資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題4.6 整式的加減
模塊1：學習目標
1、掌握整式的加減的步驟；
2、掌握化簡求值的步驟.
3、掌握整式比較大小的方法；
4、掌握整式在實際中的應用；
模塊2：知識梳理
整式的加減運算實際就是合并同類項的過程，具體步驟為：
①將同類項找出，并置與一起；②合并同類項。
注意：（1）當括號前面有數字因數時，應先利用乘法分配律計算，然后再去括號，注意不要漏乘括號內的任一項。（2）合并同類項時，只能把同類項合并，不是同類項的不能合并，合并同類項實際上就是有理數的加減運算。合并同類項要完全、徹底，不能漏項。
模塊3：核心考點與典例
考點1、多項式與多項式和的結果
例1．（2023·浙江七年級期末）若是一個五次多項式，是一個四次多項式，則一定是（ ）
A．次數不超過五次的多項式 B．五次多項式或單項式
C．九次多項式 D．次數不低于五次的多項式
【答案】B
【分析】利用整式的加減法則判斷即可．
【詳解】解：若A是一個五次多項式，B是一個四次多項式，
則A-B一定是五次多項式或單項式．故選：B．
【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式1. （2023·江蘇七年級期中）兩個四次多項式相加，和是（ ）
A．八次多項式 B．四次多項式 C．不超過四次的整式 D．不超過四次的多項式
【答案】C
【分析】根據兩個多項式都為四次多項式，利用合并同類項法則得到結果為不高于四次的整式．
【詳解】解：兩個四次多項式相加，結果的次數一定不高于四次，且為多項式或單項式，故選C．
【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式2.（2023 蕭山區月考）若P和Q都是關于x的五次多項式，則P+Q是（　?。?br/>A．關于x的五次多項式 B．關于x的十次多項式
C．關于x的四次多項式 D．關于x的不超過五次的多項式或單項式
【分析】根據合并同類項法則判斷即可．
【解答】解：若P和Q都是關于x的五次多項式，
則P+Q是關于x的不超過五次的多項式或單項式．故選：D．
考點2、整式的加減（遮擋問題）
例2．（2023·遼寧錦州市·七年級期中）下面是小芳做的一道多項式的加減運算題，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：，陰影部分即為被墨跡弄污的部分．那么被墨汁遮住的一項應是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意易得，然后進行求解即可．
【詳解】解：由題意得：
==；故選D．
【點睛】本題主要考查整式的加減，熟練掌握整式的加減運算是解題的關鍵．
變式1. （2023·河南新鄉·七年級期末）下面是小明做的一道多項式的加減運算題，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．，黑圓處即為被墨汁遮住的部分，那么被墨汁遮住的部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原式去括號合并得到結果，即可確定．
【詳解】=-x2+3xy-y2+x2-4xy+y2=-xy，
所以墨汁遮住的是-xy．故選：B．
【點睛】考查了整式的加減，解題關鍵是理解整式的加減實質上是合并同類項．
變式2. （2023 射洪市七年級期末）印卷時，工人不小心把一道化簡題前面一個數字遮住了，結果變成：■．（1）某同學辨認后把“■”猜成10，請你幫他算算化簡后該式是多少；（2）老師說：“你猜錯了，我看到該題目遮擋部分是單項式的系數和次數之積．”遮擋部分是多少？（3）若化簡結果是一個常數，請算算遮擋部分又該是多少？
【分析】（1）把“■”換成10，原式去括號合并即可得到結果；（2）求出單項式的系數和次數之積，確定出遮擋部分即可；（3）設遮擋部分為a，原式去括號合并后，根據化簡結果為常數，確定出a的值即可．
【解答】解：（1）根據題意得：原式＝10x2y﹣（5xy2xy﹣3x2yxy）+5xy2
＝10x2y﹣5xy2xy+3x2yxy+5xy2＝13x2y；
（2）是單項式的系數和次數之積為：3＝﹣4，答：遮擋部分應是﹣4；
（3）設遮擋部分為a，原式＝ax2y﹣5xy2+3x2y+5xy2＝ax2y+3x2y＝（a+3）x2y，
因為結果為常數，所以遮擋部分為﹣3．
考點3、整式的加減（不含某項）
例3．（2023 鹿邑縣七年級期末）若多項式2x3﹣8x2+x﹣1與多項式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次項，則m等于（　?。?br/>A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】直接利用整式的加減運算法則得出8+2m＝0，進而得出答案．
【解答】解：∵多項式2x3﹣8x2+x﹣1與多項式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次項，
∴2x3﹣8x2+x﹣1﹣（3x3+2mx2﹣5x+3）＝﹣x3﹣（8+2m）x2+6x﹣4，
∴8+2m＝0，解得：m＝﹣4．故選：D．
變式1．（2023·重慶市七年級期中）若多項式與多項式相減后不含二次項，則的值為______ ．
【答案】-4
【分析】由題意可以得到關于m的方程，解方程即可得到問題答案．
【詳解】解：由題意可得：-8-2m=0，解之可得：m=-4，故答案為-4．
【點睛】本題考查多項式的應用，熟練掌握多項式的相關概念是解題關鍵．
變式2. （2023·河北九年級一模）老師寫出一個整式（其中、為常數，且表示為系數），然后讓同學給、賦予不同的數值進行計算，
（1）甲同學給出了一組數據，最后計算的結果為，則甲同學給出、的值分別是_______，_______；（2）乙同學給出了，，請按照乙同學給出的數值化簡整式；
（3）丙同學給出一組數，計算的最后結果與的取值無關，請直接寫出丙同學的計算結果．
【答案】（1），；（2）；（3）-1
【分析】（1）整式進行整理后，利用等式的性質求解即可；（2）把，代入求解即可；
（3）計算的最后結果與的取值無關，則含x項的系數為0，據此求解即可．
【詳解】解：（1），
∴，，∴，，故答案為：，；
（2）當，時，原式；
（3）
∵計算的最后結果與的取值無關，∴，，∴原式．
【點睛】本題考查了整式的加減－化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
考點4、整式的比較大小
例4．（2023·河北七年級期末）已知，則與的大小關系____
【答案】M＜N
【分析】利用作差法比較大小即可．
【詳解】∵M=x2-3x-1， N=2x2-3x+1，∴M-N=x2-3x-1-2x2+3x-1=-x2-2，
∵x2≥0，∴-x2≤0，即-x2-2≤-2<0，∴M-N<0， 則M【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式1. （2023·浙江七年級期中）若，則A與B的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法判定大小關系
【答案】B
【分析】利用作差法進行比較即可．
【詳解】解：∵A=3x2-2x+3，B=2x2-2x+1，
∴A-B=（3x2-2x+3）-（2x2-2x+1）=3x2-2x+3-2x2+2x-1=x2+2＞0，∴A＞B．故選：B．
【點睛】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實質上就是合并同類項是解答此題的關鍵．
變式2.（2023 廣信區七年級期中）設A＝x2﹣4x﹣3，B＝2x2﹣4x﹣1，若x取任意有理數．則A與B的大小關系為（　?。?br/>A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．無法比較
【分析】把A與B代入A﹣B中，判斷差的正負，即可確定出大小關系．
【解答】解：∵A＝x2﹣4x﹣3，B＝2x2﹣4x﹣1，
∴A﹣B＝（x2﹣4x﹣3）﹣（2x2﹣4x﹣1）＝x2﹣4x﹣3﹣2x2+4x+1＝﹣x2﹣2＜0，則A＜B．故選：A．
考點5、整式的實際應用
例5．（2023·河北七年級期末）在學校溫暖課程數字興趣課中，嘉淇同學將一個邊長為的正方形紙片（如圖1）剪去兩個相同的小長方形，得到一個的圖案（如圖2），剪下的兩個小長方形剛好拼成一個“T”字形（如圖3），則“T”字形的外圍周長（不包括虛線部分）可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圖形表示出小長方形的長與寬，即可確定出周長．
【詳解】解：根據題意得：小長方形的長為a-b，寬為，
則“T”字形的外圍周長為，故選：C．
【點睛】本題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式1．（2023·重慶七年級期末）如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求矩形的長和寬，然后依據周長公式求解即可；
【詳解】矩形的寬為= ，矩形的長為= ，
∴ 矩形的周長為= ，故選：D．
【點睛】本意考查了求圖形的周長，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
變式2. （2023·北京七年級期末）如圖，某校的“圖書碼”共有7位數字，它是由6位數字代碼和校驗碼構成，其結構分別代表“種類代碼、出版社代碼、書序代碼和校驗碼”．
其中校驗碼是用來校驗圖書碼中前6位數字代碼的正確性．它的編制是按照特定的算法得來的．以上圖為例，其算法為：
步驟1：計算前6位數字中偶數位數字的和，即；
步驟2：計算前6位數字中奇數位數字的和，即；
步驟3：計算與的和，即；
步驟4：取大于或等于且為10的整數倍的最小數，即；
步驟5：計算與的差就是校驗碼，即．
請解答下列問題：
（1）《數學故事》的圖書碼為978753，則“步驟3”中的的值為______，校驗碼的值為______．
（2）如圖①，某圖書碼中的一位數字被墨水污染了，設這位數字為，你能用只含有的代數式表示上述步驟中的嗎？從而求出的值嗎？寫出你的思考過程．
（3）如圖②，某圖書碼中被墨水污染的兩個數字的差是4，這兩個數字從左到右分別是多少？請直接寫出結果．
【答案】（1）73，7；（2）3，過程見解析；（3）4、0或9、5或2、6
【分析】（1）根據特定的算法代入計算計算即可求解；
（2）根據特定的算法依次求出a，b，c，d，再根據d為10的整數倍即可求解；
（3）根據校驗碼為8結合兩個數字的差是4即可求解．
【詳解】（1）∵《數學故事》的圖書碼為978753Y，∴a=7+7+3=17，b=9+8+5=22，
則“步驟3”中的c的值為3×17+22=73，校驗碼Y的值為80-73=7．故答案為：73，7；
（2）依題意有：a=m+1+2=m+3，b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d為10的整數倍，∴3m的個位數字只能是9，∴m的值為3；
（3）可設這兩個數字從左到右分別是p，q，依題意有：
a=p+9+2=p+11，b=6+1+q=q+7，c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，
∵校驗碼是8，則3p+q的個位是2，
∵|p-q|=4，∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
故這兩個數字從左到右分別是4，0或9，5或2，6．
【點睛】本題考查列代數式以及整式的加減，正確理解題意，學會探究規律、利用規律是解題的關鍵．
考點6、整式的化簡求值
例6．（2023·湖北武漢市·七年級期中）先化簡，再求值．
（1），其中，； （2），其中，．
【答案】（1），5；（2），．
【分析】（1）直接合并同類項得出答案；
（2）直接去括號進而合并同類項，再把已知代入求出答案．
【詳解】（1）解：
，
當，時，原式．
（2）解：
，
當，時，
原式
．
【點睛】本題主要考查了整式的加減－化簡求值，正確合并同類項是解題關鍵．
變式1. （2023·焦作市七年級期中）先化簡，再求值：
（1）（4a2﹣3a）﹣（1﹣4a+4a2），其中a＝﹣2．
（2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1．
【答案】（1）a﹣1，﹣3；（2）﹣5x2y+5xy，0．
【分析】（1）先對原式去括號，合并同類項后，再代入求值即可；
（2）先對原式去括號，合并同類項后，再代入求值即可．
【詳解】解：（1）（4a2﹣3a）﹣（1﹣4a+4a2）＝4a2﹣3a﹣1+4a﹣4a2＝a﹣1，
∵a＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣1＝﹣3．
（2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y＝﹣5x2y+5xy，
∵x＝1，y＝﹣1，∴原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）＝5﹣5＝0．
【點睛】本題考查了整式的加減化簡求值，熟練掌握整式的加減的運算法則是解題的關鍵．
變式2．（2023·成都市七年級期中）請將下列代數式先化簡，再求值
（1），其中．
（2），其中．
【答案】（1），1；（2），
【分析】（1）根據去括號、合并同類項，可化簡整式，再將a和b值代入計算；
（2）根據去括號、合并同類項，可化簡整式，再將x和y值代入計算；
【詳解】解：（1）==
將代入，原式==1；
（2）
==
將代入，原式==．
【點睛】本題考查了整式的加減及化簡求值的知識，先去括號，再合并同類項，然后把滿足條件的字母的值代入計算得到對應的整式的值．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·河北七年級期末）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成化簡代數式，規則是：每名同學只能利用前面一個同學的式子，進一步計算，再將結果傳給下一個同學，最后解決問題．過程如圖所示：
接力中，自己負責的一步正確的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根據整式的加減法則去括號、移項、加括號、合并同類項逐一判斷即可．
【詳解】解：由老師到甲，甲接力應為：，故甲錯誤；
由甲到乙,乙接力應為：，故乙錯誤；
由乙到丙，丙接力應為：，故丙錯誤；
由丙到丁，丁接力應為: ，故丁正確；故選D．
【點睛】本題考查了整式加減法則去括號、移項、加括號、合并同類項；關鍵在于要正確的進行括號、移項、加括號、合并同類項，不要出現符號錯誤的情況．
2．（2023·江蘇七年級期末）若M和N都是3次多項式，則為（ ）
A．3次多項式 B．6次多項式 C．次數不超過3的整式 D．次數不低于3的整式
【答案】C
【分析】由M和N都是3次多項式，得到M+N的次數為3或2或1或0，即M+N的次數不一定為3次，不可能超過3次，即可得到正確的選項．
【詳解】解：∵M和N都是3次多項式，∴M+N為次數不超過3的整式．故選：C．
【點睛】此題考查整式的加減運算，以及多項式的次數，多項式的次數即為多項式中次數最高項次數．
3．（2023·江蘇七年級期中）減去得的式子為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先去括號，然后合并同類項即可．
【詳解】解：-3x+（x2-3x+6）=-3x+x2-3x+6=x2-6x+6故選：D．
【點睛】本題考查整式的加法運算，整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，這是各地中考的常考點．合并同類項時，注意是系數相加減，字母與字母的指數不變．去括號時，括號前面是“-”號，去掉括號和“-”號，括號里的各項都要改變符號．
4．（2023·安徽七年級期末）一個長方形的長是，寬是，則這個長方形的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據整式的運算法則即可求出答案．
【詳解】解：長方形的周長為：2（2a+a+1）=2（3a+1）=6a+2，故選：D．
【點睛】本題考查整式的運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．
5.（2023 衛輝市七年級期末）下面是小明做的一道多項式的加減運算題，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xyy2）﹣（x2+4xyy2）x2●，黑點處即為被墨跡弄污的部分，那么被墨汁遮住的一項應是（　　）
A．﹣xy B．+xy C．﹣7xy D．+7xy
【分析】原式去括號合并得到結果，即可確定出背墨汁遮住的一項．
【解答】解：原式＝﹣x2+3xyy2x2﹣4xyy2x2﹣xy，
則被墨汁遮住的一項應是﹣xy．故選：A．
6．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）若，則表示的多項式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據整式加減法的關系列式計算即可．
【詳解】設表示的多項式是M，
∵，
∴，故選：C．
【點睛】本題考查整式的加減運算，熟記加數與和的關系是解題的關鍵，需要注意符號．
7.（2022·陜西·西安市七年級期中）已知多項式化簡后不含x2項，則m的值為（ ）
A．-2 B．-3 C．1 D．-5
【答案】B
【分析】去括號，合并同類項，根據化簡后不含x2項即可求得答案．
【詳解】解：，
因為化簡后不含x2項，則，解得，故選B．
【點睛】本題考查了整式的加減，熟練掌握去括號及合并同類項是解題的關鍵．
8.（2023 澄海區期末）若A＝2x2﹣x+1，B＝x2﹣x﹣m2，則A，B的大小關系是（　?。?br/>A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．與x的值有關
【分析】將A和B作差，然后化簡，即可得到A﹣B的結果與0的大小關系，從而可以解答本題．
【解答】解：∵A＝2x2﹣x+1，B＝x2﹣x﹣m2，
∴A﹣B＝（2x2﹣x+1）﹣（x2﹣x﹣m2）＝2x2﹣x+1﹣x2+x+m2＝x2+1+m2＞0，∴A＞B，故選：C．
9.（2022·山西呂梁·七年級期末）周末，奶奶買了一些小桔子，小亮、姐姐、弟弟做了一個有趣的游戲：首先姐姐，小亮，弟弟手中拿上相同數量的桔子（每人手中的桔子大于4個），然后依次完成以下步驟：
第一步：姐姐給小亮2個桔子；
第二步：弟弟給小亮1個桔子；
第三步：此時，姐姐手中有幾個桔子，小亮就給姐姐幾個桔子．
請你確定，最終小亮手中剩余的桔子有幾個（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題是整式加減法的綜合運用，設每人有x個桔子，解答時依題意列出算式，求出答案．
【詳解】解：設剛開始姐姐，小亮，弟弟手中都拿x個桔子（x>4）， 那么，
姐姐給小亮2個桔子，姐姐手中剩下的桔子數為：x-2，
接著，弟弟給小亮1個桔子，此時小亮手中的桔子數為：x+2+1=x+3，
然后，姐姐手中有幾個桔子，小亮就給姐姐幾個桔子．最終小亮手中剩余的桔子數為：
x+3-(x-2)=x+3-x+2=5．故選：C．
【點睛】此題考查列代數式以及整式的加減，解題的關鍵是根據題目中所給的數量關系列代數式運算．
10．（2023·浙江七年級期末）如圖，長為y，寬為x的大長方形被分割為5小塊，除D、E外，其余3塊都是正方形，若陰影E的周長為8，下列說法中正確的是（　?。?br/>①x的值為4；②若陰影D的周長為6，則正方形A的面積為1；③若大長方形的面積為24，則三個正方形周長的和為24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】設正方形A的邊長為a， 正方形B的邊長為b，正方形C的邊長為c，表示出陰影E的長和寬，陰影D的長和寬，然后結合圖形逐項分析即可．
【詳解】設正方形A的邊長為a， 正方形B的邊長為b，正方形C的邊長為c，則x=a+b,y=b+c，陰影E的長為c，寬為a+b-c，陰影D的長為a，寬為b-a，
①∵陰影E的周長為8，∴2(c+a+b-c)=8，∴a+b=4，即x=4，故①正確；
②∵陰影D的周長為6，∴2(a+b-a)=6，∴b=3，
∵a+b=4，∴a=1，∴正方形A的面積為1，故②正確；
③∵大長方形的面積為24，∴xy=24，∵x=4，∴y=6，∴b+c=6，
假設三個正方形周長的和為24，則4a+4b+4c=24，∴a+b+c=6，
∴a=0，不合題意，故③錯誤；故選B．
【點睛】本題考查了整式加減的應用，用a，b，c表示出x，y是解答本題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022·山東臨沂·七年級期末）定義新運算：a#b＝3a－2b，則(x＋y)#(x－y)＝_________ ．
【答案】x＋5y##5y+x
【分析】根據定義的運算法則，計算求值即可；
【詳解】解：由題意得：(x＋y)#(x－y)= 3(x＋y)-2(x－y)=3x+3y-2x+2y=x+5y，
故答案為：x+5y；
【點睛】本題考查了整式的加減，掌握去括號法則是解題關鍵．
12.（2023 銅官區期末）若A是五次多項式，B是三次多項式，則A﹣B一定是　 　次　 　式．
【分析】根據合并同類項的法則即可求解．
【解答】解：根據題意，五次項沒有同類項，所以差的最高次是五次．
所以A﹣B的一定是五次多項式或單項式．故答案為：五、多項或單項
13．（2023·浙江七年級期中）某同學把錯抄成了，抄錯后的答案為y，正確答案為x，則的值為________．
【答案】-20
【分析】根據題意，用6（a-4）減去6a-4，求出x-y的值是多少即可．
【詳解】解：∵x=6（a-4），y=6a-4，
∴x-y=6（a-4）-（6a-4）=6a-24-6a+4=-20．故答案為：-20．
【點睛】此題主要考查了整式的加減問題，要熟練掌握，解題的關鍵是根據題意列出算式．
14．（2023·南靖縣七年級月考）小明在計算一個整式加上（xy﹣2yz）時所得答案是2yz+2xy，那么這個整式是______．
【答案】4yz+xy
【分析】利用和減去（xy﹣2yz），運用去括號，合并同類項即可得到正確的結果．
【詳解】解：由題意得：2yz+2xy-（xy﹣2yz）=2yz+2xy-xy+2yz=4yz+xy故答案為：4yz+xy
【點睛】此題主要考查了整式的加減運算，正確合并同類項是解題關鍵．
15.長方形一邊長為，另一邊長比它大，則周長為_______.
【答案】見試題解答內容
【分析】先求另一邊的長，然后根據周長公式列式求解．
【解答】解：另一邊的長為：（2a+b）+（a-b）=3a．
∴周長為[（2a+b）+3a]×2=10a+2b．
16．（2023·浙江七年級期末）已知，，無論取何值時，恒成立，則的值為______．
【答案】2
【分析】根據題意可以得到關于a的等式，從而可以求得a的值，本題得以解決．
【詳解】解：∵P=3ax-8x+1，Q=x-2ax-3，無論x取何值時，3P-2Q=9恒成立，
∴3P-2Q=3（3ax-8x+1）-2（x-2ax-3）=9ax-24x+3-2x+4ax+6=13ax-26x+9=（13a-26）x+9=9，
∴13a-26=0，解得，a=2，故答案為：2．
【點睛】本題考查整式的加減，解答本題的關鍵是明確整式的加減的計算方法．
17．（2023·浙江寧波市·七年級期中）如圖，把五個長為、寬為（）的小長方形，按圖1和圖2兩種方式放在一個寬為的大長方形上（相鄰的小長方形既無重疊，又不留空隙）．設圖1中兩塊陰影部分的周長和為，圖2中陰影部分的周長為，若大長方形的長比寬大，則的值為______．
【答案】12
【分析】先將圖1拆成兩個長方形，分別算出兩個長方形的長和寬即可求出；將圖2的每條邊長都求出來，相加即可求出；再根據兩個長方形的長相等得到等式，用和表示，代入中即可得出答案.
【詳解】由圖可知
∴
又∴故答案為12.
【點睛】本題考查的是整式的加減，解題的關鍵是理解題意得出等式.
18．（2022·湖南株洲·七年級期末）《數書九章》中的秦九韶算法是我國南宋時期的數學家秦九提出的一種多項式簡化算法，現在利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優的算法．例如，計算“當時，多項式的值”，按照秦九韶算法，可先將多項式進行改寫：
按改寫后的方式計算，它一共做了3次乘法，3次加法，與直接計算相比節省了乘法的次數，使計算量減少，計算當時，多項式的值為1008．
請參考上述方法，將多項式改寫為___________．
當時，這個多項式的值為____________．
【答案】
【分析】根據題意將變形，再將代入求值即可．
【詳解】解：由題意得，
，
當時，原式，
故答案為：．
【點睛】本題考查了整式的運算和代數式的求值，準確理解題意是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·湖北十堰市·七年級期中）式的計算：
（1）﹣ab+a2﹣（﹣ab）﹣a2；（2）3a2﹣[7a﹣（4a﹣3）﹣2a2]．
【答案】（1）ab+；（2）5a2﹣3a﹣3．
【分析】（1）根據整式的加減運算法則即可求解；
（2）先去括號，再根據整式的加減運算法則即可求解．
【詳解】（1）原式＝﹣ab+a2+ab﹣a2＝ab+；
（2）原式＝3a2﹣（7a﹣4a+3﹣2a2）＝3a2﹣（3a+3﹣2a2）＝3a2﹣3a﹣3+2a2＝5a2﹣3a﹣3．
【點睛】此題主要考查整式的加減，解題的關鍵是熟知其運算法則．
20．（2023江蘇·七年級期中）先化簡，再求值．
①，其中
②已知，求的值，其中．
【答案】①，；②，0
【分析】①原式去括號合并得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值；
②把A、B與C代入A-（B+C）中，去括號合并得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：①
==
將代入，原式==；
②=
==
將代入，原式==0．
【點睛】此題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
21．（2023·河南濮陽市·七年級期中）在化簡時，甲、乙兩同學的解答如下：
甲：
乙：
他們的解答正確嗎？如不正確，
（1）把出錯部分用橫線標出來，并在后面寫出正確的結果；
（2）寫出正確的解題過程．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據去括號法則判斷；（2）寫出正確解題過程即可．
【詳解】解：（1）兩人的解答都是在第一步出錯；
（2）正確的過程為：（2x2-1+3x）-4（x-x2+1）=2x2-1+3x-4x+4x2-4=（2+4）x2+（3-4）x+（-1-4）=6x2-x-5．
【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
22．（2023·河北唐山市·）老師寫出一個整式（其中、為常數，且表示為系數），然后讓同學給、賦予不同的數值進行計算，
（1）甲同學給出了一組數據，最后計算的結果為，則甲同學給出、的值分別是_______，_______；（2）乙同學給出了，，請按照乙同學給出的數值化簡整式；
（3）丙同學給出一組數，計算的最后結果與的取值無關，請直接寫出丙同學的計算結果．
【答案】（1），；（2）；（3）-1
【分析】（1）整式進行整理后，利用等式的性質求解即可；（2）把，代入求解即可；
（3）計算的最后結果與的取值無關，則含x項的系數為0，據此求解即可．
【詳解】解：（1），
∴，，∴，，故答案為：，；
（2）當，時，
原式；
（3）
∵計算的最后結果與的取值無關，∴，，∴原式．
【點睛】本題考查了整式的加減－化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
23．（2023·北京七年級期中）閱讀下面材料：
小明和小麗在信息技術課上設計了一個小游戲程序：開始時兩人的屏幕上顯示的數分別是2a和10a－1，如圖．每按一次屏幕，小明的屏幕上的數就會加上a2，同時小麗的屏幕上的數就會減去2a，且均顯示化簡后的結果，如下表：
開始數 按一次后 按二次后 按三次后 按四次后
小明
小麗
根據以上的信息回答問題：
（1）按四次后，兩人屏幕上顯示的結果是：小明____；小麗____；
（2）判斷（1）中兩個結果的大小，并說明理由．
【答案】（1）；2a-1；（2）小明的結果＞小麗的結果，理由見解析
【分析】(1)根據題目所給的定義，每按一次屏幕，小明的屏幕上的數就會加上a2，同時小麗的屏幕上的數就會減去2a進行計算得出結果即可；(2) 利用作差法，結合平方的非負性即可比較大小．
【詳解】解：(1)按4次，小明的屏幕上的數等于2a加4個，即為，
按4次，小麗的屏幕上的數等于10a－1減4個，為，
故答案為：，；
(2) =
∵，∴，故．即小明的結果＞小麗的結果．
【點睛】本題考查完全平方公式的應用．掌握作差法，能用知道平方的非負性是解題關鍵．
24．（2023·四川七年級期中）現有一塊長方形菜地，長24米，寬20米．菜地中間欲鋪設橫、縱兩條道路（圖中空白部分），如圖1所示，縱向道路的寬是橫向道路的寬的2倍，設橫向道路的寬是x米（x＞0）．
（1）填空：在圖1中，縱向道路的寬是 米；（用含x的代數式表示）
（2）試求圖1中菜地（陰影部分）的面積；
（3）若把橫向道路的寬改為原來的2.2倍，縱向道路的寬改為原來的一半，如圖2所示，設圖1與圖2中菜地的面積（陰影部分）分別為，試比較的大小．
【答案】（1）2x；（2）（2x2﹣68x+480）平方米；（3）
【分析】（1）根據縱向道路的寬是橫向道路的寬的2倍即可求解；
（2）根據題意，由菜地的面積=長方形的面積﹣菜地道路的面積求解即可；
（3）根據菜地的面積=長方形的面積﹣菜地道路的面積分別求出S1、S2，再比較即可．
【詳解】解：（1）∵橫向道路的寬是x米，且縱向道路的寬是橫向道路的寬的2倍，
∴縱向道路的寬是2x米，故答案為：2x；
（2）由題意，圖1中菜地的面積為24×20﹣(24×2x+20×x﹣x·2x)=2x2﹣68x+480(平方米)，
答：圖1中菜地（陰影部分）的面積為（2x2﹣68x+480）平方米；
（3）由題意，圖1中菜地的面積S1= 2x2﹣68x+480（平方米）
圖2中橫向道路的寬為2.2x米，縱向道路的寬為x米，
∴圖2中菜地的面積S2=24×20﹣(24×x+20×2.2x﹣x·2.2x=2.2x2﹣68x+480(平方米)，
∵x＞0，∴x2＞0，∴S1﹣S2=(2x2﹣68x+480)﹣（2.2x2﹣68x+480）=﹣0.2x2＜0，∴S1＜S2．
【點睛】本題考查了列代數式、整式的加減的應用、長方形的面積，正確表示出菜地道路的面積是解答的關鍵．
25．（2023·重慶八中七年級期中）2019 年，某葡萄園中“黑美人”喜獲豐收，總產量為 24000 千克，且有兩種銷售方式①運往市區銷售；②市民親自去生態農業園采摘購買，若運往市區銷售每千克售價為 a 元，市民親自去生態園采摘購買每千克售價為 b 元（b＜a），若小張將葡萄運往生態區銷售平均每天售出 1000 千克．需要請 6 名工人，每人每天付工資 300 元．農用車運費及其他各項稅費平均每天 400 元，若市民親自去生態農業園采摘則不再產生其他費用．
（1）請用 a 或 b 分表示出兩種不同方式出售完該批葡萄的收入若采用方式①收入 　　；若采用方式②收入 　　?。?br/>（2）由于 2019 年葡萄銷售良好，小張計劃 2020 大投理加種葡萄面積，但是現金不夠，小張于 2020 年 1 月在工商銀行借了 18 萬元貸款，貸款期為 5 年，從開始貸款的下一個月起以等額本金的方式償還：每月還貸款=平均每月應還的貸款本金+月利息．月利息=上月所剩貸款本金數額×月利率，貸款月利率是 0.5%．
①小張貸款后第一個月應還款額是多少元？
②假設貸款月利率不變，若小張在貸款后第 n（1≤n≤60，n 是正整數）個月的還款額為 y，請寫出 y 與 n 之間的關系．
【答案】（1）()元，元；（2）①第一個月應還款額是元；②()
【分析】（1）按兩種不同銷售方式列式即可；
（2）①求得平均每月應還的貸款本金與月利息的和即可；
②同理求得平均每月應還的貸款本金與月利息的和即可．
【詳解】（1）運往市區銷售葡萄的收入是：
(元)，
親自去生態園采摘葡萄的收入是：元，
故答案為：()元，元；
（2）①平均每月應還的貸款本金：(元)，
月利息是：(元)，
∴第一個月應還款額是：(元)；
答：第一個月應還款額是元；
②平均每月應還的貸款本金：(元)，
第個月的月利息是：(元)，
∴() ．
【點睛】本題主要考查了列代數式，整式加減的應用，正確理解并利用“每月還款數額=每月應還的貸款本金數額+月利息，月利息=上月所剩貸款本金數額×月利率“這些公式是解題關鍵．
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專題4.6 整式的加減
模塊1：學習目標
1、掌握整式的加減的步驟；
2、掌握化簡求值的步驟；
3、掌握整式比較大小的方法；
4、掌握整式在實際中的應用。
模塊2：知識梳理
整式的加減運算實際就是合并同類項的過程，具體步驟為：
①將同類項找出，并置與一起；②合并同類項。
注意：（1）當括號前面有數字因數時，應先利用乘法分配律計算，然后再去括號，注意不要漏乘括號內的任一項。（2）合并同類項時，只能把同類項合并，不是同類項的不能合并，合并同類項實際上就是有理數的加減運算。合并同類項要完全、徹底，不能漏項。
模塊3：核心考點與典例
考點1、多項式與多項式和的結果
例1．（2023·浙江七年級期末）若是一個五次多項式，是一個四次多項式，則一定是（ ）
A．次數不超過五次的多項式 B．五次多項式或單項式
C．九次多項式 D．次數不低于五次的多項式
變式1. （2023·江蘇七年級期中）兩個四次多項式相加，和是（ ）
A．八次多項式 B．四次多項式 C．不超過四次的整式 D．不超過四次的多項式
變式2.（2023 蕭山區月考）若P和Q都是關于x的五次多項式，則P+Q是（　?。?br/>A．關于x的五次多項式 B．關于x的十次多項式
C．關于x的四次多項式 D．關于x的不超過五次的多項式或單項式
考點2、整式的加減（遮擋問題）
例2．（2023·遼寧錦州市·七年級期中）下面是小芳做的一道多項式的加減運算題，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：，陰影部分即為被墨跡弄污的部分．那么被墨汁遮住的一項應是（ ）
A． B． C． D．
變式1. （2023·河南新鄉·七年級期末）下面是小明做的一道多項式的加減運算題，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．，黑圓處即為被墨汁遮住的部分，那么被墨汁遮住的部分是（ ）
A． B． C． D．
變式2. （2023 射洪市七年級期末）印卷時，工人不小心把一道化簡題前面一個數字遮住了，結果變成：■．（1）某同學辨認后把“■”猜成10，請你幫他算算化簡后該式是多少；（2）老師說：“你猜錯了，我看到該題目遮擋部分是單項式的系數和次數之積．”遮擋部分是多少？（3）若化簡結果是一個常數，請算算遮擋部分又該是多少？
考點3、整式的加減（不含某項）
例3．（2023 鹿邑縣七年級期末）若多項式2x3﹣8x2+x﹣1與多項式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次項，則m等于（　?。?br/>A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
變式1．（2023·重慶市七年級期中）若多項式與多項式相減后不含二次項，則的值為______ ．
變式2. （2023·河北九年級一模）老師寫出一個整式（其中、為常數，且表示為系數），然后讓同學給、賦予不同的數值進行計算，
（1）甲同學給出了一組數據，最后計算的結果為，則甲同學給出、的值分別是_______，_______；（2）乙同學給出了，，請按照乙同學給出的數值化簡整式；
（3）丙同學給出一組數，計算的最后結果與的取值無關，請直接寫出丙同學的計算結果．
考點4、整式的比較大小
例4．（2023·河北七年級期末）已知，則與的大小關系____
變式1. （2023·浙江七年級期中）若，則A與B的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法判定大小關系
變式2.（2023 廣信區七年級期中）設A＝x2﹣4x﹣3，B＝2x2﹣4x﹣1，若x取任意有理數．則A與B的大小關系為（　?。?br/>A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．無法比較
考點5、整式的實際應用
例5．（2023·河北七年級期末）在學校溫暖課程數字興趣課中，嘉淇同學將一個邊長為的正方形紙片（如圖1）剪去兩個相同的小長方形，得到一個的圖案（如圖2），剪下的兩個小長方形剛好拼成一個“T”字形（如圖3），則“T”字形的外圍周長（不包括虛線部分）可表示為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·重慶七年級期末）如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的周長為（ ）
A． B． C． D．
變式2. （2023·北京七年級期末）如圖，某校的“圖書碼”共有7位數字，它是由6位數字代碼和校驗碼構成，其結構分別代表“種類代碼、出版社代碼、書序代碼和校驗碼”．
其中校驗碼是用來校驗圖書碼中前6位數字代碼的正確性．它的編制是按照特定的算法得來的．以上圖為例，其算法為：
步驟1：計算前6位數字中偶數位數字的和，即；
步驟2：計算前6位數字中奇數位數字的和，即；
步驟3：計算與的和，即；
步驟4：取大于或等于且為10的整數倍的最小數，即；
步驟5：計算與的差就是校驗碼，即．
請解答下列問題：
（1）《數學故事》的圖書碼為978753，則“步驟3”中的的值為______，校驗碼的值為______．
（2）如圖①，某圖書碼中的一位數字被墨水污染了，設這位數字為，你能用只含有的代數式表示上述步驟中的嗎？從而求出的值嗎？寫出你的思考過程．
（3）如圖②，某圖書碼中被墨水污染的兩個數字的差是4，這兩個數字從左到右分別是多少？請直接寫出結果．
考點6、整式的化簡求值
例6．（2023·湖北武漢市·七年級期中）先化簡，再求值．
（1），其中，； （2），其中，．
變式1. （2023·焦作市七年級期中）先化簡，再求值：
（1）（4a2﹣3a）﹣（1﹣4a+4a2），其中a＝﹣2．
（2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1．
變式2．（2023·成都市七年級期中）請將下列代數式先化簡，再求值
（1），其中．
（2），其中．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·河北七年級期末）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成化簡代數式，規則是：每名同學只能利用前面一個同學的式子，進一步計算，再將結果傳給下一個同學，最后解決問題．過程如圖所示：
接力中，自己負責的一步正確的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2023·江蘇七年級期末）若M和N都是3次多項式，則為（ ）
A．3次多項式 B．6次多項式 C．次數不超過3的整式 D．次數不低于3的整式
3．（2023·江蘇七年級期中）減去得的式子為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽七年級期末）一個長方形的長是，寬是，則這個長方形的周長為（ ）
A． B． C． D．
5.（2023 衛輝市七年級期末）下面是小明做的一道多項式的加減運算題，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xyy2）﹣（x2+4xyy2）x2●，黑點處即為被墨跡弄污的部分，那么被墨汁遮住的一項應是（　?。?br/>A．﹣xy B．+xy C．﹣7xy D．+7xy
6.（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）若，則表示的多項式是（ ）
A． B． C． D．
7.（2022·陜西·西安市七年級期中）已知多項式化簡后不含x2項，則m的值為（ ）
A．-2 B．-3 C．1 D．-5
8.（2023 澄海區期末）若A＝2x2﹣x+1，B＝x2﹣x﹣m2，則A，B的大小關系是（　?。?br/>A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．與x的值有關
9.（2022·山西呂梁·七年級期末）周末，奶奶買了一些小桔子，小亮、姐姐、弟弟做了一個有趣的游戲：首先姐姐，小亮，弟弟手中拿上相同數量的桔子（每人手中的桔子大于4個），然后依次完成以下步驟：
第一步：姐姐給小亮2個桔子；
第二步：弟弟給小亮1個桔子；
第三步：此時，姐姐手中有幾個桔子，小亮就給姐姐幾個桔子．
請你確定，最終小亮手中剩余的桔子有幾個（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2023·浙江七年級期末）如圖，長為y，寬為x的大長方形被分割為5小塊，除D、E外，其余3塊都是正方形，若陰影E的周長為8，下列說法中正確的是（　?。?br/>①x的值為4；②若陰影D的周長為6，則正方形A的面積為1；③若大長方形的面積為24，則三個正方形周長的和為24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022·山東臨沂·七年級期末）定義新運算：a#b＝3a－2b，則(x＋y)#(x－y)＝_________ ．
12.（2023 銅官區期末）若A是五次多項式，B是三次多項式，則A﹣B一定是　 　次　 　式．
13．（2023·浙江七年級期中）某同學把錯抄成了，抄錯后的答案為y，正確答案為x，則的值為________．
14．（2023·南靖縣七年級月考）小明在計算一個整式加上（xy﹣2yz）時所得答案是2yz+2xy，那么這個整式是______．
15.長方形一邊長為，另一邊長比它大，則周長為_______.
16．（2023·浙江七年級期末）已知，，無論取何值時，恒成立，則的值為______．
17．（2023·浙江寧波市·七年級期中）如圖，把五個長為、寬為（）的小長方形，按圖1和圖2兩種方式放在一個寬為的大長方形上（相鄰的小長方形既無重疊，又不留空隙）．設圖1中兩塊陰影部分的周長和為，圖2中陰影部分的周長為，若大長方形的長比寬大，則的值為______．
18．（2022·湖南株洲·七年級期末）《數書九章》中的秦九韶算法是我國南宋時期的數學家秦九提出的一種多項式簡化算法，現在利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優的算法．例如，計算“當時，多項式的值”，按照秦九韶算法，可先將多項式進行改寫：
按改寫后的方式計算，它一共做了3次乘法，3次加法，與直接計算相比節省了乘法的次數，使計算量減少，計算當時，多項式的值為1008．
請參考上述方法，將多項式改寫為___________．
當時，這個多項式的值為____________．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·湖北十堰市·七年級期中）式的計算：
（1）﹣ab+a2﹣（﹣ab）﹣a2；（2）3a2﹣[7a﹣（4a﹣3）﹣2a2]．
20．（2023江蘇·七年級期中）先化簡，再求值．
①，其中
②已知，求的值，其中．
21．（2023·河南濮陽市·七年級期中）在化簡時，甲、乙兩同學的解答如下：
甲：
乙：
他們的解答正確嗎？如不正確，
（1）把出錯部分用橫線標出來，并在后面寫出正確的結果；（2）寫出正確的解題過程．
22．（2023·河北唐山市·）老師寫出一個整式（其中、為常數，且表示為系數），然后讓同學給、賦予不同的數值進行計算，
（1）甲同學給出了一組數據，最后計算的結果為，則甲同學給出、的值分別是_______，_______；（2）乙同學給出了，，請按照乙同學給出的數值化簡整式；
（3）丙同學給出一組數，計算的最后結果與的取值無關，請直接寫出丙同學的計算結果．
23．（2023·北京七年級期中）閱讀下面材料：
小明和小麗在信息技術課上設計了一個小游戲程序：開始時兩人的屏幕上顯示的數分別是2a和10a－1，如圖．每按一次屏幕，小明的屏幕上的數就會加上a2，同時小麗的屏幕上的數就會減去2a，且均顯示化簡后的結果，如下表：
開始數 按一次后 按二次后 按三次后 按四次后
小明
小麗
根據以上的信息回答問題：
（1）按四次后，兩人屏幕上顯示的結果是：小明____；小麗____；
（2）判斷（1）中兩個結果的大小，并說明理由．
24．（2023·四川七年級期中）現有一塊長方形菜地，長24米，寬20米．菜地中間欲鋪設橫、縱兩條道路（圖中空白部分），如圖1所示，縱向道路的寬是橫向道路的寬的2倍，設橫向道路的寬是x米（x＞0）．
（1）填空：在圖1中，縱向道路的寬是 米；（用含x的代數式表示）
（2）試求圖1中菜地（陰影部分）的面積；
（3）若把橫向道路的寬改為原來的2.2倍，縱向道路的寬改為原來的一半，如圖2所示，設圖1與圖2中菜地的面積（陰影部分）分別為，試比較的大?。?br/>25．（2023·重慶八中七年級期中）2019 年，某葡萄園中“黑美人”喜獲豐收，總產量為 24000 千克，且有兩種銷售方式①運往市區銷售；②市民親自去生態農業園采摘購買，若運往市區銷售每千克售價為 a 元，市民親自去生態園采摘購買每千克售價為 b 元（b＜a），若小張將葡萄運往生態區銷售平均每天售出 1000 千克．需要請 6 名工人，每人每天付工資 300 元．農用車運費及其他各項稅費平均每天 400 元，若市民親自去生態農業園采摘則不再產生其他費用．
（1）請用 a 或 b 分表示出兩種不同方式出售完該批葡萄的收入若采用方式①收入 　??；若采用方式②收入 　　　；（2）由于 2019 年葡萄銷售良好，小張計劃 2020 大投理加種葡萄面積，但是現金不夠，小張于 2020 年 1 月在工商銀行借了 18 萬元貸款，貸款期為 5 年，從開始貸款的下一個月起以等額本金的方式償還：每月還貸款=平均每月應還的貸款本金+月利息．月利息=上月所剩貸款本金數額×月利率，貸款月利率是 0.5%．①小張貸款后第一個月應還款額是多少元？②假設貸款月利率不變，若小張在貸款后第 n（1≤n≤60，n 是正整數）個月的還款額為 y，請寫出 y 與 n 之間的關系．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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