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高考數(shù)學中的10+2個易考點
08高考在漸漸向我們走來，關(guān)于高考中的考查一直是老師和同學關(guān)注、議論的焦點。結(jié)合近幾年高考呈現(xiàn)的特點以及課標地區(qū)的新要求，總結(jié)了高考中的十個易考點和課標地區(qū)兩個預測點，希望對備考中的同學們能有所幫助。
一、集合的運算
考點分析：關(guān)于集合的運算，主要考查集合的子、交、并、補集的相關(guān)運算，題型上以選擇題為主。該類題目一般與不等式知識進行交匯考查，難度不大，但要注意對文氏圖的識讀與應(yīng)用。
例1、（06全國）設(shè)集合，，則
A． B．
C． D．
解：=，=，
∴ ，選B.
熱身訓練1：（07廣東順德模擬）已知，若，則集合等于（ ）
A. B. C. D.
答案：
二、空間中點、線、面的位置關(guān)系
考點分析：該考點主要考查空間中的垂直與平行。題型分布上有選擇題，帶有不定項選擇的填空題，解答題中也有涉及，難度以中下等題目為主。應(yīng)對這類問題，要掌握好空間中關(guān)于線面、面面垂直的定理，性質(zhì)，在解題中依據(jù)定理、性質(zhì)尋找突破口。
例2、（06天津）設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是（　　）
A．　　 　B．
C．　　　 D．
解：設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面。下列命題中正確的命題是，選B.
熱身訓練2：（07濟南）已知是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：
①若∥，則平行于平面內(nèi)的任意一條直線；
②若//，，，則//；
③若⊥，⊥，∥，則∥；
④若∥，，則//
上面的命題中，真命題的序號是 （寫出所有真命題的序號）.
答案：③④
三、二項式定理
考點分析：二項式展開式是高考考查的一個熱點，該考點主要考查二項展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)，展開式中的某一項以及展開式中所有項的系數(shù)和等問題。在題型的考查上以填空題或選擇題為主，很少涉及解答題，難度不大。對該部分知識要掌握好二項展開式的通項，熟知相關(guān)概念，計算時要細心。
例3、（06陜西）展開式中的系數(shù)為
解：展開式通項為，令
，則，∴的系數(shù)為
熱身訓練3：（07宜春）若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（ ）
A． B． C． D．
答案：B
四、線性規(guī)劃中的最值問題
考點分析：線性規(guī)劃問題高考的考查主要集中在兩點：1、已知可行域，求目標函數(shù)的最值；2、已知可行域，求可行域的面積。該類題目一般以填空、選擇的形式出現(xiàn)，作出較為準確的可行域是求解問題的關(guān)鍵。在最值問題的處理上，要注意代數(shù)問題與幾何意義相聯(lián)系。
例4、（06浙江）在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是
A． B． 4 C． D． 2
解：原不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：
易得的面積為4。
熱身訓練4：（07重慶）在條件下, 的取值范圍是________
答案：
五、三角變換及三角函數(shù)的性質(zhì)
考點分析：三角問題的考查主要有兩類：一類是三角恒等變換，利用和、差角公式，倍、半角公式等對函數(shù)進行化簡、求值；另一類主要是在三角變換的基礎(chǔ)上，求解已知函數(shù)的性質(zhì)，如求函數(shù)的最值及取最值的相應(yīng)變量值，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等。三角問題在近幾年的高考中出現(xiàn)在第1個解答題的幾率很大。
例5、（06遼寧）已知函數(shù)，求：
（1）函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；
（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
解：
∴當，即時，取得最大值.
因此，取得最大值的自變量的集合是
（Ⅱ）解：
由題意得，即.
因此，的單調(diào)增區(qū)間是。
熱身訓練5：（07安徽）已知，（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值
答案：；。
六、概率問題
考點分析：概率為每年必考的內(nèi)容，并且選擇題和解答題也可能在同一試卷中出現(xiàn)。概率的考查主要以現(xiàn)實生活中的問題為載體，結(jié)合排列組合的知識進行考查。實施新課標的地區(qū)，由于知識安排的特點，古典概型與互斥事件相結(jié)合的題目出現(xiàn)的幾率很大，理科同學要注意隨機變量的分布列以及期望方差的考查。
例6、（06山東）盒中裝著標有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：
(Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；
(Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概率；
(Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率。
解：解：（I）“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，由題意
（II）“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事件記為B，則。
（III）“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個數(shù)字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對立事件，因為，
所以.
熱身訓練6：（07深圳調(diào)研）某單位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分別擔任周六、周日的值班任務(wù)（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．
（Ⅰ）共有多少種安排方法？
（Ⅱ）其中甲、乙兩人都被安排的概率是多少？
（Ⅲ）甲、乙兩人中至少有一人被安排的概率是多少？
答案：（Ⅰ）12種方法；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
七、空間幾何體中的距離及角
考點分析：近幾年高考的解答題中，關(guān)于立體幾何的題目，幾乎是每次都有。試題的考查形式有填空，有選擇，也有解答題，其中解答題的形式主要是以空間幾何體為載體，考查空間中的位置關(guān)系，或是距離及角，其中關(guān)于二面角的考查是這類題目命題中的熱點。由于新課程對空間幾何體的內(nèi)容作了擴充，所以，有關(guān)空間幾何體的表面積、體積的考查同樣要引起重視。在處理空間中的距離及角時，要特別注意向量法的應(yīng)用。
例7、如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為1，是底面邊上的中點，是側(cè)棱上的點，且
（Ⅰ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求點到平面的距離。
解：因為是底面邊上的中點，所以，又,所以面，從而，所以為二面角的平面角。
又,,

連，得＝，在中，由余弦定理得：
。
故所求二面角的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）過在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以。于是平面，故即為到平面的距離。在中，＝。
所以點到平面的距離為1。
熱身訓練7、（07江蘇）如圖，在直三棱柱中，，，，是棱的中點．
設(shè)平面與棱交于點，確定點的位置并給出理由；
求直線與平面所成角的大小；
求二面角的大小．
答案：（1）是中點；（2）；（3）
八、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間
考點分析：函數(shù)的極值（最值）以及單調(diào)區(qū)間的考查在高考中逐漸升溫。導數(shù)的考查一是在導數(shù)的幾何意義，運算處命題；二是以導數(shù)為工具，交匯函數(shù)，不等式等知識進行命題。關(guān)于函數(shù)的導數(shù)，要特別注意識記和兩類函數(shù)的導數(shù)。
例8、（06江西）已知函數(shù)在與時都取得極值
（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）若對，不等式恒成立，求的取值范圍。
解：（1）∵，∴
由，得：
∴，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如下表：
（－(，－）
－
（－，1）
1
（1，＋(）
＋
0
－
0
＋
極大值
極小值
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是與，遞減區(qū)間是
（2），，當時，為極大值，而，則為最大值。
要使，恒成立，只需解得或。
熱身訓練8：．（07皖北省示范高中模擬）已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)
是實數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，并且求函數(shù)的表達式；
（2）若，求證：函數(shù)是單調(diào)函數(shù).
答案：（1）；（2）提示：當恒成立，此時函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；當恒成立，此時函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).
九、數(shù)列綜合問題
考點分析：數(shù)列問題是高中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，在高考中占有舉足輕重的地位。由于自身的特點，數(shù)列問題經(jīng)常與不等式，函數(shù)，解析幾何知識交匯考查，考查主要以等差、等比數(shù)列為主線。三大題型中都有數(shù)列的影子，高考中的最后兩題，經(jīng)常以數(shù)列作為考查點之一進行交匯命題，因此數(shù)列題目既有中低檔題，也有難度較大的題目。應(yīng)對這類綜合性問題，首先要打牢基礎(chǔ)，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項、前項和的求法，以及其相關(guān)的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上結(jié)合題目進行靈活的處理。
例9、（06全國）設(shè)數(shù)列的前項的和，
（Ⅰ）求首項與通項；
（Ⅱ）設(shè)，，證明：
解：解: (Ⅰ)由，… ① 得，
∴
再由①有，… ②
將①和②相減得: ，…
整理得: ，… , 因而數(shù)列是首項為,公比為4的等比數(shù)列,即 : ，…,
因而，…,
(Ⅱ)將代入①得
所以,
熱身訓練9：（07煙臺）已知：，數(shù)列的前n項和為，點在曲線
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列的前n項和為Tn，且滿足，設(shè)定的值，使得數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）求證：.
（1）；（2）時，為等差數(shù)列；
（3）提示：
十、圓錐曲線的綜合問題
考點分析：圓錐曲線的綜合問題是高考考查的熱點中的熱點。圓錐曲線的綜合問題涉及的交匯點多，符合高考“在知識交匯處命題”的精神，從近幾年高考看，這類題目在高考壓軸題中出現(xiàn)的頻率較高，難度也很大。關(guān)于此類問題的備考，要注意以下幾點：
1、掌握好圓錐曲線的定義，性質(zhì)，并能靈活運用；
2、注意圓錐曲線與直線交匯考查時，相應(yīng)的弦長，面積的考查；
3、注意圓錐曲線中的最值、定值問題，這方面的考查在高考中是熱點。
4、注意圓錐曲線與向量、不等式、數(shù)列等的交匯命題。
例10、（06年四川）已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點，如果，且曲線上存在點，使，求的值和的面積
解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，
且，易知。故曲線的方程為
設(shè)，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點，
∴ ， 解得：
又∵
依題意得，整理后得
∴或 但 ∴
故直線的方程為，設(shè)，由已知，得，∴，
熱身訓練10：設(shè)橢圓若在橢圓上存在點M使得
（1）求實數(shù)m的范圍；
（2）若直線最小，求此最小值及此橢圓的方程。
（3）已知定點的直線與橢圓交于A、B兩點，滿足。若存在則求出實數(shù)k的范圍；若不存在說明理由。
答案：（1）；（2）最小值為；
（3）存在，此時的取值范圍為
由于課程的改革，課標地區(qū)的教材有了一定的變化，高考考查的側(cè)重點也有了較大的調(diào)整。07年的高考要體現(xiàn)課改的精神，所以，預測高考中會出現(xiàn)幾個新亮點：
十一、程序框圖的考查
算法知識在新課改中占有中要地位，新高考對這類知識的考查預計會以程序框圖為主，題型應(yīng)該多以選擇、填空的形式出現(xiàn)。備考中要注意框圖與數(shù)列，具有周期性的函數(shù)等進行聯(lián)系。
例11、已知函數(shù)，，可構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如圖，由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列，則的第項為
解：由流程圖可得：，，，即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，

∴，則。
熱身訓練11：（07深圳）在如下程序框圖中，輸入，則輸出的是__________.
答案：
十二、積分的考查
積分的考查預計會分布在兩點：1、積分的計算；2、利用積分計算曲邊梯形面積。
例12、已知冪函數(shù)為增函數(shù)，則與軸以及直線所構(gòu)成的曲邊梯形的面積為
解：由冪函數(shù)定義及性質(zhì)知：且，
所以，所求曲邊梯形的面積
熱身訓練12：（濰坊模擬）＝
A．0 B． C．2 D．4
答案：A
說明：因為向量、不等式等知識的考查多以交匯形式出現(xiàn)，并且在有些綜合題中已作分析，所以沒有單獨列出，但相關(guān)知識同樣要引起大家的重視。

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