資源簡介

4.2.1　指數函數的概念
課標要求　1.了解指數函數的實際背景，理解指數函數的概念.2.了解指數增長型和指數衰減型在實際問題中的應用.
素養要求　1.通過理解指數函數的概念和意義，發展數學抽象素養.2.通過指數函數的實際應用，發展數學建模素養.
一、指數函數的概念
一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.
溫馨提醒　指數函數和冪函數的區別：兩者雖然都是冪的形式，但不同之處在于指數函數的自變量在指數上，而冪函數的自變量在底數上.
二、兩類指數型函數模型
　(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當a>1時為指數增長型函數模型.
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當0重點題型
題型一　指數函數的概念
例1 (1)給出下列函數：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指數函數的個數是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
(2)若函數y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數函數，則a的取值范圍是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) 　　　B.[0，1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) 　　　D.
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)①中，3x的系數是2，故①不是指數函數；
②中，y＝3x＋1的指數是x＋1，不是自變量x，故②不是指數函數；
③中，3x的系數是1，冪的指數是自變量x，且只有3x一項，故③是指數函數；
④中，y＝x3的底數為自變量，指數為常數，故④不是指數函數；
⑤中，底數－2<0，故⑤不是指數函數.
(2)依題意得2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1.
思維升華　1.指數函數的解析式必須具有三個特征：(1)底數a為大于0且不等于1的常數；(2)指數位置是自變量x；(3)ax的系數是1.
2.求指數函數的關鍵是求底數a，并注意a的限制條件.
訓練1 (1)(多選)下列函數是指數函數的是(　　)
A.y＝52x
B.y＝－4x
C.y＝x3
D.y＝(6a－3)x
(2)若函數y＝(a2－3a＋3)·ax是指數函數，則a的值為________.
答案　(1)AD　(2)2
解析　(1)根據指數函數的定義知y＝52x＝25x，y＝(6a－3)x是指數函數.y＝x3是冪函數，y＝－4x不是指數函數.
(2)由指數函數的定義知
解得a＝2.
題型二　求指數函數的解析式或求值
例2 (1)已知函數f(x)是指數函數，且f＝，則f(3)＝________.
答案　125　
解析　設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
且f＝，
∴f＝a－＝5－，則a＝5.
故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
(2)已知函數y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函數y＝f(x)的一個解析式.
解　當x增加1時函數值都以的衰減率衰減，
∴函數f(x)為指數衰減型函數模型，
令f(x)＝k(k≠0)，又f(0)＝3，
∴k＝3，∴f(x)＝3·.
思維升華　(1)求指數函數的解析式時，一般采用待定系數法，即先設出函數的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數，從而得到函數的解析式，其中掌握指數函數的概念是解決這類問題的關鍵.
(2)求指數函數的函數值的關鍵是掌握指數函數的解析式.
訓練2 已知函數f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指數函數，求f(x)的解析式、f的值.
解　因為函數f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指數函數，
所以2a2－3a＋2＝1，且a>0，a≠1，
解得a＝或a＝1(舍去).
所以f(x)＝，故f＝＝.
題型三　指數增長(衰減)型函數的實際應用
例3 (1)為響應國家退耕還林的號召，某地的耕地面積在最近50年內減少了10%，如果按此規律，設2017年的耕地面積為m，則2022年的耕地面積為(　　)
A.(1－0.1250)m B.0.9m
C.0.9250m D.(1－0.9)m
(2)某種細菌經60分鐘培養，可繁殖為原來的2倍，且知該細菌的繁殖規律為y＝10ekt，其中k為常數，t表示時間(單位：小時)，y表示細菌個數，10個細菌經過7小時培養，細菌能達到的個數為(　　)
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)設每年減少的百分率為a，
由題意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
則1－a＝0.9.
由2017年的耕地面積為m，
得2022年的耕地面積為(1－a)5m＝0.9m.
(2)依題意，2＝ek，則y＝10ekt＝10×2t.
∴當t＝7時，y＝10×27＝1 280.
思維升華　關于函數y＝kax在實際問題中的應用
1.解決這類問題的關鍵是理解增長(衰減)率的意義：增長(衰減)率是所研究的對象在“單位時間”內比它在“前單位時間”內的增長(衰減)率.
2.主要解法用待定系數法，根據條件確定出解析式中的系數后，利用指數運算解題.
訓練3 春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出的荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天.
答案　19
解析　設荷葉覆蓋水面的初始面積為a，則x天后荷葉覆蓋水面的面積y＝a·2x(x∈N*).
根據題意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
[課堂小結]
1.判斷一個函數是不是指數函數，關鍵是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)這一結構形式，即ax的系數是1，指數是x且系數為1.
2.解決增長率問題時要準確把握變量的意義，并轉化為函數模型求解.
3.解題誤區：易忽視指數函數的底數a的限制條件：a>0且a≠1.
課后訓練A
一、單選題
1．下列函數是指數函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據指數函數的特征即可求解.
【詳解】對于A,是冪函數，
對于B，系數不為1，不是指數函數，
對于C, 是底數為的指數函數，
對于D,底數不滿足大于0且不為1，故不是指數函數，
故選：C
2．下列函數是冪函數，且在定義域內為增函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據冪函數，指數函數的概念及性質逐項判斷即可.
【詳解】對于A，是冪函數，定義域為，在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤；
對于B，，定義域是，且在上單調遞增，故B正確；
對于C，不是冪函數，故C錯誤；
對于D，是指數函數，不是冪函數，故D錯誤.
故選：B.
3．若函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據分段函數解析式計算可得.
【詳解】因為，則.
故選：D
4．已知函數，且a≠1）的圖象過定點（m，n），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據指數函數的圖象與性質，求出的圖象所過定點，再計算的值．
【詳解】解：函數，且中，
令，得，
所以，
所以的圖象過定點，
所以，；
所以．
故選：．
【點睛】本題考查了指數函數與指數運算問題，屬于基礎題．
5．某鄉鎮現在人均一年占有糧食千克，如果該鄉鎮人口平均每年增長，糧食總產量平均每年增長，那么年后若人均一年占有千克糧食，則關于的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，分別求得年后人口總量和糧食總量關于的表達式，即可求得.
【詳解】不妨設現在鄉鎮人口總數為，則現在鄉鎮糧食總量為，
故經過年后，鄉鎮人口總數為，鄉鎮糧食總量為，
故經過年后，人均占有糧食.
故選：D.
【點睛】本題考查指數型函數模型的建立，屬基礎題.
6．函數的圖像大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：為奇函數且時，函數無意義，可排除，又在是減函數，故選.
考點：1.函數的奇偶性；2.函數的單調性；3.函數的圖象.
二、多選題
7．函數y＝(a2－4a＋4)ax是指數函數，則a的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】ACD
【分析】根據指數函數的定義，列出方程，得出a的值.
【詳解】由指數函數的定義知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.
故選：ACD.
8．下列函數中，值域是的冪函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根據冪函數的定義與性質，對選項中的函數進行分析、判斷即可．
【詳解】由題意可得選項D的函數為指數函數，故排除D；
對于A：函數，定義域為，所以值域為，滿足條件；
對于B：函數，定義域為，所以值域為，滿足條件；
對于C：函數，定義域為，在第一象限內單調遞增，又，所以值域為，不滿足條件.
故選：AB.
三、填空題
9．已知函數和都是指數函數，則 .
【答案】
【分析】根據指數函數解析式的特點即可求出的值，進而可得的值.
【詳解】因為函數是指數函數，所以，
由是指數函數，所以，
所以，
故答案為：.
10．雙曲函數是由以為底的指數函數和所產生的．其定義為：雙曲正弦，雙曲余弦，雙曲正切．類比三角函數的公式，我們給出如下雙曲函數的公式，其中正確公式的序號為 ．
①
②
③
④
【答案】②④
【分析】根據所給的函數解析式逐個選項判斷即可.
【詳解】①，錯誤；
②
，正確；
③
，錯誤；
④，正確．
故答案為：②④
11．定義在上的奇函數滿足，且當時， ，則
【答案】
【分析】由，得到函數為周期函數，再結合函數為奇函數求解.
【詳解】因為，
所以，
所以函數周期為4，
所以，
因為函數奇函數，
所以，
所以.
故答案為：
12．已知函數．若對，使成立，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】分別求解出、的值域、，根據題意可得是的子集，即得不等式組，求解不等式組即可.
【詳解】試題分析：由題意知的值域是，的值域是，
由題意知是的子集，故，解得，所求的范圍是.
故答案為：
四、解答題
13．設函數，，.
（1）若，求；
（2）是否存在正實數，使得是偶函數.
【答案】（1）；（2）存在.
【分析】（1）由函數解析式求、，結合已知可得，即可求；
（2）假設存在正實數使是偶函數，即，整理求出，判斷所得參數是否符合題意即可.
【詳解】（1）由題意，，，
由，即，整理可得，即；
（2）假設存在正實數，使得是偶函數，即，則，
∴，必有，
故存在正實數，使得是偶函數.
14．已知指數函數的圖象經過點，
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，證明：函數的圖象與函數的圖象關于y軸對稱．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設指數函數且，由函數圖象過點即可求解；
（2）任取函數的圖象上一點，證明該點關于y軸的對稱點為在另一個函數圖象上即可.
【詳解】（1）解：由題意，設指數函數且，
因為函數的圖象經過點，所以，解得，
所以函數；
（2）證明：由（1）知，
任取函數的圖象上一點，則，
因為關于y軸的對稱點為，且，
所以在函數的圖象上，
設上任意一點，則，
因為關于y軸的對稱點為，且，
所以在函數的圖象上，
所以函數的圖象與函數的圖象關于y軸對稱．
15．某車間產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量與時間之間的關系為（其中表示初始廢氣中污染物數量）.經過5個小時后，經測試，消除了20%的污染物.問：
（1）15小時后還剩百分之幾的污染物？
（2）污染物減少36%需要花多長時間？
【答案】（1）15個小時后還剩51.2%的污染物；（2）污染物減少36%需要花.
【分析】（1）根據題意列出，求得，再將代入即可求解.
（2）根據題意列出，利用（1）中的結果代入即可求解.
【詳解】（1）由題意得，
則，故當時，.
故15個小時后還剩51.2%的污染物.
（2）由題意，，
即，所以，所以，即，
故污染物減少36%需要花.
【點睛】本題考查了指數函數的生活中的應用、指數的運算，解題的關鍵是建立指數型函數模型，屬于基礎題.
16．求下列函數的定義域和值域：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）定義域，值域為且；（2）定義域，值域；（3）定義域，值域
【解析】（1）由得定義域，求出的范圍，結合函數的性質可得值域；
（2）由可得定義域，求得的取值范圍，結合的性質可得值域；
（3）函數無限制條件，定義域為，求出的取值范圍，結合的性質可得值域．
【詳解】（1）要使函數式有意義，則，解得.所以函數的定義域為.因為，所以，即函數的值域為.
（2）要使函數式有意義，則，解得，所以函數的定義域為.因為，所以，即函數的值域為.
（3）函數的定義域為.因為，所以.
又，所以函數的值域為.
【點睛】本題考查指數型復合函數的定義域與值域，定義域只要使函數式有意義即可，求值域時，一個是指數作為一個整體先求得其取值范圍，然后要結合指數函數性質得出所求函數的值域．
課后訓練B
一、基礎達標
1.下列函數是指數函數的是(　　)
A.y＝ B.y＝(－8)x
C.y＝2x－1 D.y＝x2
答案　A
解析　對于A，函數y＝中，a＝>1，是指數函數；
對于B，函數y＝(－8)x中，a＝－8<0，不是指數函數；
對于C，函數y＝2x－1＝×2x，不是指數函數；
對于D，函數y＝x2，是冪函數，不是指數函數.
2.若指數函數f(x)的圖象過點(4，81)，則f(x)的解析式為(　　)
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x
C.f(x)＝ D.f(x)＝x
答案　B
解析　設f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
由題意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.
3.若函數f(x)＝(m2－m－1)ax是指數函數，則實數m的值為(　　)
A.2 B.3
C.2或－1 D.－1
答案　C
解析　∵函數f(x)＝(m2－m－1)ax是指數函數，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
4.(多選)若函數f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指數函數，則下列說法正確的是(　　)
A.a＝8 B.f(0)＝－3
C.f＝2 D.a＝4
答案　AC
解析　因為函數f(x)是指數函數，所以a－3＝1，解得a＝8，所以f(x)＝8x.
所以f(0)＝1，f＝8＝2，因此選項A、C正確.
5.一種放射性元素，最初的質量為500 g，按每年10%的衰減率衰減，則t年后，這種放射性元素質量w的表達式為(　　)
A.w＝500×0.9t B.w＝500×0.9t－1
C.w＝500×0.1t D.w＝500×0.1t－1
答案　A
解析　最初的質量為500 g，
經過1年，w＝500(1－10%)＝500×0.91；
經過2年，w＝500×0.92，…，
由此推出，t年后，w＝500×0.9t.
6.若函數f(x)是指數函數，且f(2)＝2，則f(x)＝________.
答案　()x
解析　由題意，設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則由f(2)＝a2＝2，得a＝，
所以f(x)＝()x.
7.若函數y＝2(a－1)x是刻畫指數衰減變化規律的模型，則a的取值范圍是________.
答案　(1，2)
解析　∵函數y＝2(a－1)x是刻畫指數衰減變化規律的模型，
∴08.f(x)為指數函數，若f(x)過點(－2，4)，則f(f(－1))＝________.
答案　
解析　設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝，
所以f(x)＝，
所以f(－1)＝＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝＝.
9.牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同，假定保鮮時間y與儲藏溫度x的關系式為y＝kerx(k，r為常數).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鮮時間約是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鮮時間約是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鮮時間是多少小時？
解　因為保鮮時間y與儲藏溫度x的關系式為y＝kerx(k，r為常數).
所以解得，
所以y＝100，
所以當x＝10時，y＝100×＝64.
故在10 ℃的冰箱中保鮮時間是64小時.
10.已知函數f(x)＝(a2＋a－5)ax是指數函數.
(1)求f(x)的表達式；
(2)判斷F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以證明.
解　(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝2x－2－x，定義域為R，
∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函數.
二、能力提升
11.指數函數y＝f(x)的圖象經過點，那么f(4)f(2)等于(　　)
A.8 B.16
C.32 D.64
答案　D
解析　由指數函數y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經過點，
可得a－2＝，解得a＝2，
函數的解析式為y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64.
12.某股民購買一公司股票10萬元，在連續十個交易日內，前5個交易日，平均每天上漲5%，后5個交易日，平均每天下跌4.9%，則股民的股票盈虧情況(不計其他成本，精確到元)為(參考數據：1.055＝1.2 763，0.9515＝0.7 779)(　　)
A.賺723元 B.賺145元
C.虧145元 D.虧723元
答案　D
解析　由題意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7(萬元)，
∵100 000－99 277＝723(元)，
∴股民虧723元.
13.截止到2021年年底，我國某市人口約為130萬.若今后能將人口年平均遞增率控制在3‰，則經過x年后，此市人口數為y(萬).
(1)求y與x的函數關系y＝f(x)，并寫出定義域；
(2)若按此增長率，2032年年底的人口數是多少？
(3)哪一年年底的人口數將達到135萬？
解　(1)2021年年底的人口數為130萬；
經過1年，2022年年底的人口數為130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(萬)；
經過2年，2023年年底的人口數為130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(萬)；
經過3年，2024年年底的人口數為130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(萬).
……
所以經過的年數與(1＋3‰)的指數相同，
所以經過x年后的人口數為130(1＋3‰)x(萬).
即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).
(2)2032年年底的人口數為130(1＋3‰)11≈134(萬).
(3)由(2)可知，2032年年底的人口數為130(1＋3‰)11≈134<135.
2033年年底的人口數為130(1＋3‰)12≈134.8(萬)，
2034年年底的人口數為130(1＋3‰)13≈135.2(萬).
所以2034年年底的人口數達到135萬.
三、創新拓展
14.某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業額相等，甲食堂的營業額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業額也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知該年9月份兩食堂的營業額又相等，則該年5月份(　　)
A.甲食堂的營業額較高
B.乙食堂的營業額較高
C.甲、乙兩食堂的營業額相等
D.不能確定甲、乙哪個食堂的營業額較高
答案　A
解析　設甲、乙兩食堂1月份的營業額均為m，甲食堂的營業額每月增加a(a>0)，乙食堂的營業額每月增加的百分率為x，
由題意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，則5月份甲食堂的營業額y1＝m＋4a，乙食堂的營業額y2＝m(1＋x)4＝.
因為y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，
所以y1>y2，故該年5月份甲食堂的營業額較高.4.2.1　指數函數的概念
課標要求　1.了解指數函數的實際背景，理解指數函數的概念.2.了解指數增長型和指數衰減型在實際問題中的應用.
素養要求　1.通過理解指數函數的概念和意義，發展數學抽象素養.2.通過指數函數的實際應用，發展數學建模素養.
一、指數函數的概念
一般地，函數 叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.
溫馨提醒　指數函數和冪函數的區別：兩者雖然都是冪的形式，但不同之處在于指數函數的自變量在指數上，而冪函數的自變量在底數上.
二、兩類指數型函數模型
　(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當 時為指數增長型函數模型.
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當 時為指數衰減型函數模型.
重點題型
題型一　指數函數的概念
例1 (1)給出下列函數：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指數函數的個數是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
(2)若函數y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數函數，則a的取值范圍是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) 　　　B.[0，1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) 　　　D.
思維升華　1.指數函數的解析式必須具有三個特征：(1)底數a為大于0且不等于1的常數；(2)指數位置是自變量x；(3)ax的系數是1.
2.求指數函數的關鍵是求底數a，并注意a的限制條件.
訓練1 (1)(多選)下列函數是指數函數的是(　　)
A.y＝52x
B.y＝－4x
C.y＝x3
D.y＝(6a－3)x
(2)若函數y＝(a2－3a＋3)·ax是指數函數，則a的值為________.
題型二　求指數函數的解析式或求值
例2 (1)已知函數f(x)是指數函數，且f＝，則f(3)＝________.
(2)已知函數y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函數y＝f(x)的一個解析式.
思維升華　(1)求指數函數的解析式時，一般采用待定系數法，即先設出函數的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數，從而得到函數的解析式，其中掌握指數函數的概念是解決這類問題的關鍵.
(2)求指數函數的函數值的關鍵是掌握指數函數的解析式.
訓練2 已知函數f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指數函數，求f(x)的解析式、f的值.
題型三　指數增長(衰減)型函數的實際應用
例3 (1)為響應國家退耕還林的號召，某地的耕地面積在最近50年內減少了10%，如果按此規律，設2017年的耕地面積為m，則2022年的耕地面積為(　　)
A.(1－0.1250)m B.0.9m
C.0.9250m D.(1－0.9)m
(2)某種細菌經60分鐘培養，可繁殖為原來的2倍，且知該細菌的繁殖規律為y＝10ekt，其中k為常數，t表示時間(單位：小時)，y表示細菌個數，10個細菌經過7小時培養，細菌能達到的個數為(　　)
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
思維升華　關于函數y＝kax在實際問題中的應用
1.解決這類問題的關鍵是理解增長(衰減)率的意義：增長(衰減)率是所研究的對象在“單位時間”內比它在“前單位時間”內的增長(衰減)率.
2.主要解法用待定系數法，根據條件確定出解析式中的系數后，利用指數運算解題.
訓練3 春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出的荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天.
[課堂小結]
1.判斷一個函數是不是指數函數，關鍵是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)這一結構形式，即ax的系數是1，指數是x且系數為1.
2.解決增長率問題時要準確把握變量的意義，并轉化為函數模型求解.
3.解題誤區：易忽視指數函數的底數a的限制條件：a>0且a≠1.
課后訓練A
一、單選題
1．下列函數是指數函數的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函數是冪函數，且在定義域內為增函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．若函數，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數，且a≠1）的圖象過定點（m，n），則（ ）
A． B． C． D．
5．某鄉鎮現在人均一年占有糧食千克，如果該鄉鎮人口平均每年增長，糧食總產量平均每年增長，那么年后若人均一年占有千克糧食，則關于的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
6．函數的圖像大致為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．函數y＝(a2－4a＋4)ax是指數函數，則a的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．下列函數中，值域是的冪函數是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．已知函數和都是指數函數，則 .
10．雙曲函數是由以為底的指數函數和所產生的．其定義為：雙曲正弦，雙曲余弦，雙曲正切．類比三角函數的公式，我們給出如下雙曲函數的公式，其中正確公式的序號為 ．
①
②
③
④
11．定義在上的奇函數滿足，且當時， ，則
12．已知函數．若對，使成立，則實數的取值范圍為 ．
四、解答題
13．設函數，，.
（1）若，求；
（2）是否存在正實數，使得是偶函數.
14．已知指數函數的圖象經過點，
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，證明：函數的圖象與函數的圖象關于y軸對稱．
15．某車間產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量與時間之間的關系為（其中表示初始廢氣中污染物數量）.經過5個小時后，經測試，消除了20%的污染物.問：
（1）15小時后還剩百分之幾的污染物？
（2）污染物減少36%需要花多長時間？
16．求下列函數的定義域和值域：
（1）；
（2）；
（3）.
課后訓練B
一、基礎達標
1.下列函數是指數函數的是(　　)
A.y＝ B.y＝(－8)x
C.y＝2x－1 D.y＝x2
2.若指數函數f(x)的圖象過點(4，81)，則f(x)的解析式為(　　)
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x
C.f(x)＝ D.f(x)＝x
3.若函數f(x)＝(m2－m－1)ax是指數函數，則實數m的值為(　　)
A.2 B.3
C.2或－1 D.－1
4.(多選)若函數f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指數函數，則下列說法正確的是(　　)
A.a＝8 B.f(0)＝－3
C.f＝2 D.a＝4
5.一種放射性元素，最初的質量為500 g，按每年10%的衰減率衰減，則t年后，這種放射性元素質量w的表達式為(　　)
A.w＝500×0.9t B.w＝500×0.9t－1
C.w＝500×0.1t D.w＝500×0.1t－1
6.若函數f(x)是指數函數，且f(2)＝2，則f(x)＝________.
7.若函數y＝2(a－1)x是刻畫指數衰減變化規律的模型，則a的取值范圍是________.
8.f(x)為指數函數，若f(x)過點(－2，4)，則f(f(－1))＝________.
9.牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同，假定保鮮時間y與儲藏溫度x的關系式為y＝kerx(k，r為常數).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鮮時間約是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鮮時間約是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鮮時間是多少小時？
10.已知函數f(x)＝(a2＋a－5)ax是指數函數.
(1)求f(x)的表達式；
(2)判斷F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以證明.
二、能力提升
11.指數函數y＝f(x)的圖象經過點，那么f(4)f(2)等于(　　)
A.8 B.16
C.32 D.64
12.某股民購買一公司股票10萬元，在連續十個交易日內，前5個交易日，平均每天上漲5%，后5個交易日，平均每天下跌4.9%，則股民的股票盈虧情況(不計其他成本，精確到元)為(參考數據：1.055＝1.2 763，0.9515＝0.7 779)(　　)
A.賺723元 B.賺145元
C.虧145元 D.虧723元
13.截止到2021年年底，我國某市人口約為130萬.若今后能將人口年平均遞增率控制在3‰，則經過x年后，此市人口數為y(萬).
(1)求y與x的函數關系y＝f(x)，并寫出定義域；
(2)若按此增長率，2032年年底的人口數是多少？
(3)哪一年年底的人口數將達到135萬？
三、創新拓展
14.某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業額相等，甲食堂的營業額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業額也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知該年9月份兩食堂的營業額又相等，則該年5月份(　　)
A.甲食堂的營業額較高
B.乙食堂的營業額較高
C.甲、乙兩食堂的營業額相等
D.不能確定甲、乙哪個食堂的營業額較高

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