣期末）任意寫出一個含有字母a，b的五次三項式，其中最高次項的系數為2：　 　．
【解題思路】直接利用多項式的次數與項數的定義分析得出答案．
【解答過程】解：由題意可得：2a2b3+ab+1（答案不唯一）．
故答案為：2a2b3+ab+1（答案不唯一）．
變式2. （2023 無錫期末）寫出一個次數是3，且只含有x，y的二項式：　 　．
【解題思路】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要寫出一個符合已知條件的即可．
【解答過程】解：次數是3，且只含有x，y的二項式是x2y+x，
故答案為：x2y+x（答案不唯一）．
考點8、單項式與多項式中的參數問題
例8．（2023·陜西榆林·七年級統考期中）已知單項式的次數與多項式的次數相同，求的值．
【答案】
【分析】根據多項式的次數和項數以及單項式的次數的定義，即可求解．
【詳解】解：因為多項式的次數是6，
所以單項式的次數也是6，所以，所以．
【點睛】本題考查了多項式的次數和單項式的次數的定義，掌握多項式中次數最高項的次數是多項式的次數是解題的關鍵．
變式1．（2023秋·浙江七年級課時練習）已知多項式是五次多項式，單項式與該多項式的次數相同，則 ．
【答案】
【分析】根據多項式的次數和單項式的次數的定義即可得出答案，單項式的次數是所有變量次數的和，多項式次數是其所有單項式次數最高的次數．
【詳解】解：∵多項式是五次多項式，，解得：，
∵單項式與該多項式的次數相同，，解得：，故答案為：．
【點睛】本題考查了多項式的次數和單項式的次數的定義，掌握多項式中次數最高項的次數是多項式的次數是解題的關鍵．
變式2．（2023秋·浙江七年級課時練習）已知多項式是五次四項式，最高次項的系數為，且單項式與該多項式的次數相同，求三次項系數．
【答案】1和
【分析】根據多項式是五次四項式，最高次項的系數為，且單項式與該多項式的次數相同，求出的值，從而即可得到答案．
【詳解】解：多項式是五次四項式，最高次項的系數為，
或，解得：或，
單項式與該多項式的次數相同，，
把代入得：，解得：，，
多項式為，三次項系數為1和．
【點睛】本題主要考查了單項式與多項式的相關概念，根據題意正確求出的值，熟練掌握單項式與多項式的相關概念是解題的關鍵．
.
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）下列各式中，不是單項式的是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根據單項式的定義：數或字母的積組成的式子叫做單項式，單獨的一個數或字母也是單項式解答即可．
【詳解】解：x，5，都是單項式，不是整式，不是單項式，故選：A．
【點睛】本題考查的是單項式，即數或字母的積組成的式子叫做單項式，單獨的一個數或字母也是單項式．
2．（2023·河北滄州·七年級校考期中）下列代數式：，，，，，，a，其中整式有（　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】B
【分析】根據單項式和多項式統稱為整式．單項式是字母和數的乘積，只有乘法，沒有加減法．多項式是若干個單項式的和，有加減法，可得答案．
【詳解】解：整式有，，，，，共有5個；故選：B．
【點睛】本題考查了整式，單項式和多項式統稱為整式，注意分母中含有字母的式子是分式不是整式．
3．（2023·廣東廣州·七年級校考期中）單項式的系數和次數分別是（ ）
A．9，6 B．9，5 C． D．
【答案】C
【分析】單項式中的數字因數叫做單項式的系數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數，由此即可得出答案．
【詳解】解：單項式的系數和次數分別是：；6．
故選：C．
【點睛】此題考查了單項式的知識，解題的關鍵是掌握單項式的系數及次數的定義，屬于基礎題．
4．（2023·黑龍江佳木斯·七年級校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．的系數是，次數是3 B．的系數是，次數是8
C．的系數是，次數是5 D．的系數是5，次數是2
【答案】C
【分析】根據單項式的系數和次數的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A．的系數是，次數是2，故選項錯誤，不符合題意；
B．的系數是，次數是，故選項錯誤，不符合題意；
C．的系數是，次數是5，故選項正確，符合題意；
D．的系數是，次數是2，故選項錯誤，不符合題意．故選：C．
【點睛】此題考查了單項式，單項式中的數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數和叫做單項式的次數，熟練掌握單項式的系數和次數的定義是解題的關鍵．
5．（2023·黑龍江雞西·七年級校考期中）下列結論正確的序號是（ ）
①是一個二次多項式；②多項式的系數是；③多項式是整式；④多項式的次數是4；⑤是多項式．
A．①②③④ B．①③ C．②③⑤ D．①④⑤
【答案】B
【分析】根據單項式與多項式的系數與次數的定義進行求解即可．
【詳解】①是一個二次多項式，故正確；②多項式沒有系數，故錯誤；
③多項式是整式，正確；④多項式的次數是2，故錯誤；⑤不是整式，故錯誤．
故選：B
【點睛】本題主要考查多項式與單項式，解答的關鍵是對多項式與單項式的次數與系數的掌握．
6．（2023·福建南平·七年級統考期中）一組按規律排列的式子：，，，，，則第個式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據上述式子，找到規律，進行解答，即可
【詳解】∵，，，，，
通過觀察，第一個式子的分子為：，第二個式子的分子為：，第三個式子的分子為：，第四個式子的分子為：，∴第個式子的分子為：；
第一個式子的分母為：，第二個式子的分子為：，第三個式子的分子為：，第四個式子的分子為：，∴第個式子的分母為：，∴上述式子的規律為：，
∴第個式子為：．故選：C．
【點睛】本題考查整式的知識，解題的關鍵根據題意，找到式子的規律．
7．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級校考開學考試）下列各式中，是二次三項式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據多項式的相關概念逐項判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、是二次二項式，故此選項不符合題意；
B、是一次三項式，故此選項不符合題意；C、是三次二項式，故此選項不符合題意；
D、是二次三項式，故此選項符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了多項式的相關概念，幾個單項式的和（或者差），叫做多項式，多項式中的每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高項次數，就是這個多項式的次數，其中多項式中不含字母的項叫做常數項，熟練掌握多項式的有關概念是解題的關鍵．
8．（2023·廣西七年級期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．是單項式也是整式 B．是多項式也是整式
C．整式一定是單項式 D．整式不一定是多項式
【答案】C
【分析】整式包括單項式和多項式；表示數與字母的積的代數式叫做單項式，單獨一個數或一個字母也是單項式；幾個單項式的和叫做多項式．
【詳解】解：A. 是單獨一個字母，是單項式也是整式，此選項正確，不符合題意；
B. 表示為5m-5n，是兩個單項式的和，是多項式也是整式，此選項正確，不符合題意；
C. 整式可能是單項式，也可能是多項式，此選項不正確，符合題意；
D. 整式可能是單項式，也可能是多項式，整式不一定是多項式，此選項正確，不符合題意．
故答案為：C．
【點睛】本題考查了整式的定義，掌握概念是解題的關鍵．
9．（2023 泰興市期中）下列說法：①若n為任意有理數，則﹣n2+2總是負數；②一個有理數不是整數就是分數；③若ab＞0，a+b＜0，則a＜0，b＜0；④﹣3x2y，，6a都是單項式；⑤若干個有理數相乘，積的符號由負因數的個數確定；⑥若a＜0，則|a|＝﹣a．其中錯誤的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據多項式、單項式、有理數的乘法和有理數的加法法則分別對每一項進行分析，即可得出答案．
【解析】①若n為任意有理數，則﹣n2+2總是負數，錯誤；②一個有理數不是整數就是分數，正確；
③若ab＞0，a+b＜0，則a＜0，b＜0，正確；④是多項式；
⑤若干個有理數（0除外）相乘，積的符號由負因數的個數確定；⑥若a＜0，則|a|＝﹣a，正確；
其中錯誤的有①④⑤，共3個；故選：C．
【點評】本題考查了多項式、單項式、有理數的乘法和有理數的加法則，能熟記知識點的內容是解此題的關鍵．
10.（2023·河南鶴壁·七年級期末）多項式是關于的四次三項式，則的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
【答案】C
【分析】根據四次三項式的定義可知，該多項式的最高次數為4，項數是3，所以可確定m的值．
【詳解】解：∵多項式是關于x的四次三項式，
∴|m|=4，m-4≠0，∴m=-4，故C正確．故選：C．
【點睛】本題考查了與多項式有關的概念，解題的關鍵理解四次三項式的概念，多項式中每個單項式叫做多項式的項，有幾項叫幾項式，這些單項式中的最高次數，就是這個多項式的次數．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·湖北黃岡·七年級校考階段練習）在整式，，，，中，單項式有 ．
【答案】，
【分析】根據單項式的定義逐個判斷即可得到答案．
【詳解】解：，是單項式，故答案為：，；
【點睛】本題考查單項式的定義：由數與字母的積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也叫做單項式．
12．（2023·內蒙古呼倫貝爾·七年級統考期末）寫出一個系數為，次數為4的單項式，這個單項式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據單項式的系數、次數的定義即可得．
【詳解】解：由題意，這個單項式可以為，故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了單項式的系數、次數的定義，熟記定義是解題關鍵．
13．（2023·黑龍江雞西·七年級校考期中）多項式是 次 項式，它的常數項是 ．
【答案】 二 三
【分析】多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數；多項式中的每一個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項，根據定義可得答案．
【詳解】解：多項式二次三項式，常數項是，故答案為：二、三，
【點睛】本題考查的是多項式的次數與項，常數項的含義，熟記基礎概念是解本題的關鍵．
14．（2023·安徽宣城·七年級校考期中）已知單項式的次數與多項式的次數相同，則 ．
【答案】5
【分析】根據單項式次數的定義：各字母指數的和；多項式中次數的定義：組成多項式的各單項式中次數最高的項，得出相應方程求解即可．
【詳解】解：單項式的次數是7，
∴多項式的次數也是7，∴，∴．故答案為：5
【點睛】題目主要考查單項式與多項式中次數的定義，理解次數的定義是解題關鍵．
15．（2022秋·黑龍江佳木斯·七年級校考期中）觀察一列單項式：，，，，，…，則第2018個單項式是 。
【答案】
【分析】觀察單項式的系數和次數找出規律即可求解．
【詳解】解：根據題意，第n個單項式的系數為，又次數依次為1、2、3、1、2、3…，每3個為一組進行循環，，
∴第2018個單項式的系數為，次數為2，
∴第2018個單項式是，
故答案為：．
【點睛】本題考察單項式的應用，理解題意，觀察出系數和次數的變化規律是解答的關鍵．
16．（2023 南崗區七年級校級月考）已知（m﹣3）xy|m|+1是關于x，y的五次單項式，則m的值是　 　．
【分析】根據單項式的次數的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：由題意得，|m|+1+1＝5，m﹣3≠0，解得，m＝﹣3，故答案為：﹣3．
17．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期中）如果一個多項式的各項的次數都相同，那么這個多項式叫做齊次多項式，如：是3次齊次多項式，若是齊次多項式，則x的值是 ．
【答案】1
【分析】根據題意，得到，計算即可．
【詳解】根據題意，得到，解得，故答案為：1．
【點睛】本題考查了多項式的新定義，熟練掌握定義是解題的關鍵．
18．（2022秋·北京朝陽·七年級校考期中）觀察下列圖形及圖形所對應的算式，


根據你發現的規律計算：（1）的結果為 ；
（2）（是正整數）的結果為 ．
【答案】 49
【分析】算式與正方形的面積有關，分別列出前三個圖形的面積，找出規律，從而得到第個圖形的面積．
【詳解】解：第（1）個圖形的面積；
第（2）個圖形的面積；
第（3）個圖形的面積；
第個圖形的面積是正整數），故答案為：49；．
【點睛】本題考查探索規律，體現了數形結合的數學思想，發現算式與正方形的面積有關是解題關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·安徽六安·七年級校考階段練習）對下列式子進行分類．
．
單項式：（ ）；多項式：（ ）；整式：（ ）．
【答案】，，，；，，；，，，，，，
【分析】單項式是指只含乘法的式子，單獨的字母或數字也是單項式． 多項式：若干個單項式的代數和組成的式子．多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數，就是這個多項式的次數．不含字母的項叫做常數；整式：單項式和多項式統稱為整式．
【詳解】單項式：（，，，）
多項式：（，，）
是整式：（，，，，，，）
【點睛】本題考查整式、單項式、多項式的概念，熟練掌握相關的概念是解題的關鍵．
20．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）已知多項式是六次四項式，單項式的次數與多項式的次數相同，求m、a的值．
【答案】
【分析】單項式的次數是指單項式中所有字母的指數的和，多項式的次數是指多項式中次數最高的單項式的次數，根據定義解決即可．
【詳解】解：∵是六次四項式，，∴，解得：，
又∵單項式的次數與多項式的次數相同，
∴，即，解得：，∴．
【點睛】本題考查了單項式的次數的定義和多項式次數的定義，根據定義建立方程即可解決．
21.分別寫出一個符合下列條件的單項式：（1）系數為3；（2）次數為2；（3）系數為﹣1，次數為3；（4）寫出系數為﹣1，均只含有字母a，b所有五次單項式．
【分析】（1）直接利用單項式的系數確定方法分別分析得出答案；
（2）直接利用單項式的次數確定方法分別分析得出答案；
（3）直接利用單項式的次數與系數確定方法分別分析得出答案；
（4）直接利用單項式的系數確定方法分別分析得出答案．
【解答】解：（1）系數為3的單項式可以為：3ab（答案不唯一）；
（2）次數為2的單項式可以為：x2（答案不唯一）；
（3）系數為﹣1，次數為3的的單項式可以為：﹣x3（答案不唯一）；
（4）系數為﹣1，均只含有字母a，b所有五次單項式分別為：﹣ab4，﹣a2b3，﹣a3b2，﹣a4b．
22.（2023 雙流區校級期中）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是關于x的多項式．
（1）當m、n滿足什么條件時，該多項式是關于x的二次多項式？
（2）當m，n滿足什么條件時，該多項式是關于x的三次二項式？
【解題思路】（1）根據二次多項式的定義得出m+1＝0，且n﹣2≠0，然后求解即可；（2）根據多項式是關于x的三次二項式得出m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，然后求解即可得出答案．
【解答過程】解：（1）由題意得：m+1＝0，且n﹣2≠0，解得：m＝﹣1，n≠2，
則m＝﹣1，n≠2時，該多項式是關于x的二次多項式；
（2）由題意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，解得：m≠﹣1，n＝2，
把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5，則m＝﹣5，n＝2時該多項式是關于x的三次二項式．
23.（2023 朝陽區校級期中）定義：f（a，b）是關于a，b的多項式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f（a，b）叫做“對稱多項式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，則f（b，a）＝b2+b+a+a2，顯然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“對稱多項式”．
（1）f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“對稱多項式”，試說明理由；
（2）請寫一個“對稱多項式”，f（a，b）＝　 　（不多于四項）；
【解題思路】（1）根據對稱多項式的定義，把多項式中的a，b互換，多項式不變就是，據此即可判斷；（2）根據定義即可寫出，答案不唯一；
【解答過程】解：（1）∵f（b，a）＝a2﹣2ab+b2，
則f（a，b）＝f（a，b），故f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“對稱多項式”；
（2）f（a，b）＝a+b，答案不唯一 故答案為：a+b，答案不唯一；
24．（2023·陜西咸陽·七年級校考期中）18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式，請你觀察下列幾種簡單的多面體模型，解答下列問題：

(1)根據上面多面體模型，完成表格中的空格：
多面體 頂點數 面數 棱數
四面體 4 4 ________
六面體 8 ________
八面體 ________ 8
你發現頂點數、面數、棱數之間存在的關系式是_______；
(2)一個多面體的面數比頂點數大8，且有條棱，則這個多面體的面數多少？
【答案】(1)6；6；6； (2)
【分析】（1）觀察圖形，結合多面體的頂點、面和棱的定義進行填空即可．根據多面體的頂點數，面數和棱數，總結規律可得V、F、E之間的數量關系式．
（2）根據（1）中，頂點數，面數和棱數之間的關系式，代入求解即可．
【詳解】（1）解：四面體的棱數為6；長方體的面數為6；正八面體的頂點數為6；
關系式為：；故答案為：；
（2）解：由題意得：，解得．故答案為：．
【點睛】本題考查了多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用，得出歐拉公式是解題關鍵．
25．（2023·福建三明·七年級校考期中）（1）觀察下面的點陣圖與等式的關系，并填空：
第1個點陣：

第2個點陣：

______＋______
第3個點陣：

______＋______
（2）觀察猜想，寫出第個點陣相對應的等式．
（3）根據以上猜想，求出的值．
【答案】（1），，，；（2）；（3）20201
【分析】（1）根據點陣圖即可求解；（2）根據（1）中的3個等式得出規律，進而寫出第個點陣相對應的等式；（3）根據（2）中得出的規律，進行計算即可．
【詳解】解：（1）由圖可得：，，
故答案為：，，，；
（2）第1個點陣：

第2個點陣：

第3個點陣：
第個點陣相對應的等式為：
；
（3）由（2）可得：，
，，
．
【點睛】本題考查了規律型：圖形的變化類，通過觀察、分析、歸納，得出規律第個點陣相對應的等式為：，是解題的關鍵．
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專題4.4 整式
模塊1：學習目標
1、了解單項式、多項式、整式的概念；
2、理解單項式的系數和次數的概念；理解多項式中項、項的系數、多項式的次數等概念；
3、了解整式在解決實際問題中的應用。
模塊2：知識梳理
單項式：數或字母的積（單獨的一個數或一個字母也是單項式）。例：5x；100；x；10ab等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是單項式。例：不是單項式。
單項式的系數：單項式中的數字叫做單項式的系數。例：的系數為。
單項式的次數：一個單項式中所有字母的指數的和。例：的次數為3次。
多項式：幾個單項式的和。
項：每個單項式叫做多項式的項，有幾項，就叫做幾項式。 常數項：不含字母的項。
多項式的次數：所有項中，次數最高的項的次數就是多項式的次數（最高次數是n次，就叫做n次式）。
整式：單項式與多項式統稱為整式。
注：①多項式是由多個單項式構成的；②單項式和多項式的區別在于是否含有加減運算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是單項式或多項式）
模塊3：核心考點與典例
考點1、單項式的概念
例1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期中）代數式：，，，t，，，，其中單項式的個數是（ ）
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
變式1．（2023·廣東惠州·七年級統考期中）下列代數式 ，0， ， ， ， ， 中，單項式共有（ ）個．
A．3 B．4 C．5 D．6
變式2．（2022秋·河北唐山·七年級統考期中）代數式，，，a，20，，中單項式的個數是（　　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
考點2、單項式的系數與次數
例2．（2023·福建三明·七年級校考期中）下面的說法中，正確的是（ ）
A．單項式的次數是2次 B．中底數是2 C．的系數是3 D．3是單項式
變式1．（2022秋·江西贛州·七年級統考期末）若單項式的次數為 ．
變式2．（2023秋·四川成都·七年級校考階段練習）單項式的系數是 ．
變式3．（2023秋·浙江七年級課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．單項式既沒有系數，也沒有次數 B．單項式的系數是
C．式子是單項式 D．有理數是單項式
考點3、多項式的概念
例3．（2023·江西贛州·七年級統考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多項式的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式1．（2022秋·河南鶴壁·七年級統考期中）下列代數式中，不是多項式的是（ ）．
A． B． C． D．
變式2．（2023秋·浙江·七年級專題練習）下列式子：，，，4，，，，其中是多項式的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
考點4、多項式的項、系數與次數
例4．（2023·江西吉安·七年級統考期中）多項式是（ ）
A．三次四項式 B．三次三項式 C．四次四項式 D．四次三項式
變式1．（2023·安徽合肥·七年級校考階段練習）對于多項式，下列說法正確的是（ ）
A．最高次項是 B．二次項系數是 C．常數項是 D．是三次四項式
變式2．（2023·福建·七年級校考期中）關于多項式，下列說法錯誤的是（ ）
A．這個多項式是五次四項式 B．常數項是1
C．按y降冪排列為 D．四次項的系數是3
考點5、整式的概念
例5．（2023·上海浦東新·七年級校考期中）在代數式；；；；；中整式的個數有（ ）個．
A． B． C． D．
變式1．（2023·福建漳州·七年級校考期中）在代數式：中，整式有（ ）．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
變式2．（2023·河北唐山·模擬預測）在，，，，等五個代數式中整式一共有（ ）個．
A． B． C． D．
考點6、寫出滿足條件的單項式
例6．（2023秋·安徽亳州·七年級統考期中）請寫出一個系數是負數，次數是5的單項式： ．
變式1．（2023·河南鶴壁·七年級統考期中）寫一個含有3個字母，系數是，次數是4的單項式，則這個單項式可以是 ．（寫一個即可）
變式2．（2023秋·浙江·七年級專題練習）寫出一個系數為，且含字母和的3次單項式 ．
考點7、寫出滿足條件的多項式
例7．（2023·上海·七年級統考期末）寫一個只含有字母x，且一次項系數為的二次三項式： ．
變式1. （2023 乾安縣期末）任意寫出一個含有字母a，b的五次三項式，其中最高次項的系數為2：　 　．
變式2. （2023 無錫期末）寫出一個次數是3，且只含有x，y的二項式：　 　．
考點8、單項式與多項式中的參數問題
例8．（2023·陜西榆林·七年級統考期中）已知單項式的次數與多項式的次數相同，求的值．
變式1．（2023秋·浙江七年級課時練習）已知多項式是五次多項式，單項式與該多項式的次數相同，則 ．
變式2．（2023秋·浙江七年級課時練習）已知多項式是五次四項式，最高次項的系數為，且單項式與該多項式的次數相同，求三次項系數．
.
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）下列各式中，不是單項式的是（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023·河北滄州·七年級校考期中）下列代數式：，，，，，，a，其中整式有（　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
3．（2023·廣東廣州·七年級校考期中）單項式的系數和次數分別是（ ）
A．9，6 B．9，5 C． D．
4．（2023·黑龍江佳木斯·七年級校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．的系數是，次數是3 B．的系數是，次數是8
C．的系數是，次數是5 D．的系數是5，次數是2
5．（2023·黑龍江雞西·七年級校考期中）下列結論正確的序號是（ ）
①是一個二次多項式；②多項式的系數是；③多項式是整式；④多項式的次數是4；⑤是多項式．
A．①②③④ B．①③ C．②③⑤ D．①④⑤
6．（2023·福建南平·七年級統考期中）一組按規律排列的式子：，，，，，則第個式子是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級校考開學考試）下列各式中，是二次三項式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·廣西七年級期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．是單項式也是整式 B．是多項式也是整式
C．整式一定是單項式 D．整式不一定是多項式
9．（2023 泰興市期中）下列說法：①若n為任意有理數，則﹣n2+2總是負數；②一個有理數不是整數就是分數；③若ab＞0，a+b＜0，則a＜0，b＜0；④﹣3x2y，，6a都是單項式；⑤若干個有理數相乘，積的符號由負因數的個數確定；⑥若a＜0，則|a|＝﹣a．其中錯誤的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10.（2023·河南鶴壁·七年級期末）多項式是關于的四次三項式，則的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·湖北黃岡·七年級校考階段練習）在整式，，，，中，單項式有 ．
12．（2023·內蒙古呼倫貝爾·七年級統考期末）寫出一個系數為，次數為4的單項式，這個單項式可以是 ．
13．（2023·黑龍江雞西·七年級校考期中）多項式是 次 項式，它的常數項是 ．
14．（2023·安徽宣城·七年級校考期中）已知單項式的次數與多項式的次數相同，則 ．
15．（2022秋·黑龍江佳木斯·七年級校考期中）觀察一列單項式：，，，，，…，則第2018個單項式是 。
16．（2023 南崗區七年級校級月考）已知（m﹣3）xy|m|+1是關于x，y的五次單項式，則m的值是　 　．
17．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期中）如果一個多項式的各項的次數都相同，那么這個多項式叫做齊次多項式，如：是3次齊次多項式，若是齊次多項式，則x的值是 ．
18．（2022秋·北京朝陽·七年級校考期中）觀察下列圖形及圖形所對應的算式，


根據你發現的規律計算：（1）的結果為 ；
（2）（是正整數）的結果為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·安徽六安·七年級校考階段練習）對下列式子進行分類．
．
單項式：（ ）；多項式：（ ）；整式：（ ）．
20．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）已知多項式是六次四項式，單項式的次數與多項式的次數相同，求m、a的值．
21.分別寫出一個符合下列條件的單項式：（1）系數為3；（2）次數為2；（3）系數為﹣1，次數為3；（4）寫出系數為﹣1，均只含有字母a，b所有五次單項式．
22.（2023 雙流區校級期中）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是關于x的多項式．
（1）當m、n滿足什么條件時，該多項式是關于x的二次多項式？
（2）當m，n滿足什么條件時，該多項式是關于x的三次二項式？
23.（2023 朝陽區校級期中）定義：f（a，b）是關于a，b的多項式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f（a，b）叫做“對稱多項式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，則f（b，a）＝b2+b+a+a2，顯然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“對稱多項式”．
（1）f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“對稱多項式”，試說明理由；
（2）請寫一個“對稱多項式”，f（a，b）＝　 　（不多于四項）；
24．（2023·陜西咸陽·七年級校考期中）18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式，請你觀察下列幾種簡單的多面體模型，解答下列問題：

(1)根據上面多面體模型，完成表格中的空格：
多面體 頂點數 面數 棱數
四面體 4 4 ________
六面體 8 ________
八面體 ________ 8
你發現頂點數、面數、棱數之間存在的關系式是_______；
(2)一個多面體的面數比頂點數大8，且有條棱，則這個多面體的面數多少？
25．（2023·福建三明·七年級校考期中）（1）觀察下面的點陣圖與等式的關系，并填空：
第1個點陣：

第2個點陣：

______＋______
第3個點陣：

______＋______
（2）觀察猜想，寫出第個點陣相對應的等式．
（3）根據以上猜想，求出的值．
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