資源簡介

3.2 雙曲線的簡單幾何性質
【學習目標】
1.根據(jù)雙曲線的標準方程，能夠用代數(shù)方法研究出雙曲線的簡單幾何性質；
2.能夠根據(jù)雙曲線的簡單幾何性質求雙曲線方程.
【學習重點】
代數(shù)方法研究雙曲線的簡單幾何性質并求雙曲線方程.
【學習難點】
漸近線的發(fā)現(xiàn).
【學習過程】
課本121頁—123頁，結合以下問題，在課本上圈畫關鍵知識.
問題1：類比橢圓的幾何性質的研究方法你認為應研究雙曲線(a>0,b>0)的哪些性質
如何研究這些性質
【活動1】雙曲線的簡單幾何性質
標準方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0)
圖形
性 質 范圍
對稱性 對稱軸： 對稱中心：
頂點坐標
實軸和虛軸 線段叫做雙曲線的實軸； 線段叫做雙曲線的虛軸
焦點
焦距
漸近線
離心率
問題2：橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？
問題3：什么叫等軸雙曲線？等軸的雙曲線的漸近線方程和離心率分別是什么？
<學以致用1>
1.求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸進線方程．
【活動2】由雙曲線的幾何性質求方程
<學以致用2>
1.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1）頂點在x軸上，兩頂點間的距離是8,
(2）焦點在 y 軸上，焦距是16,
對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的一個焦點是（一6,0)，求雙曲線的標準方程和漸近線方程.
【活動3】直線與雙曲線位置關系的判斷
例1 已知已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k(x－1)，在下列條件下，求實數(shù)k的取值范圍．
（1）直線l與雙曲線有兩個公共點;
（2）直線l與雙曲線有且只有一個公共點;
（3）直線l與雙曲線沒有公共點．
<學以致用1> 已知雙曲線x2－＝1，過點P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k的值．
【活動4】弦長問題
例2 如圖，過雙曲線的右焦點，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，求|AB|.
【活動5】中點弦問題
例3 已知雙曲線的方程為x2－＝1．是否存在被點B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程，如果不存在，請說明理由．
<學以致用2> 過點P(8,1)的直線與雙曲線x2－4y2＝4相交于A、B兩點，且P是線段AB的中點，則直線AB的方程為
【活動6】雙曲線有關的實際應用問題
例1 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高為55m.試建立適當?shù)淖鴺讼担蟪龃穗p曲線的方程(精確到1m).
【活動7】會求雙曲線有關的軌跡方程
例2 動點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)，求動點M的軌跡.
<學以致用1> 已知A，B兩點的坐標分別是(-6,0)，(6,0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀.
二、續(xù)學習
如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓O上任意一點.線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點Q，當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？
相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，問炮彈爆炸點在怎樣的曲線上，并求出曲線方程.
設動點M與定點F(c，0)（c>0）的距離和M到定直線l：的距離的比是（a課后作業(yè)
1．雙曲線－＝1的漸近線方程為(　　)
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0
C．9x±16y＝0 D．16x±9y＝0
2．雙曲線－ ＝1的焦點到漸近線的距離為(　　)
A．2 B．2 C. D．1
3．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m的值為(　　)
A．－ B．－4 C．4 D.
4. 已知下列雙曲線的方程，求它的焦點坐標、離心率和漸近線方程：
5. 求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)焦點在x軸上，實軸長是10，虛軸長是8;
(2)焦點在 y 軸上，焦距是10，虛軸長是8;
(3)離心率 e =，經(jīng)過點 M (-5,3).
(4)漸近線方程是 ，虛軸長為4.
求與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線的方程.
7.設動點M與定點 F ( c ,0)( c >0）的距離和 M到定直線：的距離的比是, 求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
※8. M是一個動點，MA與直線垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線垂足 B位于第四象限，若四邊形OAMB（O為原點）的面積為3，求動點M的軌跡方程
※9.設橢圓與雙曲線的離心率分別為 ，雙曲線的斜率小于，求的取值范圍.
加強練習1
過雙曲線x2－＝1的右焦點F作直線l交雙曲線于A、B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線l有(　　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
求下列直線和雙曲線的交點坐標：
3. 已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過右焦點F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A，B兩點，試問A，B兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長．
4. 直線與雙曲線相交于A，B兩點，且A，B兩點的橫坐標之積為-9，求離心率e.
已知雙曲線，過點P(1，1)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？為什么？
已知直線l：x+y=1與雙曲線C：
若，求l與C相交所得的弦長;
若l與C有兩個不同的交點，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.
7.已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，－)．
（1）求雙曲線方程；
（2）若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0；
（3）在（2）的條件下，求△F1MF2的面積．
加強練習2
如圖所示，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A地的距離比到B地的距離遠2 km．現(xiàn)要在河岸PQ上選一處M建碼頭，向B，C兩地轉運貨物．經(jīng)測算，修建公路的費用是a萬元/km，求修建這兩條公路的最低總費用．
已知中心在坐標原點的雙曲線C的右焦點為(2，0)，右頂點為.
求雙曲線C的方程;
若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為坐標原點），求實數(shù)k的取值范圍.
設A，B為雙曲線上的兩點，線段AB的中點為M(1，2). 求：
直線AB的方程;
OAB的面積（O為坐標原點）
4.已知雙曲線與直線l：
有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A(x，0)，B(0，y)兩點. 當點M運動時，求點P(x，y)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線. 如果推廣到一般雙曲線，能得到什么相應的結論？

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