資源簡介

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專題4.11 相似三角形中的一線三等角模型（k字模型）
模塊1：知識梳理
相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
模塊2：核心模型與典例
模型1.一線三等角模型（相似模型）
【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．
1）一線三等角模型（同側型）
（銳角型） （直角型） （鈍角型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結論：△ACE∽△BED.
2）一線三等角模型（異側型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結論：△ADE∽△BEC.
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2圖3
①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結論：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一線三直角變異型1：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°結論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】證明，根據題意得出，進而即可求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形， ∴，
∵，，
∴，∴∴
∵，∴，∴
∵∴，故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
例1．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖①，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC上一動點（不與點B，C重合），以AD為邊向右作等邊△ADE，邊DE與AC相交于點F，設BD＝x，CF＝y，若y與x的函數關系的大致圖象如圖②所示，則等邊三角形ABC的面積為（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據相似三角形的判定與性質推出y與x的函數關系式，然后利用函數的性質以及圖象確定出△ABC的邊長，從而求解面積即可．
【詳解】解：∵△ABC，△ADE為等邊三角形，∴∠B＝∠ADE＝60°，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，
又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCF，∴，
設AB＝BC＝a，∵BD＝x，CF＝y，
∴，即．
∵，，對稱軸為直線，
∴當時，y取得最大值，此時，由圖象可知，
∴a＝6，∴等邊三角形ABC的面積為．故選：D．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，二次函數的性質等，熟練根據相似三角形的判定與性質推出二次函數解析式，利用二次函數的性質分析是解題關鍵．
例2．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統考期中）如圖，在四邊形中，，，，，為邊上的動點，當時， ．

【答案】或
【分析】根據相似三角形的性質得，再將相關的數據代入得，再計算即可．
【詳解】解：，，
，，，，
解得或．故答案為：或．
【點睛】本題考查相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應邊成比例是解題關鍵．
例3．（2023·浙江·九年級專題練習）（1）問題
如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當時，求證：．
（2）探究：若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．
（3）應用：如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可證到，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；（2）由可得,即可證到，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；（3）證明,求出，再證,可求,進而解答即可．
【詳解】解：（1）證明：如圖1，
，
，，
又，
；
（2）結論仍成立；理由：如圖2，
，
又，，
，，
又，，
；
（3）,,,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又即
解得．
【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似，正切值的求法，能夠通過構造角將問題轉化為一線三角是解題的關鍵．
例4．（2022 廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點，且，與相似嗎？請說明理由.
（2）模型應用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點，為射線上一點，將沿翻折，使點落在射線上的點處，且.①如圖2，當點在線段上時，求的值；
②如圖3，當點落在線段的延長線上時，求與的周長之比.
【答案】（1），見解析；（2）①；②與的周長之比為.
【分析】（1）根據三角形的內角和得到，即可證明；
（2）①設，，根據等邊三角形的性質與折疊可知，，，根據三角形的內角和定理得，即可證明，故，再根據比例關系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據相似三角形的性質即可求解.
【詳解】解（1），
理由：，在中，，
，，
，，，；
（2）①設，，是等邊三角形，，，
由折疊知，，，，
在中，，，
，，
，，
，，，
，，
，，，；
②設，，是等邊三角形， ，，
由折疊知，，，，
在中，，，
，，，
，，，
，，，
，，.
.與的周長之比為.
【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知等邊三角形的性質及相似三角形的判定與性質.
例5．（2023·浙江·九年級專題練習）在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．
（1）如圖，若點在線段上運動，交于．
①求證：；②當是等腰三角形時，求的長；
（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；
（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．
【答案】（1）①見解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，見解析
【分析】（1）①根據等腰直角三角形的性質得到，再證，根據相似三角形的判定定理證明即可；②根據等腰三角形的性質，分，和三種情況討論，再根據相似三角形的性質求解；（2）先證得，再根據相似三角形的性質計算即可；
（3）根據三角形內角和定理以及三角形外角的性質定理，進行判斷即可．
【詳解】（1）①證明：∵，，
∴．∴．
又∵，∴．∴；
②解：分三種情況：
（i）當，時，得到，點分別與重合，∴．
（ii）當時，
在△ABD和△DCE中，，∴，∴，
∵BC=，∴，∴；
（iii）當時，有，
∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．
綜上所述，當是等腰三角形時，的長為2，或1．
（2）解：存在．
∵，∴．
∵，∴．
∴，∴，∴，
當，．
（3）解：不存在．理由如下：如圖，
∵和不重合，∴，
又，，∴≠．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理等知識，分情況討論是解答本題的關鍵．
例6．（2023·浙江杭州·九年級期末）如圖，在矩形中，是上一點，于點，設．
（1）若，求證：；（2）若，且在同一直線上時，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據矩形的性質可得，，再根據已知條件，即可證明≌，則，進而通過線段的和差關系求得；
（2）由勾股定理求得的長度，再由的面積求得的長度，則可用勾股定理求得的長度，則可得的長度，再由≌，求得的長度，在中，根據勾股定理即可求得，即可求得的值．
【詳解】（1）∵，∴，∴，
又∵四邊形是矩形，∴，∴，
∵，∴，
∴在和中，
∴≌，∴，
∵，∴，∴；
（2）如圖，三點共線，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∵，∴在和中，
，
∴∽，∴，即∴，
∴，∴．
【點睛】本題考查了矩形的性質、三角形全等的判定和性質、三角形相似的判定和性質、勾股定理、三角形面積、相似比等，解答本題的關鍵是熟練掌握運用以上知識點，利用勾股定理求解線段的長．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共3小題，每小題3分，共9分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長公式求得結果．
【詳解】解：連接，
四邊形是矩形，，，
為的中點，為的中點，，，
四邊形是平行四邊形，，
矩形是中心對稱圖形，過矩形的中心．
過點，且，，
四邊形是平行四邊形，
， 四邊形是矩形，，
，，
，，，
設，則，，
，解得，或4，或4，
當時，，則，
，四邊形的周長；
同理，當時，四邊形的周長；故選：．
【點睛】本題考查矩形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，關鍵在于證明四邊形是矩形．
2．（2023·河南鄭州·統考二模）如圖，已知矩形的頂點分別落在軸軸上，，AB=2BC則點的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過C作CE⊥x軸于E，根據矩形的性質得到CD=AB，∠ABC=90°，，根據余角的性質得到∠BCE=∠ABO，進而得出△BCE∽△ABO，根據相似三角形的性質得到結論．
【詳解】解：過C作CE⊥x軸于E，

∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，
∵，∴△BCE∽△ABO，
∴，∵∴AB=，
∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，
∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，坐標與圖形性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
3．（2023·黑龍江綏化·校聯考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現在有如下五個結論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當M與C重合時，設．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結合，可得⑤正確．
【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，
∴，
∵E為的中點，
∴，
由翻折可知：，，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①②正確，
如圖2中，當M與C重合時，設．則，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，可得，
∴，
∴，故③正確，
如圖3中，當點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯誤，

如圖1中，∵于H，，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．故⑤正確，
故選：C．
【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
二、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
4．（2023·湖南長沙·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝ ．
【答案】3．
【分析】過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，依據相似三角形的性質，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設EC＝x，則DG＝x，FG＝x，再根據勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據勾股定理進行計算，即可得出BE的長．
【詳解】如圖所示，過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，則∠G＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，設EC＝x，則DG＝x，FG＝x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理的運用，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形．
5．（2021·浙江臺州·中考真題）如圖，點E， F，G分別在正方形ABCD的邊AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，則BF＝_____．
【答案】
【分析】先證明，得到，進而即可求解．
【詳解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，∴，
∴，即：，∴BF=．故答案是：．
【點睛】本題主要考查正方形的性質，相似三角形的判定和性質，證明，是解題的關鍵．
6．（2023·浙江九年級專題練習）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當點F落在邊BC上，且時，的值為 ．
【答案】
【分析】根據△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關于DE成軸對稱，可證△BDF∽△CFE，根據BF=4CF，可得CF=4，根據AF為軸對稱圖形對應點的連線,DE為對稱軸，可得DE⊥AF，
根據S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，進而可求．
【詳解】解：如圖，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關于DE成軸對稱，∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，∴△BDF∽△CFE，
∴ ，即 ，設CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，∴BF= 4x，∵BD=3，∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，
∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，∴，
∵S△BDF=，∴S△CEF=，
又∵AF為軸對稱圖形對應點的連線,DE為對稱軸，
∴AD=DF，△ADF為等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，
∴．故答案為:．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質，一線三等角證明k型相似，以及“垂美四邊形”的性質：對角線互相垂直的四邊形的面積＝對角線乘積的一半．
7．（2022秋·安徽淮北·九年級校考階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關于x的函數關系式為 .
【答案】
【分析】根據題意證明，列出比例式即可求得y關于x的函數關系式
【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即故答案為：
【點睛】本題考查相似三角形的性質與判定，函數解析式，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
8．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點P為BC邊上一動點，若AP⊥DP，則BP的長為 ．
【答案】1或2
【分析】設BP=x，則PC=3-x，根據平行線的性質可得∠B=90°，根據同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可證明△CDP∽△BPA，根據相似三角形的性質列方程求出x的值即可得答案．
【詳解】設BP=x，則PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∴，
解得：x1=1，x2=2，
∴BP的長為1或2，
故答案為：1或2
【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質，掌握相似三角形的對應邊成比例列方程是解題的關鍵．
9．（2022·安徽·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個動點，連接BE，取BE的中點G，點G繞點E逆時針旋轉90°得到點F，連接CF，在點E從A到D的運動過程中，點G的運動路徑= ，△CEF面積的最小值是 ．
【答案】 2 15
【分析】連接BD，取BD的中點M，AB的中點N，連接MN，因為GN為△ABE的中位線，故G的運動路徑為線段MN；過點F作AD的垂線交AD的延長線于點H，則△FEH∽△EBA，設AE=x，可得出△CEF面積與x的函數關系式，再根據二次函數圖象的性質求得最小值．
【詳解】解：連接BD，取BD的中點M，AB的中點N，連接MN，
∵E為邊AD上一個動點，點E從A到D的運動，G是BE的中點
∴當E在A點時，BE與AB重合，G與AB的中點N重合，
當E運動到D點時，BE與BD重合，G與BD的中點M重合，
∴E在從A到D的運動過程中，MN為△ABE的中位線，
∴．
故G的運動路徑=2，
過點F作AD的垂線交AD的延長線于點H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
為的中點，
∴
設AE=x， ∵AB
∴HF


∴當 時，△CEF面積的最小值
故答案為：2，15．
【點睛】本題通過構造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質，建立△CEF面積與AE長度的函數關系式是解題的關鍵．
10．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）已知是等邊三角形，，點D，E，F點分別在邊上，，同時平分和，則的長為 ．
【答案】
【分析】根據角平分線的定義得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根據全等三角形的性質得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等邊三角形的性質得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【詳解】解：如圖，同時平分和，
，，
在與中，，
，
，，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
設，，
，，
，
，，
，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，正確的畫出圖形是解題的關鍵．
11．（2022·浙江杭州·模擬預測）如圖，在矩形中，點是邊上一點，連結，將沿對折，點落在邊上點處，與對角線交于點，連結．若，．則 ．
【答案】
【分析】由折疊的性質可得∠BCM=∠BFM，BC=BF，再由FM∥CD，可得∠BFM=∠ABF，從而得△ABF∽△BCA，由相似三角形的性質求得AB，進而由勾股定理可求解．
【詳解】解：四邊形是矩形，
∠ABC=∠BAD=90°，AB∥CD，
，
FM∥AB，
∠BFM=∠ABF，
由折疊的性質可得：∠BCM=∠BFM，BC=BF=4，
∠ABF=∠ACB，
△ABF∽△BCA，
，
，即，
，
；
故答案為．
【點睛】本題主要考查矩形的性質、相似三角形的性質與判定、勾股定理及折疊的性質，關鍵是證明三角形的相似，進而根據相似三角形的性質進行求解．
12．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cos∠α＝，下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結論是 ．（把你認為正確結論的序號都填上）
【答案】①②④
【分析】①根據有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據有兩組對應角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據相似三角形對應邊成比例即可求得．
【詳解】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，故①正確；
②作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，
∴BG＝ABcosB，
∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，
∵BD＝6，
∴DC＝10，
∴AB＝DC，
在△ABD與△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正確；
③當∠AED＝90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，
當∠CDE＝90°時，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，
∴cosB＝＝，
∴BD＝，故③錯誤；
④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，
設BD＝y，CE＝x，
∴，
∴，
整理得：y2 16y＋64＝64 10x，
即（y 8）2＝64 10x，
∴0＜x≤6.4，故④正確；
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質，銳角三角函數等知識，熟練掌握相似三角形與全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
13．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，等邊的邊長為，點是邊上一動點，將等邊沿過點的直線折疊，該直線與直線交于點，使點落在直線上的點處，且折痕為則的長為 ．
【答案】或．
【分析】分情況討論：方法一：當點落在如圖1所示的位置時，證明△BMD∽△CDN，得到，根據設求出AN；方法二：當在的延長線上時，如圖2，同樣方法求出AN.
【詳解】方法一：當點落在如圖1所示的位置時，
是等邊三角形，
，
，
得，
得，
，
設
則，
，
，
，
解得
；
方法二：當在的延長線上時，如圖2，
與同理可得.
得.
，
，
設
則
，
，
，
解得：，
，
故答案為：或.
【點睛】此題考查等邊三角形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定及性質，解題中注意題中的條件“點落在直線上的點處”故點A可在線段BC上，也可在延長線上，應分類討論避免漏解.
14．（2023春·山東煙臺·八年級統考期末）如圖．是等邊三角形，點D，E分別為邊，上的點，，若，，則的長為 ．

【答案】或
【分析】根據是等邊三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入數值求得結果．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或，
經檢驗：或是原方程的解，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，注意數形結合和方程思想的應用．
15．（2022·浙江·九年級專題練習）正方形ABCD的邊長為1， E為邊BC上動點，將AE繞點E順時針旋轉90°得到線段EF，M為DE的中點，連接MF，則MF的最小值為________
【答案】
【分析】構造一線三直角模型，建立直角坐標系，運用兩點間的距離公式，用二次函數思想確定最小值即可．
【詳解】以點B為原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，
設點E（a，0），
∵正方形的邊長為1，
∴點D（1，1）；
過點F作FG⊥x軸，垂足為G，
∵∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
∵∠ABE=∠EGF=90°，AE=EF，
∴△ABE≌△EGF，
∴BE=GF，AB=EG=1，
∴M（，），F（，a），
∴MF=
=
=
=
=，
當a=時，MF有最小值，且最小值為；
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形的全等和性質，兩點間的距離公式，配方法求最小值，熟練掌握一線三直角模型是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共75分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖，矩形中，E為上一點，把沿翻折，點D恰好落在邊上的點F處．

(1)求證：；(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)長為．
【分析】（1）根據矩形的性質得到，根據翻折變換的性質得到，結合圖形利用角之間的互余關系推出，從而根據相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據矩形的性質及翻折變換的性質推出，從而利用勾股定理求得，進而結合線段之間的和差關系利用相似三角形的性質進行求解即可．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，
沿翻折得到，，
，，
，；
（2）解：，，，
在中，，
，由（1）可得：，
，即，解得，故長為．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定與性質、矩形的性質及翻折變換的性質是解題的關鍵．
17．（2023·山東煙臺·九年級統考期末）如圖，在正方形中，，在邊上取中點，連接，過點做與交于點，與的延長線交于點．

(1)求證：；(2)求的面積．
【答案】(1)證明見解析(2)9
【分析】（1）先根據正方形的性質可得，再證出，然后根據相似三角形的判定即可得證；
（2）先利用相似三角形的性質可得，從而可得，再證，利用相似三角形的性質可得，然后利用三角形的面積公式求解即可得．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，，，
在和中，，．
（2）解：∵在正方形中，，點為的中點，
，，，
由（1）已證：，，即，
解得，，又，，
，即，解得，則的面積為．
【點睛】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．
18．（2023·上海·九年級假期作業）在矩形中，，，點E是邊上一點，交于點M，點N在射線上（如圖），且．(1)求證：是和的比例中項；(2)當點N在線段的延長線上時，聯結，且與互相垂直，求的長．
【答案】(1)詳見解析(2)
【分析】（1）利用矩形的性質和相似三角形的判定與性質解答即可；
（2）利用，得出比例式求得線段，，利用求得線段，利用（1）的結論求得線段，則．
【詳解】（1）證明：，．
四邊形為矩形，，
，，
，．
，，．
，是和的比例中項；
（2）如圖，與互相垂直，，．

，．
，，
，，，
，，．
，．
四邊形為矩形，，
，，
，，，．
由（1）知：，，．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
19．（2022·河南新鄉·二模）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點A的兩個等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在線段BC上，從B到C運動，點M和點N分別是邊BC，DE的中點．(1)【問題發現】若點D是BC邊的中點時，＝　 　，直線BD與MN相交所成的銳角的度數為　 　（請直接寫出結果）(2)【解決問題]若點D是BC邊上任意一點時，上述結論是否成立，請說明理由．
(3)【拓展探究】在整個運動過程中，請直接寫出N點運動的路徑長，及CN的最小值．
【答案】(1)，45° (2)成立，理由見解析(3)N點運動的路徑長為6，CN的最小值為3
【分析】（1）證明△AMN是等腰直角三角形，可得結論．（2）結論不變．連接AM，AN，證明△BAD∽△MAN，可得結論．（3）利用三角形中位線定理，垂線段最短解決問題即可．
(1)解：如圖1中，
當點D是BC的中點時，∵AB=AC，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠ADE=45°，∴AC⊥DE，∴AC平分DE，∴點N落在AC上，
∴BM=AM=MN，∠NMC=45°，∴=，故答案為：，45°．
(2)解：如圖2中，連接AM，AN．∵AB=AC，∠BAC=90°，BM=CM，
∴AM⊥MC，AM=BM=CM，∴AB=AM，同法可證AD=AN，
∵∠BAM=∠DAN=45°，∴∠BAD=∠MAN，
∵=，∴△BAD∽△MAN，∴==，∠ABD=∠AMN=45°．
(3)解：如圖3中，當D在線段BC上，從B運動到C時，由（2）問可知，∠AMN=45°，所以點N的運動路徑是圖3中的線段MN，MN=BE=6．當CN⊥MN時，CN的值最小，最小值=AC=3．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，垂線段最短等知識，解題關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
20．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．
(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；(3)設，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結論并求出k的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)相似，證明見解析(3)存在，
【分析】(1)由題意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，據此證得結論；
(2)根據題意可證得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，據此即可證得△AEF與△ECF相似；
(3)假設△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根據題意可知此種情況不成立；②當∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設BC＝a，則AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．
（1）
證明：∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠EDC＝90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）
解：△AEF∽△ECF．
理由：∵E為AD的中點，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．
又∵EF⊥CE，
∴CE垂直平分FG，
∴△CGF是等腰三角形．
∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．
又∵∠A＝∠FEC＝90°，
∴△AEF∽△ECF；
（3）
解：存在使得△AEF與△BFC相似．
理由：
假設△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：
①當∠AFE＝∠BCF，則有∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此種情況不成立；
②當∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，
設BC＝a，則AB＝ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴，
∴AF＝，BF＝，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
解得，．
∴存在使得△AEF與△BFC相似．
【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定及性質，全等三角形的判定與及性質，等腰三角形的判定及性質，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．
21．（2023·廣東深圳·九年級校考階段練習）如圖，在中，，點E是線段邊上的一動點（不含B、C兩端點），連接，作，交線段于點D．

(1)求證：
(2)設，，請求y與x之間的函數關系式．
(3)E點在運動的過程中，能否構成等腰三角形？若能，求出的長；若不能，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)當是等腰三角形時，或，見解析
【分析】（1）由平角定義可得，，再根據即可證明；
（2）根據的性質求解即可；
（3）根據外角先驗證，分和兩種情況討論
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴y與x之間的函數關系式為；
（3）解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
當時，
可得，
∴；
當時，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當是等腰三角形時，或；
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、三角形外角的性質，二次函數的最值等知識點．解答（3）題時，要分類討論，以防漏解．
22．（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）【操作發現】如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，的三個頂點均在格點上．

①請按要求畫圖：將繞點A順時針方向旋轉，點B的對應點為點，點C的對應點為點，連接；
②在①中所畫圖形中，______．
【問題解決】如圖2，在中，，延長到D，使，將斜邊繞點A順時針旋轉到，連接，求的度數．
【拓展延伸】如圖3，在四邊形中，，垂足為E，，，，，求的長．
【答案】【操作發現】①見解析，②45；【問題解決】【拓展延伸】5
【分析】【操作發現】①根據旋轉的性質找出點B的對應點為點和點C的對應點為點，從而作出旋轉后的，并連接；②推導出是等腰直角三角形，從而得到；
【問題解決】過點E作于點H，點H在的延長線上，利用證明，從而得到，，繼而證明，從而得到，；
【拓展延伸】如圖3中，由，，推出，將繞點A逆時針旋轉得到，連接．則，只要證明，可得，由此即可解決問題．
【詳解】解：【操作發現】①如圖1中，即為所求．

②由作圖可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案為：；
【問題解決】如圖2中，過點E作交的延長線于H．

∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【拓展延伸】如圖3中，連接，
∵，即垂直平分，
∴，
將繞點A逆時針旋轉得到，連接．則，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
23．（2023·浙江·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與y軸交于點A，與x軸交于點B，，的面積為2．
(1)如圖1，求直線的解析式．
(2)如圖2，線段上有一點C，直線為，軸，將繞點B順時針旋轉，交于點D，求點D的坐標．（用含k的式子表示）
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，交直線于點E，若，求點E的坐標．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用的面積為2，求出的長度，得到B的坐標，用待定系數法求的解析式；
（2）利用，過D作軸于H，證明，得到，，由直線析式，求得C的坐標，從而得到長度，再證明四邊形為矩形，得到D的坐標；
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設直線AB的解析式為：，
代入點，得，
∴，
∴直線的解析式為：；
（2）如圖1，過D作軸于H，
∵軸，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
由題可得，，
∴，
又∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
令，
則，
∴，
∴，
∴，
∴；
【點睛】本題考查了一次函數的綜合應用，涉及到待定系數法，一線三等角模型構造全等，交點坐標的求法，其中轉化角的關系是解決本題的關鍵．
24．（2023·浙江·九年級專題練習）某數學興趣小組在學習了尺規作圖、等腰三角形和相似三角形的有關知識后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進行了如下操作：
第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E，F，如圖2；
第二步，分別以點E，F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，作射線AD；
第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；
(1)填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關系為___；
(2)①請判斷AD與BC的位置關系，并說明理由．
②當時，連接DG，請直接寫出___；
(3)如圖3，根據以上條件，點P為AB的中點，點M為射線AD上的一個動點，連接PM，PC，當時，求AM的長．
【答案】(1)∠CAD=∠GAD；
(2)①AD∥BC； ②3
(3)9
【分析】（1）根據題目的尺規作圖發現AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD；
（2）①由AD平分∠CAG再結合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；
②易證，可得
（3）以M為圓心，MA的長為半徑畫弧，交射線BA于點N，由（2）可得，
即可用一線三等角模型構造相似解題．
【詳解】（1）由尺規作圖步驟發現AD平分∠CAG
∴∠CAD=∠GAD；
（2）①∵
∴
∵∠CAD=∠GAD,
∴
∴AD∥BC
②∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
（3）以M為圓心，MA的長為半徑畫弧，交射線BA于點N，如圖
由（1）（2）可得,
設則
∵點P為AB的中點
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，解得
∴．
【點睛】本題考查尺規作圖中的作角平分線以及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是能根據尺規作圖的步驟判斷是作角平分線．
25．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，，．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作，交AB于點F．
(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點B作，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求的最小值；②當取最小值時，求線段DE的長．
【答案】(1)見解析(2)①5；②或
【分析】（1）證明出即可求解；
（2）①連接AM．先證明．確定出點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上．當A，G，M三點共線時，．此時，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，則問題得解．②先求出AF，求AF的第一種方法：過點M作交FC于點N，即有，進而有．設，則，．再根據，得到，得到，則有，解方程即可求出AF；求AF的第二種方法：過點G作交BC于點H．即有．則有，根據，可得，進而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的結論可得．設，則，即有，解得解方程即可求出DE．
(1)證明：如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴．
∵，∴，∴，∴；
(2)①解：如圖2-1，連接AM．
∵，∴是直角二角形．∴．
∴點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上．
當A，G，M三點不共線時，由三角形兩邊之和大于箒三邊得：，
當A，G，M三點共線時，．
此時，取最小值．在中，．∴的最小值為5．
②（求AF的方法一）如圖2-2，過點M作交FC于點N，
∴．∴．
設，則，∴．
∵，∴，∴，
由①知的最小值為5、即，
又∵，∴．∴，解得，即．
（求AF的方法二）如圖2-3，過點G作交BC于點H．
∴．∴，
由①知的最小值為5，即，
又∵，∴．∴，．
由得，∴，即，解得．
∴．由（1）的結論可得．
設，則，∴，解得或．
∵，，∴或．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行的性質、勾股定理以及一元二次方程的應用等知識，掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．
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專題4.11 相似三角形中的一線三等角模型（k字模型）
模塊1：知識梳理
相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
模塊2：核心模型與典例
模型1.一線三等角模型（相似模型）
【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．
1）一線三等角模型（同側型）
（銳角型） （直角型） （鈍角型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結論：△ACE∽△BED.
2）一線三等角模型（異側型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結論：△ADE∽△BEC.
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2圖3
①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結論：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一線三直角變異型1：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°結論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖①，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC上一動點（不與點B，C重合），以AD為邊向右作等邊△ADE，邊DE與AC相交于點F，設BD＝x，CF＝y，若y與x的函數關系的大致圖象如圖②所示，則等邊三角形ABC的面積為（　　）
A．3 B． C． D．
例2．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統考期中）如圖，在四邊形中，，，，，為邊上的動點，當時， ．

例3．（2023·浙江·九年級專題練習）（1）問題
如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當時，求證：．
（2）探究：若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．
（3）應用：如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．
例4．（2022 廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點，且，與相似嗎？請說明理由.
（2）模型應用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點，為射線上一點，將沿翻折，使點落在射線上的點處，且.①如圖2，當點在線段上時，求的值；
②如圖3，當點落在線段的延長線上時，求與的周長之比.
例5．（2023·浙江·九年級專題練習）在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．
（1）如圖，若點在線段上運動，交于．
①求證：；②當是等腰三角形時，求的長；
（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；
（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．
例6．（2023·浙江杭州·九年級期末）如圖，在矩形中，是上一點，于點，設．
（1）若，求證：；（2）若，且在同一直線上時，求的值．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共3小題，每小題3分，共9分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南鄭州·統考二模）如圖，已知矩形的頂點分別落在軸軸上，，AB=2BC則點的坐標是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·黑龍江綏化·校聯考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現在有如下五個結論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
二、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
4．（2023·湖南長沙·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝ ．
5．（2021·浙江臺州·中考真題）如圖，點E， F，G分別在正方形ABCD的邊AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，則BF＝_____．
6．（2023·浙江九年級專題練習）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當點F落在邊BC上，且時，的值為 ．
7．（2022秋·安徽淮北·九年級校考階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關于x的函數關系式為 .
8．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點P為BC邊上一動點，若AP⊥DP，則BP的長為 ．
9．（2022·安徽·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個動點，連接BE，取BE的中點G，點G繞點E逆時針旋轉90°得到點F，連接CF，在點E從A到D的運動過程中，點G的運動路徑= ，△CEF面積的最小值是 ．
10．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）已知是等邊三角形，，點D，E，F點分別在邊上，，同時平分和，則的長為 ．
11．（2022·浙江杭州·模擬預測）如圖，在矩形中，點是邊上一點，連結，將沿對折，點落在邊上點處，與對角線交于點，連結．若，．則 ．
12．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cos∠α＝，下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結論是 ．（把你認為正確結論的序號都填上）
13．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，等邊的邊長為，點是邊上一動點，將等邊沿過點的直線折疊，該直線與直線交于點，使點落在直線上的點處，且折痕為則的長為 ．
14．（2023春·山東煙臺·八年級統考期末）如圖．是等邊三角形，點D，E分別為邊，上的點，，若，，則的長為 ．

15．（2022·浙江·九年級專題練習）正方形ABCD的邊長為1， E為邊BC上動點，將AE繞點E順時針旋轉90°得到線段EF，M為DE的中點，連接MF，則MF的最小值為________
三、解答題（本大題共10小題，共75分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖，矩形中，E為上一點，把沿翻折，點D恰好落在邊上的點F處．(1)求證：；(2)若，，求的長．

17．（2023·山東煙臺·九年級統考期末）如圖，在正方形中，，在邊上取中點，連接，過點做與交于點，與的延長線交于點．
(1)求證：；(2)求的面積．

18．（2023·上海·九年級假期作業）在矩形中，，，點E是邊上一點，交于點M，點N在射線上（如圖），且．(1)求證：是和的比例中項；(2)當點N在線段的延長線上時，聯結，且與互相垂直，求的長．
19．（2022·河南新鄉·二模）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點A的兩個等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在線段BC上，從B到C運動，點M和點N分別是邊BC，DE的中點．(1)【問題發現】若點D是BC邊的中點時，＝　 　，直線BD與MN相交所成的銳角的度數為　 　（請直接寫出結果）(2)【解決問題]若點D是BC邊上任意一點時，上述結論是否成立，請說明理由．
(3)【拓展探究】在整個運動過程中，請直接寫出N點運動的路徑長，及CN的最小值．
20．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．
(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；(3)設，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結論并求出k的值；若不存在，請說明理由．
21．（2023·廣東深圳·九年級校考階段練習）如圖，在中，，點E是線段邊上的一動點（不含B、C兩端點），連接，作，交線段于點D．
(1)求證：(2)設，，請求y與x之間的函數關系式．
(3)E點在運動的過程中，能否構成等腰三角形？若能，求出的長；若不能，請說明理由．

22．（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）【操作發現】如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，的三個頂點均在格點上．

①請按要求畫圖：將繞點A順時針方向旋轉，點B的對應點為點，點C的對應點為點，連接；②在①中所畫圖形中，______．
【問題解決】如圖2，在中，，延長到D，使，將斜邊繞點A順時針旋轉到，連接，求的度數．
【拓展延伸】如圖3，在四邊形中，，垂足為E，，，，，求的長．
23．（2023·浙江·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與y軸交于點A，與x軸交于點B，，的面積為2．
(1)如圖1，求直線的解析式．(2)如圖2，線段上有一點C，直線為，軸，將繞點B順時針旋轉，交于點D，求點D的坐標．（用含k的式子表示）
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，交直線于點E，若，求點E的坐標．
24．（2023·浙江·九年級專題練習）某數學興趣小組在學習了尺規作圖、等腰三角形和相似三角形的有關知識后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進行了如下操作：
第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E，F，如圖2；
第二步，分別以點E，F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，作射線AD；
第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；
(1)填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關系為___；(2)①請判斷AD與BC的位置關系，并說明理由．②當時，連接DG，請直接寫出___；(3)如圖3，根據以上條件，點P為AB的中點，點M為射線AD上的一個動點，連接PM，PC，當時，求AM的長．
25．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，，．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作，交AB于點F．
(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點B作，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求的最小值；②當取最小值時，求線段DE的長．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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