資源簡介

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專題4.10 相似三角形中的手拉手（旋轉）模型
模塊1：知識梳理
相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。手拉手模型相似是手拉手模型當中相對于手拉手全等模型較難的一種模型，在實際的應用和解題當中出現時，對于同學們來說，都比較困難。而深入理解模型內涵，靈活運用相關結論可以顯著提高解題效率，本專題重點講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉模型）。
手拉手相似證明題一般思路方法:
①由線段乘積相等轉化成線段比例式相等；
②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；
③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；
④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復第③步。
模塊2：核心模型與典例
模型1.“手拉手”模型(旋轉模型)
【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉相似變換，這個頂點稱為旋轉相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，； 結論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.
2）手拉手相似模型（直角三角形）
條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；
結論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）
條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點； 結論：△BME∽△CMF；.
條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 結論：△ABD∽△ACE.
例1．（2022·山西·壽陽縣九年級期末）問題情境：如圖1所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DEBC，在圖1中將ADE繞A點順時針旋轉一定角度，得到圖2，然后將BD、CE分別延長至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到圖3，請解答下列問題：
(1)猜想證明：若AB=AC，請探究下列數量關系：①在圖2中，BD與CE的數量關系是_________．
②在圖3中，猜想∠MAN與∠BAC的數量關系，并證明你的猜想；
(2)拓展應用：其他條件不變，若AB=AC，按上述操作方法，得到圖4，請你繼續探究：∠MAN與∠BAC的數量關系？AM與AN的數量關系？直接寫出你的猜想．
【答案】(1)①BD=CE；②∠MAN=∠BAC，見解析(2)∠MAN=∠BAC，AM=AN
【分析】（1）①根據題意和旋轉的性質可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
②根據題意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可證△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
（2）直接類比（1）中結果可知AM= AN，∠MAN=∠BAC．
(1)①∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE
∵由旋轉可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，
②∠MAN=∠BAC
理由：如圖1，∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE
∵由旋轉可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD
∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ACE=∠ABD
∵DM=BD，EN=CE∴BM=CN △ABM≌△ACN
∴∠BAM=∠CAN∴∠BAM-∠CAM=∠CAN-∠CAM即∠MAN=∠BAC；
(2)結論：∠MAN=∠BAC，AM=AN
∵△ABC∽△ADE，∴∴
∵∠CAE=∠DAE+∠CAD，∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，∴△ADB∽△AEC，∴
∵DM=BD，EN=CE
∵∠ADM=∠ABD+∠BAD，∠AEN=∠ACE+∠CAE，
∴∠ADM=∠AEN，∴△ADM∽△AEN，
∴AM：AN=AD：AE=，∴∠DAM=∠EAN，
∴∠NAE+∠MAE=∠NAE+∠MAE，∴∠MAN=∠DAE，
∵∠DAE=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC．
AM=k AN，∠MAN=∠BAC．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
例2．（2022·山東濟南·八年級期末）某校數學活動小組探究了如下數學問題：
(1)問題發現：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數量關系是______；
(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數量關系，并說明理由；
(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）根據已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質即可得到BP和CQ的數量關系；
（2）根據任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對應邊成比例即可得到BP和AQ的數量關系；
（3）連接BD，如圖（見詳解），先由正方形的性質判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由對應邊成比例，依據相似比求出線段BP的長，接著設正方形ABCD的邊長為x，運用勾股定理列出方程即可求得答案．
（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中， ，∴，∴；
（2）解：判斷，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；
（3）解：連接BD，如圖所示，
∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點Q，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設，則，又∵正方形的邊長為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長為3．
【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質，以及正方形和等腰三角形的性質，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質與判定定理進行證明是解題的關鍵．
例3．（2022·四川達州·中考真題）某校一數學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接．該數學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：
(1)【初步探究】如圖2，當時，則_____；
(2)【初步探究】如圖3，當點E，F重合時，請直接寫出，，之間的數量關系：_________；
(3)【深入探究】如圖4，當點E，F不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見解析(4)
【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質，可得，根據題意可得，根據等原三角形的性質可得平分，即可得，根據旋轉的性質可知；
（2）證明，可得，根據等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；
（3）同（2）可得，過點，作，交于點，證明，，可得，即可得出；
（4）過點作，交于點，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．
(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，
故答案為：
(2)
在與中，
又 重合，故答案為：
(3)同（2）可得，
過點，作，交于點，
則，，
在與中，，，
，是等腰直角三角形，，，
，，
在與中，，，
，，即，
(4)過點作，交于點，
，，，，
，，，
，
，，，
，，
中，，
，即．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
例4．（2021·四川樂山·中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結．
（1）如圖1，若，點關于直線的對稱點為點，結，，則________；
（2）若，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連結．①在圖2中補全圖形；
②探究與的數量關系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數量關系，并證明．
【答案】（1）30°；（2）①見解析；②；見解析；（3），見解析
【分析】（1）先根據題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可
（2）①按要求補全圖即可
②先根據已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出
（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明
【詳解】解：（1）∵，
∴△ABC是等邊三角形
∴∠B=60°
∵點關于直線的對稱點為點
∴AB⊥DE，
∴
故答案為：；
（2）①補全圖如圖2所示；
②與的數量關系為：；
證明：∵，．
∴為正三角形，
又∵繞點順時針旋轉，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）連接．
∵，，∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．∵，∴，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
【點睛】本題考查相似三角形的證明及性質、全等三角形的證明及性質、三角形的外角、軸對稱，熟練進行角的轉換是解題的關鍵，相似三角形的證明是重點
例5．（2022·山東煙臺·中考真題）
(1)【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．求的值．
【答案】(1)見解析(2)(3)①；②
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結論；（2）證明△BAD∽△CAE，進而得出結果；
（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結果；
②在①的基礎上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結果．
(1)證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；
(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；
(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ；
②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．
例6.（2022·成都市·九年級課時練習）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發現且．
小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點A按順時針方向旋轉（如圖2），試問當與的大小滿足怎樣的關系時，；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．
【答案】（1）見解析；（2）當時，，理由見解析；（3）．
【分析】（1）由正方形的性質得出，，，，得出，則可證明，從而可得出結論；
（2）由菱形的性質得出，，則可證明，由全等三角形的性質可得出結論；
（3）設與交于Q，與交于點P，證明，得出，得出，連接，，由勾股定理可求出答案．
【詳解】（1）∵四邊形為正方形，
∴，，
又∵四邊形為正方形，
∴，，
∴
∴，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（2）當時，，
理由如下：
∵，
∴
∴，
又∵四邊形和四邊形均為菱形，
∴，，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（3）設與交于Q，與交于點P，
由題意知，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
連接，，
∴
，
∵，，，
∴，，
在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，
∴
．
【點睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質，三角形全等的判定與性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質是解題的關鍵．由(3)可得結論：當四邊形的對角線相互垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等．
模塊3：同步培優題庫
全卷共17題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共3小題，每小題3分，共9分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1、如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數為（　　）
A．10° B．20° C．40° D．無法確定
【答案】B
【解答】，，，∴，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故選：B．
2、如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中點，連接BD，BF，若點E是射線CB上的動點，下列結論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BFAE，其中正確的是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【解答】∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，
∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴，
∴，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故②正確，
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，
∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正確，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC5，∵△ABC∽△ADE，∴，
∵BFDE，∴，∴BFAE，故④正確，
∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴無法判斷△AOD∽△FOB，故①錯誤．故選：D．
3、如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分別在邊AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，將△CDE繞點C旋轉，旋轉后點D、E對應的點分別為D′、E′，當點E′落在線段AD′上時，連接BE′，此時BE′的長為（　　）
A．2 B．3 C．2 D．3
【分析】如圖，作CH⊥BE′于H，設AC交BE′于O．首先證明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解決問題．
【詳解】解：如圖，作CH⊥BE′于H，設AC交BE′于O．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，
∵DE∥AB，∴＝，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°∴＝，
∵∠ACB＝∠D′CE′，∴∠ACD′＝∠BCE′，∴△ACD′∽△BCE′，∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，
∵DE∥AB，∴＝，∴＝，∴CE＝，
∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝
∴E′H＝CE′＝，CH＝HE′＝，∴BH＝＝＝
∴BE′＝HE′+BH＝3，故選：B．
【點撥】本題考查了相似三角形的綜合應用題，涉及了旋轉的性質、平行線分線段成比例、相似三角形的性質與判定等知識點，解題的關鍵是靈活運用上述知識點進行推理求導．
二、填空題（本大題共2小題，每小題3分，共6分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
4、已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結AG，CE交于點H，若，，則CH的長為________.
【分析】連接EG，與DF交于N，設CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長.
【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設CD和AH交于M，
∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，
∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，
∴△ANG∽ADM，∴，
∵，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，
∵AD=AB=3，∴，解得：DM=，
∴MC=，AM=，
∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，
∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，
∴，即，解得：CH=.
【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，綜合性較強，解題的關鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質計算出CH的長.
5．（2023·湖南常德·統考中考真題）如圖1，在中，，，，D是上一點，且，過點D作交于E，將繞A點順時針旋轉到圖2的位置．則圖2中的值為 ．

【答案】/0.8
【分析】首先根據勾股定理得到，然后證明出，得到，進而得到，然后證明出，利用相似三角形的性質求解即可．
【詳解】∵在中，，，，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案為：．
【點睛】此題考查了相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質和判定定理．
三、解答題（本大題共12小題，共105分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
6．（2022 虹口區期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．
【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，可得∠BAC＝∠DAE，又有∠ABC＝∠ADE，即可得出相似；
（2）有（1）中可得對應線段成比例，又有以對應角相等，即可判定其相似．
【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE．
證明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴，
∴AB×AE＝AC×AD，∴，
∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定及性質問題，應熟練掌握．
7．（2022·重慶·九年級課時練習）觀察猜想
(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數量關系是______．
(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？請說明理由．
(3)拓展延伸:如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)(2)成立(3)
【分析】（1）利用可證明，繼而得出結論；
（2）也可以通過證明，得出結論，和（1）的思路完全一樣．
（3）首先得出，從而判定，得到，根據，，得到，從而判定，得出結論．
（1）證明：、是等邊三角形，
，，，，
在和中，，，．
（2）解：結論仍成立；
理由如下：、是等邊三角形，
，，，，
在和中，，，．
（3）解：；理由如下：，，∴，
又∵，，∴，，
又，，
，，．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質證明結論．
8．（2022·江蘇·九年級課時練習）【問題發現】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A順時針旋轉90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數量關系是______，位置關系是______；
【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，當點C，D，E在同一條直線上時，BD與CE具有怎樣的位置關系，說明理由；
【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點A順時針旋轉，點C的對應點為點E．設旋轉角∠CAE為（0°＜＜360°），當C，D，E在同一條直線上時，畫出圖形，并求出線段BE的長度．
【答案】BD＝CE，BD⊥CE； BD⊥CE，理由見解析；圖見解析，
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據全等三角形的性質解答；
（2）連接BD，根據全等三角形的判定和性質以及垂直的定義即可得到結論；
（3）如圖3，過A作AF⊥EC，根據相似三角形的判定和性質以及勾股定理即可得到結論．
【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．
（3）如圖所示，過點A作AF⊥CE，垂足為點F．
根據題意可知，Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD，
∴，∴．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．
在旋轉前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，
∴，∵AC⊥BD，
∴，∴．∴，
在Rt△ACD中，CD邊上的高，旋轉后，得，∴．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質等知識點，關鍵是添加恰當輔助線．
9．（2022·山東·九年級課時練習）如圖，和是有公共頂點直角三角形，，點P為射線，的交點．
（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；
（2）如圖2，若，問：（1）中的結論是否成立？請說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點A旋轉，當時，請直接寫出的長度
【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）PB的長為或．
【分析】（1）由條件證明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，進而得出BD⊥CP；
（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結論；
(3) 分為點E在AB上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據相似三角形的性質進行證明即可．
【詳解】解：（1）證明：如圖，
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAD=∠CAE．
∵和是等腰直角三角形，∴，
在△ABD和△ACE中， ，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，∴∠ACF+∠AFC=90°，∴∠ABP+∠BFP=90°．∴∠BPF=90°，∴BD⊥CP；
（1）中結論成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=AC，
（2）在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=AE，∴
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD=∠ACE
同（1）得；
（3）解：∵和是等腰直角三角形，∴，
①當點E在AB上時，BE=AC-AE=1．
∵∠EAC=90°∴CE=．
同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．
∴∴．∴PB=．
②當點E在BA延長線上時，BE=5．
∵∠EAC=90°，∴CE=5．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．
∴．∴．∴PB=．綜上所述，PB的長為或．
【點睛】此題主要考查的是旋轉的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關鍵．
10．（2023·廣東·深圳市九年級期中）（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數量關系？
小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉放縮”的技巧，即將△ABC繞點A逆時針旋轉90°，并放大2倍，點B對應點D．點C落點為點E，連接DE，請你根據以上思路直接寫出BC，AC，CD之間的關系．
（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點，以CE為邊，在其右側作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】（1）根據已知條件直接證明，再證明，從而可得，設，則,根據勾股定理求得,求得，即可得證；
（2）根據題意可知，，設則,求得,分別求得,根據，即可求得；
（3）根據（2）的方法，旋轉放縮,縮小為原來的，使得的落點為,的落點為，過點作于點,交的延長線于點，作點關于的對稱點,連接,則,當點三點共線時，取等于號，接下來根據相似的性質分別求得各邊的長度，最后根據勾股定理求得即可求得最小值
【詳解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°，
即
設，則,
（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且
將△ABC繞點A逆時針旋轉90°，并放大2倍，點B對應點D．點C落點為點E，
， ，
三點共線，
，設則
（3）如圖，設,將繞點逆時針旋轉，并縮小為原來的，
使得的落點為,的落點為，
過點作于點,交的延長線于點，
作點關于的對稱點,連接 則，
當點三點共線時，取等于號
由作圖知:， 且,
，AB＝5 ,
四邊形是矩形
在中
在中，
四邊形是矩形,
四邊形是矩形,
在中，
的最小值為
【點睛】本題考查了三角形相似的性質與判定，旋轉放縮法構造相似三角形，線段和最值問題，勾股定理，正確的作出圖形和輔助線是解題的關鍵．
11．（2023·綿陽市·九年級專題練習）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P是△ABC外一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉α得到線段PD，連接BD，CD，AP．
觀察猜想：
（1）如圖1，當α＝60°時，的值為　　，直線CD與 AP所成的較小角的度數為　　°；
類比探究：（2）如圖2，當α＝90°時，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數；
拓展應用：（3）如圖3，當α＝90°時，點E，F分別為AB，AC的中點，點P在線段FE的延長線上，點A，D，P三點在一條直線上，BD交PF于點G，CD交AB于點H. 若CD＝2＋，求BD的長．
【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數為45°；（3）BD＝．
【分析】（1）根據α＝60°時，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與 AP所成的度數；（2）根據等腰直角三角形的性質證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據相似三角形的性質求出直線CD與 AP所成的度數；（3）延長CA，BD相交于點K， 根據直角三角形斜邊上的中線性質及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結論求出AP的長，再利用在Rt△PBD中，設PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長．
【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB
∵將線段BP繞點P逆時針旋轉α得到線段PD，
∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD
∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1
如圖，延長CD交AB，AP分別于點G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，
∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB
∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案為：1，60；
（2）解：如圖，延長CD交AB，AP分別于點M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.
在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.
∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.
在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.
∴＝，∠ABC＝∠PBD.
∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.
即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.
∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.
∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.
即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數為45°.
(3)延長CA，BD相交于點K，如圖.
∵∠APB＝90°，E為AB的中點，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.
∵點E，F為AB，AC的中點，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.
∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，
∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD. ∴CB＝CK.
∴∠BCD＝∠KCD. 由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，
∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.
∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB. ∴AD＝BD.
由(2)知DC＝AP，∴AP＝.
在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.
∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1. ∴BD＝．
【點睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關鍵熟知旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及解直角三角形的方法．
12．（2023·湖北·九年級專題練習）在和中，，，且，點E在的內部，連接EC，EB，EA和BD，并且．
【觀察猜想】（1）如圖①，當時，線段BD與CE的數量關系為__________，線段EA，EB，EC的數量關系為__________．
【探究證明】（2）如圖②，當時，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；
【拓展應用】（3）在（2）的條件下，當點E在線段CD上時，若，請直接寫出的面積．
【答案】（1），；（2）不成立，理由見解析；（3）2
【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解決問題；
（2）結論：EA2=EC2+2BE2．由題意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想辦法證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解決問題；
（3）首先證明AD=DE=EC，設AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解決問題；
【詳解】（1）如圖①中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．故答案為：BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）結論：EA2=EC2+2BE2．
理由：如圖②中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAB=∠EAC∵=， =，∴，
∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=EC2+BE2，∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如圖③中，
∵∠AED=45°，D，E，C共線，∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，∴∠BDE=∠BED=45°，∴BD=BE，
∴DE=BD，∵EC=BD，∴AD=DE=EC，設AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，∴AC=2，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴x2+4x2=40，
∴x=2（負根已經舍棄），∴AD=DE=2，∴BD=BE=2，∴S△BDE=×2×2=2．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
13．（2022 南山區校級一模）（1）【問題發現】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數量關系為 　 　；②直線CF與DG所夾銳角的度數為 　 　．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點．若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為 　　（直接寫出結果）．
【分析】（1）連接AF，由正方形的性質可得點A、F、C三點共線，AC＝，AF＝AG，從而得出答案；（2）連接AF，AC，利用△CAF∽△DAG，得CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，從而解決問題；
（3）連接CE，利用SAS證明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE＝45°，則∠DCE＝90°，可知當OE⊥CE時，OE最小，再利用等腰直角三角形的性質求出答案．
【解答】解：（1）連接AF，
∵四邊形AEFG、ABCD是正方形，∴∠GAF＝45°，
∴點A、F、C三點共線，∴AC＝，AF＝AG，
∴CF＝GD，故答案為：CF＝GD，45°；
（2）仍然成立，連接AF，AC，
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAC，，
∴△CAF∽△DAG，∴CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，
∴∠COD＝∠CAD＝45°，∴（1）中的結論仍然成立；
（3）連接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠DCE＝90°，∴當OE⊥CE時，OE最小，
∵AC＝10，O為AC的中點．∴OC＝5，
∵∠OCE＝45°，∴OE＝OC＝，故答案為：．
【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握旋轉型相似是解題的關鍵．
14、某校數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題作如下探究：
（1）問題發現：如圖1，在等邊中，點是邊上任意一點，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數量關系是________；
（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點是邊上任意一點，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數量關系，并說明理由；
（3）解決問題：如圖3，在正方形中，點是邊上一點，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為5，，求正方形的邊長．
【分析】
（1）利用定理證明，根據全等三角形的性質解答；
（2）先證明，得到，再證明，根據相似三角形的性質解答即可；
（3）連接、，根據相似三角形的性質求出，根據勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【詳解】
解：（1）問題發現：∵和都是等邊三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）變式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解決問題：連接、，如圖所示:
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設，
則，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的邊長為：．
【點撥】本題考查的是正方形的性質、三角形全等的判定和性質、三角形相似的判定和性質、勾股定理的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、正方形的性質是解題的關鍵．
15、如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．
【分析】
（1）由正方形的性質得，進而根據對頂角的性質得，再結合公共角，根據相似三角形的判定得結論；
（2）根據正方形的性質得，再證明其夾角相等，便可證明；
（3）由已知條件求得正方形的邊長，進而由勾股定理求得的長度，再由，求得，進而求得正方形的對角線長，便可求得其邊長．
【詳解】
解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）四邊形是正方形，
，，
，
同理可得，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，即，
，
，
，
即正方形的邊長為．
【點撥】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，關鍵是掌握相似模型及證明方法和正方形性質．
16、已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，點D為BC邊中點，連接AD，點E為線段AD上一動點，把線段CE繞點E順時針旋轉2α°得到線段EF，連接FG，FD．
（1）如圖1，當∠BAC＝60°時，請直接寫出的值；
（2）如圖2，當∠BAC＝90°時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由；
【分析】（1）取AC的中點M，連接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等邊三角形，證明△ACE≌△BCF（SAS），可得結論．（2）連接BF，證明△ACE∽△BCF，可得結論．
【詳解】（1）連接BF，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵線段CE繞點E順時針旋轉60°得到線段EF，
∴EC＝EF，∠CEF＝60°，
∴△EFC都是等邊三角形，
∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∴＝1．
（2）不成立，結論：＝．
證明：連接BF，
∵AB＝AC，D是BC中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠CEF＝90°，
∴△ABC和△CEF為等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴＝＝，
∴△ACE∽△BCF，
∴∠CBF＝∠CAE＝α，
∴＝＝．
【點撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉變換的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，中位線定理，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題
17．（2023春·山西太原·九年級校考期中）【問題情境】如圖1，在中，，點D，E分別是邊的中點，連接．如圖2，將繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為．
【觀察發現】如圖2，當時，_________．
【方法遷移】如圖3，矩形中，點E，F分別是的中點．四邊形為矩形，連接．如圖4，將矩形繞點A逆時針旋轉．旋轉角為α，連接．請探究矩形旋轉過程中，與的數量關系；
【拓展延伸】如圖5，若將上題中的矩形改為“平行四邊形”且，矩形改為“平行四邊形”，其他條件不變，如圖6，在平行四邊形旋轉過程中，直接寫出_________．

【答案】觀察發現：；方法遷移：；拓展延伸：
【分析】觀察發現：由勾股定理求出根據三角形中位線定理求出再證明可得結論；
方法遷移：由勾股定理求出再證明可得結論；
拓展延伸：先求出再證明可得結論．
【詳解】觀察發現：如圖1，∵分別是的中點，
∴是的中位線，
∴,
由勾股定理得,
∴,
如圖2，由旋轉得
∴即
又∵
∴,
∴
故答案為
方法遷移：
理由如下：
連接，如圖，

∵，點E，F分別是的中點，
∴，
在矩形中，
在中，由勾股定理得，
同理可求得
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
拓展延伸：連接過點A作于點H，如圖5，

∵，點E，F分別是的中點，四邊形分別是平行四邊形，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
同理可得，；
如圖6，連接

由旋轉得，
∴
又∵
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，矩形的屬性持，平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質，能夠識別圖形，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
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專題4.10 相似三角形中的手拉手（旋轉）模型
模塊1：知識梳理
相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。手拉手模型相似是手拉手模型當中相對于手拉手全等模型較難的一種模型，在實際的應用和解題當中出現時，對于同學們來說，都比較困難。而深入理解模型內涵，靈活運用相關結論可以顯著提高解題效率，本專題重點講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉模型）。
手拉手相似證明題一般思路方法:
①由線段乘積相等轉化成線段比例式相等；
②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；
③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；
④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復第③步。
模塊2：核心模型與典例
模型1.“手拉手”模型(旋轉模型)
【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉相似變換，這個頂點稱為旋轉相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，； 結論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.
2）手拉手相似模型（直角三角形）
條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；
結論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）
條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點； 結論：△BME∽△CMF；.
條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 結論：△ABD∽△ACE.
例1．（2022·山西·壽陽縣九年級期末）問題情境：如圖1所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DEBC，在圖1中將ADE繞A點順時針旋轉一定角度，得到圖2，然后將BD、CE分別延長至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到圖3，請解答下列問題：
(1)猜想證明：若AB=AC，請探究下列數量關系：①在圖2中，BD與CE的數量關系是_________．
②在圖3中，猜想∠MAN與∠BAC的數量關系，并證明你的猜想；
(2)拓展應用：其他條件不變，若AB=AC，按上述操作方法，得到圖4，請你繼續探究：∠MAN與∠BAC的數量關系？AM與AN的數量關系？直接寫出你的猜想．
例2．（2022·山東濟南·八年級期末）某校數學活動小組探究了如下數學問題：
(1)問題發現：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數量關系是______；
(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數量關系，并說明理由；
(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．
例3．（2022·四川達州·中考真題）某校一數學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接．該數學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：
(1)【初步探究】如圖2，當時，則_____；
(2)【初步探究】如圖3，當點E，F重合時，請直接寫出，，之間的數量關系：_________；
(3)【深入探究】如圖4，當點E，F不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數量關系，并說明理由．
例4．（2021·四川樂山·中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結．（1）如圖1，若，點關于直線的對稱點為點，結，，則____；（2）若，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連結．①在圖2中補全圖形；②探究與的數量關系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數量關系，并證明．
例5．（2022·山東煙臺·中考真題）
(1)【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．求的值．
例6.（2022·成都市·九年級課時練習）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發現且．
小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點A按順時針方向旋轉（如圖2），試問當與的大小滿足怎樣的關系時，；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．
模塊3：同步培優題庫
全卷共17題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共3小題，每小題3分，共9分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1、如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數為（　　）
A．10° B．20° C．40° D．無法確定
2、如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中點，連接BD，BF，若點E是射線CB上的動點，下列結論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BFAE，其中正確的是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
3、如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分別在邊AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，將△CDE繞點C旋轉，旋轉后點D、E對應的點分別為D′、E′，當點E′落在線段AD′上時，連接BE′，此時BE′的長為（　　）
A．2 B．3 C．2 D．3
二、填空題（本大題共2小題，每小題3分，共6分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
4、已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結AG，CE交于點H，若，，則CH的長為________.
5．（2023·湖南常德·統考中考真題）如圖1，在中，，，，D是上一點，且，過點D作交于E，將繞A點順時針旋轉到圖2的位置．則圖2中的值為 ．

三、解答題（本大題共12小題，共105分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
6．（2022 虹口區期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．
7．（2022·重慶·九年級課時練習）觀察猜想
(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數量關系是______．
(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？請說明理由．
(3)拓展延伸:如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數量關系，并說明理由．
8．（2022·江蘇·九年級課時練習）【問題發現】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A順時針旋轉90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數量關系是______，位置關系是______；
【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，當點C，D，E在同一條直線上時，BD與CE具有怎樣的位置關系，說明理由；
【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點A順時針旋轉，點C的對應點為點E．設旋轉角∠CAE為（0°＜＜360°），當C，D，E在同一條直線上時，畫出圖形，并求出線段BE的長度．
9．（2022·山東·九年級課時練習）如圖，和是有公共頂點直角三角形，，點P為射線，的交點．
（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；
（2）如圖2，若，問：（1）中的結論是否成立？請說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點A旋轉，當時，請直接寫出的長度
10．（2023·廣東·深圳市九年級期中）（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數量關系？
小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉放縮”的技巧，即將△ABC繞點A逆時針旋轉90°，并放大2倍，點B對應點D．點C落點為點E，連接DE，請你根據以上思路直接寫出BC，AC，CD之間的關系。（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點，以CE為邊，在其右側作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．
11．（2023·綿陽市·九年級專題練習）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P是△ABC外一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉α得到線段PD，連接BD，CD，AP．
觀察猜想：
（1）如圖1，當α＝60°時，的值為　　，直線CD與 AP所成的較小角的度數為　　°；
類比探究：（2）如圖2，當α＝90°時，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數；
拓展應用：（3）如圖3，當α＝90°時，點E，F分別為AB，AC的中點，點P在線段FE的延長線上，點A，D，P三點在一條直線上，BD交PF于點G，CD交AB于點H. 若CD＝2＋，求BD的長．
12．（2023·湖北·九年級專題練習）在和中，，，且，點E在的內部，連接EC，EB，EA和BD，并且．
【觀察猜想】（1）如圖①，當時，線段BD與CE的數量關系為__________，線段EA，EB，EC的數量關系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當時，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；【拓展應用】（3）在（2）的條件下，當點E在線段CD上時，若，請直接寫出的面積．
13．（2022 南山區校級一模）（1）【問題發現】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數量關系為 　 　；②直線CF與DG所夾銳角的度數為 　 　．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點．若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為 　　（直接寫出結果）．
14、某校數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題作如下探究：
（1）問題發現：如圖1，在等邊中，點是邊上任意一點，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數量關系是________；
（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點是邊上任意一點，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數量關系，并說明理由；
（3）解決問題：如圖3，在正方形中，點是邊上一點，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為5，，求正方形的邊長．
15、如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．
16、已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，點D為BC邊中點，連接AD，點E為線段AD上一動點，把線段CE繞點E順時針旋轉2α°得到線段EF，連接FG，FD．（1）如圖1，當∠BAC＝60°時，請直接寫出的值；（2）如圖2，當∠BAC＝90°時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由；
17．（2023春·山西太原·九年級校考期中）【問題情境】如圖1，在中，，點D，E分別是邊的中點，連接．如圖2，將繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為．
【觀察發現】如圖2，當時，_________．
【方法遷移】如圖3，矩形中，點E，F分別是的中點．四邊形為矩形，連接．如圖4，將矩形繞點A逆時針旋轉．旋轉角為α，連接．請探究矩形旋轉過程中，與的數量關系；
【拓展延伸】如圖5，若將上題中的矩形改為“平行四邊形”且，矩形改為“平行四邊形”，其他條件不變，如圖6，在平行四邊形旋轉過程中，直接寫出_________．

21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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