資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題5.4 一元一次方程的應用
模塊1：學習目標
1、體會直接或間接設未知數的解題思路，從而建立方程，解決實際問題；
2、借助立體或平面圖形（邊長、周長、面積、體積等）學會分析復雜問題中的數量和等量關系。
3、通過生活實例，了解成本、售價、利潤、利潤率之間的數量關系；
4、能在具體打折問題中找準等量關系，列出方程并求解。
5、借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而建立方程，解決實際問題；
6、熟悉路程問題中的速度、路程、時間之間的關系，從而實、現從文字語言到圖形語言，從圖形語言到符號語言的轉化。
模塊2：知識梳理
1.用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．
由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．
2.建立書寫模型常見的數量關系
1）公式形數量關系
生活中許多數學應用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時，必須通過情景中的信息，準確聯想有關的公式，利用有關公式直接建立等式方程。
長方形面積=長×寬 長方形周長=2（長+寬） 正方形面積=邊長×邊長 正方形周長=4邊長
2）約定型數量關系
利息問題，利潤問題，質量分數問題，比例尺問題等涉及的數量關系，像數學中的公式，但常常又不算數學公式。我們稱這類關系為約定型數量關系。
3）基本數量關系
在簡單應用情景中，與其他數量關系沒有什么差別，但在較復雜的應用情景中，應用方法就不同了。我么把這類數量關系稱為基本數量關系。
單價×數量=總價 速度×時間=路程 工作效率×時間=總工作量等。
3.分析數量關系的常用方法
1）直譯法分析數量關系
將題中關鍵性的數量關系的語句譯成含有未知數的代數式，并找出沒有公國的等量關系，翻譯成含有未知數的等式。
2）列表分析數量關系
當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數量之間的關系。
3）圖解法分析數量關系
用圖形表示題目中的數量關系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。
模塊3：核心考點與典例
考點1、幾何圖形問題
例1.（2022·陜西·西安七年級期末）如圖，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為5厘米的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬6厘米的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？
【答案】每一個長條的面積為．
【分析】設原來正方形紙的邊長是，則第一次剪下的長條的長是，寬是，第二次剪下的長條的長是，寬是；再根據第一次剪下的長條的面積第二次剪下的長條的面積，列出方程，求出的值是多少，即可求出每一個長條面積為多少．
【詳解】解：設原來正方形紙的邊長是，則第一次剪下的長條的長是，寬是，第二次剪下的長條的長是，寬是，
由題意得：，解得：，則．
答：每一個長條的面積為．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，解題的關鍵是正確列出一元一次方程．
變式1．（2022·浙江八年級期中）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為，用兩個相同的管子在容器的高度處（即管子底端離容器底）連通．現三個容器中，只有甲中有水，水位高，如圖所示、，若每分鐘同時向乙和丙注入等量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升，則注水___________分鐘后，甲與乙的水位高度之差是．
【答案】，
【分析】由題意得注水1分鐘，丙的水位上升，設開始注入t分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差為2cm，則可分：①當甲的水位低于乙的水位時，甲的水位不變時，②當甲的水位低于乙的水位時，乙的水位到達管子底部，甲的水位上升時，然后分類求解即可．
【詳解】解：∵甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為，且注水1分鐘，乙的水位上升，∴注水1分鐘，丙的水位上升，
設開始注入t分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差為2cm，則可分：
①當甲的水位低于乙的水位時，甲的水位不變時，則有：∴，解得：；
∵，∴此時丙容器已向乙容器溢水，
∵分鐘，cm，即經過分鐘丙容器的水達到管子底部，乙的水位上升cm，
∴，解得：；
②當甲的水位低于乙的水位時，乙的水位到達管子底部，甲的水位上升時，
∵乙的水位到達管子底部的時間為：分鐘，
∴，解得：；
綜上所述：開始注入，分鐘的水量后，甲乙的水位高度之差是2cm；故答案為，．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵．
變式2．（2022·河北承德·七年級期末）如圖，在大長方形（是寬）中放入六個長、寬都相同的小長方形，尺寸如圖所示，求小長方形的寬．若設，分析思路描述正確的是（ ）
甲：我列的方程，找小長方形的長作為相等關系；
乙：我列的方程，找的是大長方形的長做相等關系．
A．甲對乙不完全對 B．甲不完全對乙對 C．甲乙都正確 D．甲乙都不對
【答案】A
【分析】根據小長方形的長作為相等關系，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：設，根據小長方形的長作為相等關系，得出，
根據大長方形的寬做相等關系可得，
∴甲對乙不完全對，故A正確．故選：A．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
考點2、打折銷售問題
例2.（2022·重慶·黔江區育才初級中學校七年級期中）文峰文具店分兩次購進一款禮品盲盒共70盒，總共花費960元，已知第一批盲盒進價為每盒15元，第二批盲盒進價為每盒12元．
(1)文具店老板計劃將每盒盲盒標價20元出售，銷售完第一批盲盒后，再打八折銷售完第二批盲盒，按此計劃該老板總共可以獲得多少利潤？
(2)在實際銷售中，該文具店老板在以（1）中標價銷售完m盒后，決定搞一場促銷活動，盡快清理庫存．老板先將標價提高到每盒40元，再推出活動：購買兩盒，第一盒七折，第二盒半價，不單盒銷售．售完所有盲盒該老板共獲利600元，求m的值．
【答案】(1)320元 (2)30
【分析】（1）設第一次購買了盒，則第二次購買了盒，根據題意列方程，得出每一次購買得數量，再分別算出每一批的利潤，即可求解；
（2）根據題意，分別表示出銷售m盒的銷售額、七折的銷售額、半價的銷售額，再根據總銷售額－成本=利潤，列出方程，即可求解．
（1）設第一次購買了盒，則第二次購買了盒，
依題意得：，
解得：（盒），
∴ 第一次購買了40盒，第二次購買了30盒，
則第一批盈利：（元），
則第二批盈利：（元），
∴總共盈利：（元）．
（2）銷售m盒銷售額為：20m，
七折的銷售額為：，
半價的銷售額為：，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是讀懂題意，找準等量關系．
變式1.（2022·甘肅·永昌七年級期末）一件夾克衫先按成本價提高70%標價，再將標價打7折出售，結果獲利38元．設這件夾克衫的成本價是x元，那么依題意所列方程正確的是( )
A．70%（1+70%）x＝x+38 B．70%（1+70%）x＝x﹣38
C．70%（1+70%x）＝x﹣38 D．70%（1+70%x）＝x+38
【答案】A
【分析】設這件夾克衫的成本價是x元，根據售價＝成本＋利潤，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：設這件夾克衫的成本價是x元，
依題意，得：70%（1＋70%）x＝x＋38，故選：A．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
變式2.（2022·重慶八中）春節，即農歷新年，是一年之歲首、傳統意義上的年節．俗稱新春、新年、新歲、歲旦、年禧、大年等，口頭上又稱度歲、慶歲、過年、過大年．春節歷史悠久，由上古時代歲首祈年祭祀演變而來．為了喜迎新春，某水果店現推出水果籃和堅果禮盒，每個水果籃的成本為200元．每盒堅果禮盒的成本為150元，每個水果籃的售價比每盒堅果的售價多100元，售賣1個水果籃獲得的利潤和售賣2盒堅果禮盒獲得的利潤一樣多．（1）求每個水果籃和每盒堅果禮盒的售價．（2）在年末時，該水果店購進水果籃1250個和堅果禮盒1200盒，進行“新春特惠”促銷活動，水果店規定，每人每次最多購買水果籃1個或堅果禮盒1盒．水果籃每個售價打九折后再參與店內“每滿100元減m元”的活動，堅果禮盒每盒直接參與店內“每滿100元減m元”的活動；售賣結束時，堅果禮盒全部售賣完，售賣過程中由于部分水果變質導致水果籃有50個沒辦法售出．若該水果店獲得的利潤率為20%，求m的值．
【答案】（1）每個水果籃的售價為300元，每盒堅果禮盒的售價為200元；（2）10
【分析】（1）設每盒堅果禮盒的售價為元，則每個水果籃的售價為元，根據售賣1個水果籃獲得的利潤和售賣2盒堅果禮盒獲得的利潤一樣多，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論；
（2）根據促銷方案找出每個水果籃和每盒堅果禮盒的活動價，根據利潤=銷售收入-總成本，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論.
【詳解】（1）設每盒堅果禮盒的售價為元，則每個水果籃的售價為元，依題意得：，得：，每個水果籃的售價為：，
答：每個水果籃的售價為300元，每盒堅果禮盒的售價為200元.
（2）： (元），每個水果籃的活動價為元，
每盒堅果禮盒的售價為元，每盒堅果禮盒的活動價為元，依題意得：
解得：．答：的值為．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
考點3、和差倍分問題
例3.（2022·福建泉州·七年級階段練習） 為了進一步落實“雙減”政策，學校積極開展社團活動，原國際象棋社團有學生64人，羽毛球社團有學生56人．在家鄉著名羽毛球運動員黃東萍獲得奧運冠軍后學校掀起一股羽毛球熱潮，有部分國際象棋社團學生轉入羽毛球社團，現在國際象棋社團人數是羽毛球社團人數的一半．問有多少名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團？
【答案】有24名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團
【分析】設有x名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團，根據“現在國際象棋社團人數是羽毛球社團人數的一半”列出一元一次方程，解方程求解即可．
【詳解】解：設有x名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團，根據題意得：
2(64-x)=56+x， 解得x=24；
答：有24名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，準確利用數量關系列出一元一次方程是解題的關鍵．
變式1．（2022·山東東營·中考真題）植樹節當天，七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數的，七年級2班植樹棵數是這批樹苗總數的，則七年級2班植樹的棵數是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
【答案】C
【分析】設這批樹苗一共有x棵，據七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數的，列出方程求解即可．
【詳解】解：設這批樹苗一共有x棵，由題意得：，解得，
∴七年級2班植樹的棵數是棵，故選C．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，正確理解題意列出方程是解題的關鍵．
變式2．（2022·福建·泉州市城東中學七年級期中）疫情無情人有情，愛心捐款傳真情．某校三個年級為疫情重災區捐款，經統計，七年級捐款數占全校三個年級捐款總數的，八年級捐款數是全校三個年級捐款數的平均數，已知九年級捐款1916元，求其他兩個年級的捐款數若設七年級捐款數為x元，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據七年級的捐款為x元，可以求得三個年級的總的捐款數，然后即可得到八年級的捐款數，從而可以列出相應的方程，本題得以解決．
【詳解】解：由題意可得，
七年級捐款數為元，則三個年級的總的捐款數為：，
故八年級的捐款為：，則，故選：A．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題關鍵是明確題意，列出相應的方程．
考點4、配套問題
例4.（2022·四川廣安·七年級期末）某車間有94個工人，生產甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產甲種零件12個或乙種零件23個．已知每1個甲種零件和2個乙種零件配成一套，問應分配多少人生產甲種零件，多少人生產乙種零件，才能使每天生產的這兩種零件剛好配套？每天能生產成多少套？（列一元一次方程求解）
【答案】46人生產甲種零件，48人生產乙種零件，每天生產552套
【分析】設應分配x人生產甲種零件，（94﹣x）人生產乙種零件才能使每天生產的甲種零件和乙種零件剛好配套，根據每人每天平均能生產甲種零件12個或乙種零件23個，可列方程求解．
【詳解】解：設應分配x人生產甲種零件，（94﹣x）人生產乙種零件，
12x×2＝23（94﹣x）×1，解得x＝46，
94﹣46＝48（人），每天生產（套）．
故應分配46人生產甲種零件，48人生產乙種零件才能使每天生產的甲種零件和乙種零件剛好配套，每天能生產成552套．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．關鍵是設出生產甲和乙的人數，以配套的比例列方程求解．
變式1．（2022·西安市七年級期末）2020年為了應對武漢新冠肺炎疫情，需要快速建立醫院，某車間連夜加班生產醫用設備，現共有60個工人可以生產甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產甲種零件24個或乙種零件12個．已知每2個甲種零件和每3個乙種零件配成一套，問應分配多少人生產甲種零件，多少人生產乙種零件，才能使每天生產的這兩種零件剛好都配套？
【答案】應分配15人生產甲種零件，45人生產乙種零件
【分析】設應分配人生產甲種零件，則人生產乙種零件，才能使每天生產的這兩種種零件剛好配套，根據每人每天平均能生產甲種零件24個或乙種零件12個，可列方程求解．
【詳解】解：設分配人生產甲種零件，則共生產甲零件個和乙零件，
依題意得方程：，解得，（人．
答：應分配15人生產甲種零件，45人生產乙種零件，才能使每天生產的這兩種零件剛好配套．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用和理解題意的能力，關鍵是設出生產甲和乙的人數，以配套的比例列方程求解．
變式2．（2022·河北）某服裝廠要生產同一種型號的服裝，已知長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套．（1）現庫內存有布料，應如何分配布料做上衣和做褲子才能恰好配套？可以生產多少套衣服？（2）如果恰好有這種布料，最多可以生產多少套衣服？本著不浪費的原則，如果有剩余，余料可以做幾件上衣或褲子？（本問直接寫出結果）
【答案】（1）做上衣用布料，則做褲子用布料；72套；（2）最多可以生產80套衣服，余料可以做1件上衣或2條褲子．
【分析】（1）設做上衣用布料，從而可得做褲子用布料，再根據“長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套”建立關于的一元一次方程，解方程即可得；
（2）先求得生產一套需要布料m，可生產80套衣服，還余布料2 m，再進行分析求解即可得．
【詳解】解：（1）設做上衣用布料，則做褲子用布料，
由題意得：，解得，則，可以生產套衣服；
答：做上衣用布料，做褲子用布料；可以生產72套衣服；
（2）由（1）知：做一件上衣需要布料(m)，做一條褲子需要布料(m)，
則生產一套需要布料(m)，(套)，還余布料2 m，
2 m布料可做上衣(件)，還余布料0.5 m，2 m布料可做褲子(條)，
答：最多可以生產80套衣服，余料可以做1件上衣或2條褲子．
【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，依據題意，正確建立方程是解題關鍵．
考點5、數字與日歷問題
例5.（2022·湖北荊門·七年級期中）觀察下列三行數：
(1)每行的第9個數分別為 ， ， ．
(2)如圖，用一個長方形方框框住六個數，左右移動方框，若方框中的六個數左上角數記為x，求這六個數的和（結果用含x式子表示并化簡）．
(3)第三行是否存在連續的三個數的和為381，若存在，求這三個數，若不存在，請說明理由？
【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1 (2)－x+2 (3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行數的規律，然后問題可求解；（2）由題意易得另五個數分別為－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后問題可求解；（3）設這三個數分別為：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，進而問題可求解．
（1）解：第①行的有理數分別是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n個數為（－2）n（n是正整數），第9個數為（－2）9，
第②行的數等于第①行相應的數加2，即第n的數為（－2）n+2（n是正整數），第9個數為(-2)9+2，
第③行的數等于第①行相應的數的相反數減去1，即第n個數是－（－2）n－1（n是正整數），第9個數為-(-2)9－1，
（2）解：∵左上角數記為x，∴另五個數分別為：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）解：設這三個數分別為：－x－1，2x－1，－4x－1，
由題意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，∴這三個數分別為127，－257，511．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用及數字規律問題，解題的關鍵是得到每行數字的規律．
變式1．（2022·陜西西安·七年級期末）如圖，在2022年元月份的月歷表中，任意框出表中豎列上相鄰的四個數，則這四個數的和可能是（ ）
A．42 B．60 C．78 D．86
【答案】C
【分析】由于表中豎列上相鄰兩列的數相差7，所以可設這四個數中最小的一個數為x，則其余的三個數為x+7，x+14，x+21，然后根據這四個數的和分別等于四個選項中的數列出方程，求出方程的解，然后根據實際意義取值即可．
【詳解】解：設這四個數中最小的一個數為x，則其余的三個數為x+7，x+14，x+21，
那么，這四個數的和為x+x+7+x+14+x+21=4x+42．
A、如果4x+42=42，那么x=0，故A不符合題意；
B、如果4x+42=60，那么x=4.5，故B不符合題意；
C、如果4x+42=78，那么x=9，故C符合題意；
D、如果4x+42=86，那么x=11，故D不合題意．故選：C．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答．
變式2．（2022·山東青島·七年級期中）一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大1，若將個位與十位上的數字對調，得到的新數比原數大9，設個位上的數字為x，十位上的數字為y，根據題意，可列方程為：______．
【答案】或
【分析】列代數式寫出原數和新數，通過新數比原數大9列方程即可．
【詳解】解：①∵十位上的數字比個位上的數字大1，∴，
②∵對調前個位上的數字為x，十位上的數字為y，∴原數為： ，
∵對調后個位上的數字為y，十位上的數字為x，∴新數為：，
∵新數比原數大9，∴，
故答案為：或．
【點睛】本題考查列方程，正確寫出原數和新數的代數式是解題的關鍵．
考點6、方案優化問題
例6.（2022·海南·海口中學七年級期末）某學校組織七年級同學參加社會實踐活動，計劃前往博物館參觀；若博物館的門票只能當日有效，且價格規定如表：
購票張數 1～49張 50～99張 100張以上
每張門票的價格 15元 12元 9元
現有七年級三個班共129人參觀，其中每個班都不足50人；
(1)若學校為七年級集體購票，共需購票款多少元？(2)因七年一班需要在校參加另外一項活動，參觀時間另外安排，這樣學校兩次購票共花費1674元，求七年一班有多少學生？
(3)當七年一班去博物館參觀時，班長同學采取了新的購票方案，結果比（2）中方案省錢，你知道班長是如何購票的嗎？請計算班長同學節約了多少錢．
【答案】(1)1161元 (2)42人 (3)30元
【分析】（1）根據題意得出七年級集體購票每張單價為9元，然后用人數乘以單價即可；
（2）根據題意得出其余兩班的人數大于129-50=79（人），兩班的人數少于100人，設七一班有x人，則其余兩班的人數是(129-x)人，列出方程求解即可；
（3）根據表格數據知購買50張票的總價小于42人的購票總價，然后計算差即為節約的錢數．
（1）解：七年級集體購票每張單價為9元，
則共需購票款為129×9=1161（元）；
（2）因為每個班不足50人，則其余兩班的人數大于129-50=79（人），兩班的人數少于100人，
設七一班有x人，則其余兩班的人數是(129-x)人，
則有15x+12×(129-x)=1674，
解得x=42 則七一班人數有42人；
（3）42×15=630(元)，50×12=600(元)，
班長按每人12元的票價購買了50張花了600元，
這樣班長節約了630-600=30（元）．
【點睛】題目主要考查有理數的混合運算的應用，一元一次方程的應用，理解題意，列出相應式子及方程是解題關鍵．
變式1．（2022·山東煙臺·七年級期末）22年冬奧會開幕式上，煙臺萊州武校的健兒們參演的立春節目讓全世界人民驚艷和動容，小明想知道這震撼人心的隊伍的總人數．張老師說你可以自己算算：若調配55座大巴若干輛接送他們，則有8人沒有座位；若調配44座大巴接送，則用車數量將增加兩輛，并空出3個座位，你能幫小明算出一共去了_______名健兒參演節目嗎？
【答案】393
【分析】設有55座大巴輛，則44座大巴，據人數相等列出一元一次方程，解方程，進而即可求解．
【詳解】解：設有55座大巴輛，則44座大巴，根據題意得，
，解得，
則總人數為（人），故答案為：393．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
變式2．（2022·新疆塔城·七年級期末）北京某景區，門票價格規定如下表：
購票張數 1～50張（包含50張） 50～100張（不包含50張） 100張以上
每張票的價格 60元 50元 40元
某校七年級（1）、（2）兩個班共102人去該景區游玩，其中（1）班人數多于（2）班人數，且（1）班人數不足100人，如果兩個班分別以班為單位單獨購買門票，一共應付5500元．
(1)去該景區游玩的七年級（1）班和（2）班各有多少學生？
(2)如果七年級（1）班有12名學生因需參加學校競賽不能外出游玩，（2）班學生可以全員參加游玩，作為組織者，你有幾種購票方案？通過比較，你該如何購票才能最省錢？
【答案】(1)七年級（1）班有62人，（2）班有40人
(2)七年級（1）班和（2）班應該聯合起來一次購買101張門票最省錢
【分析】（1）設七年級（1）班有學生x人，則七年級（2）班有學生102－x人，因為其中（1）班人數多于（2）班人數，所以51（1）解：設去該景區游玩的七年級（1）班有x人，（2）班有人．根據題意，得
解得．
則（2）班人數為：（人）．
答：七年級（1）班有62人，（2）班有40人．
（2）解：方案一：各自購買門票需（元）；
方案二：聯合購買門票需（元）；
方案三：聯合購買101張門票需（元）；
綜上所述：因為．
答：七年級（1）班和（2）班應該聯合起來一次購買101張門票最省錢．
【點睛】本題考查的是一元一次方程的應用：方案選擇問題，解題的關鍵是讀懂題意，利用隱含條件找出等量關系列方程．
考點7、行程問題
例7.（2022·山西渾源·初一期末）綜合與實踐：
甲乙兩地相距900千米，一列快車從甲地出發勻速開往乙地，速度為120千米/時；快車開出30分鐘時，一列慢車從乙地出發勻速開往甲地，速度為90千米/時．設慢車行駛的時間為x小時，快車到達乙地后停止行駛，根據題意解答下列問題：（1）當快車與慢車相遇時，求慢車行駛的時間；（2）當兩車之間的距離為315千米時，求快車所行的路程；
（3）①在慢車從乙地開往甲地的過程中，直接寫出快慢兩車之間的距離；（用含x的代數式表示）
②若第二列快車也從甲地出發勻速駛往乙地，速度與第一列快車相同，在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，第二列快車與慢車相遇，直接寫出第二列快車比第一列快車晚出發多少小時．
【答案】（1）4小時 （2）360千米或720千米 （3）①0≤x＜4時，840﹣210x；4≤x＜7時，210x﹣840；7≤x≤10時，90x ②小時
【分析】（1）設慢車行駛的時間為x小時，根據相遇時，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900，依此列出方程，求解即可；
（2）當兩車之間的距離為315千米時，分三種情況：①兩車相遇前相距315千米，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900-315；②兩車相遇后相距315千米，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900+315；③當快車到達乙地時，快車行駛了7.5小時，慢車行駛了7小時，7×90=630＞315，此種情況不存在；
（3）①分三種情況：慢車與快車相遇前；慢車與快車相遇后；快車到達乙地時；
②在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，慢車行駛的時間為4+=小時，快車慢車行駛的時間為4++=5小時．設第二列快車行駛y小時與慢車相遇，根據相遇時，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900，求出y的值，進而求解即可．
【解析】解：（1）設慢車行駛的時間為x小時，由題意得120（x＋）＋90x＝900，解得x＝4．
答：當快車與慢車相遇時，慢車行駛了4小時．
（2）當兩車之間的距離為315千米時，有兩種情況：
①兩車相遇前相距315千米，此時120（x＋）＋90x＝900﹣315，解得x＝2.5．
120（x＋）＝360（千米）；
②兩車相遇后相距315千米，此時120（x＋）＋90x＝900＋315，解得x＝5.5．
120（x＋）＝720（千米）；
③當快車到達乙地時，快車行駛了7.5小時，慢車行駛了7小時，
7×90＝630＞315，此種情況不存在．
答：當兩車之間的距離為315千米時，快車所行的路程為360千米或720千米；
（3）①當慢車與快車相遇前，即0≤x＜4時，
兩車的距離為900﹣120（x＋）﹣90x＝840﹣210x；
當慢車與快車相遇后，快車到達乙地前，即4≤x＜7時，
兩車的距離為120（x＋）＋90x﹣900＝210x﹣840；
當快車到達乙地時，即7≤x≤10時，兩車的距離為90x；
②第二列快車比第一列快車晚出發小時．
在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，慢車行駛的時間為4＋＝小時，
快車行駛的時間為4＋＋＝5小時．
設第二列快車行駛y小時與慢車相遇，由題意，得120y＋×90＝900，解得y＝4．
5﹣4＝（小時）．答：第二列快車比第一列快車晚出發小時．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．
變式1.（2022·四川內江·）2020年12月30日，連云港市圖書館新館正式開館．小明同學從家步行去圖書館，他以的速度行進后，爸爸騎自行車以的速度按原路追趕小明．設爸爸出發后與小明會合，那么所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設爸爸出發后與小明會合，則此時小明出發了h，利用路程=速度×時間，結合會合時兩人行走（或騎行）的路程相等，即可得出關于x的一元一次方程，即可．
【詳解】解：設爸爸出發后與小明會合，則此時小明出發了h，
依據題意得：，故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題關鍵．
變式2.（2022·湖北七年級期末）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用2h，船在靜水中的速度為26km/h，水速為2km/h．設A港和B港相距x km．根據題意，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設A港和B港相距x千米，根據行船問題公式可知，順水速度較快，所用時間較少，所以利用行程問題公式，列方程為： ，變形為：，據此選擇．
【詳解】解：設A港和B港相距x千米，，
變形為：∴方程為：故選B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，抓住關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．順水速度=水流速度+靜水速度，逆水速度=靜水速度-水流速度．
考點8、工程問題
例8.（2022·河南信陽·七年級期末）為推進我國“碳達峰、碳中和”雙碳目標的實現，各地大力推廣分布式光伏發電項目．某公司計劃建設一座光伏發電站，若由甲工程隊單獨施工需要3周，每周耗資8萬元，若由乙工程隊單獨施工需要6周，每周耗資3萬元．
(1)若甲、乙兩工程隊合作施工，需要幾周完成 共需耗資多少萬元
(2)若需要最遲4周完成工程，請你設計一種方案，既保證按時完成任務，又最大限度節省資金．（時間按整周計算）
【答案】(1)甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元
(2)選擇先由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節省資金
【分析】（1）設甲、乙兩工程隊合作施工，需要x周完成，根據“甲工程隊單獨施工需要3周”、“由乙工程隊單獨施工需要6周”可列方程求解；
（2）設先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成，根據“甲的工作量+乙的工作量=1”列出方程并解答；然后根據甲、乙兩隊的每周耗資作出方案的選擇．
（1）解：設甲、乙兩工程隊合作施工，需要x周完成．根據題意，得(+)x=1．解得x=2．所以（8+3）×2=22（萬元）．答：甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元；
（2）解：設先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成．根據題意，得，解得y=1，所以4-1=3，所以（8+3）×1+3×3=20（萬元）．所以選擇先由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節省資金．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，關鍵是根據工作量=工作時間×工作效率列方程求解．
變式1．（2022·仁壽縣七年級期中）一項工程，甲單獨做需20天完成 ，乙單獨做需15天完成，現在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙獨做，先后共用12天，請問甲做了多少天？
【答案】甲做了4天．
【分析】設甲做了x天，利用甲完成的工程量+乙完成的工程量=總工程量，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．
【詳解】解：設甲做了x天，
依題意得：，
解得：x=4．
答：甲做了4天．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
變式2．（2022·河南南陽·七年級期中）某廠接到一所中學的冬季校服定做任務，計劃用、兩臺大型設備進行加工，如果單獨用型設備，需要45天做完；如果單獨用型設備，需要30天做完；為了同學們能及時領到冬季校服，工廠決定由兩臺設備同時趕制．
(1)填空：型設備的工作效率是_________，型設備的工作效率是_________；
(2)若兩臺設備同時加工10天后，型設備出了故障，暫時不能工作，如果由型設備單獨完成剩下的任務，則還需要多少天？
【答案】(1)， (2)20天
【分析】（1）利用工作效率工作總量工作時間，可得出，兩臺設備的工作效率；
（2）先設還需要天完成，利用型設備完成的工作量型設備完成的工作量總工作量，即可得出關于的一元一次方程，求解即可．
（1）解：如果單獨用型設備，需要45天做完；如果單獨用型設備，需要30天做完，
型設備的工作效率是這批校服數量的，型設備的工作效率是這批校服數量的．
故答案為：；．
（2）解：設還需要天完成，
依題意得：，解得：．
答：還需要20天完成．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程求解．
考點9、調配問題
例9．（2022·杭州市公益中學七年級期末）A、B兩地果園分別有蘋果20噸和30噸，C、D兩地分別需要蘋果15噸和35噸；已知從A、B到C、D的運價如表：
A果園 B果園
到C地 每噸15元 每噸10元
到D地 每噸12元 每噸9噸
（1）若從A果園運到C地的蘋果為x噸，則從A果園運到D地的蘋果為　 　噸，從B果園將蘋果運往C地的蘋果為　 　噸，從B果園將蘋果運往D地的蘋果為　 　噸．
（2）若從A果園運到C地的蘋果為x噸，用含x的代數式表示從A果園到C、D兩地的總運費是　 　元；用含x的代數式表示從B果園到C、D兩地的總運費是　 　元．
（3）若從A果園運到C地的蘋果為x噸，從A果園到C、D兩地的總運費和B果園到C、D兩地的總運費之和是545元，若從A果園運到C地的蘋果為多少噸？
【答案】（1）（20-x），（15-x），（x+15）；（2）（3x+240），（285-x）；（3）10噸
【分析】（1）由A果園的蘋果噸數結合從A果園運到C地的蘋果噸數即可得出從A果園運到D地的蘋果重量，再根據C、D兩地需要的蘋果重量即可得出從B果園運到C、D兩地蘋果的重量；
（2）根據運費=重量×每噸運費即可得出從A果園到C、D兩地的總運費，再根據運費=重量×單噸運費即可得出從B果園到C、D兩地的總運費；
（3）根據（2）的結論結合總運費即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．
【詳解】解：（1）∵A果園有蘋果20噸，從A果園運到C地的蘋果為x噸，
∴從A果園運到D地的蘋果為（20-x）噸，從B果園將蘋果運往C地的蘋果為（15-x）噸，
∴從B果園將蘋果運往D地的蘋果為35-（20-x）=（x+15）噸．
故答案為：（20-x），（15-x），（x+15）；
（2）從A果園到C、D兩地的總運費是15x+12（20-x）=（3x+240）元；
從B果園到C、D兩地的總運費是10（15-x）+9（x+15）=（285-x）元．
故答案為：（3x+240），（285-x）；
（3）根據題意得：3x+240+285-x=545，解得：x=10．
答：從A果園運到C地的蘋果為10噸．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及列代數，解題的關鍵是：（1）根據數量關系：A果園蘋果總重量=A果園運往C地蘋果重量+A果園運往D地蘋果重量，B果園蘋果總重量=B果園運往C地蘋果重量+B果園運往D地蘋果重量列出代數式；（2）根據運費=重量×每噸運費列出代數式；（3）結合（2）結論以及總運費列出關于x的一元一次方程．
變式1．（2022·山東師范大學第二附屬中學）在我市某新區的建設中，現要把188噸物資從倉庫運往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好能一次性運完這批物資．已知這兩種貨車的載重量分別為12噸/輛和8噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如下表：
運往地車型 甲地（元輛） 乙地（元輛）
大貨車 640 680
小貨車 500 560
（1）求這兩種貨車各用多少輛？（2）如果安排10輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，運往甲、乙兩地的總運費為w元，請用含a的代數式表示w；（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資為100噸，請求出安排前往甲地的大貨車多少輛，并求出總運費．
【答案】（1）大貨車11輛，小貨車7量；（2）10800；（3）5輛，10900元
【分析】(1) 首先設大貨車用x輛，則小貨車用(18-x)輛，利用所運物資為188噸得出等式方程求出即可；
(2)根據安排10輛貨車前往甲地，前往甲地的大貨車為a輛，得出小貨車的輛數，進而得出w與a的函數關系；(3)根據運往甲地的物資為100噸，列出方程即可得出a的取值，進而解答．
【詳解】(1) 設大貨車用x輛，則小貨車用(18-x)輛，
12x+8（18-x）=188解得x=11，∴18-x=7，
答：大貨車11輛，小貨車7量；
(2)∵安排10輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，
∴w=640a+680（11-a）+500（10-a）+560（a-3）=20a+10800；
(3)12a+8（10-a）=100，解得a=5，∴w=10900．
答：排前往甲地的大貨車5輛，總運費為10900元．
【點睛】此題考查一元一次方程的實際應用，列代數式，代數式求值計算，正確理解題意，根據問題設出對應的未知數，依據等量關系列得方程解決問題是解題的關鍵．
變式2．（2022·陜西咸陽七年級月考）甲倉庫有水泥噸，乙倉庫有水泥噸，要全部運到、兩工地，已知工地需要噸，工地需要噸，甲倉庫運到、兩工地的運費分別是元/噸、元/噸，乙倉庫運到、兩工地的運費分別是元/噸、元/噸，本次運動水泥總運費需要元．（運費：元/噸，表示運送每噸水泥所需的人民幣）
（1）設甲倉庫運到工地水泥為噸，請在下面表格中用表示出其它未知量．
甲倉庫 乙倉庫
A工地
B工地
（2）用含的代數式表示運送甲倉庫噸水泥的運費為________元．（寫出化簡后的結果）
（3）求甲倉庫運到工地水泥的噸數．
【答案】（1）； （2） （3）30噸
【分析】（1）根據題意填寫表格即可；（2）根據表格中的數據，以及已知的運費表示出總運費即可；（3）根據本次運送水泥總運費需要25900元列方程化簡即可．
【詳解】（1）設甲倉庫運到A工地水泥的噸數為x噸，則運到B地水泥的噸數為（100﹣x）噸，乙倉庫運
到A工地水泥的噸數為（70﹣x）噸，則運到B地水泥的噸數為（x+10）噸，補全表格如下：
（2）運送甲倉庫100噸水泥的運費為:140x+150（100﹣x）=﹣10x+15000，故答案為：﹣10x+15000；
（3），整理得：．解得．
答：甲倉庫運到工地水泥的噸數是噸．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，弄清題意找到相等關系是解本題的關鍵．
考點10、分段計費問題
例10．（2022·聊城市七年級期末）為鼓勵居民節約用電，某省試行階段電價收費制，具體執行方案如表：
檔次 每戶每月用電數度 執行電價元度
第一檔 小于等于200部分
第二檔 大于200且小于等于400部分
第三檔 大于400部分
（1）若一戶居民七月份用電420度，則需繳電費多少元？
（2）若一戶居民某月用電x度大于200且小于，則需繳電費多少元？用含x的代數式表示；（3）某戶居民五、六月份共用電500度，繳電費262元．已知該用戶六月份用電量大于五月份，且五、六月份的用電量均小于400度，問該戶居民五、六月份各用電多少度？
【答案】（1）需繳電費236元；（2）(0.6x-20)元；（3）該戶居民五月份用電180度，六月份用電320度．
【分析】（1）根據階梯電價收費制，用電420度在第三檔，則需繳電費，計算即可；（2）根據階梯電價收費制，用電度大于200小于，需交電費，化簡即可；（3）設五月份用電度，則六月份用電度，分兩種情況進行討論：①；②．
【詳解】解：（1）元．答：需繳電費236元；
（2） （元）；
（3）設五月份用電x度，則六月份用電度．
分兩種情況：第一種情況:當時，
，解得，；
第二種情況:當時，250≤500-x≤400，
，，無解，
所以，該戶居民五月份用電180度，六月份用電320度．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．
變式1．（2022·四川德陽·七年級期末）保險公司的汽車保險，汽車修理費是按分段賠償，具體賠償細則如下表．某人在汽車修理后在保險公司得到的賠償金額是2000元，那么此人的汽車修理費是（ ）元．
汽車修理費x元 賠償率
0＜x≤500 60%
500＜x≤1000 70%
1000＜x≤3000 80%
… …
A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5
【答案】B
【分析】根據表可以首先確定此人的修理費應該大于1000元，并且小于3000元，則賠償率是80%，則若修理費是x元，則在保險公司得到的賠償金額是(x-1000) ×0.8+300+350元 ，就可以列出方程，求出x的值．
【詳解】解：∵500×60%＝300（元），
（1000﹣500）×70%＝500×70%＝350（元），
（3000﹣1000）×80%＝2000×80%＝1600（元），
且300＜2000，300+350＝650＜2000，300+350+1600＝2350＞2000，
∴此人的汽車修理費x的范圍是：1000＜x≤3000，
可得，300+350+（x﹣1000）×80%＝2000，解得x＝2687.5，
∴此人的汽車修理費是2687.5元，故選：B．
【點睛】解決問題的關鍵是讀懂題意，確定修理費的范圍，正確表示出賠償金額是解決本題關鍵．
變式2．（2022·浙江麗水·三模）電信公司推出移動電話A，兩種套餐計費方法，收費標準如下表，一個月累計通話時間記為（分）．
A計費方法 計費方法
月租費（元/月） 58 88
不加收通話費時限（分） 150 350
超時部分加收通話費標準（元/分） 0.25 0.20
(1)若，則選用哪種套餐話費少？通過計算說明．(2)當時，按這兩種計費方法，所需的話費會相等嗎？若會，求的值；若不會，說明理由．(3)用A套餐時，一個月累計通話時間410分所需的話費，若改用套餐，則可多通話多少分鐘？
【答案】(1)選擇A套餐 (2)會，當時，所需的話費相等(3)改用套餐，則可多通話115分鐘
【分析】（1）直接將代入兩種套餐計算出費用即可比較；（2）根據話費相等，列出方程，解出t的值即可；（3）根據題意列出方程即可求解．
(1)A套餐收費：；套餐收費：．所以選擇A套餐．
(2)當時，，
解得．∴當時，所需的話費相等．
(3)根據題意得方程，
解得，．答：改用套餐，則可多通話115分鐘．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵在于找到題目中的等量關系列方程．
考點11、比賽積分問題
例11.（2022·山東濱州·七年級期末）某年全國男子籃球聯賽某賽區有圣奧（山西）、香港、悅達（南京軍區）、濟源（河南）、三溝（遼寧）、廣西、豐紳（黑龍江）等球隊參加，積分情況如下：
球隊名稱 比賽場次 勝場 負場 積分
悅達 12 11 1 23
香港 12 9 3
濟源 12 8 4
圣奧 12 6 6 18
豐紳 12 5 7 17
廣西 12 3 9 15
三溝 12 0 12 12
(1)觀察上面表格，請直接寫出籃球聯賽勝一場積多少分，負一場積多少分；
(2)若設負場數為m，請用含m的式子表示某一個隊的總積分；
(3)某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分的4倍嗎？說明理由．
【答案】(1)勝一場2分，負一場1分(2)24－m(3)能，理由見解析
【分析】（1）由三勾隊可求得負一場積分為1分，再由悅達隊可求勝一場的積分為2分；
（2）根據總積分＝勝場的積分＋負場的積分即可求解；
（3）可設這個隊勝了x場，根據題意列出相應的方程求解即可．
(1)解：由三勾隊的積分為12分，負了12場，則負一場的積分為：12÷12＝1（分），
再由悅達隊積分為23分，負了1場，勝了11場，則其勝場的總積分為：23 1 22（分），則勝一場的積分為：22÷11＝2（分）；答：勝一場積2分，負一場積1分．
(2)解：若設負場數為m，則勝場數為（12 m），負場積分為m，勝場積分為2（12 m），因此總積分為：m＋2（12 m）＝24 m．
(3)解：設這個隊勝了x場，則負了（12 x）場，如果這個隊的勝場總積分等于負場總積分的4倍，則得方程為：2x＝4（12 x），解得：x＝8，12 x＝4，
∴這個隊的勝場總積分能等于負場總積分的4倍，此時，勝場數為8，負場數為4．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，列代數式，解答的關鍵是理解清楚題意找到相應的等量關系．
變式1．（2022·陜西咸陽·七年級開學考試）甲、乙兩隊開展足球對抗賽，規定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．甲隊與乙隊一共比賽了10場，甲隊保持了不敗記錄，一共得了22分，設甲隊勝了x場，則列方程為（ ）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22 C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
【答案】D
【分析】根據題意可知，甲隊的勝場積分平場積分總積分，然后即可列出相應的方程．
【詳解】解：設甲隊勝了場，則平了場，
由題意可得：，故選：D．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解題關鍵是明確題意，找出等量關系，列出方程．
變式2．（2022·湖北武漢市·七年級期末）下表為某籃球比賽過程中部分球隊的積分榜（籃球比賽沒有平局）．
球隊 比賽場次 勝場 負場 積分
··· ···
（1）觀察積分榜，請直接寫出球隊勝一場積　　　　分，負一場積　　　　分；
（2）根據積分規則，請求出隊已經進行了的場比賽中勝、負各多少場？
（3）若此次籃球比賽共輪（每個球隊各有場比賽），隊希望最終積分達到分，你認為有可能實現嗎？請說明理由．
【答案】（1）2,1；（2）E隊勝2場，負9場；（3）不可能實現，理由見解析．
【分析】（1）設球隊勝一場積x分，負一場積y分．觀察積分榜由C球隊和D球隊即可列出方程組，求出x、y即可．（2）設E隊勝a場，則負（11﹣a）場，根據等量關系：E隊積分是13分列出方程求解即可；（3）設后7場勝m場，根據等量關系：D隊積分是32分列出方程求解即可．
【詳解】解：（1）設球隊勝一場積x分，負一場積y分．
根據球隊C和球隊D的數據，可列方程組：，解得：．
故球隊勝一場積2分，負一場積1分．
（2）設E隊勝a場，則負（11-a）場，可得2a+(11-a)＝13，解得a＝2．故E隊勝2場，負9場．
（3）∵D隊前11場得17分，∴設后18-11=7場勝m場，
∴2m+(7-m)＝32-17，∴m＝8>7．∴不可能實現．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，本類題型清楚積分的組成部分及勝負積分的規則及各個量之間的關系，并與一元一次方程相結合即可解該類題型．總積分等于勝場積分與負場的和．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·河南鄭州·七年級期末）某種商品每件的進價為80元，標價為120元．為了拓展銷路，商店準備打折銷售，若使利潤率為，設商店打x折銷售，則依題意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用售價減去進價等于利潤即可得到方程．
【詳解】解：根據題意可列一元一次方程：
．故選：C．
【點睛】本題主要考查列一元一次方程，理解題意是解題的關鍵．
2．（2022·仁壽縣七年級期中）甲在乙后12千米處，甲的速度為7千米/小時，乙的速度為5千米/小時，現兩人同向同時出發，那么甲從出發到剛好追上乙所需要時間是( )
A．5小時 B．1小時 C．6小時 D．2.4小時
【答案】C
【分析】設甲從出發到剛好追上乙所需要時間x小時，可得7x-5x=12，即可解得答案．
【詳解】解：設甲從出發到剛好追上乙所需要時間x小時，
根據題意得：7x-5x=12，解得x=6，
答：甲從出發到剛好追上乙所需要時間是6小時．故選：C．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，掌握追擊問題的等量關系列方程．
3．（2022·河南新鄉·七年級階段練習）已知一項工程，甲單獨完成需要5天，乙單獨完成需要10天，現先由甲單獨做2天，然后再安排乙與甲合作完成剩下的部分，則完成這項工程共耗時( )
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
【答案】D
【分析】設完成這項工程共耗時x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根據總工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．
【詳解】解：設完成這項工程共耗時x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，
根據題意得：1，解得：x＝4．
即完成這項工程共耗時4天．故選：D
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
4．（2022·福建）中國古代人民很早就在生產生活中發現了許多有趣的數學問題，其中《孫子算經》中有個問題：今有若干人乘車，每三人乘一車，剛好空余一輛；若每兩人共乘一車，最終剩余七個人無車可乘．問有多少人，多少輛車？如果我們設有x輛車，則可列方程（　　）
A．3（x+1）＝2x﹣9 B．3（x﹣1）＝2x+7 C．+1＝ D．﹣1＝
【答案】B
【分析】根據“每三人乘一車，剛好空余一輛；若每兩人共乘一車，最終剩余七個人無車可乘”，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：依題意得：3(x﹣1)＝2x+7．故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
5．（2022·河北承德·七年級期末）如圖，表中給出的是某月的日歷，任意選取“U”型框中的7個數（如陰影部分所示），請你運用所學的數學知識來研究，發現此月這7個數的和可能的是（ ）
A．106 B．98 C．84 D．78
【答案】C
【分析】設7個數中最小的數為x，則另外6個數分別為x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，進而可得出7個數之和為7x+63，然后再驗證每一個選項即可．
【詳解】解：設7個數中最小的數為x，則另外6個數分別為x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，由題意得，
當時，解得，故選項A不合題意；
當時，解得，故選項B不符合題意；
當時，解得，故選項C符合題意；
當時，解得，故選項D不合題意；故選：C
【點睛】本題考查列代數式及一元一次方程的應用，用含最小數的代數式表示出7個數之和是解題的關鍵．
6．（2022·湖北隨縣·初一期末）甲隊有工人96人，乙隊有工人72人，如果要求乙隊的人數是甲隊人數的，應從乙隊調多少人去甲隊，如果設應從乙隊調x人到甲隊，列出的方程正確的是（　　）
A．96+x＝（72﹣x） B．（96﹣x）＝72﹣x
C．（96+x）＝72﹣x D．×96+x＝72﹣x
【答案】C
【分析】根據等量關系：乙隊調動后的人數=甲隊調動后的人數，列出一元一次方程即可．
【解析】解：設應從乙隊調x人到甲隊，此時甲隊有（96+x）人，乙隊有（72-x）人，
根據題意可得：（96+x）＝72﹣x故選：C．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程．
7．（2022·浙江杭州·七年級期中）為了鼓勵市民節約用水，某區居民生活用水按階梯式水價計費．居民在一年內用水在不同的定額范圍內，執行不同的水價，其中水價＝供水價格＋污水處理費．具體價格如表：
類別 戶年用水量（立方米） 水價（立方米）
供水價格（元/立方米） 污水處理費（元/立方米）
居民生活用水 一戶一表 階梯一 0--216（含） 1.90 1.00
階梯二 216—300（含） 2.85
階梯三 300以上 5.70
該區一居民家發現2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水費為86.4元，比6月份多了55.6元，則該居民家7月份屬階梯二的用水量為（ ）
A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米
【答案】D
【分析】根據題意，階梯一、二、三階段的水價，分別計算6、7月份用水量同在第一、二、三階段時10方水的價格，得到7月份用水量跨二、三階段，而六月份用水量在第二階段，從而得到6月份用水量為8立方米，7月份用水量為18立方米，設7月份第二階段用水量為立方米，則第三階段用水量為立方米．根據題意列方程求解即可．
【詳解】解：根據題意，階梯一、二、三階段的水價分別為：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；若6、7月份用水量同在第一階段，則兩月水費差應為元；
若6、7月份用水量同在第二階段，則兩月水費差應為元；
若6、7月份用水量同在第三階段，則兩月水費差應為元；
由于兩實際水費差為55.6元，38.5＜55.6＜67，由題意可知，7月份用水量跨二、三階段，而六月份用水量在第二階段，易算出6月份用水量為立方米，則7月份用水量則為18立方米．設7月份第二階段用水量為立方米，則第三階段用水量為立方米．
列出方程：；解得：．故選D．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意確定6、7月份用水量所在階梯，進而得到兩個月的用水量是解題關鍵．
8．（2022·四川綿陽·七年級期中）近年來，網購的蓬勃發展方便了人們的生活．某快遞分派站現有包裹若干件需快遞員派送，若每個快遞員派送10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件，那么該分派站現有包裹（ ）
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
【答案】B
【分析】設該分派站有x個快遞員，根據“若每個快遞員派送10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件”，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入（10x＋6）中即可求出該分派站現有包裹數．
【詳解】解：設該分派站有x個快遞員，
依題意得：10x＋6＝12x 6，解得：x＝6，∴10x＋6＝10×6＋6＝66，
即該分派站現有包裹66件．故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
9．（2022·上海崇明·七年級期中）有一所寄宿制學校，開學安排宿舍時，如果每間宿舍安排4人，將會空出5間宿舍；如果每間宿舍安排3人，就有100人沒床位，那么在學校住宿的學生有多少人？若設在學校住宿的學生有人，那么根據題意，可列出的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設在學校住宿的學生有x人，根據學校宿舍間數一定，列出一元一次方程即可．
【詳解】解：設在學校住宿的學生有x人，每間宿舍安排住4人，需要宿舍 間，
每間宿舍安排住3人，100人沒有床位，則x-100人住上宿舍，宿舍房間為
即故選：A
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程的知識，解題的關鍵是根據宿舍間數一定列方程．
10．（2022·浙江九年級期末）某學校組織師生去衢州市中小學素質教育實踐學校研學．已知此次共有n名師生乘坐m輛客車前往目的地，若每輛客車坐40人，則還有15人沒有上車；若每輛客車坐45人，則剛好空出一輛客車．以下四個方程：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】首先要理解清楚題意，知道總的客車數量及總的人數不變，然后采用排除法進行分析從而得到正確答案．
【詳解】解：根據總人數列方程，應是45m+15=50（m-1），
根據客車數列方程，應該為：．
①4；④，都正確，故選：B．
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，關鍵是正確理解題意，能夠根據不同的等量關系列方程．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022·北京密云·二模）某街道居委會需印制主題為“做文明有禮北京人，垃圾分類從我做起”的宣傳單，其附近兩家圖文社印制此種宣傳單的收費標準如圖所示：
（1）為達到及時宣傳的目的，街道居委會同時在A、B兩家圖文社共印制了1500張宣傳單，印制費用共計179元，則街道居委會在A圖文社印制了______張宣傳單；
（2）為擴大宣傳力度，街道居委會還需要再加印5000張宣傳單，在A、B兩家圖文社中，選擇______圖文社更省錢（填A或B）．
【答案】 800 B
【分析】（1）：設街道居委會在A圖文社印制了張宣傳單，則在B圖文社印制了張宣傳單，由題意知，，計算求解的值即可；
（2）印制5000張宣傳單，在A圖文社印制需要元，在B圖文社印制需要元；比較費用的大小，進而可得答案．
【詳解】（1）解：設街道居委會在A圖文社印制了張宣傳單，則在B圖文社印制了張宣傳單，由題意知，，解得，，故答案為：800．
（2）解：由題意知，印制5000張宣傳單，在A圖文社印制需要元；
在B圖文社印制需要元；
∵，∴B圖文社更省錢，故答案為：B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題的關鍵在于審清題意，正確的列方程求解．
12．（2022·哈爾濱德強學校七年級期中）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時．若水流速度是3千米/時，則甲、乙兩碼頭之間的距離是_____千米．
【答案】60
【分析】設船在靜水中的速度為x千米/小時，根據順流速度＝靜水速度+水流速度逆流速度＝靜水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根據求出的船在靜水中的速度，再根據路程＝順流的時間×順流的速度，列出算式，進行計算即可．
【詳解】解：設船在靜水中的速度為x千米/小時，根據題意得：
（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，解得：x＝27，
即：船在靜水中的速度是27千米/小時，
（27+3）×2＝60（千米）；故答案是：60．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，解題的關鍵在于能夠準確找到等量關系進行求解．
13．（2022·河南許昌·七年級期末）一件工程，甲獨做18天可完，乙獨做24天可完．現在兩個人合作，但是中途乙因有事離開幾天，從開工后12天兩人把這件工程做完，則乙中途離開了_____________天．
【答案】4
【分析】把這件工程看作單位“1”，則甲乙的工作效率分別是和，甲12的天工作量+乙的工作量=總工作量，要求乙的工作時間，設乙中途離開了x天，列方程求解．
【詳解】設乙中途離開了x天，根據題意得：
+=1，解得：x=4，故答案為：4．
【點睛】一元一次方程的應用-簡單的工程問題，根據總工作量為“1”得出方程是解題關鍵．
14．（2022·浙江七年級期末）某商場的收銀臺平均每小時有60個顧客來排隊，每位收銀員每小時能應付80個顧客，若某天只開設1個收銀臺，付款開始后4個小時沒有顧客排隊了，若當天開設2個收銀臺，開始付款______小時后，沒有顧客排隊．
【答案】0.8
【分析】首先求出開始付款時有多少人排隊，再設付款開始x小時后沒有顧客排隊，列出方程，解之即可．
【詳解】解：設每小時排隊付款的人數為1份，
則剛開始付款時排隊的人數是：80×4-4×60=80人，
即開始付款時已經有80人在排隊，
設付款開始x小時后沒有顧客排隊，根據題意可得方程：
80×2×x=80+60x，解得：x=0.8，故答案為：0.8．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，根據題干得出開始付款時等待的有80人是解決本題的關鍵，由此抓住每小時增加的人數和2臺收銀臺的工作效率即可列出符合題意的方程解決問題．
15．（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）如圖，一個長方形征好分成A、B、C、D、E、F這6個正方形，其中最小的正方形A邊長為1，則這個長方形的面積是_____________．
【答案】143
【分析】設正方形E的邊長為x，則原長方形的長為(3x+1)，寬為(2x+3)，然后根據長方形的對邊相等列方程求解即可．
【詳解】解：設正方形E的邊長為x，則D正方形的邊長是x+1,C正方形的邊長是x+2,B正方形的邊長是2x-1,∴原長方形的長為(3x+1)，寬為(2x+3)，
根據題意，得2x-1+x=x+2+x+1，解得：x=4．
當x=4時，3x+1=13，2x+3=11，
∴長方形的面積=13×11=143．故答案為：143．
【點睛】此題考查了一元一次方程的實際應用，解題的關鍵是正確分析題意，找到各正方形的邊長之間的關系．
16．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）某次籃球聯賽共有十支隊伍參賽，部分積分表如下表：
隊名 比賽場次 勝場 負場 積分
A 18 14 4 32
B 18 11 7 29
C 18 9 9 27
根據表格提供的信息，可知勝一場積 _____分．
【答案】2
【分析】根據C隊情況確定勝一場和負一場共積3分，然后設勝一場積x分，則負一場積（3﹣x）分，根據A隊情況列出一元一次方程并求解即可．
【詳解】解：觀察C隊情況，可知勝一場和負一場的積分之和為27÷9=3分．
設勝一場積x分，則負一場積（3﹣x）分．
根據A隊情況得14x+4（3﹣x）＝32．
解得x＝2．∴勝一場積2分．故答案為：2．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，熟練掌握該知識點是解題關鍵．
17．（2022·重慶江津·七年級期末）在六一兒童節期間，某商家推出零食大禮包，包含薯片、辣條、果凍三種零食．禮包的成本是三種零食成本之和．每個禮包中薯片、辣條、果凍成本之比為：：，其中薯片的利潤率為，果凍的利潤率為，且每個禮包的總利潤率為，則辣條的利潤率為______．
【答案】
【分析】設辣條的利潤率為x，每個禮包中薯片成本為7m、辣條成本為5m、果凍成本為3m，則每個禮包的成本是15m，根據每個禮包的總利潤率為34%，列方程即可解得答案．
【詳解】解：設辣條的利潤率為，每個禮包中薯片成本為、辣條成本為、果凍成本為，則每個禮包的成本是，
根據題意得：，解得，
答：辣條的利潤率為，故答案為：．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列方程．
18．（2022·北京四中模擬預測）“格子乘法”作為兩個數相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大利數學家帕喬利提出，在明代數學家程大位著的《算法統宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計算，將乘數46寫在方格上邊，乘數71寫在方格右邊，然后用乘數46的每位數字乘以乘數71的每位數字，將結果記入相應的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計算兩個兩位數相乘，則______．
【答案】6
【分析】根據“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．
【詳解】解：根據題意可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k 解得k=6故答案為：6．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，根據“格子乘法”分析圖示，列出方程是關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2022·重慶九龍坡·）一水果店第一次購進400kg西瓜，由于天氣炎熱，很快賣完．該店馬上又購進了800kg西瓜，進貨價比第一次每千克少了0.5元．兩次進貨共花費4400元．（1）第一次購進的西瓜進價每千克多少元；（2）在銷售過程中，兩次購進的西瓜售價相同．由于西瓜是易壞水果，從購進到全部售完會有部分損耗．第一次購進的西瓜有4%的損耗，第二次購進的西瓜有6%的損耗，該水果店售完這些西瓜共獲利2984元，則每千克西瓜的售價為多少元．
【答案】（1）4元；（2）6.5元
【分析】（1）設第一次購進的西瓜進貨價每千克為元，則第二次進貨價為元，根據題意列一元一次方程即可求解；（2）設售價為元，求出兩次的銷售總額，再減去成本就是獲利，列出一元一次方程，即可求解．
【詳解】解：（1）設第一次購進的西瓜進貨價每千克為元，則第二次進貨價為元，
由題意可得：，即解得
答：第一次購進的西瓜進價每千克4元；
（2）設每千克西瓜的售價為元，則第一次的銷售額為元，第二次的銷售額為元，總成本為4400元，
則，即解得
答：每千克西瓜的售價為6.5元
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，理解題意弄清楚題中的等量關系是解題的關鍵．
20．（2022·吉林船營·）王聰和張明分別要把兩塊邊長都為60cm的正方形薄鋼片制作成兩個無蓋的長方形盒子(不計粘合部分)．
（1）王聰首先在薄鋼片的四個角截去邊長為10cm的四個相同的小正方形(如圖①)，然后把四邊折合粘在一起，便得到甲種盒子，則甲種盒子的底面邊長為 cm．
（2）張明截去兩角后(如圖②)，沿虛線折合粘在一起，便得到乙種盒子(如圖③)．已知乙種盒子底面的長AB是寬BC的2倍，求乙種盒子底面的長和寬．（3）現將一定量的水注入甲種盒子，當甲種盒子注水高度至少為多少時，再倒入乙種盒子后可以將乙種盒子注滿．
【答案】（1）40；（2）乙種盒子底面的長為20cm，寬為10cm；（3）5cm．
【分析】（1）根據王聰首先在薄鋼片的四個角截去邊長為10cm的四個相同的小正方形（如圖①），可得甲種盒子底面邊長是60-20=40（cm）；（2）設乙種盒子底面的寬BC為xcm，則長AB為2xcm，根據原邊長是60cm，結合圖形得方程2x+2y=60，解方程即可求解；（3）設當甲種盒子注水高度為ycm時倒入乙種盒子，可將乙種盒子注滿，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解．
【解析】解：（1）60-20=40（cm）；故答案為：40；
（2）設乙種盒子底面的寬為xcm，則盒子底面的長為2xcm，依題意有
2x+x+2x+x=60，解得x=10，則2x=20．
答：乙種盒子底面的長為20cm，寬為10cm；
（3）設當甲種盒子注水高度為ycm時倒入乙種盒子，可將乙種盒子注滿，
根據題意得40×40y≥20×10×40，解得y≥5．
答：當甲種盒子的注水高度至少為5cm時，將水倒入乙種盒子后可以把乙種盒子注滿水．
【點睛】考查了一元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，此題關鍵是能夠結合圖形正確發現等量關系，列出方程．熟悉長方體的體積公式：長方體的體積=長×寬×高．
21．（2022·重慶七年級課時練習）某中學的社團活動深受學生和家長的歡迎，社團種類多達十幾種，極大地豐富了學生的業余文化生活．其中初一書法社團中女生占全社團人數的，又有10名女生申請加入，那么女生就占全社團人數的，求現在初一書法社團的人數．
【答案】100人
【分析】設原有女生x人, 原來初一書法社團人數為3x人，利用10名女生申請加入后，女生就占全社團人數的的等量關系列出方程運算即可．
【詳解】解：設原有女生x人，則原來初一書法社團人數為3x人，
根據題意得：，解得，則．
答：現在初一書法社團的人數有100人．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應用，仔細審題從中獲取相關等量關系列出方程是解題的關鍵．
22.（2022·江蘇）某日王老師佩戴運動手環進行快走鍛煉，兩次鍛煉后數據如下表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x（0＜x＜0.5）．
項目 第一次鍛煉 第二次鍛煉
步數（步） 10000 ①　 　
平均步長（米/步） 0.6 ②　 　
距離（米） 6000 7020
注：步數×平均步長＝距離．
（1）根據題意完成表格填空（不需要化簡）；（2）以第二次鍛煉的距離為等量關系列出方程（不需要計算）；（3）當x＝0.1時，王老師發現好友中步數排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結束后又走了500米，使得總步數恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長．
【答案】（1）10000（1+3x），0.6（1﹣x）；（2）7020；（3）0.5米
【分析】（1）①直接利用王老師第二次鍛煉步數增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍，得出第二次鍛煉的步數；②利用王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x，即可表示出第二次鍛煉的平均步長（米/步）；（2）根據題意表示出第二次鍛煉的總距離；（3）根據題意可得兩次鍛煉結束后總步數，進而求出王老師這500米的平均步長．
【詳解】解：（1）①根據題意可得：10000（1+3x）；
②第二次鍛煉的平均步長（米/步）為：0.6（1﹣x）；
故答案為：10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；
（2）由題意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）＝7020；
（3）根據題意可得：10000+10000（1+0.1×3）＝23000，
500÷（24000﹣23000）＝0.5（m）．
答：王老師這500米的平均步長為0.5米．
【點睛】本題考查了列代數式、方程的應用，讀懂題意找到等量關系式是解題的關鍵．
23．（2022·福建·廈門市湖濱中學七年級期中）某次籃球聯賽積分榜如下表所示：
隊名 比賽場次 勝場 負場 積分
前進 14 10 4 24
東方 14 9 5 23
遠大 14 7 7 21
恒大 14 4 10 18
藍天 14 0 14 14
(1)通過觀察積分表，填空：勝一場得 分，負一場得 分．
(2)雄鷹隊也參加了本次籃球聯賽，獲得積分25分，問雄鷹隊的勝、負場次情況．
(3)聯賽中還有一個隊伍，隊長電話向當地組織者匯報，說隊伍在比賽中獲得勝場和負場的積分一樣多，請你通過數學計算判斷該隊長是否說謊．
【答案】(1)2，1(2)雄鷹隊勝11場、負3場(3)該隊長說謊了
【分析】（1）根據題意可得“藍天”負14場，得14分；“前進隊”勝10場，負4場，得24分，可得到負一場得1分，從而得到“前進隊”勝10場，得20分，即可求解；（2）設雄鷹隊勝場數是m，則負場數是（14-m），根據“積分25分”列出方程，即可求解；（3）設該隊場數是x，則負場數是（14-x），根據“隊伍在比賽中獲得勝場和負場的積分一樣多”列出方程，即可求解．
(1)解：根據題意得：“藍天”負14場，得14分；“前進隊”勝10場，負4場，得24分，
∴負一場得分，∴“前進隊”勝10場，得分，
∴勝一場得分；故答案為：2，1；
(2)設雄鷹隊勝場數是m場，則負場數是（14-m）場，依題意得：
，解得： ，∴，答：該雄鷹隊勝11場；負3場；
(3)設該隊場數是x場，則負場數是（14-x）場，依題意得：，解得： ，
∵x為整數，∴不符合題意，舍去，
∴該隊伍在比賽中獲得勝場和負場的積分不可能一樣多，
故該隊長說謊了．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．
24．（2022·吉林長春外國語學校八年級開學考試）為拓寬學生視野，某中學決定組織部分師生去廬山西海開展研學旅行活動，在參加此次活動的師生中，若每位老師帶19個學生，還剩11個學生沒人帶；若每位老師帶20個學生，就有一位老師少帶7個學生，為了安全，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛客車上至少要有2名老師．現有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示．
甲種客車 乙種客車
載客量/（人/輛） 30 50
租金/（元輛） 300 400
（1）參加此次研學旅行活動的老師和學生各有多少人？
（2）這次活動全部租甲種客車行嗎？如果行，怎樣安排；如果不行，請說明理由．
（3）學校計劃此次研學旅行活動的租車總費用不超過4100元，租用乙種客車不少于7輛，你能得出哪幾種不同的租車方案？其中哪種租車方案最省錢？請說明理由．
【答案】（1）老師有18人，學生有353人；（2）不行，理由見解析；（3）見解析
【分析】（1）設有x個老師，根據學生數不變，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入（19x+11）中即可求出學生人數；
（2）利用租車數量=師生人數÷每輛車的載客量，可求出租用甲種客車的數量，結合每輛客車上至少要有2名老師及共有18名老師，即可得出這次活動不能全部租甲種客車；
（3）先求出7輛乙種客車的載客人數，結合師生總數可求出剩余人數，根據甲、乙兩種客車的載客量可找出各租車方案，分別求出各租車方案所需費用，比較后即可得出結論．
【詳解】解：（1）設有x個老師，依題意，得：19x+11=20x-7，解得：x=18，∴19x+11=353．
答：參加此次研學旅行活動的老師有18人，學生有353人．
（2）（18+353）÷30=12（輛）……11（人），12+1=13（輛），13×2=26（人），
∵18＜26，∴老師數不足以每輛車分2人，∴這次活動不能全部租甲種客車．
（3）18+353-50×7=21（人），21＜30＜50，
∴有兩種租車方案，方案1：租用1輛甲種客車，7輛乙種客車；方案2：租用8輛乙種客車．
方案1所需費用為300+400×7=3100（元）；
方案2所需費用為400×8=3200（元）．
∵3100＜3200，∴方案1最省錢，即：租用1輛甲種客車，7輛乙種客車．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）求出全部租甲種客車需要的教師數；（3）找出乘坐7輛乙種客車外剩余的人數．
25．（2022·廣東郁南·初一期末）某中學學生步行到郊外旅行，七年級班學生組成前隊，步行速度為4千米小時，七班的學生組成后隊，速度為6千米小時；前隊出發1小時后，后隊才出發，同時后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回聯絡，他騎車的速度為10千米小時．
后隊追上前隊需要多長時間？后隊追上前隊的時間內，聯絡員走的路程是多少？七年級班出發多少小時后兩隊相距2千米？
【答案】（1）后隊追上前隊需要2小時；（2）聯絡員走的路程是20千米；（3）七年級班出發小時或2小時或4小時后，兩隊相距2千米
【分析】(1) 設后隊追上前隊需要x小時，由后隊走的路程=前隊先走的路程+前隊后來走的路程，列出方程，求解即可；(2)由路程=速度×時間可求聯絡員走的路程；(3)分三種情況討論，列出方程求解即可．
【解析】設后隊追上前隊需要x小時，根據題意得：，
答：后隊追上前隊需要2小時；
千米，答：聯絡員走的路程是20千米；
設七年級班出發t小時后，兩隊相距2千米，
當七年級班沒有出發時，，
當七年級班出發，但沒有追上七年級班時，，，
當七年級班追上七年級班后，，，
答：七年級班出發小時或2小時或4小時后，兩隊相距2千米．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，分類討論的思想，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
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專題5.4 一元一次方程的應用
模塊1：學習目標
1、體會直接或間接設未知數的解題思路，從而建立方程，解決實際問題；
2、借助立體或平面圖形（邊長、周長、面積、體積等）學會分析復雜問題中的數量和等量關系。
3、通過生活實例，了解成本、售價、利潤、利潤率之間的數量關系；
4、能在具體打折問題中找準等量關系，列出方程并求解。
5、借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而建立方程，解決實際問題；
6、熟悉路程問題中的速度、路程、時間之間的關系，從而實、現從文字語言到圖形語言，從圖形語言到符號語言的轉化。
模塊2：知識梳理
1.用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．
由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．
2.建立書寫模型常見的數量關系
1）公式形數量關系
生活中許多數學應用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時，必須通過情景中的信息，準確聯想有關的公式，利用有關公式直接建立等式方程。
長方形面積=長×寬 長方形周長=2（長+寬） 正方形面積=邊長×邊長 正方形周長=4邊長
2）約定型數量關系
利息問題，利潤問題，質量分數問題，比例尺問題等涉及的數量關系，像數學中的公式，但常常又不算數學公式。我們稱這類關系為約定型數量關系。
3）基本數量關系
在簡單應用情景中，與其他數量關系沒有什么差別，但在較復雜的應用情景中，應用方法就不同了。我么把這類數量關系稱為基本數量關系。
單價×數量=總價 速度×時間=路程 工作效率×時間=總工作量等。
3.分析數量關系的常用方法
1）直譯法分析數量關系
將題中關鍵性的數量關系的語句譯成含有未知數的代數式，并找出沒有公國的等量關系，翻譯成含有未知數的等式。
2）列表分析數量關系
當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數量之間的關系。
3）圖解法分析數量關系
用圖形表示題目中的數量關系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。
模塊3：核心考點與典例
考點1、幾何圖形問題
例1.（2022·陜西·西安七年級期末）如圖，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為5厘米的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬6厘米的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？
變式1．（2022·浙江八年級期中）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為，用兩個相同的管子在容器的高度處（即管子底端離容器底）連通．現三個容器中，只有甲中有水，水位高，如圖所示、，若每分鐘同時向乙和丙注入等量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升，則注水___________分鐘后，甲與乙的水位高度之差是．
變式2．（2022·河北承德·七年級期末）如圖，在大長方形（是寬）中放入六個長、寬都相同的小長方形，尺寸如圖所示，求小長方形的寬．若設，分析思路描述正確的是（ ）
甲：我列的方程，找小長方形的長作為相等關系；
乙：我列的方程，找的是大長方形的長做相等關系．
A．甲對乙不完全對 B．甲不完全對乙對 C．甲乙都正確 D．甲乙都不對
考點2、打折銷售問題
例2.（2022·重慶·黔江區育才初級中學校七年級期中）文峰文具店分兩次購進一款禮品盲盒共70盒，總共花費960元，已知第一批盲盒進價為每盒15元，第二批盲盒進價為每盒12元．
(1)文具店老板計劃將每盒盲盒標價20元出售，銷售完第一批盲盒后，再打八折銷售完第二批盲盒，按此計劃該老板總共可以獲得多少利潤？
(2)在實際銷售中，該文具店老板在以（1）中標價銷售完m盒后，決定搞一場促銷活動，盡快清理庫存．老板先將標價提高到每盒40元，再推出活動：購買兩盒，第一盒七折，第二盒半價，不單盒銷售．售完所有盲盒該老板共獲利600元，求m的值．
變式1.（2022·甘肅·永昌七年級期末）一件夾克衫先按成本價提高70%標價，再將標價打7折出售，結果獲利38元．設這件夾克衫的成本價是x元，那么依題意所列方程正確的是( )
A．70%（1+70%）x＝x+38 B．70%（1+70%）x＝x﹣38
C．70%（1+70%x）＝x﹣38 D．70%（1+70%x）＝x+38
變式2.（2022·重慶八中）春節，即農歷新年，是一年之歲首、傳統意義上的年節．俗稱新春、新年、新歲、歲旦、年禧、大年等，口頭上又稱度歲、慶歲、過年、過大年．春節歷史悠久，由上古時代歲首祈年祭祀演變而來．為了喜迎新春，某水果店現推出水果籃和堅果禮盒，每個水果籃的成本為200元．每盒堅果禮盒的成本為150元，每個水果籃的售價比每盒堅果的售價多100元，售賣1個水果籃獲得的利潤和售賣2盒堅果禮盒獲得的利潤一樣多．（1）求每個水果籃和每盒堅果禮盒的售價．（2）在年末時，該水果店購進水果籃1250個和堅果禮盒1200盒，進行“新春特惠”促銷活動，水果店規定，每人每次最多購買水果籃1個或堅果禮盒1盒．水果籃每個售價打九折后再參與店內“每滿100元減m元”的活動，堅果禮盒每盒直接參與店內“每滿100元減m元”的活動；售賣結束時，堅果禮盒全部售賣完，售賣過程中由于部分水果變質導致水果籃有50個沒辦法售出．若該水果店獲得的利潤率為20%，求m的值．
考點3、和差倍分問題
例3.（2022·福建泉州·七年級階段練習） 為了進一步落實“雙減”政策，學校積極開展社團活動，原國際象棋社團有學生64人，羽毛球社團有學生56人．在家鄉著名羽毛球運動員黃東萍獲得奧運冠軍后學校掀起一股羽毛球熱潮，有部分國際象棋社團學生轉入羽毛球社團，現在國際象棋社團人數是羽毛球社團人數的一半．問有多少名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團？
變式1．（2022·山東東營·中考真題）植樹節當天，七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數的，七年級2班植樹棵數是這批樹苗總數的，則七年級2班植樹的棵數是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
變式2．（2022·福建·泉州市城東中學七年級期中）疫情無情人有情，愛心捐款傳真情．某校三個年級為疫情重災區捐款，經統計，七年級捐款數占全校三個年級捐款總數的，八年級捐款數是全校三個年級捐款數的平均數，已知九年級捐款1916元，求其他兩個年級的捐款數若設七年級捐款數為x元，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
考點4、配套問題
例4.（2022·四川廣安·七年級期末）某車間有94個工人，生產甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產甲種零件12個或乙種零件23個．已知每1個甲種零件和2個乙種零件配成一套，問應分配多少人生產甲種零件，多少人生產乙種零件，才能使每天生產的這兩種零件剛好配套？每天能生產成多少套？（列一元一次方程求解）
變式1．（2022·西安市七年級期末）2020年為了應對武漢新冠肺炎疫情，需要快速建立醫院，某車間連夜加班生產醫用設備，現共有60個工人可以生產甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產甲種零件24個或乙種零件12個．已知每2個甲種零件和每3個乙種零件配成一套，問應分配多少人生產甲種零件，多少人生產乙種零件，才能使每天生產的這兩種零件剛好都配套？
變式2．（2022·河北）某服裝廠要生產同一種型號的服裝，已知長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套．（1）現庫內存有布料，應如何分配布料做上衣和做褲子才能恰好配套？可以生產多少套衣服？（2）如果恰好有這種布料，最多可以生產多少套衣服？本著不浪費的原則，如果有剩余，余料可以做幾件上衣或褲子？（本問直接寫出結果）
考點5、數字與日歷問題
例5.（2022·湖北荊門·七年級期中）觀察下列三行數：
(1)每行的第9個數分別為 ， ， ．
(2)如圖，用一個長方形方框框住六個數，左右移動方框，若方框中的六個數左上角數記為x，求這六個數的和（結果用含x式子表示并化簡）．
(3)第三行是否存在連續的三個數的和為381，若存在，求這三個數，若不存在，請說明理由？
變式1．（2022·陜西西安·七年級期末）如圖，在2022年元月份的月歷表中，任意框出表中豎列上相鄰的四個數，則這四個數的和可能是（ ）
A．42 B．60 C．78 D．86
變式2．（2022·山東青島·七年級期中）一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大1，若將個位與十位上的數字對調，得到的新數比原數大9，設個位上的數字為x，十位上的數字為y，根據題意，可列方程為：______．
考點6、方案優化問題
例6.（2022·海南·海口中學七年級期末）某學校組織七年級同學參加社會實踐活動，計劃前往博物館參觀；若博物館的門票只能當日有效，且價格規定如表：
購票張數 1～49張 50～99張 100張以上
每張門票的價格 15元 12元 9元
現有七年級三個班共129人參觀，其中每個班都不足50人；
(1)若學校為七年級集體購票，共需購票款多少元？(2)因七年一班需要在校參加另外一項活動，參觀時間另外安排，這樣學校兩次購票共花費1674元，求七年一班有多少學生？
(3)當七年一班去博物館參觀時，班長同學采取了新的購票方案，結果比（2）中方案省錢，你知道班長是如何購票的嗎？請計算班長同學節約了多少錢．
變式1．（2022·山東煙臺·七年級期末）22年冬奧會開幕式上，煙臺萊州武校的健兒們參演的立春節目讓全世界人民驚艷和動容，小明想知道這震撼人心的隊伍的總人數．張老師說你可以自己算算：若調配55座大巴若干輛接送他們，則有8人沒有座位；若調配44座大巴接送，則用車數量將增加兩輛，并空出3個座位，你能幫小明算出一共去了_______名健兒參演節目嗎？
變式2．（2022·新疆塔城·七年級期末）北京某景區，門票價格規定如下表：
購票張數 1～50張（包含50張） 50～100張（不包含50張） 100張以上
每張票的價格 60元 50元 40元
某校七年級（1）、（2）兩個班共102人去該景區游玩，其中（1）班人數多于（2）班人數，且（1）班人數不足100人，如果兩個班分別以班為單位單獨購買門票，一共應付5500元．
(1)去該景區游玩的七年級（1）班和（2）班各有多少學生？
(2)如果七年級（1）班有12名學生因需參加學校競賽不能外出游玩，（2）班學生可以全員參加游玩，作為組織者，你有幾種購票方案？通過比較，你該如何購票才能最省錢？
考點7、行程問題
例7.（2022·山西渾源·初一期末）綜合與實踐：
甲乙兩地相距900千米，一列快車從甲地出發勻速開往乙地，速度為120千米/時；快車開出30分鐘時，一列慢車從乙地出發勻速開往甲地，速度為90千米/時．設慢車行駛的時間為x小時，快車到達乙地后停止行駛，根據題意解答下列問題：（1）當快車與慢車相遇時，求慢車行駛的時間；（2）當兩車之間的距離為315千米時，求快車所行的路程；
（3）①在慢車從乙地開往甲地的過程中，直接寫出快慢兩車之間的距離；（用含x的代數式表示）
②若第二列快車也從甲地出發勻速駛往乙地，速度與第一列快車相同，在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，第二列快車與慢車相遇，直接寫出第二列快車比第一列快車晚出發多少小時．
變式1.（2022·四川內江·）2020年12月30日，連云港市圖書館新館正式開館．小明同學從家步行去圖書館，他以的速度行進后，爸爸騎自行車以的速度按原路追趕小明．設爸爸出發后與小明會合，那么所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2022·湖北七年級期末）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用2h，船在靜水中的速度為26km/h，水速為2km/h．設A港和B港相距x km．根據題意，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
考點8、工程問題
例8.（2022·河南信陽·七年級期末）為推進我國“碳達峰、碳中和”雙碳目標的實現，各地大力推廣分布式光伏發電項目．某公司計劃建設一座光伏發電站，若由甲工程隊單獨施工需要3周，每周耗資8萬元，若由乙工程隊單獨施工需要6周，每周耗資3萬元．(1)若甲、乙兩工程隊合作施工，需要幾周完成 共需耗資多少萬元 (2)若需要最遲4周完成工程，請你設計一種方案，既保證按時完成任務，又最大限度節省資金．（時間按整周計算）
變式1．（2022·仁壽縣七年級期中）一項工程，甲單獨做需20天完成 ，乙單獨做需15天完成，現在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙獨做，先后共用12天，請問甲做了多少天？
變式2．（2022·河南南陽·七年級期中）某廠接到一所中學的冬季校服定做任務，計劃用、兩臺大型設備進行加工，如果單獨用型設備，需要45天做完；如果單獨用型設備，需要30天做完；為了同學們能及時領到冬季校服，工廠決定由兩臺設備同時趕制．
(1)填空：型設備的工作效率是_________，型設備的工作效率是_________；
(2)若兩臺設備同時加工10天后，型設備出了故障，暫時不能工作，如果由型設備單獨完成剩下的任務，則還需要多少天？
考點9、調配問題
例9．（2022·杭州市公益中學七年級期末）A、B兩地果園分別有蘋果20噸和30噸，C、D兩地分別需要蘋果15噸和35噸；已知從A、B到C、D的運價如表：
A果園 B果園
到C地 每噸15元 每噸10元
到D地 每噸12元 每噸9噸
（1）若從A果園運到C地的蘋果為x噸，則從A果園運到D地的蘋果為　 　噸，從B果園將蘋果運往C地的蘋果為　 　噸，從B果園將蘋果運往D地的蘋果為　 　噸．
（2）若從A果園運到C地的蘋果為x噸，用含x的代數式表示從A果園到C、D兩地的總運費是　 　元；用含x的代數式表示從B果園到C、D兩地的總運費是　 　元．
（3）若從A果園運到C地的蘋果為x噸，從A果園到C、D兩地的總運費和B果園到C、D兩地的總運費之和是545元，若從A果園運到C地的蘋果為多少噸？
變式1．（2022·山東師范大學第二附屬中學）在我市某新區的建設中，現要把188噸物資從倉庫運往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好能一次性運完這批物資．已知這兩種貨車的載重量分別為12噸/輛和8噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如下表：
運往地車型 甲地（元輛） 乙地（元輛）
大貨車 640 680
小貨車 500 560
（1）求這兩種貨車各用多少輛？（2）如果安排10輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，運往甲、乙兩地的總運費為w元，請用含a的代數式表示w；（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資為100噸，請求出安排前往甲地的大貨車多少輛，并求出總運費．
變式2．（2022·陜西咸陽七年級月考）甲倉庫有水泥噸，乙倉庫有水泥噸，要全部運到、兩工地，已知工地需要噸，工地需要噸，甲倉庫運到、兩工地的運費分別是元/噸、元/噸，乙倉庫運到、兩工地的運費分別是元/噸、元/噸，本次運動水泥總運費需要元．（運費：元/噸，表示運送每噸水泥所需的人民幣）
（1）設甲倉庫運到工地水泥為噸，請在下面表格中用表示出其它未知量．
甲倉庫 乙倉庫
A工地
B工地
（2）用含的代數式表示運送甲倉庫噸水泥的運費為________元．（寫出化簡后的結果）
（3）求甲倉庫運到工地水泥的噸數．
考點10、分段計費問題
例10．（2022·聊城市七年級期末）為鼓勵居民節約用電，某省試行階段電價收費制，具體執行方案如表：
檔次 每戶每月用電數度 執行電價元度
第一檔 小于等于200部分
第二檔 大于200且小于等于400部分
第三檔 大于400部分
（1）若一戶居民七月份用電420度，則需繳電費多少元？
（2）若一戶居民某月用電x度大于200且小于，則需繳電費多少元？用含x的代數式表示；（3）某戶居民五、六月份共用電500度，繳電費262元．已知該用戶六月份用電量大于五月份，且五、六月份的用電量均小于400度，問該戶居民五、六月份各用電多少度？
變式1．（2022·四川德陽·七年級期末）保險公司的汽車保險，汽車修理費是按分段賠償，具體賠償細則如下表．某人在汽車修理后在保險公司得到的賠償金額是2000元，那么此人的汽車修理費是（ ）元．
汽車修理費x元 賠償率
0＜x≤500 60%
500＜x≤1000 70%
1000＜x≤3000 80%
… …
A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5
變式2．（2022·浙江麗水·三模）電信公司推出移動電話A，兩種套餐計費方法，收費標準如下表，一個月累計通話時間記為（分）．
A計費方法 計費方法
月租費（元/月） 58 88
不加收通話費時限（分） 150 350
超時部分加收通話費標準（元/分） 0.25 0.20
(1)若，則選用哪種套餐話費少？通過計算說明．(2)當時，按這兩種計費方法，所需的話費會相等嗎？若會，求的值；若不會，說明理由．(3)用A套餐時，一個月累計通話時間410分所需的話費，若改用套餐，則可多通話多少分鐘？
考點11、比賽積分問題
例11.（2022·山東濱州·七年級期末）某年全國男子籃球聯賽某賽區有圣奧（山西）、香港、悅達（南京軍區）、濟源（河南）、三溝（遼寧）、廣西、豐紳（黑龍江）等球隊參加，積分情況如下：
球隊名稱 比賽場次 勝場 負場 積分
悅達 12 11 1 23
香港 12 9 3
濟源 12 8 4
圣奧 12 6 6 18
豐紳 12 5 7 17
廣西 12 3 9 15
三溝 12 0 12 12
(1)觀察上面表格，請直接寫出籃球聯賽勝一場積多少分，負一場積多少分；
(2)若設負場數為m，請用含m的式子表示某一個隊的總積分；
(3)某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分的4倍嗎？說明理由．
變式1．（2022·陜西咸陽·七年級開學考試）甲、乙兩隊開展足球對抗賽，規定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．甲隊與乙隊一共比賽了10場，甲隊保持了不敗記錄，一共得了22分，設甲隊勝了x場，則列方程為（ ）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22 C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
變式2．（2022·湖北武漢市·七年級期末）下表為某籃球比賽過程中部分球隊的積分榜（籃球比賽沒有平局）．
球隊 比賽場次 勝場 負場 積分
··· ···
（1）觀察積分榜，請直接寫出球隊勝一場積　　　　分，負一場積　　　　分；
（2）根據積分規則，請求出隊已經進行了的場比賽中勝、負各多少場？
（3）若此次籃球比賽共輪（每個球隊各有場比賽），隊希望最終積分達到分，你認為有可能實現嗎？請說明理由．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·河南鄭州·七年級期末）某種商品每件的進價為80元，標價為120元．為了拓展銷路，商店準備打折銷售，若使利潤率為，設商店打x折銷售，則依題意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·仁壽縣七年級期中）甲在乙后12千米處，甲的速度為7千米/小時，乙的速度為5千米/小時，現兩人同向同時出發，那么甲從出發到剛好追上乙所需要時間是( )
A．5小時 B．1小時 C．6小時 D．2.4小時
3．（2022·河南新鄉·七年級階段練習）已知一項工程，甲單獨完成需要5天，乙單獨完成需要10天，現先由甲單獨做2天，然后再安排乙與甲合作完成剩下的部分，則完成這項工程共耗時( )
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
4．（2022·福建）中國古代人民很早就在生產生活中發現了許多有趣的數學問題，其中《孫子算經》中有個問題：今有若干人乘車，每三人乘一車，剛好空余一輛；若每兩人共乘一車，最終剩余七個人無車可乘．問有多少人，多少輛車？如果我們設有x輛車，則可列方程（　　）
A．3（x+1）＝2x﹣9 B．3（x﹣1）＝2x+7 C．+1＝ D．﹣1＝
5．（2022·河北承德·七年級期末）如圖，表中給出的是某月的日歷，任意選取“U”型框中的7個數（如陰影部分所示），請你運用所學的數學知識來研究，發現此月這7個數的和可能的是（ ）
A．106 B．98 C．84 D．78
6．（2022·湖北隨縣·初一期末）甲隊有工人96人，乙隊有工人72人，如果要求乙隊的人數是甲隊人數的，應從乙隊調多少人去甲隊，如果設應從乙隊調x人到甲隊，列出的方程正確的是（　　）
A．96+x＝（72﹣x） B．（96﹣x）＝72﹣x
C．（96+x）＝72﹣x D．×96+x＝72﹣x
7．（2022·浙江杭州·七年級期中）為了鼓勵市民節約用水，某區居民生活用水按階梯式水價計費．居民在一年內用水在不同的定額范圍內，執行不同的水價，其中水價＝供水價格＋污水處理費．具體價格如表：
類別 戶年用水量（立方米） 水價（立方米）
供水價格（元/立方米） 污水處理費（元/立方米）
居民生活用水 一戶一表 階梯一 0--216（含） 1.90 1.00
階梯二 216—300（含） 2.85
階梯三 300以上 5.70
該區一居民家發現2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水費為86.4元，比6月份多了55.6元，則該居民家7月份屬階梯二的用水量為（ ）
A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米
8．（2022·四川綿陽·七年級期中）近年來，網購的蓬勃發展方便了人們的生活．某快遞分派站現有包裹若干件需快遞員派送，若每個快遞員派送10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件，那么該分派站現有包裹（ ）
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
9．（2022·上海崇明·七年級期中）有一所寄宿制學校，開學安排宿舍時，如果每間宿舍安排4人，將會空出5間宿舍；如果每間宿舍安排3人，就有100人沒床位，那么在學校住宿的學生有多少人？若設在學校住宿的學生有人，那么根據題意，可列出的方程為（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江九年級期末）某學校組織師生去衢州市中小學素質教育實踐學校研學．已知此次共有n名師生乘坐m輛客車前往目的地，若每輛客車坐40人，則還有15人沒有上車；若每輛客車坐45人，則剛好空出一輛客車．以下四個方程：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022·北京密云·二模）某街道居委會需印制主題為“做文明有禮北京人，垃圾分類從我做起”的宣傳單，其附近兩家圖文社印制此種宣傳單的收費標準如圖所示：
（1）為達到及時宣傳的目的，街道居委會同時在A、B兩家圖文社共印制了1500張宣傳單，印制費用共計179元，則街道居委會在A圖文社印制了______張宣傳單；
（2）為擴大宣傳力度，街道居委會還需要再加印5000張宣傳單，在A、B兩家圖文社中，選擇______圖文社更省錢（填A或B）．
12．（2022·哈爾濱德強學校七年級期中）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時．若水流速度是3千米/時，則甲、乙兩碼頭之間的距離是_____千米．
13．（2022·河南許昌·七年級期末）一件工程，甲獨做18天可完，乙獨做24天可完．現在兩個人合作，但是中途乙因有事離開幾天，從開工后12天兩人把這件工程做完，則乙中途離開了_______天．
14．（2022·浙江七年級期末）某商場的收銀臺平均每小時有60個顧客來排隊，每位收銀員每小時能應付80個顧客，若某天只開設1個收銀臺，付款開始后4個小時沒有顧客排隊了，若當天開設2個收銀臺，開始付款______小時后，沒有顧客排隊．
15．（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）如圖，一個長方形征好分成A、B、C、D、E、F這6個正方形，其中最小的正方形A邊長為1，則這個長方形的面積是_____________．
16．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）某次籃球聯賽共有十支隊伍參賽，部分積分表如下表：
隊名 比賽場次 勝場 負場 積分
A 18 14 4 32
B 18 11 7 29
C 18 9 9 27
根據表格提供的信息，可知勝一場積 _____分．
17．（2022·重慶江津·七年級期末）在六一兒童節期間，某商家推出零食大禮包，包含薯片、辣條、果凍三種零食．禮包的成本是三種零食成本之和．每個禮包中薯片、辣條、果凍成本之比為：：，其中薯片的利潤率為，果凍的利潤率為，且每個禮包的總利潤率為，則辣條的利潤率為______．
18．（2022·北京四中模擬預測）“格子乘法”作為兩個數相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大利數學家帕喬利提出，在明代數學家程大位著的《算法統宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計算，將乘數46寫在方格上邊，乘數71寫在方格右邊，然后用乘數46的每位數字乘以乘數71的每位數字，將結果記入相應的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計算兩個兩位數相乘，則______．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2022·重慶九龍坡·）一水果店第一次購進400kg西瓜，由于天氣炎熱，很快賣完．該店馬上又購進了800kg西瓜，進貨價比第一次每千克少了0.5元．兩次進貨共花費4400元．（1）第一次購進的西瓜進價每千克多少元；（2）在銷售過程中，兩次購進的西瓜售價相同．由于西瓜是易壞水果，從購進到全部售完會有部分損耗．第一次購進的西瓜有4%的損耗，第二次購進的西瓜有6%的損耗，該水果店售完這些西瓜共獲利2984元，則每千克西瓜的售價為多少元．
20．（2022·吉林船營·）王聰和張明分別要把兩塊邊長都為60cm的正方形薄鋼片制作成兩個無蓋的長方形盒子(不計粘合部分)．
（1）王聰首先在薄鋼片的四個角截去邊長為10cm的四個相同的小正方形(如圖①)，然后把四邊折合粘在一起，便得到甲種盒子，則甲種盒子的底面邊長為 cm．
（2）張明截去兩角后(如圖②)，沿虛線折合粘在一起，便得到乙種盒子(如圖③)．已知乙種盒子底面的長AB是寬BC的2倍，求乙種盒子底面的長和寬．（3）現將一定量的水注入甲種盒子，當甲種盒子注水高度至少為多少時，再倒入乙種盒子后可以將乙種盒子注滿．
21．（2022·重慶七年級課時練習）某中學的社團活動深受學生和家長的歡迎，社團種類多達十幾種，極大地豐富了學生的業余文化生活．其中初一書法社團中女生占全社團人數的，又有10名女生申請加入，那么女生就占全社團人數的，求現在初一書法社團的人數．
22.（2022·江蘇）某日王老師佩戴運動手環進行快走鍛煉，兩次鍛煉后數據如下表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x（0＜x＜0.5）．
項目 第一次鍛煉 第二次鍛煉
步數（步） 10000 ①　 　
平均步長（米/步） 0.6 ②　 　
距離（米） 6000 7020
注：步數×平均步長＝距離．
（1）根據題意完成表格填空（不需要化簡）；（2）以第二次鍛煉的距離為等量關系列出方程（不需要計算）；（3）當x＝0.1時，王老師發現好友中步數排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結束后又走了500米，使得總步數恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長．
23．（2022·福建·廈門市湖濱中學七年級期中）某次籃球聯賽積分榜如下表所示：
隊名 比賽場次 勝場 負場 積分
前進 14 10 4 24
東方 14 9 5 23
遠大 14 7 7 21
恒大 14 4 10 18
藍天 14 0 14 14
(1)通過觀察積分表，填空：勝一場得 分，負一場得 分．
(2)雄鷹隊也參加了本次籃球聯賽，獲得積分25分，問雄鷹隊的勝、負場次情況．
(3)聯賽中還有一個隊伍，隊長電話向當地組織者匯報，說隊伍在比賽中獲得勝場和負場的積分一樣多，請你通過數學計算判斷該隊長是否說謊．
24．（2022·吉林長春外國語學校八年級開學考試）為拓寬學生視野，某中學決定組織部分師生去廬山西海開展研學旅行活動，在參加此次活動的師生中，若每位老師帶19個學生，還剩11個學生沒人帶；若每位老師帶20個學生，就有一位老師少帶7個學生，為了安全，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛客車上至少要有2名老師．現有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示．
甲種客車 乙種客車
載客量/（人/輛） 30 50
租金/（元輛） 300 400
（1）參加此次研學旅行活動的老師和學生各有多少人？
（2）這次活動全部租甲種客車行嗎？如果行，怎樣安排；如果不行，請說明理由．
（3）學校計劃此次研學旅行活動的租車總費用不超過4100元，租用乙種客車不少于7輛，你能得出哪幾種不同的租車方案？其中哪種租車方案最省錢？請說明理由．
25．（2022·廣東郁南·初一期末）某中學學生步行到郊外旅行，七年級班學生組成前隊，步行速度為4千米小時，七班的學生組成后隊，速度為6千米小時；前隊出發1小時后，后隊才出發，同時后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回聯絡，他騎車的速度為10千米小時．
后隊追上前隊需要多長時間？后隊追上前隊的時間內，聯絡員走的路程是多少？七年級班出發多少小時后兩隊相距2千米？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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