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工程問題
例21 畫展9點開門，但早有人排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多.如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊.問第一個觀眾到達時間是8點幾分？
　　解：設一個入場口每分鐘能進入的觀眾為1個計算單位.
　　從9點至9點9分進入觀眾是3×9，
　　從9點至9點5分進入觀眾是5×5.
　　因為觀眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是
　?。?×9-5×5）÷（9-5）=0.5.
　　9點前來的觀眾是
　　5×5-0.5×5=22.5.
　　這些觀眾來到需要
　　22.5÷0.5=45（分鐘）.
　　答：第一個觀眾到達時間是8點15分.
例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一
　　草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？
　　解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數×星期數.根據這一計算公式，可以設定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位.
　
　
　　原有草+4星期新長的草=12×4.
　　原有草+9星期新長的草=7×9.
　　由此可得出，每星期新長的草是
　?。?×9-12×4）÷（9-4）=3.
　　那么原有草是
　　7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.
　　對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是
　　這些草能讓
　　90×7.2÷18=36（頭）
　　牛吃18個星期.
　　答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.
　　例20與例19的解法稍有一點不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統一起來計算.事實上，如果例19再有一個條件，例如：“打開B管，10小時可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數量關系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？
　　“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現.限于篇幅，我們只再舉一個例子
例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？
　　解：設滿水池的水量為1.
　　A管每小時排出
　　A管4小時排出
　
　　　
　　因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是
　　B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是
　　答： B， C兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完.
　　本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數量，像工程問題不知工作量的具體數量一樣.這里把兩種水量分別設成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實上，也可以整數化，把原有水設為8與12的最小公倍數 24.
17世紀英國偉大的科學家牛頓寫過一本《普遍算術》一書，書中提出了一個“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術題.從本質上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.
例18 一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？
例17 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要
　　、乙、……的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？
　
　　
　　，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出.
　　
　　
　　以后（20小時），池中的水已有
　
　　
　　
　　此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？
　　看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達井口.
　　因此，答案是28小時，而不是30小時.
例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現在
　　按預定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？
　
　
　
　
　　答：開始時打開6根水管.
例15 甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？
　　
　　甲每分鐘注入水量是
　　乙每分鐘注入水量是
　　因此水池容積是
　　答：水池容積是27立方米.
　　解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.
　　2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水
　　4 × 60= 240（立方米）.
　　時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是
　　240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），
　　8個水龍頭1個半小時放出的水量是
　　8 × 8 × 90，
　　其中 90分鐘內流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.
　　打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要
　　5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.
　　答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.
　　水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.
例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？
解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現在相當于三人共同完成工作量2，所需時間是
　
　　
　　
　　答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時.
　　解本題的關鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當然也可以整數化，設搬運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運4.
　　三人共同搬完，需要
　　60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時）.
　　甲需丙幫助搬運
　?。?0- 6× 8）÷ 4= 3（小時）.
　　乙需丙幫助搬運
　?。?0- 5× 8）÷4= 5（小時）.
例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現在三個車間一起做，完成后發現甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？
　　解一：仍設總工作量為1.
　　甲每天比乙多完成
　　因此這批零件的總數是
　　丙車間制作的零件數目是
　　答：丙車間制作了4200個零件.
　　解二：10與6最小公倍數是30.設制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
　　乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知
　　乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
　　已知
　　甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.
　　綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是
　　12∶8∶7.
　　當三個車間一起做時，丙制作的零件個數是
　　2400÷（12- 8） × 7= 4200（個）
例12 某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？
　　解一：設這項工作的工作量是1.
　　甲組每人每天能完成
　　乙組每人每天能完成
　　甲組2人和乙組7人每天能完成
　
　　
　　答：合作3天能完成這項工作.
　　解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.
　　現在已不需顧及人數，問題轉化為：
　　甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？
　
　　小學算術要充分利用給出數據的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數
例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？
　　解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
　　
　　他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要
　　答：甲獨做需要26天.
　　事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉化為甲再做13天來完成.
例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？
　　解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
　　
　　他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要
　　答：甲獨做需要26天.
　　事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉化為甲再做13天來完成.
例10 一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？
　　解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.
　
　　說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了
　　2+6+12=20（天）.
　　答：完成這項工作用了20天.
　　本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數有一個易求出的最小公倍數72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了
例10 一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？
　　解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.
　
　　說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了
　　2+6+12=20（天）.
　　答：完成這項工作用了20天.
　　本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數有一個易求出的最小公倍數72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了
我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.
　　　例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？
　　解：設這件工作的工作量是1.
　　
　　
　　甲、乙、丙三人合作每天完成
　　減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成
　　
　　答：甲一人獨做需要90天完成.
　　例9也可以整數化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？

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