資源簡介

基本不等式及運用
【考綱解讀】
理解并掌握兩個基本不等式；
能夠運用兩個基本不等式，熟練解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、基本不等式：
1、基本不等式1：
（1）算術平均數，幾何平均數的定義：
①算術平均數的定義：設a，b是正數，則稱為正數a，b的算術平均數；
②幾何平均數的定義：設a，b是正數，則稱為正數a，b的幾何平均數。
（2）算術平均數與幾何平均數的關系：
基本不等式1：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，即：若a＞0，b＞0，則≥（當且僅當a=b時取“=”號）。
基本不等式1的變形式：①≥ab；②≥4ab；③≥；④
+≥2。
『思考問題』
（1）基本不等式1成立的條件是：①數a，b必須滿足a＞0，b＞0；②正數a，b的和（或積）為定值；③正數a，b具有相等的條件；
（2）基本不等式1成立的條件也可以簡單地說成是一正，二定，三相等；
（3）基本不等式1的三種解釋：①實數解釋，兩個正數a，b的算術平均數不小于它們的幾何平均數；②數列解釋，兩個正數a，b的等差中項不小于它們正的等比中項；③幾何解釋，如圖AB是⊙O的直徑，過AB上一點C作DEAB交圓于點D，E， D
設AC=a，CB=b，則R=，由幾何知識可知，DC=，從
而得到≥，當且僅當點C與圓心重合時等號成立，即 A B
圓的半徑不小于半弦。
2、基本不等式不等式2： E
（1）基本不等式不等式2：設a，bR，則+≥2ab（當且僅當a=b時取“=”號）；
（2）基本不等式2的變形式：①≥ab；②2（+）≥；③
≥；④≥≥。
二、基本不等式的運用：
1、運用基本不等式求最值：
（1）兩個重要結論：①如果x,y(0，+)，且x.y=p（定值），那么當且僅當x=y時，x+y有最小值2；②如果x,y(0，+)，且x+.y=s（定值），那么當且僅當x=y時，x.y有最大值。
（2）運用基本不等式求最值問題時需要注意的問題：基本不等式1的三個條件：①a＞0，b＞0；②正數a，b的和（或積）為定值；③正數a，b具有相等的條件（也稱為“一正，二定，三相等” ）。
2、運用基本不等式解答不等式恒成立，能成立，恰成立等問題：
（1）解答不等式恒成立問題的基本方法是：①不等式f(x) ＞A在區間D上恒成立在區間D上＞A，從而將問題等價轉化為求函數f（x）在區間D上的最小值問題；②不等式f(x) ＜ B在區間D上恒成立在區間D上＜B，從而將問題等價轉化為求函數f（x）在區間D上的最大值問題；
（2）解答不等式能成立問題的基本方法是：①在區間D上存在實數x使不等式f(x) ＞A成立在區間D上＞A，從而將問題等價轉化為求函數f（x）在區間D上的最大值問題；②在區間D上存在實數x使不等式f(x) ＜ B能成立 在區間D上＜B，從而將問題等價轉化為求函數f（x）在區間D上的最小值問題；
（3）解答不等式恰成立問題的基本方法是：①不等式f(x) ＞A在區間D上恰成立f(x)＞A的解集為D，從而將問題等價轉化為求解不等式f（x）＞A的解集；② f(x) ＜ B在區間D上恰成立f(x)＜B的解集為D，從而將問題等價轉化為求解不等式f（x）＜B的解集。
3、運用基本不等式解答實際應用問題：
運用基本不等式解答實際問題的基本方法是：①認真讀題，理解題意，聯想與問題相關的數學模型；②建立數學模型；③運用相關數學模型的圖像和性質解答問題并得出結果。
【探導考點】
考點1運用基本不等式求最值：熱點①通過配湊法利用基本不等式；熱點②通過常數代換法利用基本不等式；
考點2基本不等式的實際運用：熱點①運用基本不等式求收益（或利潤）的最大值；熱點②運用基本不等式求費用（或成本）的最小值；
考點3基本不等式的綜合運用：熱點①基本不等式與其他知識的綜合的最值問題；熱點②運用基本不等式求參數的值（或取值范圍）。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是（ ）
A +＞2ab B a+b≥ C +＞ D +≥2
2、設0＜a＜b，a+b=1，則下列四個數中最大的是（ ）
A B b C 2ab D +
『思考問題1』
（1）【典例1】是基本不等式的問題，解答這類問題需要理解基本不等式，注意基本不等式成立的的條件和適用范圍；
（2）理解基本不等式時，應該注意兩個基本不等式各自成立的條件，①不等式若a＞0，b＞0，則≥（當且僅當a=b時取“=”號）成立的條件歸結起來為“一正，二定，三相等”； ②不等式設a，b∈R，則+≥2ab（當且僅當a=b時取“=”號）的條件是a，b∈R。
〔練習1〕解答下列問題：
1、下列不等式中恒成立的是（ ）
A ≥ B x+≥2 C ≥3 D 2-3x-≥2
2、a＞0，b＞0，且a+b=4，則下列不等式恒成立的是（ ）
A ≤ B +≤1 C ≥2 D +≥8
【典例2】解答下列問題：
1、已知a，b，c，d均為正數，求證（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd；
2、設a，b，c∈，求證：≥a+b+c；
3、設a，b，c∈，求證: ≥(a+b+c)。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與基本不等式相關的不等式證明問題，解答這類問題需要理解基本不等式，注意基本不等式成立的條件和不等式證明的基本方法；
（2）證明不等式的基本方法是：①選擇結論式的一邊（一般是式子較復雜的一邊）；②運用基本不等式（或重要不等式）對選擇的一邊進行變換使之≥（或≤）另一邊；③得出結論。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知x，y都是正數，求證：
①≥2； ②（x+y）()()≥8；
2、已知a，b，c都是正數，求證：（a+b）(b+c)(c+a)≥8abc；
3、求證：≤；
4、已知a，b都是正數，且a≠b，求證：＜；
5、已知a，b都是正數，求證：≤≤≤；
6、求證：在直徑為d的圓內接矩形中，面積最大的是正方形，這個正方形的面積等于
【典例3】解答下列問題：
1、若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）
A B C 5 D 6
2、已知正數x，y，z滿足+ + =1，則s= 的最小值為（ ）
A 3 B C 4 D 2（+1）
3、已知0＜x＜1，則x（4-3x）取得最大值時x的值為 ；
4、已知x＜，則f(x)=4x-2+的最大值為 ；
5、已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，求y=+的最小值；
『思考問題3』
（1）【典例3】是運用基本不等式求最值的問題，解答這類問題需要理解并掌握基本不等式，注意基本不等式等號成立的條件；
（2）運用基本不等式求最值的基本方法是：①拼湊法，通過拼湊使問題中的兩項滿足基本不等式的條件（一正，二定，三相等）再運用基本不等式得出結果；②常數代換法，即由已知式得到常數（一般是常數1）的式子，把所求最值式子中的該常數都換成相應的式子再運用基本不等式得出結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、若+=1，則x+y的取值范圍是（ ）
A ［0，2］ B ［-2，0］ C ［-2，+） D （-，-2］
2、設正實數x，y，z滿足-3xy+ 4-z=0，則當取得最小值時，x+2y-z的最大值為（ ）
A 0 B C 2 D
3、已知不等式（x+y）（+）≥9，對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為（ ）
A 8 B 6 C 4 D 2
4、函數y=(x＞1)的最小值為 ；
5、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求（1+）（1+）的最小值；
6、已知a＞0，b＞0，且+=4，求a+b的最小值；
7、設0＜x＜2，求函數y=的最大值；
8、已知x＞0，y＞0，x+y=1，求+ 的最小值；
9、設0＜x＜1，a，b為正常數，則+ 的最小值為 ；
10、已知0＜＜，求證tan+cot的最小值是2；
11、設0＜x＜2，求函數f(x)=的最大值，并求相應的x值；
12、已知x＞0，求證2-3x-的最大值是2-4；
13、已知x，y∈（0，+），=，若+（m＞0）的最小值為3，則m= ；
14、已知x＞0，y＞0，4x+9y=1，則+ 的最小值為 ；
15、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則+的最小值為 ；
16、已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。
【典例4】解答下列問題：
1、已知直線ax+by+c-1=0（b，c＞0）經過圓+-2y-5=0的圓心，則+的最小值是（ ）
A 9 B 8 C 4 D 2
2、已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，則m的最大值為（ ）
A 9 B 12 C 18 D 24
3、設等差數列{ }的公差為d，其前n項和是，若=d=1，則的最小值是 ；
4、已知點P（a+1，b+1），Q（1，0）不重合，線段PQ與直線2x-3y+1=0有交點，則下列結論正確的是 （寫出所有正確結論的編號）①2a-3b≤0；②當a0時，既有最小值又有最大值；③若+b+≥M恒成立，則M的最大值為0；④a∈R，＜；⑤若b＜0，則|PQ|取最小值時，a=-；
5、已知函數f(x)= （a∈R），若對于任意的x∈，f(x) ≥3恒成立，則a的取值范圍是 ；
6、設函數f(x)= -1，對任意x∈［，+），f()-4f(x) ≤f(x-1)+4f(m)恒成立，則實數m的取值范圍是 ；
7、設F（x）是定義在R上的減函數，且不等式組 F（2kx-）＜F(k-4)，對任意的x∈
F（-kx）＜F(k-3)，［0，1］，恒成立，求k的取值范圍。
『思考問題4』
（1）【典例4】是基本不等式的綜合運用問題，這類問題包括：①不等式與其他知識的綜合；②求參數的值或取值范圍；
（2）解答不等式與其他知識綜合問題的基本方法是：①弄清問題是不等式與哪些知識的綜合；②運用相應知識和基本不等式求解問題；③得出結果；
（3）求參數值或取值范圍的基本方法是：①注意問題的特點；②運用基本不等式確定相應式子成立的條件；③求出結果。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知各項均為正數的等比數列{ }滿足=+2，若存在兩項，使得=4，則+的最小值為（ ）
A B C D
2、已知a＞1，b＞1，且lga+lgb=6,則lga.lgb的最大值為（ ）
A 6 B 9 C 12 D 18
3、已知x＞0，y＞0，lg +lg =lg2，則+ 的最小值是（ ）
A 2 B 2 C 4 D 2
4、設0＜x＜1，則x(3-2x)取最大值時，x的值為（ ）
A B C D 1
5、已知函數f(x)=x++2的值域為（-，0］［4，+），則a的值是（ ）
A B C 1 D 2
6、已知函數f(x)=4x+( x＞0，a＞0)在x=3時取得最小值，則a= ；
【問題5】解答下列問題：
1、某廠家擬在2016年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m（m≥0）萬元滿足x=3-（k為常數）。如果不搞促銷活動，那么該產品的年銷量只能是1萬件，已知2016年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍，（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）。 y （千米）
（1）將2016年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；
（2）該廠家2016年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？
2、如圖建立平面直角坐標系XOY，X軸在地平面上，Y軸 y
垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點，已
知炮彈發射后的軌跡方程y=kx-(1+)，（k＞0）表示的
曲線上，其中k與發射方向有關，炮的射程是指炮彈落地點
的橫坐標。
（1）求炮的最大射程； 0 x（千米）
（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由（2012全國高考江蘇卷）
3、某工廠要建造一個長方形無蓋蓄水池，其容積為4800 ，深為3m，如果池底每1
的造價為150元，池壁每1 的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？
4、首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會擬“節能減排，綠色生態”為主題，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為y=-200x+80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元。
（1）該單位每月處理量為多少時，才能使每噸的平均處理成本最低？
（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？
『思考問題5』
（1）【典例5】是基本不等式的實際應用問題，解答這類問題需要理解基本不等式，掌握實際應用問題處理的基本方法；
（2）實際應用問題是人們關心的社會熱點問題（如物價，銷售，成本，利潤等），解答的基本思路是：①根據實際應用問題聯想相應的數學模型并建立數學模型；②運用相應數學模型的圖像和性質解答問題；③得出結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、過p（2,1）的直線l分別交X軸、Y軸于A、B兩點，求AOB的面積S的最小值；
2、某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元，若提供面粉的公司規定：當一次購買面粉不少于100噸時，其價格可享受9折優惠(即原價的90℅)，問該廠是否考慮利用此優惠條件？請說明理由。
3、已知一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長款、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？
4、已知直角三角形兩條直角邊的和等于10cm，求面積最大時斜邊的長，并求其最大面積；
5、某單位建造一間地面面積為12的背靠墻的長方形小房，房屋正面的造價為1200元/，房屋側面的造價為800元/，屋頂的造價為5800元，如果墻高為3m，且不計算房屋背面和地面的費用，問怎樣設計房屋能夠使總造價最低，最低總造價是多少元？
6、某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的成本y（萬元）與生產量x（噸）之間的函數關系式可以近似地表示為y=-48x+8000，已知此生產線年產量最大為210噸。
（1）求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低？并求最低成本；
（2）若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
7、某機械廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x臺，需另投入成本C（x）（萬元），當年產量不足80臺時，C（x）=+10x（萬元）；當年產量不小于80臺時，C（x）=51x+-1450（萬元）。通過市場分析，若每臺售價為50萬元，該廠當年生產的該產品能全部銷售完。
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（臺）的函數解析式；
（2）當年產量為多少臺時，該廠在這一產品的生產中所利潤最大，最大利潤是多少？
【雷區警示】
【典例6】解答下列問題：
已知x<3，求f(x)=+x的最大值。
已知0已知x≥0，求函數f(x)=的最小值。
『思考問題6』
【典例6】是運用基本不等式解答問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的主要雷區包括：①忽視基本不等式條件中的“正”的含義，導致解答問題出現錯誤；②忽視基本不等式條件中的“定”的含義，導致解答問題出現錯誤；③忽視基本不等式條件中的“相等”的含義，導致解答問題出現錯誤；
運用基本不等式解答問題時，為避免忽視基本不等式條件中的“正”的含義的雷區，需要注意“正”是指基本不等式中涉及的a，b兩項都為正值；
運用基本不等式解答問題時，為避免忽視基本不等式條件中的“定”的含義的雷區，需要注意“定”是指基本不等式中涉及的a+b（或ab）有一個為定值；
運用基本不等式解答問題時，為避免忽視基本不等式條件中的“相等”的含義的雷區，需要注意“相等”是指基本不等式中涉及的a，b兩項，必須有使“a=b”成立的值存在。
〔練習6〕解答下列問題：
已知x<2，求f(x)=+x的最大值。
2、已知03、已知x≥0，求函數f(x)=的最小值。
【追蹤考試】
【典例7】解答下列問題：
1、已知ABC中，點D在邊BC上，ADB=，AD=2，CD=2BD，當取得最小值時，BD= （2022全國高考甲卷）
2、如圖，已知三棱錐A—BCD的截面MNPQ平行于對棱AC，BD，且=m，=n，其中m，n（0，+），有下列命題：①對于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四邊形；②當ACBD時，對任意的m，都存在n，使得截面MNPQ為正方形；③當m=1時，截面的周長與n無關；④當ACBD，且AC=BD=2時，截面MNPQ的面積的最大值為1，其中假命題的個數為（ ）（成都市2019級高三一診）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、（理）在ABC中，已知角A=，角A的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2，則AB+2AC的最小值為 。
（文）在ABC中，已知角A=，角A的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2，則AB+AC的最小值為 （成都市2019級高三一診）
2、已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）（2020全國高考新高考I）（多項選擇題）
A ≥ B > C a+b≥-2 D +≤2
『思考問題7』
【典例7】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一期末考試）試卷中關于基本不等式及運用的問題，歸結起來主要包括：①運用基本不等式證明不等式；②運用基本不等式求最值；③運用基本不等式解答不等式恒成立，能成立，恰成立等問題；④運用基本不等式解答實際應用問題等幾種問題；
解答基本不等式及運用問題的基本方法是：①根據問題結構特征，判斷問題所屬問題的類型；②運用解答該類型問題的解題思路和基本方法對問題實施解答；③得出解答問題的結果。
〔練習7〕解答下列問題：
1、函數y= （a＞0，a 1）的圖像恒過定點A，若點A在直線mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，則+ 的最小值是 （2018-2019成都市高一下期期末考試）
2、若實數x＞0，y＞0，且x+4y=xy,則x+y的最小值為（ ）
A 7 B 8 C 9 D 10
設x＞0，y＞0，且2x+y=1，求+的最小值（2017—2018成都市高一下期期末考試）
基本不等式及運用
【考綱解讀】
理解并掌握兩個基本不等式；
能夠運用兩個基本不等式，熟練解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、基本不等式：
1、基本不等式1：
（1）算術平均數，幾何平均數的定義：
①算術平均數的定義：設a，b是正數，則稱為正數a，b的算術平均數；
②幾何平均數的定義：設a，b是正數，則稱為正數a，b的幾何平均數。
（2）算術平均數與幾何平均數的關系：
基本不等式1：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，即：若a＞0，b＞0，則≥（當且僅當a=b時取“=”號）。
基本不等式1的變形式：①≥ab；②≥4ab；③≥；④
+≥2。
『思考問題』
（1）基本不等式1成立的條件是：①數a，b必須滿足a＞0，b＞0；②正數a，b的和（或積）為定值；③正數a，b具有相等的條件；
（2）基本不等式1成立的條件也可以簡單地說成是一正，二定，三相等；
（3）基本不等式1的三種解釋：①實數解釋，兩個正數a，b的算術平均數不小于它們的幾何平均數；②數列解釋，兩個正數a，b的等差中項不小于它們正的等比中項；③幾何解釋，如圖AB是⊙O的直徑，過AB上一點C作DEAB交圓于點D，E， D
設AC=a，CB=b，則R=，由幾何知識可知，DC=，從
而得到≥，當且僅當點C與圓心重合時等號成立，即 A B
圓的半徑不小于半弦。
2、基本不等式不等式2： E
（1）基本不等式不等式2：設a，bR，則+≥2ab（當且僅當a=b時取“=”號）；
（2）基本不等式2的變形式：①≥ab；②2（+）≥；③
≥；④≥≥。
二、基本不等式的運用：
1、運用基本不等式求最值：
（1）兩個重要結論：①如果x,y(0，+)，且x.y=p（定值），那么當且僅當x=y時，x+y有最小值2；②如果x,y(0，+)，且x+.y=s（定值），那么當且僅當x=y時，x.y有最大值。
（2）運用基本不等式求最值問題時需要注意的問題：基本不等式1的三個條件：①a＞0，b＞0；②正數a，b的和（或積）為定值；③正數a，b具有相等的條件（也稱為“一正，二定，三相等” ）。
2、運用基本不等式解答不等式恒成立，能成立，恰成立等問題：
（1）解答不等式恒成立問題的基本方法是：①不等式f(x) ＞A在區間D上恒成立在區間D上＞A，從而將問題等價轉化為求函數f（x）在區間D上的最小值問題；②不等式f(x) ＜ B在區間D上恒成立在區間D上＜B，從而將問題等價轉化為求函數f（x）在區間D上的最大值問題；
（2）解答不等式能成立問題的基本方法是：①在區間D上存在實數x使不等式f(x) ＞A成立在區間D上＞A，從而將問題等價轉化為求函數f（x）在區間D上的最大值問題；②在區間D上存在實數x使不等式f(x) ＜ B能成立 在區間D上＜B，從而將問題等價轉化為求函數f（x）在區間D上的最小值問題；
（3）解答不等式恰成立問題的基本方法是：①不等式f(x) ＞A在區間D上恰成立f(x)＞A的解集為D，從而將問題等價轉化為求解不等式f（x）＞A的解集；② f(x) ＜ B在區間D上恰成立f(x)＜B的解集為D，從而將問題等價轉化為求解不等式f（x）＜B的解集。
3、運用基本不等式解答實際應用問題：
運用基本不等式解答實際問題的基本方法是：①認真讀題，理解題意，聯想與問題相關的數學模型；②建立數學模型；③運用相關數學模型的圖像和性質解答問題并得出結果。
【探導考點】
考點1運用基本不等式求最值：熱點①通過配湊法利用基本不等式；熱點②通過常數代換法利用基本不等式；
考點2基本不等式的實際運用：熱點①運用基本不等式求收益（或利潤）的最大值；熱點②運用基本不等式求費用（或成本）的最小值；
考點3基本不等式的綜合運用：熱點①基本不等式與其他知識的綜合的最值問題；熱點②運用基本不等式求參數的值（或取值范圍）。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是（ ）
A +＞2ab B a+b≥ C +＞ D +≥2
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式成立的條件。
【解題思路】運用基本不等式成立的條件，結合問題條件就可作出正確的判斷。
【詳細解答】對A， a，b∈R， ≥0，+≥2ab恒成立，等號當且僅當a=b時成立，當a=b時，+＞2ab 不成立，A錯誤；對B， ab＞0，a，b同號，當a<0，b<0時，a+b≥不成立，B錯誤；對C， ab＞0，a，b同號，當a<0，b<0時，+＞不成立，C錯誤；對D， ab＞0，a，b同號， >0，>0，+≥2≥2成立，D正確， 選D。
2、設0＜a＜b，a+b=1，則下列四個數中最大的是（ ）
A B b C 2ab D +
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③實數大小比較的基本方法。
【解題思路】運用基本不等式和問題條件，結合實數大小比較的基本方法就可得出結果。
【詳細解答】0＜a＜b，a+b=1，2ab≤2≤2≤，2ab≤+-b=+-b=2-3b+1=(2b-1)(b-1)<0, +『思考問題1』
（1）【典例1】是基本不等式的問題，解答這類問題需要理解基本不等式，注意基本不等式成立的的條件和適用范圍；
（2）理解基本不等式時，應該注意兩個基本不等式各自成立的條件，①不等式若a＞0，b＞0，則≥（當且僅當a=b時取“=”號）成立的條件歸結起來為“一正，二定，三相等”； ②不等式設a，b∈R，則+≥2ab（當且僅當a=b時取“=”號）的條件是a，b∈R。
〔練習1〕解答下列問題：
1、下列不等式中恒成立的是（ ）（答案：A）
A ≥ B x+≥2 C ≥3 D 2-3x-≥2
2、a＞0，b＞0，且a+b=4，則下列不等式恒成立的是（ ）（答案：D）
A ≤ B +≤1 C ≥2 D +≥8
【典例2】解答下列問題：
1、已知a，b，c，d均為正數，求證（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③不等式證明的基本方法。
【解題思路】運用基本不等式和問題條件，得到ab+cd≥2，ac+bd≥2，從而證明（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。
【詳細解答】證明： a，b，c，d均為正數，ab>0，cd>0， ab+cd≥2，同理可證ac+bd≥2，（ab+cd）(ac+bd)≥2.2≥4abcd。
2、設a，b，c∈，求證：≥a+b+c；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用,；③不等式證明的基本方法。
【解題思路】運用基本不等式和問題條件，得到==
≥，從而證明結論。
【詳細解答】證明： a，b，c∈，==
≥≥a+b+c。
3、設a，b，c∈，求證: ≥(a+b+c)。
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③不等式證明的基本方法。
【解題思路】運用基本不等式和問題條件，得到≥≥，≥≥，≥≥，從而證明結論。
【詳細解答】證明： a，b，c∈，≥≥，≥≥，≥≥，+
+≥++=(a+b+c)。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與基本不等式相關的不等式證明問題，解答這類問題需要理解基本不等式，注意基本不等式成立的條件和不等式證明的基本方法；
（2）證明不等式的基本方法是：①選擇結論式的一邊（一般是式子較復雜的一邊）；②運用基本不等式（或重要不等式）對選擇的一邊進行變換使之≥（或≤）另一邊；③得出結論。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知x，y都是正數，求證：
（1）≥2； （2）（x+y）()()≥8；
（提示：（1）直徑運用均值不等式；（2）提示：x+y≥2，≥2xy，≥2xy）
2、已知a，b，c都是正數，求證：（a+b）(b+c)(c+a)≥8abc；（提示：直徑運用均值不等式。）
3、求證：≤；（提示：≤2（+））
4、已知a，b都是正數，且a≠b，求證：＜；（提示：a≠b，a+b>2）
5、已知a，b都是正數，求證：≤≤≤；（提示：直徑運用均值不等式。）
6、求證：在直徑為d的圓內接矩形中，面積最大的是正方形，這個正方形的面積等于。（提示：面積最大的是正方形是以直徑為對角線的正方形。）
【典例3】解答下列問題：
1、若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）
A B C 5 D 6
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用。
【解題思路】運用問題條件，得到+=5，從而得到3x+4y=（+）（3x+4y）=（13++），利用基本不等式就可得出結果。
【詳細解答】正數x，y滿足x+3y=5xy，+=5，3x+4y=（+）（3x+4y）=（13++）≥（13+2）≥25≥5，C正確，選C。
2、已知正數x，y，z滿足+ + =1，則s= 的最小值為（ ）
A 3 B C 4 D 2（+1）
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用。
【解題思路】運用問題條件，得到=1-=（1+z）（1-z），從而得到1+z =， s= =，利用基本不等式就可得出結果。
【詳細解答】正數x，y，z滿足+ + =1，=1-=（1+z）（1-z），1+z =， s= =≥≥≥4，C正確，選C。
3、已知0＜x＜1，則x（4-3x）取得最大值時x的值為 ；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用。
【解題思路】運用問題條件，得到x（4-3x）= ，利用基本不等式就可得出結果。
【詳細解答】0＜x＜1， x（4-3x）= ≤≤，等號當且僅當3x=4-3x，即x=時成立，x（4-3x）取得最大值時x的值為。
4、已知x＜，則f(x)=4x-2+的最大值為 ；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用。
【解題思路】運用問題條件，得到4x-5<0,從而得到f(x)=4x-2+=4x-5
++3，利用基本不等式就可得出結果。
【詳細解答】 x＜，4x-5<0, f(x)=4x-2+=4x-5++3=3-[-（4x-5）-]≤3-2≤1, f(x)=4x-2+的最大值為1。
5、已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，求y=+的最小值；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用。
【解題思路】運用問題條件，得到y=+=（+）（a+2b）=3++，利用基本不等式就可得出結果。
【詳細解答】 a＞0，b＞0，且a+2b=1， y=+=（+）（a+2b）=3++≥3
+2≥3+2，y=+的最小值為3+2。
『思考問題3』
（1）【典例3】是運用基本不等式求最值的問題，解答這類問題需要理解并掌握基本不等式，注意基本不等式等號成立的條件；
（2）運用基本不等式求最值的基本方法是：①拼湊法，通過拼湊使問題中的兩項滿足基本不等式的條件（一正，二定，三相等）再運用基本不等式得出結果；②常數代換法，即由已知式得到常數（一般是常數1）的式子，把所求最值式子中的該常數都換成相應的式子再運用基本不等式得出結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、若+=1，則x+y的取值范圍是（ ）
A ［0，2］ B ［-2，0］ C ［-2，+） D （-，-2］（答案：D）
2、設正實數x，y，z滿足-3xy+ 4-z=0，則當取得最小值時，x+2y-z的最大值為（ ）
A 0 B C 2 D （答案：C）
3、已知不等式（x+y）（+）≥9，對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為（ ）（答案：C）
A 8 B 6 C 4 D 2
4、函數y=(x＞1)的最小值為 ；（答案：的最小值為2+2）
5、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求（1+）（1+）的最小值；（答案：（1+）（1+）的最小值為9）
6、已知a＞0，b＞0，且+=4，求a+b的最小值；（答案：a+b的最小值為1）
7、設0＜x＜2，求函數y=的最大值；（答案：y=的最大值為2）
8、已知x＞0，y＞0，x+y=1，求+ 的最小值；（答案：+ 的最小值為7+4）
9、設0＜x＜1，a，b為正常數，則+ 的最小值為 ；（答案：+ 的最小值為）
10、已知0＜＜，求證tan+的最小值是2；（提示：直接運用基本不等式）
11、設0＜x＜2，求函數f(x)=的最大值，并求相應的x值；（答案：當x=時，函數f(x)=取得最大值4）
12、已知x＞0，求證2-3x-的最大值是2-4；（提示：證明3x+≥4）
13、已知x，y（0，+），=，若+（m＞0）的最小值為3，則m= ；
（答案：m=4）
14、已知x＞0，y＞0，4x+9y=1，則+ 的最小值為 ；（答案：+ 的最小值為25）
15、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則+的最小值為 ；（答案：+的最小值為4）
16、已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。（答案：x+y的最小值為12）
【典例4】解答下列問題：
1、已知直線ax+by+c-1=0（b，c＞0）經過圓+-2y-5=0的圓心，則+的最小值是（ ）
A 9 B 8 C 4 D 2
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③圓的一般方程化標準方程的基本方法。
【解題思路】運用圓的一般方程化標準方程的基本方法把圓的方程化為標準方程，結合問題條件，得到b+c=1，從而得到+=（+）（b+c）=2++，利用基本不等式就可得出結果。
【詳細解答】+-2y-5=0，+=6，直線ax+by+c-1=0（b，c＞0）經過圓+-2y-5=0的圓心， b+c=1，+=（+）（b+c）=2++≥2+2≥4，+的最小值是4，C正確，選C。
2、已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，則m的最大值為（ ）
A 9 B 12 C 18 D 24
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③求不等式恒成立參數取值范圍的基本方法。
【解題思路】運用問題條件，得到（+）（a+3b）≥m恒成立，利用基本不等式求出（+）（a+3b）的最小值，從而得出m的最大值。
【詳細解答】 a＞0，b＞0，（a+3b）>0，+≥恒成立，（+）（a+3b）≥m恒成立，（+）（a+3b）=6++≥6+2≥6+6≥12，m≤12，
m的最大值為12，,B正確，選B。
3、設等差數列{ }的公差為d，其前n項和是，若=d=1，則的最小值是 ；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③等差數列的定義與性質。
【解題思路】運用等差數列的定義與性質，結合問題條件，求出，關于n的式子，得到==++，利用基本不等式就可求出的最小值。
【詳細解答】等差數列{ }，=d=1，=1+（n-1）1=n，=n+=+，
==++≥+2≥+4≥，的最小值是。
4、已知點P（a+1，b+1），Q（1，0）不重合，線段PQ與直線2x-3y+1=0有交點，則下列結論正確的是 （寫出所有正確結論的編號）①2a-3b≤0；②當a0時，既有最小值又有最大值；③若+b+≥M恒成立，則M的最大值為0；④a∈R，＜；⑤若b＜0，則|PQ|取最小值時，a=-；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③直線相交的定義與性質。
【解題思路】運用直線相交的定義與性質，結合問題條件得到點P，Q在直線2x-3y+1=0的兩側或P，Q兩點至少有一點在直線2x-3y+1=0上，判斷各個結論的真假，從而得出結果。
【詳細解答】 P（a+1，b+1），Q（1，0）不重合，線段PQ與直線2x-3y+1=0有交點， （2a-3b）(2-0+1) ≤0，2a-3b≤0， ①正確；當a0時，2a-3b≤0，2a≤3b ，若a>0，則≥， 只有最小值，若a<0，則≤， 只有最大值，②錯誤；+b+≥M恒成立，2a-3b≤0，+b+≥+a+≥≥0，M≤0, M的最大值為0，③正確； 2a-3b≤0，=，=，≤，≤，當2a=3b，及b=a時，=，④錯誤； b＜0，且b -1，|PQ|=+
=+≥+2b+1≥+≥，當b=-時， |PQ|有最小值，此時a=b=（-）=-，⑤正確，結論正確的是：①③⑤。
5、已知函數f(x)= （a∈R），若對于任意的x∈，f(x) ≥3恒成立，則a的取值范圍是 ；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③不等式恒成立的定義與性質。
【解題思路】運用不等式恒成立的定義與性質，結合問題條件得到a≥-x-+3恒成立，利用基本不等式求出-x-+3的最大值，從而得出結果。
【詳細解答】函數f(x)= ，對于任意的x∈，f(x) ≥3恒成立，對于任意的x∈，a≥-x-+3恒成立，設g（x）=-x-+3=3-（x+）≤3-2≤3-4，函數g（x）的最大值為3-4，a的取值范圍是[3-4，+）。
6、設函數f(x)= -1，對任意x∈［，+），f()-4f(x) ≤f(x-1)+4f(m)恒成立，則實數m的取值范圍是 ；
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③不等式恒成立的定義與性質。
【解題思路】運用不等式恒成立的定義與性質，結合問題條件得到-4-1≤ 恒成立，利用函數最值的求法求出的最小值，從而得到關于m的不等式，利用基本不等式就可求出結果。
【詳細解答】 f(x)= -1，對任意x∈［，+）， f()-4f(x) ≤f(x-1)+4f(m) 恒成立，對任意x∈［，+），-1-4（-1）≤-1+4(-1) 恒成立，
對任意x∈［，+），(-4-1) +2x+3≤0恒成立，對任意x∈［，+），
-4-1≤恒成立，設g（x）=， （x）= + >0在［，+）上恒成立，函數g（x）在［，+）上單調遞增，函數g（x）的最小值為
g（）==-，-4-1≤-，m≤-或m≥，實數m的取值范圍是（-，-]［，+）。
7、設F（x）是定義在R上的減函數，且不等式組 F（2kx-）＜F(k-4)，對任意的x∈
F（-kx）＜F(k-3)，［0，1］，恒成立，求k的取值范圍。
【解析】
【知識點】①基本不等式定義與性質；②基本不等式及運用；③不等式恒成立的定義與性質。
【解題思路】運用不等式恒成立的定義與性質，結合問題條件得到-4-1≤ 恒成立，利用函數最值的求法求出的最小值，從而得到關于m的不等式，利用基本不等式就可求出結果。
【詳細解答】 F（x）是定義在R上的減函數， F（2kx-）＜F(k-4)，對任意的x
F（-kx）＜F(k-3)，∈［0，1］，恒成立，2kx->k-4，對任意的x∈［0，1］，恒成立，k>，對任意的x∈(，
-kx>k-3， k>，1］，恒成立，
或 k<，對任意的x∈［0，），恒成立，設g（x）=，h（x）=，
k>，（x）===≤0在［0，1］上恒成立，
（x）= = ≥0在［0，1］上恒成立，函數g（x）在［0，1］上單調遞減，函數h（x）在［0，1］上單調遞增，函數g（x）在［0，1］的最大值為
g（0）=4，最小值為g（1）=-3，函數h（x）在［0，1］上的最大值為h（1）=2，k>4，
實數,k的取值范圍是（4，+）。
『思考問題4』
（1）【典例4】是基本不等式的綜合運用問題，這類問題包括：①不等式與其他知識的綜合；②求參數的值或取值范圍；
（2）解答不等式與其他知識綜合問題的基本方法是：①弄清問題是不等式與哪些知識的綜合；②運用相應知識和基本不等式求解問題；③得出結果；
（3）求參數值或取值范圍的基本方法是：①注意問題的特點；②運用基本不等式確定相應式子成立的條件；③求出結果。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知各項均為正數的等比數列{ }滿足=+2，若存在兩項，使得=4，則+的最小值為（ ）（答案：C）
A B C D
2、已知a＞1，b＞1，且lga+lgb=6,則lga.lgb的最大值為（ ）（答案：B）
A 6 B 9 C 12 D 18
3、已知x＞0，y＞0，lg +lg =lg2，則+ 的最小值是（ ）（答案：C）
A 2 B 2 C 4 D 2
4、設0＜x＜1，則x(3-2x)取最大值時，x的值為（ ）（答案：C）
A B C D 1
5、已知函數f(x)=x++2的值域為（-，0］［4，+），則a的值是（ ）（答案：C）
A B C 1 D 2
6、已知函數f(x)=4x+( x＞0，a＞0)在x=3時取得最小值，則a= ； （答案：a=36）
【問題5】解答下列問題：
1、某廠家擬在2016年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m（m≥0）萬元滿足x=3-（k為常數）。如果不搞促銷活動，那么該產品的年銷量只能是1萬件，已知2016年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍，（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）。 y （千米）
（1）將2016年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；
（2）該廠家2016年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③解答實際應用問題的基本方法。
【解題思路】（1）運用解答實際應用問題的基本方法，結合問題條件就可求出該產品年利潤y萬元關于年促銷費用m萬元的函數；（2）由（1）利用基本不等式求出函數最大值，從而得出結果。
【詳細解答】（1）當m=0時，x=1萬件，1=3-k，k=2， x=3- ，每件產品的銷售價格為（元），y=x-8-16x-m=-[+(m+1)]+29（m≥0）；（2） m≥0時，+(m+1) ≥2≥8， y=-[+(m+1)]+29
≤-8+29≤21，當且僅當=m+1，即m=3萬元時，=21萬元。
2、如圖建立平面直角坐標系XOY，X軸在地平面上，Y軸 y
垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點，已
知炮彈發射后的軌跡方程y=kx-(1+)，（k＞0）表示的
曲線上，其中k與發射方向有關，炮的射程是指炮彈落地點
的橫坐標。
（1）求炮的最大射程； 0 x（千米）
（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由（2012全國高考江蘇卷）
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③解答實際應用問題的基本方法。
【解題思路】（1）運用解答實際應用問題的基本方法，結合問題條件就可求出炮的最大射程；（2）由（1）和問題條件得到方程-20ak++64=0，利用方程有正根的條件得到關于a的不等式，求解不等式求出a的取值范圍，從而得出結果。
【詳細解答】（1）x>0，k>0，當y=0時，kx-(1+)=0，x==≤
≤10，當且僅當k=，即k=1時，炮的最大射程為10千米；（2）a>0，炮彈擊中目標，存在k>0，使3.2=ka-(1+)成立，方程kx-(1+)=0，有正根，=-4（+64）≥0，a≤6，a>0，0< a≤6，當a不超過6千米時，炮彈可以擊中目標。
3、某工廠要建造一個長方形無蓋蓄水池，其容積為4800 ，深為3m，如果池底每1
的造價為150元，池壁每1 的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③解答實際應用問題的基本方法。
【解題思路】設蓄水池底面長方形的寬為xm，運用解答實際應用問題的基本方法，結合問題條件把蓄水池的總造價y（元）表示成關于x的函數，利用基本不等式求出當函數取最小值時，x的值，從而得出結果。
【詳細解答】設蓄水池底面長方形的寬為xm，蓄水池容積為4800 ，深為3m，蓄水池底面面積為1600，蓄水池底面長方形的長為m，y=2(x+)3120+
1600150=720(x+)+24000 ≥7202+24000≥57600+24000≥81600, 當且僅當x=，及x=40m時，y取得最小值81600元，當蓄水池的底面設計成邊長為40m的正方形時，能使總造價最低，最低總造價為81600元。
4、首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會擬“節能減排，綠色生態”為主題，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為y=-200x+80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元。
（1）該單位每月處理量為多少時，才能使每噸的平均處理成本最低？
（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？
【解析】
【知識點】①基本不等式的定義與性質；②基本不等式的運用；③解答實際應用問題的基本方法。
【解題思路】（1）運用解答實際應用問題的基本方法，結合問題條件把二氧化碳每噸的平均處理成本表示成關于x的式子，利用基本不等式就可求出二氧化碳平均每噸處理成本的最小值；（2）設該單位每月獲利為G元，把G表示成關于x的函數，利用函數值域的求法求出G的取值范圍，從而得出結果。
【詳細解答】（1） y=-200x+80000，二氧化碳每噸的平均處理成本為=x+
-200≥2-200≥400-200≥200，當且僅當x=，即x=400時，
的值最小，該單位該月處理400噸時，才能使二氧化碳每噸的平均處理成本最低，最低為200元；（2）設單位該月獲利為G元，G=100x-y=100x-（-200x+80000）=
-+300x-80000=--35000，x∈[400，600]， G∈[-80000，-40000]，該單位該月不可能獲利，需要國家至少補貼40000元，才能不虧損。
『思考問題5』
（1）【典例5】是基本不等式的實際應用問題，解答這類問題需要理解基本不等式，掌握實際應用問題處理的基本方法；
（2）實際應用問題是人們關心的社會熱點問題（如物價，銷售，成本，利潤等），解答的基本思路是：①根據實際應用問題聯想相應的數學模型并建立數學模型；②運用相應數學模型的圖像和性質解答問題；③得出結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、過p（2，1）的直線l分別交x軸，y軸于A，B兩點，求AOB的面積S的最小值；（答案：AOB的面積S的最小值為6）
2、某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元，若提供面粉的公司規定：當一次購買面粉不少于100噸時，其價格可享受9折優惠(即原價的90℅)，問該廠是否考慮利用此優惠條件？請說明理由。（答案：該廠應該考慮利用此優惠條件，原因是通過運算考慮優惠條件可以使費用減少。）
3、已知一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長，寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？（當長為，寬為時菜園的面積最大，最大面積為）
4、已知直角三角形兩條直角邊的和等于10cm，求面積最大時斜邊的長，并求其最大面積；（面積最大時斜邊的長為5，其最大面積為c）
5、某單位建造一間地面面積為12的背靠墻的長方形小房，房屋正面的造價為1200元/，房屋側面的造價為800元/，屋頂的造價為5800元，如果墻高為3m，且不計算房屋背面和地面的費用，問怎樣設計房屋能夠使總造價最低，最低總造價是多少元？
6、某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的成本y（萬元）與生產量x（噸）之間的函數關系式可以近似地表示為y=-48x+8000，已知此生產線年產量最大為210噸。
（1）求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低？并求最低成本；
（2）若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（答案：（1）年產量為200噸時，生產每噸產品的平均成本最低，最低成本為32萬元；（2）年產量為210噸時，可獲得最大利潤1660萬元。）
7、某機械廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x臺，需另投入成本C（x）（萬元），當年產量不足80臺時，C（x）=+10x（萬元）；當年產量不小于80臺時，C（x）=51x+-1450（萬元）。通過市場分析，若每臺售價為50萬元，該廠當年生產的該產品能全部銷售完。
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（臺）的函數解析式；
（2）當年產量為多少臺時，該廠在這一產品的生產中所利潤最大，最大利潤是多少？（答案：（1）L（x）=-+40x-250，01200-（x+），x≥80,該廠在這一產品的生產中獲得的利潤最大，最大利潤為1000萬元。）
【雷區警示】
【典例6】解答下列問題：
已知x<3，求f(x)=+x的最大值。
【解析】
【知識點】①基本不等式定義與性質；②運用基本不等式解答相關問題的基本方法。
【解題思路】根據基本不等式的性質，運用基本不等式解答相關問題的基本方法，結合問題條件，就可求出f(x)=+x的最大值。
【詳細解答】f(x)=+x=+x-3+3，x<3，x-3<0，->0，-（x-3)>0，
f(x)=+x=+x-3+3=-[--(x-3）]+3≤3-2≤3-4≤-1，f(x)
=+x的最大值為-1。
2、已知0【解析】
【知識點】①基本不等式定義與性質；②運用基本不等式解答相關問題的基本方法。
【解題思路】根據基本不等式的性質，運用基本不等式解答相關問題的基本方法，結合問題條件，就可求出函數y=x(3-2x)的最大值。
【詳細解答】y=x(3-2x)=2x(-x)，00，y=x(3-2x)=2x(-x)≤2
[]≤，函數y=x(3-2x)的最大值為。
3、求函數f(x)=的最小值。
【解析】
【知識點】①函數單調性定義與性質；②數學換元法及運用；③運用函數單調性求函數最值的基本方法。
【解題思路】根據函數單調性的性質，運用數學換元法和函數單調性求函數最值的基本方法，結合問題條件，就可求出求函數f(x)=的最小值。
【詳細解答】函數f(x)===+，設t=，t[，+），f(t)=t+，函數f(t)在[，+）上單調遞增，函數f(x)=f(t)的最小值為f()
=+=。
『思考問題6』
【典例6】是運用基本不等式解答問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的主要雷區包括：①忽視基本不等式條件中的“正”的含義，導致解答問題出現錯誤；②忽視基本不等式條件中的“定”的含義，導致解答問題出現錯誤；③忽視基本不等式條件中的“相等”的含義，導致解答問題出現錯誤；
運用基本不等式解答問題時，為避免忽視基本不等式條件中的“正”的含義的雷區，需要注意“正”是指基本不等式中涉及的a，b兩項都為正值；
運用基本不等式解答問題時，為避免忽視基本不等式條件中的“定”的含義的雷區，需要注意“定”是指基本不等式中涉及的a+b（或ab）有一個為定值；
運用基本不等式解答問題時，為避免忽視基本不等式條件中的“相等”的含義的雷區，需要注意“相等”是指基本不等式中涉及的a，b兩項，必須有使“a=b”成立的值存在。
〔練習6〕解答下列問題：
1、已知x<2，求f(x)=+x的最大值。（答案：f(x)=+x的最大值為2-2）
2、已知03、已知x≥0，求函數f(x)=的最小值。（答案：函數f(x)=的最小值為）
【追蹤考試】
【典例7】解答下列問題：
已知ABC中，點D在邊BC上，ADB=，AD=2，CD=2BD，當取得最小值時，BD= （2022全國高考甲卷）
【解析】
【考點】①平面直角坐標系定義與性質；②建立平面直角坐標系的基本方法；③兩點之間距離公式及運用；④基本不等式及運用。
【解答思路】如圖，根據平面直角坐標系的性質和建立平面直角坐標系的基本方法，距離平面直角坐標系D—xy，設BD=x（x>0）,運用兩點之間的距離公式得到關于x的函數，利用基本不等式求出當取得最小值時，x的值，就可求出當取得最小值時，BD的值。
【詳細解答】如圖，過點D作DEBC于點D，以D為原點， y
，分別為X軸，Y軸的正方向，建立平面直角坐標系 E A
D—xy，設BD=x（x>0）, ABC中，點D在邊BC上，
ADB=，AD=2，CD=2BD，C（2x，0），B（-x，0）， B D x C
A（1，），|AB|= ，|AC|= ，
= = =4-=4- 4-2，當且僅當x+1=，即x=-1時，取得最小值為4-2， 當取得最小值時，BD=x=-1。
2、如圖，已知三棱錐A—BCD的截面MNPQ平行于對棱AC，BD，且=m，=n，其中m，n（0，+），有下列命題：①對于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四邊形；②當ACBD時，對任意的m，都存在n，使得截面MNPQ為正方形；③當m=1時，截面的周長與n無關；④當ACBD，且AC=BD=2時，截面MNPQ的面積的最大值為1，其中假命題的個數為（ ）（成都市2019級高三一診）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考點】①三棱錐定義與性質；②三棱錐截面定義與性質； ③平行四邊形定義與性質；④正方形定義與性質；⑤判斷命題真假的基本方法；⑥基本不等式及運用。
【解題思路】根據三棱錐和三棱錐截面的性質，運用平行四邊形，正方形的性質，基本不等式和判斷命題真假的基本方法，對各命題的真假進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對①，三棱錐A—BCD的截面MNPQ平行于對棱AC，BD，=n， MN//AC//PQ，MQ//BD//NP，四邊形MNPQ是平行四邊形， ①正確；對②， ACBD， 四邊形MNPQ是矩形，=n，=，=，MN=AC，MQ=BD，=m， MN=AC= BD，=，對任意的m，都存在n=m，使得截面MNPQ為正方形，②正確；對③，當m=1時，=1，AC=BD，截面MNPQ是菱形，MN=AC=BD，MQ=BD，截面MNPQ的周長為2（MN+MQ）=2（+）BD=2BD與n無關，③正確；對④， ACBD，且AC=BD=2，截面MNPQ是矩形，MN=AC= ，MQ=BD= ，=MN.MQ
==1，當且僅當n=，即n=1時，截面MNPQ的面積的
最大值為1，④正確，四個命題中沒有假命題，A正確，選A。
3、（理）在ABC中，已知角A=，角A的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2，則AB+2AC的最小值為 。
（文）在ABC中，已知角A=，角A的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2，則AB+AC的最小值為 （成都市2019級高三一診）
【解析】
【考點】①角平分線定義與性質；②三角形面積公式及運用；③三角函數定義與性質；④求三角函數最值的基本方法；⑤基本不等式及運用。
【解題思路】（理）如圖，根據角平分線的性質和三角形面積公式得到AB關于AC的表示式，從而得到AB+2AC關于AC的三角函數解析式，運用求三角函數最值的基本方法和基本不等式就可求出AB+2AC的最小值。（文）如圖，根據角平分線的性質和三角形面積公式得到AB關于AC的表示式，從而得到AB+2AC關于AC的三角函數解析式，運用求三角函數最值的基本方法和基本不等式就可求出AB+2AC的最小值。
【詳細解答】（理）如圖，在ABC中， BAC=，AD是BAC 的平分線，交邊BC于點D，=AB.ACsin=AB.AC= A
+=AB.ADsin+AC.ADsin=AB+ B D C
AC， AB(AC-2)= AC，2AC= AB(AC-2)，AB=，AB+2AC
= + 2AC=， 設t= AC-2，則AC-1=t+1，AC=t+2， AB+2AC
===2t+6+6+26+4，當且僅當2t=，即t=AC-2=，也就是AC=2+，AB=2+2時，AB+2AC取得最小值6+4。
（文）如圖，在ABC中， BAC=，AD是 A
BAC 的平分線，交邊BC于點D，=AB.AC
sin=AB.AC=+=ABADsin B D C
+AC.ADsin=（AB+AC）， AB+AC=. ，
AB+AC0，或AB+AC4（）， AB+AC >0，AB+,AC4（），
當且僅當AB=AC時， AB+AC取得最小值4（）。
4、已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）（2020全國高考新高考I）（多項選擇題）
A ≥ B > C a+b≥-2 D +≤2
【解析】
【考點】①基本不等式定義與性質；②指數定義與性質； ③對數定義與性質；④運用基本不等式解答問題的基本方法。
【解題思路】根據基本不等式，指數和對數的性質，運用基本不等式解答問題的基本方法對各選項的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，a>0，b>0，且a+b=1，2（ ）≥≥1，≥，A正確，對B，a>0，b>0，且a+b=1，-b=a-1，=>>，B正確；對C，a>0，b>0，且a+b=1，當a=，b=時， a+b=+<-2，
C錯誤；對D，a>0，b>0，且a+b=1，=a+b+2≤2（a+b）≤2，
+≤≤2，D正確，A，B，D正確，選A，B，D。
『思考問題6』
【典例6】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一期末考試）試卷中關于基本不等式及運用的問題，歸結起來主要包括：①運用基本不等式證明不等式；②運用基本不等式求最值；③運用基本不等式解答不等式恒成立，能成立，恰成立等問題；④運用基本不等式解答實際應用問題等幾種問題；
解答基本不等式及運用問題的基本方法是：①根據問題結構特征，判斷問題所屬問題的類型；②運用解答該類型問題的解題思路和基本方法對問題實施解答；③得出解答問題的結果。
〔練習6〕解答下列問題：
1、函數y= （a＞0，a 1）的圖像恒過定點A，若點A在直線mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，則+ 的最小值是 （2018-2019成都市高一下期期末考試）（答案4）
2、若實數x＞0，y＞0，且x+4y=xy,則x+y的最小值為（ ）（答案B）
A 7 B 8 C 9 D 10
3、設x＞0，y＞0，且2x+y=1，求+的最小值（2017—2018成都市高一下期期末考試）（答案：4+2）
a b
O C
a b
O C

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