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等式性質與不等式性質
【知識精講】
一、等式：
1、等式的定義：
（1）等式的定義：表示相等關系的式子，稱為等式；通常用符號“=”表示；
（2）理解等式的定義時應該注意的問題：①等式中含有兩個表示數量關系的代數式；②這兩個表示數量關系的代數式所表示的數量之間具有相等關系；③兩個代數式之間用符號“=”連接。
2、等式的性質：
（1）等式的交換性：若a=b ，則b=a；
（2）等式的傳遞性：若a=b ，b=c則 a=c；
（3）等式兩邊同時加上（或減去）同一個數（或代數式），等式仍然成立；
（4）等式兩邊同時乘以（或除以，除數不為0或除式的值不為0）同一個數（或代數式），等式仍然成立。
二、不等式：
1、不等式的概念：
不等式的定義：用符號“ < 或 ≤ 或 >或 ≥ 或 ≠ ”連接兩個數(或代數式)來表示它們之間不等關系的式子，叫做不等式。
2、兩個實數（或式）比較大小的基本方法：
（1）實數大小的意義：實數與數軸上的點是一一對應的，在數軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大；
①如圖設點A表示的實數為a，點B表示的實數為b，
顯然a＞b，由此可以推出a-b>0； B A
② 如圖設點A表示的實數為a，點B表示的實數為b，
顯然a＜b，由此可以推出a-b<0； A B
③如圖設點A表示的實數為a，點B表示的實數為b，
顯然a=b，由此可以推出a-b=0。 A B
(2)實數大小比較的基本方法：①求差法：設a，bR，1》a-b＞0 a＞b；2》a-b＜0 a＜b；3》a-b=0 a=b；②求商法：設a，bR，1》＞1 a＞b；2》＜1 a＜b；3》=1 a=b。
3、不等式的基本性質：
（1）a＞b b＜a(交換性)；
（2）a＞b ，b＞c a＞c（傳遞性）；
（3）a＞b a±c＞b±c（加法法則），若 a＞b，c＞d，則a+c＞b+d；
（4）①a＞b ，c＞01》 ac＞bc； 2》a＞b ＞0且c＞d＞0 ac＞bd；3》a＞b ＞0＞（nN且n＞1）；4》a＞b ＞0＞（nN且n＞1）；②a＞b ，c＜0 ac＜bc（乘法法則）。
4、不等式的常用性質：
（1）倒數性質：①a＞b ，ab＞0，； ②a＜0＜b，；
③a＞b＞0，,0＜c＜d，； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0.
(2)分數性質：設a＞b ＞0，m＞0，b-m＞0。
①真分數的性質：＜，＞；②假分數的性質：＞，＜。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、運用等式性質進行的變形，不正確的是（ ）
A 如果a=b，那么a-c=b-c B 如果a=b，那么a+c=b+c
C 如果a=b，那么= D 如果a=b，那么ac=bc
2、下列說法正確的是（ ）
A 如果ac=bc，那么a=b B 如果=，那么a=b
C 如果a=b，那么= D 如果-=6y，那么x=-2y
3、已知xy=mn，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（ ）
A = B = C = D =
4、根據下圖所示，對a，b，c三種物體的重量判斷正確的是（ ）
c c c
A a＜c B a＜b C a＞c D b＜c
5、下列結論中不能由a+b=0得到的是（ ）
A =-ab B |a|=|b| C a=0，b=0 D =
6、已知等式3a=2b+5，則下列等式中不一定成立的是（ ）
A 3a-5=2b B 3a+1=2b+6 C 3ac=2bc+5 D a= b+
7、能不能由（a+3）x=b-1得到x= ，為什么？反之能不能由x= 得到（a+3）
x=b-1，為什么？
『思考問題1』
（1）【典例1】是與等式的性質相關的問題，解答這類問題需要理解等式的性質，注意性質中相應滿足的條件；
（2）等式性質（2）中等式兩邊同時除以一個不為零的數，等式仍然成立理解時需要注意：①兩邊同時除以一個數；②除以這個數不能為零。
［練習1］解答下列問題：
1、下列結論錯誤的是（ ）
A 如果a=b，那么a-c=b-c B 如果a=b，那么=
C 如果x=2，那么=2x D 如果ax=bx，那么a=b
2、在公式=+中，以下變形正確的是（ ）
A R=- B R= C R= D R=
3、如圖a和圖b分別表示兩架處于平衡狀態的簡易天平，對a，b，c三種物體的質量判斷正確的是（ ）
c c
A a＜c＜b B a＜b＜c C c＜b＜a D b＜a＜c
4、若2y-7x=0（xy0），則x：y等于（ ）
A 7：2 B 4：7 C 2：7 D 7：4
5、下列說法：①若a+b=0，且ab0，則x=1是方程ax+b=0的解；②若a-b=0，且ab0，則x=-1是方程ax+b=0的解；③若ax+b=0，則x=- ；④若（a-3）+b=0是一元一次方程，則a=1。其中正確的結論是（ ）
A 只有①② B 只有②④ C 只有①③④ D 只有①②④
【典例2】解答下列問題：
1、某工廠在招標會上，購得甲材料x噸，乙材料y噸，若維持正常生產，甲，乙兩種材料的總量至少需要120噸，則x，y應滿足的不等關系是（ ）
A x+y＞120 B x+y＜120 C x+y120 D x+y120
2、設P=，Q=-，R=-，則P，Q，R的大小關系是（ ）
A P＞Q＞R B P＞R＞Q C Q＞P＞R D Q＞R＞P
3、設M=2a(a-2)+7，N=（a-2）（a-3）,則M，N的大小關系是（ ）
A M＞N B MN C M＜N D MN
4、已知a1，且M=-，N=-，則M，N的大小關系是（ ）
A M＞N B M＜N C M=N D 不能確定
5、若0＜x＜1，a＞0且a≠1，則| （1-x）|與| （1+x）|的大小關系是（ ）
A | （1-x）|＞| （1+x）| B| （1-x）|＜| （1+x）|
C 不確定，由a的值確定 D不確定，由x的值確定
6、已知，（0，1），記M=，N=+-1，則M，N的大小關系是（ ）
A M＜N B M＞N C M=N D 不能確定
7、若a=，b=，c=，則（ ）
A a＜b＜c B c＜b＜a C c＜a＜b D b＜a＜c
『思考問題2』
（1）【典例2】是與不等式概念相關的問題，解答這類問題需要理解不等式的定義，掌握實數大小比較的基本方法；
（2）比較實數大小的基本方法有：①求差法 ；②求商法；③函數單調性法；
（3）求差法的基本步驟是：①求兩數（或兩式）的差并變形；② 將求出的差與0 作比較③得出兩數（或式）的大小關系；
（4）求商法的基本步驟是：①求兩數（或兩式）的商并變形；② 將求出的商與1作比較；③得出兩數（或式）的大小關系；
（5）函數單調性法的基本步驟是：①構造一個函數使比較的數（或式）是不同的函數值；②判斷函數的單調性；③運用函數的單調性比較數（或式）的大?。虎艿贸鰞蓴担ɑ蚴剑┑拇笮￡P系。
〔練習2〕解答下列問題：
1、設a，b［0，+），A=+，N=，則A，B的大小關系是（ ）
A AB B AB C A＜B D A＞B
2、若a=，b=，則a，b的大小關系為 ；
3、比較與的大小； 4、比較-與-的大?。?br/>5、比較（a+3）(a-5)與(a+2)(a-4)的大小；
6、已知x≠0,比較與+1的大??；
7、比較（2a+1）(a-3)與（a-6）(2a+7)+45的大小；
8、比較（x+1）(+1)與(x+)(+x+1)的大??；
9、設x≥1,比較與-x+1的大小。
10、比較(x+5)(x+7)與的大??；
11、如果x＞0，比較與的大??；
12、已知a≠0,比較與的大小。
【典例3】解答下列問題：
1、若a＞b ＞0，c＜d＜0，則一定有（ ）
A ＞ B ＜ C ＞ D ＜
2、已知a＞b ＞0，則下列不等式中總成立的是（ ）
A a+＞b+ B a+＞b+ C ＞ D b- ＞a-
3、實數a，b，c，d滿足下列兩個條件：①d＞c；②a+d＜b+c。則a，b的大小關系為（ ）
A a＞b B a＜b C a=b D 不能確定
4、已知實數a，b，c滿足c＜b ＜a，ac ＜0，那么下列選項中一定成立的是（ ）
A ab＞ac B c(b-a) ＜0 C c＜a D ac(a-c)＞0
5、已知a，b，c，d為實數，則“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件
6、判斷下列命題的真假：
（1）若a＞b ，則 ac＞bc； （2）若a＞b ，則 a＞b；
（3）若a＜b ＜0，則＞ab＞； （4）若a＜b ＜0，則|a|＞|b|；
（5）若c＞a＞b ＞0，則＞； （6）若a＞b ， ＞，則a＞0，b ＞0；
（7）若a＞b ， c＞d，則a-c＞b-d； （8）若a＞b ， c＜d，則＞；
（9）若a＞b ，n∈N,則＞； （10）若a＞b＞c ，＜＜，則a，b，c＞0；
『思考問題3』
（1）【典例3】是與不等式的性質相關的問題，解決這類問題需要理解并掌握不等式的基本性質和常用性質，注意每一個性質的條件及條件加強和放寬后，條件和結論之間發生的變化，避免由于忽略某些限制條件而造成失誤，特別注意關于符號的限制條件；
（2）解答與不等式性質相關問題的基本方法是：①根據問題確定與不等式的哪些性質相關；②運用選定的不等式性質解答問題；③得出結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、判斷下列命題的真假：
（1）若a＞b ，c＞d,則 a-c＞b-c； (2) 若a＞b ，c＜d,則 ＞；
（3）如果ac＜bc ，那么 a＜b； （4）如果a ＞b ，那么a＞b；
(5) 若a＞b ＞c，＜＜，則a，b，c＞0； （6）若a＞b ，nN，則＞；
（7）若aR，nN，則1+a++--------+＞0；（8）若ab，acbc，則c0.
2、已知a＞b ， c＞d，求證a-d＞b-c； 3、已知a＞b ， ab＞0，求證＜
4、已知a＞b ＞0 c＜d＜0，求證ac＜bd； 5、已知a＞b，求證c-2a＜c-2b.
6、已知a＞b ， c＜d，求證a-c＞b-d； 7、已知a＞b ＞0，c＜0，求證＞；
8、已知a＞b，e ＞f，c＞0，求證f-ac＜e-bc； 9、已知a＞b ＞0，求證＜；
10、已知a＞b ＞0且c＞d＞0，求證＞；
【典例4】解答下列問題：
1、已知a＞b ＞0，給出下列命題：①＞；②＞；③＞-；④+＞2b。其中一定成立的不等式為（ ）
A ①②③ B ①②④ C ①③④ D ②③④
2、已知-1＜x＜4，2＜y＜3，則x-y的取值范圍是 ，3x+2y的取值范圍是 ；
3、給出下列命題：①a＞|b|，＞；②a＞b， ＞；③|a|＞b，＞。其中正確的命題的序號是 ；
4、對于實數a，b，c有下列命題：①若a＞b，則ac＞bc；②若a ＞b ，則a＞b；③若a＜b ＜0，則＞ab＞； ④若c＞ a＞b ＞0,則＞；⑤若a＞b，＞，則a＞0，b ＜0。其中真命題的個數是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
『思考問題4』
（1）【典例4】是不等式性質的應用問題，解答這類問題需要理解并掌握不等式的基本性質和常用性質，注意每一個性質成立所具有的的條件；
（2）不等式性質的應用問題主要包括：①判斷不等式是否成立；②求代數式的取值范圍；
（3）判斷不等式是否成立的基本方法是：①確定不等式與不等式的哪些性質相關；②運用選定的性質進行判斷；③得出結果；
（4）求代數式取值范圍的基本方法是：①確定問題與哪些不等式性質相關；②運用選定的性質和整體思想求出代數式整體的取值范圍；③得出結果。
〔練習4〕解答下列問題：
1、若a＞0＞b＞-a，c＜d ＜0,則下列結論：①ad＞bc；②+＜0；③a-c＞b-d；④a（d-c）＞b(d-c)中成立的個數是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若a＜b＜0,則下列不等式一定成立的是（ ）
A ＞ B ＞ab C ＞ D ＞
3、已知14a-2b 2，且3a+b 4，則4a+2b的取值范圍是 ；
4、已知30＜x＜42，16＜y＜24,求x+y，x-2y，及的取值范圍。
5、設x，y為實數，滿足3x8，49，則的最大值是 ；
6、已知f(x)=a-c，-4f(1) -1，-1f(2) 5，則f(3)的取值范圍為 。
【雷區警示】
【典例5】解答下列問題：
若0設f(x)=p+qx，且2≤f(-1)≤4，4≤f(1)≤6，求f(-2)的取值范圍。
『思考問題5』
【典例5】是運用等式（或不等式）性質解答問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視同向不等式相減的正確方法，導致解答問題出現錯誤；②多次運用不等式的性質時，忽視不等號成立的條件；
運用等式（或不等式）性質解答問題時，為避免忽視同向不等式相減的正確方法的雷區，需要注意同向不等式相減的正確方法，相減實質上減去的一個不等式相當于不等式兩邊同乘以-1，這時不等號的方向要改變；
運用等式（或不等式）性質解答問題時，為避免多次運用不等式的性質時，忽視不等號成立的條件的雷區，需要注意每次使用不等式性質時，不等號成立的條件。
〔練習5〕解答下列問題：
1、若12、設f(x)=a+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍。
【追蹤考試】
【典例6】解答下列問題：
1、已知函數f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（）（2023全國高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
聲源 與聲源的距離/m聲壓級/dB
噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量 燃油汽車 10 60-90
聲音的強弱，定義聲壓級=20lg，其中常數 混合動力車 10 50-60
（>0）是聽覺下限固值，P是實際聲壓，如表 電動汽車 10 40
為不同聲源的聲壓級，已知在距離燃油汽車，混合動力汽車，電動汽車10m處測得實際聲壓分別為，，，則（）（2023全國高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
3、設a=ln，b= ，c =3，則a，b，c的大小關系為（ ）（成都市2020級零診）
A b4、日光射入海水后，一部分被海水吸收（變為熱能），同時另一部分被海水中的有機物和無機物有選擇性地吸收與散射，因而海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用=
表示其總衰減規律，其中K是平均消光系數（也稱衰減系數），D（單位：米）是海水深度，（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度D處和海面的光強，已知某海區10米深處的光強是海面光強的30%，則該海區消光系數K的值約為（參考數據：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020級高三一診）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
5、已知a=，b=，c=，則（ ）（成都市高2020級高三二診）
A c6、（理）已知a=，b=cos，c=4sin，則（ ）
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知=10，a=-11，b=-9，則（ ）（2022全國高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
7、已知實數a，b滿足2>2>1，則（ ）（成都市2019級高三一診）
A 18、（理）設a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，則（ ）
A a（文）設a0，若x=a為函數f(x)=a（x-b）的極大值點，則（ ）（2021全國高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
9、已知a=2，b=3，c=，則下列判斷正確的是（ ）（2021全國高考新高考II）
A c10、已知函數f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),則a，b，c的大小關系為（ ）（2021成都市高三零診）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
11、設a=，b=ln，c=，則a，b，c的大小關系是（ ）（2021成都市高三一診）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
12、（理）已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且對任意的，[1，+），當時，都有f()+f()0.03)，c=f()，則a，b，c的大小關系為 （用符號“<”連接）
（文）已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在 [0，+）上單調遞減，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，則a，b，c的大小關系為 （用符號“<”連接）（2021成都市高三二診）
『思考問題6』
【典例6】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一期末調研考試）試卷中與不等式定義和性質相關的問題，歸結起來主要包括：①比較實數（或式）的大?。虎诓坏仁蕉x及運用；③不等式性質及運用等幾種類型；
解答與不等式定義和性質相關問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題所屬的類型；②運用解答該類型問題的解題思路和基本方法對問題實施解答；③得出解答問題的結果。
〔練習6〕解答下列問題：
1、設a=2sincos，b=cos-sin，c=cos，則（ ）（成都市2021-2022學年度高一下期期末名校聯盟考試）
2、若關于x的不等式cosx+sin(x-)+m0在[0, ]上恒成立，則m的取值范圍為（ ）（成都市2021-2022學年度高一下期期末名校聯盟考試）
A （-，0] B （-，-] C （-，-] D （-，-1]
3、已知實數a，b滿足aA < B ln（b-a）>0 C > D <
4、若aA lna5、若a，bR，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考試）
A +＞2ab B +2 C +> D a+b2
6、能說明“若a＞b，則＜”為假命題的一組a，b的值依次為 （2018全國高考北京卷（文））
7、已知a，b為非零實數，且a＜b，則下列不等式成立的是（ ）（成都市2017—2018高一下期數學質檢（理））
A ＜ B b＜a C ＜ D ＜
8、已知a＞b，c＞d，且cd 0，下列正確的是（ ）（成都市2017—2018高一下期數學質檢（文））
A ac＞bd B ＞ C a+c＞b+d D a-c＞b-d
9、若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是（ ）（成都市2017—2018高一下期期末質量檢測（文））
A |a|＞|b| B ＞ab C ＞ D ＞
等式性質與不等式性質
【知識精講】
一、等式：
1、等式的定義：
（1）等式的定義：表示相等關系的式子，稱為等式；通常用符號“=”表示；
（2）理解等式的定義時應該注意的問題：①等式中含有兩個表示數量關系的代數式；②這兩個表示數量關系的代數式所表示的數量之間具有相等關系；③兩個代數式之間用符號“=”連接。
2、等式的性質：
（1）等式的交換性：若a=b ，則b=a；
（2）等式的傳遞性：若a=b ，b=c則 a=c；
（3）等式兩邊同時加上（或減去）同一個數（或代數式），等式仍然成立；
（4）等式兩邊同時乘以（或除以，除數不為0或除式的值不為0）同一個數（或代數式），等式仍然成立。
二、不等式：
1、不等式的概念：
不等式的定義：用符號“ < 或 ≤ 或 >或 ≥ 或 ≠ ”連接兩個數(或代數式)來表示它們之間不等關系的式子，叫做不等式。
2、兩個實數（或式）比較大小的基本方法：
（1）實數大小的意義：實數與數軸上的點是一一對應的，在數軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大；
①如圖設點A表示的實數為a，點B表示的實數為b，
顯然a＞b，由此可以推出a-b>0； B A
② 如圖設點A表示的實數為a，點B表示的實數為b，
顯然a＜b，由此可以推出a-b<0； A B
③如圖設點A表示的實數為a，點B表示的實數為b，
顯然a=b，由此可以推出a-b=0。 A B
(2)實數大小比較的基本方法：①求差法：設a，bR，1》a-b＞0 a＞b；2》a-b＜0 a＜b；3》a-b=0 a=b；②求商法：設a，bR，1》＞1 a＞b；2》＜1 a＜b；3》=1 a=b。
3、不等式的基本性質：
（1）a＞b b＜a(交換性)；
（2）a＞b ，b＞c a＞c（傳遞性）；
（3）a＞b a±c＞b±c（加法法則），若 a＞b，c＞d，則a+c＞b+d；
（4）①a＞b ，c＞01》 ac＞bc； 2》a＞b ＞0且c＞d＞0 ac＞bd；3》a＞b ＞0＞（nN且n＞1）；4》a＞b ＞0＞（nN且n＞1）；②a＞b ，c＜0 ac＜bc（乘法法則）。
4、不等式的常用性質：
（1）倒數性質：①a＞b ，ab＞0，； ②a＜0＜b，；
③a＞b＞0，,0＜c＜d，； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0.
(2)分數性質：設a＞b ＞0，m＞0，b-m＞0。
①真分數的性質：＜，＞；②假分數的性質：＞，＜。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、運用等式性質進行的變形，不正確的是（ ）
A 如果a=b，那么a-c=b-c B 如果a=b，那么a+c=b+c
C 如果a=b，那么= D 如果a=b，那么ac=bc
【解析】
【考點】①等式定義與性質；②運用等式性質進行等式變的基本方法。
【解題思路】根據等式的性質，運用等式進行等式變形的基本方法，結合問題條件，對各選項的變形是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A， a=b，a-c=b-c，A正確；對B， a=b，a+c=b+c，B正確；對C， a=b，當c=0時，=不成立，C錯誤；對D， a=b，ac=bc，D正確，綜上所述，C不正確，選C。
2、下列說法正確的是（ ）
A 如果ac=bc，那么a=b B 如果=，那么a=b
C 如果a=b，那么= D 如果-=6y，那么x=-2y
【解析】
【考點】①等式定義與性質；②運用等式性質進行等式變的基本方法。
【解題思路】根據等式的性質，運用等式進行等式變形的基本方法，結合問題條件，對各選項的變形是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A， ac=bc，當c=0時，不能推出a=b，A錯誤；對B，=， a=b， B正確；對C， a=b，當c=0時，= 不成立，C錯誤；對D，-=6y， x=-18y，D錯誤，綜上所述，B正確，選B。
3、已知xy=mn，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（ ）
A = B = C = D =
【解析】
【考點】①等式定義與性質；②運用等式性質進行等式變的基本方法。
【解題思路】根據等式的性質，運用等式進行等式變形的基本方法，結合問題條件，對各選項的變形是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，= ， xy=mn，A正確；對B，= ， xy=mn， B正確；對C， = ，nx=my，不能推出xy=mn，C錯誤；對D，=， xy=mn，D正確，綜上所述，C錯誤，選C。
4、根據下圖所示，對a，b，c三種物體的重量判斷正確的是（ ）
c c c
A a＜c B a＜b C a＞c D b＜c
【解析】
【考點】①等式定義與性質；②不等式定義與性質。
【解題思路】根據等式和不等式的性質，運用問題圖像，結合問題條件，得出a，b，c之間的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】由圖知，a＞b，b＞c， a＞c，C正確，選C。
5、下列結論中不能由a+b=0得到的是（ ）
A =-ab B |a|=|b| C a=0，b=0 D =
【解析】
【考點】①等式定義與性質；②運用等式性質進行等式變的基本方法。
【解題思路】根據等式的性質，運用等式進行等式變形的基本方法，結合問題條件，對各選項的變形是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A， a+b=0， a=-b， =-ab ，A正確；對B， a+b=0， a=-b， |a|=|b |， B正確；對C， a+b=0， a=-b，不能推出a=0，b=0，C錯誤；對D， a+b=0， a=-b， = ， D正確，綜上所述，C錯誤，選C。
6、已知等式3a=2b+5，則下列等式中不一定成立的是（ ）
A 3a-5=2b B 3a+1=2b+6 C 3ac=2bc+5 D a= b+
【解析】
【考點】①等式定義與性質；②運用等式性質進行等式變的基本方法。
【解題思路】根據等式的性質，運用等式進行等式變形的基本方法，結合問題條件，對各選項的變形是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A， 3a=2b+5， 3a-5=2b， A正確；對B， 3a=2b+5， 3a+1=2b+5+1
=2b+6， B正確；對C，3 a=2b+5， 3ac=2bc+5c，不能推出3ac=2bc+5，C錯誤；對D， 3a=2b+5， a=b+ ， D正確，綜上所述，C不一定成立，選C。
7、能不能由（a+3）x=b-1得到x= ，為什么？反之能不能由x= 得到（a+3）
x=b-1，為什么？
【解析】
【考點】①等式定義與性質；②運用等式性質進行等式變的基本方法。
【解題思路】根據等式的性質，運用等式進行等式變形的基本方法，結合問題條件，對由（a+3）x=b-1得到x= ，由x= 得到（a+3）x=b-1，是否成立進行判斷就可得出結論。
【詳細解答】當a+3=0，即a=-3時，由（a+3）x=b-1不能得到x= ，不能由（a+3）x=b-1得到x= ， x= ， a+3≠0，即a ≠-3，（a+3）x=b-1，能由x= 得到（a+3）x=b-1。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與等式的性質相關的問題，解答這類問題需要理解等式的性質，注意性質中相應滿足的條件；
（2）等式性質（2）中等式兩邊同時除以一個不為零的數，等式仍然成立理解時需要注意：①兩邊同時除以一個數；②除以這個數不能為零。
［練習1］解答下列問題：
1、下列結論錯誤的是（ ）（答案：D）
A 如果a=b，那么a-c=b-c B 如果a=b，那么=
C 如果x=2，那么=2x D 如果ax=bx，那么a=b
2、在公式=+中，以下變形正確的是（ ）（答案：B）
A R=- B R= C R= D R=
3、如圖a和圖b分別表示兩架處于平衡狀態的簡易天平，對a，b，c三種物體的質量判斷正確的是（ ）（答案：B）
c c
A a＜c＜b B a＜b＜c C c＜b＜a D b＜a＜c
4、若2y-7x=0（xy0），則x：y等于（ ）（答案：C）
A 7：2 B 4：7 C 2：7 D 7：4
5、下列說法：①若a+b=0，且ab0，則x=1是方程ax+b=0的解；②若a-b=0，且ab0，則x=-1是方程ax+b=0的解；③若ax+b=0，則x=- ；④若（a-3）+b=0是一元一次方程，則a=1。其中正確的結論是（ ）（答案：D）
A 只有①② B 只有②④ C 只有①③④ D 只有①②④
【典例2】解答下列問題：
1、某工廠在招標會上，購得甲材料x噸，乙材料y噸，若維持正常生產，甲，乙兩種材料的總量至少需要120噸，則x，y應滿足的不等關系是（ ）
A x+y＞120 B x+y＜120 C x+y120 D x+y120
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式表示不等關系的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式表示不等關系的基本方法，結合問題條件，表示出x，y應滿足的不等關系就可得出選項。
【詳細解答】某工廠在招標會上，購得甲材料x噸，乙材料y噸，維持正常生產，甲，乙兩種材料的總量至少需要120噸，x，y應滿足的不等關系是x+y120，C正確，選C。
2、設P=，Q=-，R=-，則P，Q，R的大小關系是（ ）
A P＞Q＞R B P＞R＞Q C Q＞P＞R D Q＞R＞P
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②比較實數大小的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用比較實數大小的基本方法，結合問題條件，得出P，Q，R的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】P-Q=-+=+-＞0，P＞Q，P-R=-+=2
-＞0，P＞R，Q-R=--+=+-（+）＜0，R＞Q，P，Q，R的大小關系是P＞R＞Q，B正確，選B。
3、設M=2a(a-2)+7，N=（a-2）（a-3）,則M，N的大小關系是（ ）
A M＞N B MN C M＜N D MN
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②比較兩個式子大小的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用比較兩個式子大小的基本方法，結合問題條件，得出M，N的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】M-N=2-4a+7-(-5a+6)= +a+1=+＞0, M＞N，A正確，選A。
4、已知a1，且M=-，N=-，則M，N的大小關系是（ ）
A M＞N B M＜N C M=N D 不能確定
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②比較兩個式子大小的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用比較兩個式子大小的基本方法，結合問題條件，得出M，N的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】 a1， M-N=+-2＜0，M＜N，B正確，選B。
5、若0＜x＜1，a＞0且a≠1，則| （1-x）|與| （1+x）|的大小關系是（ ）
A | （1-x）|＞| （1+x）| B|（1-x）|＜| （1+x）|
C 不確定，由a的值確定 D不確定，由x的值確定
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②對數定義域性質；③比較兩個式子大小的基本方法。
【解題思路】根據不等式和對數的性質，運用比較兩個式子大小的基本方法，結合問題條件，得出| （1-x）|與| （1+x）|的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】當a＞1時，0＜x＜1，0＜1-x＜1，1＜1+x＜2，| （1+x）|-| （1-x）|=（1+x）+（1-x）=（1-）＜0，| （1+x）|＜| （1-x）|，當0＜a＜1時，0＜x＜1，0＜1-x＜1，1＜1+x＜2，| （1+x）|-| （1-x）|=-（1+x）-（1-x）=-（1-）＜0，| （1+x）|＜| （1-x）|，綜上所述，| （1+x）|＜| （1-x）|，A正確，選A。
6、已知，（0，1），記M=，N=+-1，則M，N的大小關系是（ ）
A M＜N B M＞N C M=N D 不能確定
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②比較兩個式子大小的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用比較兩個式子大小的基本方法，結合問題條件，得出M，N的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】設=sin，=cos，(0，)，M-N= sinos-( sin+ cos)+1,
設t= sin+ cos=sin(+),t(1，)， M-N=-t+=＞0，即M＞N，B正確，選B。
7、若a=，b=，c=，則（ ）
A a＜b＜c B c＜b＜a C c＜a＜b D b＜a＜c
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②比較兩個式子大小的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用比較兩個式子大小的基本方法，結合問題條件，得出a，b，c的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】設函數f(x)= ，x ［3，+)，函數f(x)= 在［3，+)上單調遞減， a=＞b=＞c=，B正確，選B。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與不等式概念相關的問題，解答這類問題需要理解不等式的定義，掌握實數大小比較的基本方法；
（2）比較實數大小的基本方法有：①求差法 ；②求商法；③運用函數的單調性比較法；
（3）求差法的基本步驟是：①求兩數（或兩式）的茶并變形；② 將求出的差與數0作比較③得出兩數（或兩式）的大小關系；
（4）求商法的基本步驟是：①求兩數（或兩式）的商并變形；② 將求出的商與數1作比較；③得出兩數（或兩式）的大小關系；
（5）運用函數單調性比較法的基本方法是：①構造一個函數使比較的數是不同的函數值；②判斷函數的單調性；③運用函數的單調性比較兩數（或兩式）的大??；④得出兩數（或兩式）的大小關系。
〔練習1〕解答下列問題：
1、設a，b［0，+），A=+，N=，則A，B的大小關系是（ ）（答案：B）
A AB B AB C A＜B D A＞B
2、若a=，b=，則a，b的大小關系為 ；（答案：b＞a）
3、比較與的大??；（答案：＞）
4、比較-與-的大?。唬ù鸢福?＜-）
5、比較（a+3）(a-5)與(a+2)(a-4)的大??；（答案：（a+3）(a-5)＜（a+2）(a-4)）
6、已知x≠0,比較與+1的大??；（答案：當x≠0時, ＞+1）
7、比較（2a+1）(a-3)與（a-6）(2a+7)+45的大小；（答案：（2a+1）(a-3)＜（a-6）(2a+7)+45）
8、比較（x+1）(+1)與(x+)(+x+1)的大小；（答案：（x+1）(+1)＞(x+)(+x+1)）
9、設x≥1,比較與-x+1的大小。（答案：當x≥1時, ≥-x+1）
10、比較(x+5)(x+7)與的大小；（答案：(x+5)(x+7)＜）
11、如果x＞0，比較與的大??；（答案：＜）
12、已知a≠0,比較與的大小。
（答案：＜）
【典例3】解答下列問題：
1、若a＞b ＞0，c＜d＜0，則一定有（ ）
A ＞ B ＜ C ＞ D ＜
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法，結合問題條件，對各選項的不等式是否成立進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對 A，a＞b ＞0， c＜0，＜， c＜d＜0，b ＞0，＞，不能得到＞，A錯誤；對 B，a＞b ＞0， c＜0，＜， c＜d＜0，b ＞0，＞，不能得到＜，B錯誤；對 C，a＞b ＞0， d＜0，＜， c＜d＜0，b ＞0，＞，不能得到＞，C錯誤；對 D，a＞b ＞0， d＜0，＜， c＜d＜0，b ＞0，＞，能夠推出＜，D正確，選D。
2、已知a＞b ＞0，則下列不等式中總成立的是（ ）
A a+＞b+ B a+＞b+ C ＞ D b- ＞a-
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法，結合問題條件，對各選項的不等式是否成立進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對 A，a＞b ＞0， ＜， a+＞a+，a＞b , a+＞b +,能夠推出a+＞b+，A正確，選A。
3、實數a，b，c，d滿足下列兩個條件：①d＞c；②a+d＜b+c。則a，b的大小關系為（ ）
A a＞b B a＜b C a=b D 不能確定
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法，結合問題條件，對各選項的不等式是否成立進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】 d＞c, d+a＞c+a， a+d＜b+c, b+c＞c+a，即 a＜b, B正確，選B。
4、已知實數a，b，c滿足c＜b ＜a，ac ＜0，那么下列選項中一定成立的是（ ）
A ab＞ac B c(b-a) ＜0 C c＜a D ac(a-c)＞0
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法，結合問題條件，對各選項的不等式是否成立進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】 實數a，b，c滿足c＜b ＜a，ac ＜0，a＞0, c＜0 , 即ab＞ac， A正確，選A。
5、已知a，b，c，d為實數，則“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法；③充分條件，必要條件和充分必要條件定義域性質；④判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法。
【解題思路】根據不等式，充分條件，必要條件和充分必要條件的性質，運用判斷不等式是否成立，充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，結合問題條件，對“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”說明條件進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】若c ＞d＞0， a＞b時，ac＞bc，ad＞bd， ac+ad＞bc+bd，不能得到ac+bd＞bc+ad，“a＞b且c＞d”不是“ac+bd＞bc+ad”的充分條件；若ac+bd＞bc+ad， ac-ad＞bc-bd，a(c-d) ＞b(c-d),當c＞d時，c-d＞0，a＞b，即“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”的必要條件，綜上所述，“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”的必要不充分條件，B正確，選B。
6、判斷下列命題的真假：
（1）若a＞b ，則 ac＞bc； （2）若a＞b ，則 a＞b；
（3）若a＜b ＜0，則＞ab＞； （4）若a＜b ＜0，則|a|＞|b|；
（5）若c＞a＞b ＞0，則＞； （6）若a＞b ， ＞，則a＞0，b ＞0；
（7）若a＞b ， c＞d，則a-c＞b-d； （8）若a＞b ， c＜d，則＞；
（9）若a＞b ，n∈N,則＞；（10）若a＞b＞c ，＜＜，則a，b，c＞0.
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用判斷不等式是否成立的基本方法，結合問題條件，就可對各小題的不等式是否成立進行判斷。
【詳細解答】對 （1），a＞b ，當c＜0時 , ac＜bc，命題若a＞b ，則 ac＞bc假；對（2）， a＞b ，＞0， a＞b，命題若a＞b ，則 a＞b真；對（3）， a＜b ＜0，|a|＞|b|＞0, |a||a|＞|a||b|,|a||b|＞|b||b|,＞ab＞，命題若a＜b ＜0，則＞ab＞真；對（4）， a＜b ＜0，|a|＞|b|，命題若a＜b ＜0，則|a|＞|b|真；對（5）， c＞a＞b ＞0，c-b＞c-a＞0, a（c-b）＞b(c-a)， ＞，命題若c＞a＞b ＞0，則＞真；對（6），若a＞b ＞0，＜，與＞不符，命題若a＞b ， ＞，則a＞0，b ＞0假；對（7），d＜c，--c＜-d，b-c＜b-d， a＞b ， a-c＞b-c ，不一定能夠推出a-c＞b-d，命題若a＞b ， c＞d，則a-c＞b-d假；對（8），當c=-2，d=1，a=3，b=2時，=-，=2，2＞-， ＜，命題若a＞b ， c＜d，則＞假；對（9），當a＞b＞0 時，＞＞0，＞成立；當a＞0，b＜0 時，＞0，＜0， ＞成立；當0＞a＞b時，0＞＞，＞成立，綜上所述，命題若a＞b ，n∈N,則＞真；對（10），當0＞a＞b＞c 時，|c|＞|b|＞|a|＞0, ＜＜，命題若a＞b＞c ，＜＜，則a，b，c＞0假。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與不等式的性質相關的問題，解決這類問題需要理解并掌握不等式的基本性質和常用性質，注意每一個性質的條件及條件加強和放寬后，條件和結論之間發生的變化，避免由于忽略某些限制條件而造成失誤，特別注意關于符號的限制條件；
（2）解答與不等式性質相關問題的基本方法是：①根據問題確定與不等式的哪些性質相關；②運用選定的不等式性質解答問題；③得出兩數（或兩式）的大小關系。
〔練習2〕解答下列問題：
1、判斷下列命題的真假：
（1）若a＞b ，c＞d,則 a-c＞b-d； (2) 若a＞b ，c＜d,則 ＞；
（3）如果ac＜bc ，那么 a＜b； （4）如果a ＞b ，那么a＞b；
(5) 若a＞b ＞c，＜＜，則a，b，c＞0； （6）若a＞b ，nN，則＞；
（7）若aR，nN，則1+a++--------+＞0；（8）若ab，acbc，則c0。
（答案：（1）假；（2）假；（3）假；（4）真；（5）真；（6）真；（7）假；（8）真。）
已知a＞b ， c＞d，求證a-d＞b-c； （提示：c＞d，得到-d＞-c,從而得到b-d＞b-c, a＞b ，就可證明a-d＞b-d＞b-c。）
3、已知a＞b ， ab＞0，求證＜；（提示： ab＞0，＞0，從而得到.a＞b. ，就可證明＜。）
4、已知a＞b ＞0， c＜d＜0，求證ac＜bd；（提示：a＞b ＞0 ，c＜d＜0，得到ac＜bc，bc＜bd,就可證明ac＜bc＜bd。）
5、已知a＞b，求證c-2a＜c-2b；（提示：a＞b ，得到-2a＜-2b，就可證明c-2a＜c-2b。）
6、已知a＞b ， c＜d，求證a-c＞b-d；（提示： c＜d，得到-c＞-d ，就可證明a-c＞a-d＞b-d。）
7、已知a＞b ＞0，c＜0，求證＞；（提示：a＞b ＞0，c＜0，得到＜0，從而得到a.＜b.，就可證明＞。）
8、已知a＞b，e ＞f，c＞0，求證f-ac＜e-bc；（提示：a＞b，c＞0，得到ac＞bc，從而得到-ac＜-bc，就可證明f-ac＜f-bc＜e-bc。）
9、已知a＞b ＞0，求證＜；（提示：a＞b＞0，得到＞＞0，就可證明＜。）
10、已知a＞b ＞0且c＞d＞0，求證＞。（提示：a＞b＞0，c＞d＞0，得到＞＞＞0，就可證明＞。）
【典例4】解答下列問題：
1、已知a＞b ＞0，給出下列命題：①＞；②＞；③＞-；④+＞2b。其中一定成立的不等式為（ ）
A ①②③ B ①②④ C ①③④ D ②③④
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法，結合問題條件，對各不等式是否成立進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對 ①，a＞b ＞0，＞， ①正確；對②，a＞b ，a＞a-1 ＞b-1，＞＞，②正確；對③，a＞b ＞0，＞0，-＞0，
=a-b，=a-2+b,（a-b）-（a-2+b）=2-2b=2（-）＞0，＞-，③正確；對④，當a=2，b=時，+=8+=<=12，2b=12，+＜2b，④錯誤，當a＞b ＞0時，給出下列命題：①＞；②＞；③＞-；④+＞2b中，正確的有①②③，A正確，選A。
2、對于實數a，b，c有下列命題：①若a＞b，則ac＞bc；②若a ＞b ，則a＞b；③若a＜b ＜0，則＞ab＞； ④若c＞ a＞b ＞0,則＞；⑤若a＞b，＞，則a＞0，b ＜0。其中真命題的個數是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法，結合問題條件，對各命題的真假進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對 ①，當c＜0時，若a＞b，則ac＜bc，①錯誤；對②，a ＞b ，
＞0，a＞b，②正確；對③，a＜b ＜0，|a|＞|b|＞0，＞ab＞，③正確；對④，c＞ a＞b ＞0, c-b＞c-a＞0,a（c-b）＞b(c-a)，＞，④正確；對⑤，當 a＞b ＞0時,a＞b，＜；當b＜a ＜0，a＞b，＜；當 a＞0 ＞b時,a＞b，＞，⑤正確，其中真命題有②③④⑤共4個，C正確，選C。
3、已知-1＜x＜4，2＜y＜3，則x-y的取值范圍是 ，3x+2y的取值范圍是 ；
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，求代數式取值范圍的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式性質，求代數式取值范圍的基本方法，結合問題條件，就可求出x-y和3x+2y的取值范圍。
【詳細解答】-1＜x＜4，2＜y＜3，-3＜-y＜-2，-4＜x-y＜2，-3＜3x＜12，4＜2y＜6，1＜3x+2y＜18，即x-y的取值范圍是（-4，2），3x+2y的取值范圍是（1，18）。
4、給出下列命題：①a＞|b|，＞；②a＞b， ＞；③|a|＞b，＞。其中正確的命題的序號是 ；
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用不等式性質，判斷不等式是否成立的基本方法，結合問題條件，對各命題的真假進行判斷就可得出其中正確的命題的序號。
【詳細解答】對 ①，a＞|b|，a＞|b|≥0，＞，①正確；對②，當a＞b＞0時，顯然 ＞；當b ＜a＜0時，顯然 ＞；當0 =b＜a時，顯然 ＞，②正確；對③，a=1，b=-2時，|a|=1＞b=-2，=1＜=4，＞不一定成立，③錯誤，其中正確的命題的序號是①②。
『思考問題3』
（1）【典例3】是不等式性質的應用問題，解答這類問題需要理解并掌握不等式的基本性質和常用性質，注意每一個性質成立所具有的的條件；
（2）不等式性質的應用問題主要包括：①判斷不等式是否成立；②求代數式的取值范圍；
（3）判斷不等式是否成立的基本方法是：①確定不等式與不等式的哪些性質相關；②運用選定的性質進行判斷；③得出不等式成立還是不成立；
（4）求代數式取值范圍的基本方法是：①確定問題與哪些不等式性質相關；②運用選定的性質和整體思想求出代數式整體的取值范圍；③得出給定代數式的取值范圍。
〔練習3〕解答下列問題：
1、若a＞0＞b＞-a，c＜d ＜0,則下列結論：①ad＞bc；②+＜0；③a-c＞b-d；④a（d-c）＞b(d-c)中成立的個數是（ ）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若a＜b＜0,則下列不等式一定成立的是（ ）（答案：B）
A ＞ B ＞ab C ＞ D ＞
3、已知14a-2b 2，且3a+b 4，則4a+2b的取值范圍是 ；（答案：4a+2b的取值范圍是[8，]）
4、已知30＜x＜42，16＜y＜24,求x+y，x-2y，及的取值范圍。（答案：x+y的取值范圍
是（46，66）；x-2y的取值范圍是（-16，10）；的取值范圍（，）。）
5、設x，y為實數，滿足3x8，49，則的最大值是 ；（答案：27）
6、已知f(x)=a-c，-4f(1) -1，-1f(2) 5，則f(3)的取值范圍為 。（答案：[-7，26]）
【雷區警示】
【典例5】解答下列問題：
1、若0【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②同向不等式相減的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用同向不等式相減的基本方法，結合問題條件，就可求x-y的取值范圍。
【詳細解答】-12、設f(x)=p+qx，且2≤f(-1)≤4，4≤f(1)≤6，求f(-2)的取值范圍。
【解析】
【考點】①不等式定義與性質；②同向不等式相加的基本方法。
【解題思路】根據不等式的性質，運用同向不等式相減的基本方法，結合問題條件，就可求x-y的取值范圍。
【詳細解答】f(x)=p+qx，f(-1)=p-q，f(1)=p+q，P=[f(-1)+f(1)]，q=[f(1)-f(-1)]，求f(-2)=4p-2q=2[f(-1)+f(1)]-[f(1)-f(-1)]=f(1)+3f(-1)，2≤f(-1)≤4，4≤f(1)≤6，10≤f(-2)
=f(1)+3f(-1)≤18，f(-2)的取值范圍是[10，18]。
『思考問題5』
【典例5】是運用等式（或不等式）性質解答問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視同向不等式相減的正確方法，導致解答問題出現錯誤；②多次運用不等式的性質時，忽視不等號成立的條件；
運用等式（或不等式）性質解答問題時，為避免忽視同向不等式相減的正確方法的雷區，需要注意同向不等式相減的正確方法，相減實質上減去的一個不等式相當于不等式兩邊同乘以-1，這時不等號的方向要改變；
運用等式（或不等式）性質解答問題時，為避免多次運用不等式的性質時，忽視不等號成立的條件的雷區，需要注意每次使用不等式性質時，不等號成立的條件。
〔練習5〕解答下列問題：
1、若12、設f(x)=a+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍。（答案：f(-2)的取值范圍是[5，10]）
【追蹤考試】
【典例6】解答下列問題：
1、已知函數f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（）（2023全國高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考點】①復合函數定義與性質；②判斷復合函數單調性的基本方法；③運用函數單調性比較實數大小的基本方法。
【解題思路】根據復合函數的性質，運用判斷復合函數單調性的基本方法，結合問題條件得到函數f(x)的單調性，利用函數單調性比較實數大小的基本方法，求出a，b，c的大小關系就可得出選項。 y
【詳細解答】設g(x)=-，作出函數g(x)的 0 1 x
圖像如圖所示，由圖知函數g(x)在（-，1）上
單調遞增，在（1，+）上單調遞減，函數f(g(x))在R上單調遞增，函數f(x)在（-，1）上單調遞增，在（1，+）上單調遞減，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正確，選A。 聲源 與聲源的距離/m聲壓級/dB
2、噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量 燃油汽車 10 60-90
聲音的強弱，定義聲壓級=20lg，其中常數 混合動力汽車 10 50-60
（>0）是聽覺下限固值，P是實際聲壓，如表 電動汽車 10 40
為不同聲源的聲壓級，已知在距離燃油汽車，混合動力汽車，電動汽車10m處測得實際聲壓分別為，，，則（）（2023全國高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
【解析】
【考點】①對數定義與性質；②指數定義與性質；③對數的運算法則與基本方法；④指數的運算法則與基本方法。
【解題思路】根據對數和指數的性質，運用對數和指數的運算法則與基本方法，結合問題條件得到實際聲壓p的表示式，從而判斷各選項的正確與錯誤就可得出選項。
【詳細解答】壓級=20lg，p=，=，=，=，對A，≥， ≥ ，A正確；對B，≤=≤10，
≤10，B錯誤；對C，==100， =100，C正確；對D，
=≤100， ≤100 ，D正確，綜上所述，A，C，D正確，選ACD。
3、設a=ln，b= ，c =3，則a，b，c的大小關系為（ ）（成都市2020級零診）
A b【解析】
【考點】①對數定義與性質；②指數定義與性質；③比較實數大小的基本方法。
【解題思路】根據對數和指數的性質，運用比較實數大小的基本方法，結合問題條件得出a，b，c的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】 a=ln=-ln3<-1，4、日光射入海水后，一部分被海水吸收（變為熱能），同時另一部分被海水中的有機物和無機物有選擇性地吸收與散射，因而海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用=
表示其總衰減規律，其中K是平均消光系數（也稱衰減系數），D（單位：米）是海水深度，（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度D處和海面的光強，已知某海區10米深處的光強是海面光強的30%，則該海區消光系數K的值約為（參考數據：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020級高三一診）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
【解析】
【考點】①指數定義與性質；②對數定義與性質；③對數運算法則和基本方法。
【解答思路】根據指數和對數的性質，結合問題條件得到=30%，運用對數運算法則和基本方法，求出K的近似值就可得出選項。
【詳細解答】海區10米深處的光強是海面光強的30%，=30%，-10K=ln0.3
=ln3-1n2-ln51.1-0.7-1.6-1.2，K0.12，A正確，選A。
5、已知a=，b=，c=，則（ ）（成都市高2020級高三二診）
A c解析】
【考點】①對數定義與性質；②對數運算法則與基本方法；③比較實數大小的基本方法。
【解題思路】根據對數的性質和對數運算法則，運用對數運算和比較實數大小的基本方法，結合問題條件得到a，b，c的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】b-c=2024-1-1+2023=-2+>-2
+>0，b>c，可以排除C；a-b=-2024+1=
-2024=>0，a>b，可以排除B，D，A正確，選A。
6、已知=10，a=-11，b=-9，則（ ）（2022全國高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
【解析】
【考點】①函數求導公式，法則和基本方法；②運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法；③比較實數大小的基本方法。
【解答思路】構造函數f(x)= （x+1）=， x（0，+），根據函數求導公式，法則和基本方法求出函數f(x)的導函數，運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法判斷函數f(x)在區間（1，+）上單調遞減，從而得到f(8)> f(9)> f(10)，利用比較實數大小的基本方法得出a，b與0的大小關系，就可得出選項。
【詳細解答】設函數 f(x) = （x+1）=， x（0，+），（x）=<0在（0，+）上恒成立，函數f(x)在（0，+）上單調遞減， f(8)> f(9)> f(10)，=10，n= ， b= -9= -9< -9=9-9=0, b< 0，a= -11 =-11>-11= 11-11=0,a>0，綜上所述， a>0>b ， A正確，選A。
7、已知實數a，b滿足2>2>1，則（ ）（成都市2019級高三一診）
A 1【解析】
【考點】①對數定義與性質；②實數比較大小的基本方法。
【解題思路】根據對數的性質，運用實數比較大小的基本方法，得出1，a，b，2的大小關
系就可得出選項。
【詳細解答】實數a，b滿足2>2>1， 2>b>a＞1，B正確，選B。
8、設a0，若x=a為函數f(x)=a（x-b）的極大值點，則（ ）（2021全國高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
【解析】
【考點】①對數定義與性質；②比較實數大小的基本方法；③函數求導公式，法則和基本方法；④運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法；⑤函數極值定義與性質；⑥運用函數導函數求函數極值的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式，法則和基本方法求出函數f(x)的導函數，運用函數導函數判斷函數在某點存在極值的基本方法，結合問題條件得到關于a，b的式子，從而求出a，b直角的關系就可得出選項。
【詳細解答】令f(x)=a(x-b)=0解得：x=a或x=b， x=a，x=b是函數f(x)的兩個零點，（x）=2a(x-a)(x-b)+ a= a(x-a)(3x-a-2b)，a0，x=a為函數f(x)=a(x-b)的極大值點，①當0作出函數f(x)的 大致圖像如圖（1）所示，由圖
知0圖（2）所示，由圖知b， (圖1) (圖2)
D正確， 選D。
9、已知a=2，b=3，c=，則下列判斷正確的是（ ）（2021全國高考新高考II）
A c【解析】
【考點】①對數定義與性質；②求對數值的基本方法；③實數比較大小的基本方法。
【解題思路】根據對數的性質和求對數值的基本方法，分別求出a，b的近似值，運用實數比較大小的基本方法，得到a，b，c的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】 1<2<，0< a=2<，3>， b=3> =， c=， a10、已知函數f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),則a，b，c的大小關系為（ ）（2021成都市高三零診）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考點】①函數求值的基本方法；②對數的定義與性質；③實數大小比較的基本方法。
【解答思路】根據函數求值的基本方法和對數的性質，結合問題條件分別求出a，b，c的值，運用實數大小比較的基本方法得出a，b，c的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】 a= f(ln2)= <0，b= f(-ln3)= >0，ac= f(e)= =e>0，，c>a，可以排除B，A正確，選A。
11、設a=，b=ln，c=，則a，b，c的大小關系是（ ）（2021成都市高三一診）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
【解析】
【考點】①對數的定義與性質；②指數的定義與性質；③實數比較大小的基本方法。
【解題思路】根據對數和指數的性質，運用實數比較大小的基本方法，得出a，b，c的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】 a==2021＞，0＜b=ln=ln2＜，a＞b，可以排除D；c=＞1，c＞b，可以排除A；2021＜2020， a= =2021＜2020＜2＜1，可以排除B，C正確，選C。
12、已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在 [0，+）上單調遞減，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，則a，b，c的大小關系為 （用符號“<”連接）（2021成都市高三二診）
【解析】
【考點】①函數圖像及運用；②函數單調性定義與性質；③對數定義與性質；④指數定義與性質；⑤偶函數定義與性質；⑥比較實數大小的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和函數單調性的性質，結合問題條件得到函數f(x)的圖像關于Y軸對稱，在[0，+）上單調遞減，運用對數和指數的性質，確定0.3，0.1，的大小，就可求出a，b，c的大小關系。
【詳細解答】函數f(x) 是定義在R上的偶函數，且在 [0，+）上單調遞減， 函數f(x)的圖像關于Y軸對稱，且在（-，0）上單調遞增，<0.3 ==<1，-3<0.1==<-2，<<2， b=f(0.1)
< c=f()『思考問題4』
【典例4】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一期末調研考試）試卷中與不等式定義和性質相關的問題，歸結起來主要包括：①比較實數（或式）的大小；②不等式定義及運用；③不等式性質及運用等幾種類型；
解答與不等式定義和性質相關問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題所屬的類型；②運用解答該類型問題的解題思路和基本方法對問題實施解答；③得出解答問題的結果。
〔練習4〕解答下列問題：
1、設a=2sincos，b=cos-sin，c=cos，則（ ）（成都市2021-2022學年度高一下期期末名校聯盟考試）（答案D）
2、若關于x的不等式cosx+sin(x-)+m0在[0, ]上恒成立，則m的取值范圍為（ ）（成都市2021-2022學年度高一下期期末名校聯盟考試）（答案D）
A （-，0] B （-，-] C （-，-] D （-，-1]
3、已知實數a，b滿足aA < B ln（b-a）>0 C > D <
4、若aA lna5、若a，bR，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考試）（答案B）
A +＞2ab B +2 C +> D a+b2
6、能說明“若a＞b，則＜”為假命題的一組a，b的值依次為 （2018全國高考北京卷）（答案a=1，b=-1）
7、已知a，b為非零實數，且a＜b，則下列不等式成立的是（ ）（成都市2017—2018高一下期數學質檢）（答案C）
A ＜ B b＜a C ＜ D ＜
8、已知a＞b，c＞d，且cd 0，下列正確的是（ ）（成都市2017—2018高一下期數學質檢）（答案C）
A ac＞bd B ＞ C a+c＞b+d D a-c＞b-d
9、若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是（ ）（成都市2017—2018高一下期期末質量檢測）（答案D）
A |a|＞|b| B ＞ab C ＞ D ＞
a
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a