資源簡介

4.1.2　無理數指數冪及其運算性質
課標要求　1.通過對實數指數冪aα(a>0，且a≠1，α∈R)含義的認識，了解指數冪的拓展過程.2.掌握實數指數冪的運算性質.
素養要求　能夠結合教材實例了解指數冪的拓展過程，掌握實數指數冪及其運算性質在指數運算中的應用，提升數學抽象與數學運算素養.
1.(1)無理數指數冪：一般地，無理數指數冪aα(a>0，α為無理數)是一個確定的實數.
(2)實數指數冪的運算法則
①aras＝ (a>0，r，s∈R).
②(ar)s＝ (a>0，r，s∈R).
③(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈R).
④拓展：＝ (a>0，r，s∈R).
重點題型訓練
題型一　無理數指數冪的運算
例1 計算下列各式的值：
(1)4＋1·23－2 ；(2)(×)2 .
思維升華　1.無理數指數冪的運算性質與有理數指數冪的運算性質相同.
2.在進行無理數指數冪的運算時，一定要注意按照運算性質進行變形、計算， 不能為了簡化某一個數字而改用、錯用公式.若式子中含有根式，一般把底數中的根式化為指數式.
訓練1 計算下列各式的值(式中字母均是正數)：
(1)(2)2 ；(2)aaa－π；
題型二　實際問題中的指數運算
例2 從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升，然后加滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續下去，則至少應倒________次后才能使純酒精體積與總溶液的體積之比低于10%.
思維升華　指數運算在實際問題中的應用
在解決成倍數遞增(遞減)、固定增長率等問題時，常常用到指數運算，用來計算增減的次數、增減前后的數量等.
訓練2 如果在某種細菌培養過程中，細菌每10分鐘分裂一次(1個分裂成2個)，那么經過1小時，一個這種細菌可以分裂成________個.
題型三　實數指數冪運算的綜合運用
例3 已知xα＋x－α＝2，x>1，且α<0，求xα－x－α的值.
思維升華　1.整體代換法是計算常用的方法技巧，分析條件與結論的結構特點，靈活運用恒等式是解題關鍵.在利用整體代換法解決分數指數冪的計算問題時，常用完全平方式及變形公式求解.
2.本例中也可利用方程思想求xα.
訓練3 已知x＋x－1＝7，求值：
(1)x＋x－；(2)x－x－1.
[課堂小結]
1.把有理數指數冪擴充到實數指數冪，指數冪的運算性質得到進一步擴充.
2.進行指數冪的運算，一定要按照指數冪運算性質進行變形計算.
3.解決條件求值問題，要從整體上把握已知條件和所求代數式之間的聯系，把條件及所求式化簡，將條件整體代入求值.
課后訓練A
一、單選題
1．已知，m是正整數，下列各式中，錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（ ）
A． B．2 C．1 D．0
3．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
4．若，，，則下列結論正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
5．下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．定義在實數集上的奇函數恒滿足，且時，，則（ ）
A． B． C．1 D．
二、多選題
7．(多選)下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．·
8．下列各式既符合分數指數冪的定義，值又相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
三、填空題
9．已知a2x＝2（a＞0），則＝ ．
10．計算： .
11．已知函數，則 .
12．是定義在上的周期為的奇函數，當時，，則 .
四、解答題
13．（1）；
（2）.
14．化簡：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
15．計算：
(1)；
(2)
16．已知.
（1）求證：；
（2）求的值.
課后訓練B
一、基礎達標
1.對于a>0，b>0，以下運算正確的是(　　)
A.ar·as＝ars B.(ar)s＝ars
C.＝arbr D.arbs＝(ab)r＋s
2.下列運算中正確的是(　　)
A.a2 a3 ＝a6
B.(－a2)3＝(－a3)2
C.(－2)0＝1
D.(－a2 )5＝－a10
3.一張報紙，其厚度為0.1毫米，現將報紙對折(即沿對邊中點連續折疊)10次，這時，報紙的厚度為(　　)
A.2.56厘米 B.5.12厘米
C.10.24厘米 D.20.48厘米
4.計算：3π×＋(22 )＋1＝(　　)
A.17 B.18
C.6 D.5
5.(多選)下列計算正確的是(　　)
A.＝
B.÷＝－9a(a>0，b>0)
C.＝
D.已知x2＋x－2＝2，則x＋x－1＝2
6.已知3a＝2，3b＝5，則32a－b＝________.
7.計算：27＋＋(27－＋162)0＝________.
8.化簡＝________.
9.已知x＋x－1＝3(x>0)，求x＋x－的值.
10.已知a2x＝3，求的值.
二、能力提升
11.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　)
A. B.10
C.20 D.100
12.設α，β為方程2x2＋3x＋1＝0的兩個根，則＝________.
13.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的兩根，且a>b>0，求的值.
三、創新拓展
14.在算式2中＋2國＋2精＋2神＝29中，“中、國、精、神”分別代表四個不同的數字，且依次從大到小，則“國”字所對應的數字為(　　)
A.4 B.3 C.2 D.14.1.2　無理數指數冪及其運算性質
課標要求　1.通過對實數指數冪aα(a>0，且a≠1，α∈R)含義的認識，了解指數冪的拓展過程.2.掌握實數指數冪的運算性質.
素養要求　能夠結合教材實例了解指數冪的拓展過程，掌握實數指數冪及其運算性質在指數運算中的應用，提升數學抽象與數學運算素養.
1.(1)無理數指數冪：一般地，無理數指數冪aα(a>0，α為無理數)是一個確定的實數.
(2)實數指數冪的運算法則
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R).
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R).
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
④拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R).
.重點題型訓練
題型一　無理數指數冪的運算
例1 計算下列各式的值：
(1)4＋1·23－2 ；(2)(×)2 .
解　(1)原式＝22 ＋2·23－2 ＝22＋2＋3－2 ＝25＝32.
(2)原式＝＝29×32＝4 608.
思維升華　1.無理數指數冪的運算性質與有理數指數冪的運算性質相同.
2.在進行無理數指數冪的運算時，一定要注意按照運算性質進行變形、計算， 不能為了簡化某一個數字而改用、錯用公式.若式子中含有根式，一般把底數中的根式化為指數式.
訓練1 計算下列各式的值(式中字母均是正數)：
(1)(2)2 ；(2)aaa－π；
(3) 。
解　(1)原式＝(2·m)2 ＝26·m3＝64m3.
(2)原式＝a＋－π＝a0＝1.
(3)原式＝.
題型二　實際問題中的指數運算
例2 從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升，然后加滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續下去，則至少應倒________次后才能使純酒精體積與總溶液的體積之比低于10%.
答案　4
解析　由題意，得第n次操作后溶液的濃度為，
令<，驗證可得n≥4.
所以至少應倒4次后才能使酒精的濃度低于10%.
思維升華　指數運算在實際問題中的應用
在解決成倍數遞增(遞減)、固定增長率等問題時，常常用到指數運算，用來計算增減的次數、增減前后的數量等.
訓練2 如果在某種細菌培養過程中，細菌每10分鐘分裂一次(1個分裂成2個)，那么經過1小時，一個這種細菌可以分裂成________個.
答案　64
解析　經過1小時可分裂6次，可分裂成26＝64(個).
題型三　實數指數冪運算的綜合運用
例3 已知xα＋x－α＝2，x>1，且α<0，求xα－x－α的值.
解　由xα＋x－α＝2，兩邊平方，
得x2α＋x－2α＋2＝20，則x2α＋x－2α＝18，
∴(xα－x－α)2＝x2α＋x－2α－2＝16.
∵x>1，且α<0，∴xα<1，x－α>1，
則xα－x－α<0，
∴xα－x－α＝－＝－4.
遷移 若把本例中條件變為“已知x＋x－＝”，求x2＋x－2.
解　將x＋x－＝，兩邊平方得x＋x－1＋2＝5，則x＋x－1＝3，
兩邊再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
思維升華　1.整體代換法是計算常用的方法技巧，分析條件與結論的結構特點，靈活運用恒等式是解題關鍵.在利用整體代換法解決分數指數冪的計算問題時，常用完全平方式及變形公式求解.
2.本例中也可利用方程思想求xα.
訓練3 已知x＋x－1＝7，求值：
(1)x＋x－；(2)x－x－1.
解　(1)設m＝x＋x－，兩邊平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
因為m>0，所以m＝3，故x＋x－＝3.
(2)設n＝x－x－，兩邊平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，
則n＝x－x－＝±.
故x－x－1＝
＝±3.
[課堂小結]
1.把有理數指數冪擴充到實數指數冪，指數冪的運算性質得到進一步擴充.
2.進行指數冪的運算，一定要按照指數冪運算性質進行變形計算.
3.解決條件求值問題，要從整體上把握已知條件和所求代數式之間的聯系，把條件及所求式化簡，將條件整體代入求值.
課后訓練A
一、單選題
1．已知，m是正整數，下列各式中，錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指數冪的概念與運算法則即可判斷.
【詳解】由指數冪的概念與運算法則知C錯誤．
故選：C.
2．（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】直接根據指數冪的運算性質計算即可.
【詳解】.
故選：D.
3．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
【答案】B
【分析】化簡整理，可得，根據平移變換的原則，即可得答案.
【詳解】由題意得，
所以只需將函數的圖象向右平移個單位，即可得到的圖象.
故選：B
4．若，，，則下列結論正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【解析】結合指數函數的單調性，可得出，，，結合，從而可得出三個數的大小關系.
【詳解】函數是上減函數，所以，同理得，
又，所以，
又，所以，即.
故選：D.
【點睛】本題考查幾個數的大小比較，考查指數函數單調性的應用，考查學生的推理能力，屬于基礎題.
5．下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據分數指數冪的運算性質對各選項逐一計算即可求解.
【詳解】解：對A：，故選項A錯誤；
對B：，故選項B正確；
對C：，不能化簡為，故選項C錯誤；
對D：因為，所以，故選項D錯誤.
故選：B.
6．定義在實數集上的奇函數恒滿足，且時，，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根據函數的奇偶性和等量關系，求出函數是周期為4的周期函數，利用函數的周期性進行轉化求解即可．
【詳解】解：奇函數恒滿足，
，即，則，即，即是周期為4的周期函數，
所以，
故選：B．
二、多選題
7．(多選)下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．·
【答案】ABC
【分析】根據指數冪的運算法則及運算性質，分選項排除即可．
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，成立，故B正確；
對于C，，成立，故C正確；
對于D，由可取且，但此時和無意義，故D錯誤，
故選：ABC．
8．下列各式既符合分數指數冪的定義，值又相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】AC
【分析】根據分數指數冪的定義和運算可得答案.
【詳解】A：，故A正確；
B：0的負指數冪沒有意義，故B錯誤；
C：，，故C正確；
D：和的值不相等．故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
9．已知a2x＝2（a＞0），則＝ ．
【答案】/3.5
【分析】由可得，根據對原式化簡計算即可.
【詳解】由，得，所以，
則.
故答案為：.
10．計算： .
【答案】0
【解析】由指數冪的運算可得答案.
【詳解】因為，
故答案為：0.
11．已知函數，則 .
【答案】/
【分析】根據指數冪的運算性質直接化簡計算即可求解.
【詳解】
.
故答案為：.
12．是定義在上的周期為的奇函數，當時，，則 .
【答案】
【分析】利用奇偶性將求轉化為求，再利用周期性和指數運算進行求解.
【詳解】因為函數是定義在上的周期為3的奇函數，
且當時,，
所以，
且，
則.
故答案為：.
四、解答題
13．（1）；
（2）.
【答案】（1）101（2）
【分析】化簡式子，即可得出結果
【詳解】解（1）由題意
原式=
（2）由題意及（1）得
原式=
14．化簡：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根據指數冪的化簡原則，計算整理，即可得答案.
（2）根據指數冪的化簡原則，計算整理，即可得答案.
（3）根據指數冪的化簡原則，結合立方差公式，通分計算，即可得答案.
【詳解】（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
15．計算：
(1)；
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用根式與指數冪運算法則計算即可得出結果；
（2）由根式與分數指數冪的互化，計算化簡即可得出答案.
【詳解】（1）原式
（2）由根式與分數指數冪互化運算可得，
16．已知.
（1）求證：；
（2）求的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）500
【分析】（1）根據的表達式，求出的表達式，再進行分式通分運算，可得．
（2）設，再把的表達式運用加法交換律改寫成，把兩式相加利用求出的值．
【詳解】（1），．
，
（2）設，則
，
兩式相加得：
由（1）得：
，
∴.
【點睛】本題考查指數冪運算，分式運算，利用函數的性質進行式子求值，考查運算求解能力.
課后訓練B
一、基礎達標
1.對于a>0，b>0，以下運算正確的是(　　)
A.ar·as＝ars B.(ar)s＝ars
C.＝arbr D.arbs＝(ab)r＋s
答案　B
解析　根據實數指數冪的運算性質進行判斷.
2.下列運算中正確的是(　　)
A.a2 a3 ＝a6
B.(－a2)3＝(－a3)2
C.(－2)0＝1
D.(－a2 )5＝－a10
答案　D
解析　a2 a3 ＝a5 ，故A錯誤；
(－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B錯誤；
當a＝4時，(－2)0無意義，故C錯誤；
(－a2 )5＝－a10 ，故D正確.
3.一張報紙，其厚度為0.1毫米，現將報紙對折(即沿對邊中點連續折疊)10次，這時，報紙的厚度為(　　)
A.2.56厘米 B.5.12厘米
C.10.24厘米 D.20.48厘米
答案　C
解析　0.01×210＝10.24(厘米).
4.計算：3π×＋(22 )＋1＝(　　)
A.17 B.18
C.6 D.5
答案　B
解析　原式＝＋22 ×＋1＝1π＋24＋1＝18.
5.(多選)下列計算正確的是(　　)
A.＝
B.÷＝－9a(a>0，b>0)
C.＝
D.已知x2＋x－2＝2，則x＋x－1＝2
答案　BC
解析?。剑?，故A錯誤.
÷＝－9a＋－·b＋－＝－9a，故B正確.
由于＝＝(32)＝3＝，C正確.
因為x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝2，
所以(x＋x－1)2＝4，則x＋x－1＝±2，D不正確.
6.已知3a＝2，3b＝5，則32a－b＝________.
答案　
解析　32a－b＝＝.
7.計算：27＋＋(27－＋162)0＝________.
答案　13
解析　原式＝3＋9＋1＝13.
8.化簡＝________.
答案　1
解析　原式＝＝＝＝1.
9.已知x＋x－1＝3(x>0)，求x＋x－的值.
解　因為x＋x－1＝3，所以(x＋x－1)2＝9，
所以x2＋x－2＝7，
所以＝x3＋x－3＋2
＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＋2
＝3×6＋2＝20，
所以x＋x－＝2.
10.已知a2x＝3，求的值.
解　原式＝
＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋＝.
二、能力提升
11.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　)
A. B.10
C.20 D.100
答案　A
解析　由題意得m>0，∵2a＝m，5b＝m，
∴2＝m，5＝m，
∵2×5＝m·m＝m＋，
∴m2＝10，∴m＝.
12.設α，β為方程2x2＋3x＋1＝0的兩個根，則＝________.
答案　8
解析　由根與系數的關系得α＋β＝－，
所以＝＝(2－2)－＝23＝8.
13.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的兩根，且a>b>0，求的值.
解　∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的兩根，
∴a＋b＝6，且ab＝4.
∴＝＝＝.
∵a>b>0，∴>，∴－>0，
∴＝＝.
三、創新拓展
14.在算式2中＋2國＋2精＋2神＝29中，“中、國、精、神”分別代表四個不同的數字，且依次從大到小，則“國”字所對應的數字為(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案　B
解析　由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，得“國”字所對應的數字為3.

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