資源簡介

3.3 冪函數
一、學習目標
1、了解冪函數的概念；熟悉時的冪函數的圖象與性質；
2、通過比較知道冪函數與學過的一些函數的關系，進一步懂得學習函數的方法.
二、重點、難點：
冪函數的定義、的圖象與性質.
三、探究合作
1、冪函數的定義：一般地，函數_______________叫做冪函數，其中x是_______，______是常數.
2、冪函數的圖象與性質：
（1）請分別在同一坐標系中畫出冪函數，的圖象，認真觀察它們的圖象，能否發現它們各自及共同的性質.
（2）觀察上圖，將你發現的結論寫在下表內。
圖象
定義域
值域
奇偶性
單調性
公共點
（3）通過上述圖與表，我們得到：
（Ⅰ）函數與的圖象都通過點；
（II）函數____________________________是奇函數，函數_________________________是偶函數；
（III）在區間上，函數__________________________是增函數，
函數________________________是減函數；
（IV）第一象限內，函數的圖象向上與___軸無限接近，向右與____軸無限接近.
例1、（1）已知冪函數的圖象經過 __________.
（2）已知函數（為常數）
1）為何值時，此函數為冪函數？
2）為何值時，此函數為正比例函數？
為何值時，此函數為反比例函數？
例2、證明冪函數在上是增函數。
例3、比較下列各組數中兩個數的大小：
(1)與； (2)與.
解不等式
已知函數f(x)＝x. (1)討論函數f(x)的單調性；
(2)若(a＋1)<(3－2a)，求實數a的取值范圍．
四、檢測反饋
1.設，則使函數的定義域為且為奇函數的所有值為（ ）
（A）1，3 （B）-1，1（C）-1，3（D）-1，1，3
2．下列函數中值域為的函數是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3.下列命題中正確的是_______________
（A）當時函數的圖象是一條直線
（B）冪函數的圖象都經過和點
（C）若冪函數是奇函數，則是定義域上的增函數
（D）冪函數的圖象不可能出現在第四象限
4.若既是冪函數，又是反比例函數，則____________
5. 冪函數的圖象過點，試求出這個函數的解析式.
6.利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個值的大小.
（1） ，
（2），
課時作業
一、選擇題
1.下列函數中是冪函數的是( )
A.y＝x4＋x2 B.y＝10x
C.y＝ D.y＝x＋1
2.已知y＝(m2＋m－5)xm是冪函數，且在第一象限內是單調遞減的，則m的值為( )
A.－3 B.2
C.－3或2 D.3
3.已知f(x)＝，若0A.f(a)B.f()C.f(a)D.f()4.若α∈，則使冪函數y＝xα為奇函數且在(0，＋∞)上單調遞增的α值的個數為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.已知冪函數f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，則n的值為( )
A.－3 B.1
C.2 D.1或2
二、填空題
6.已知冪函數f(x)＝(m∈Z)的圖象與x軸，y軸都無交點，且關于原點對稱，則函數f(x)的解析式是________.
7.已知x2>，則x的取值范圍是________________.
三、解答題
8.冪函數，當時為減函數，求實數的值，并求函數的定義域.
9.已知冪函數f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數，且f(－x)＝f(x)，求m的值.
10.已知冪函數f(x)的圖象過點(25,5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函數g(x)＝f(2－x)，求g(x)的定義域、值域.
11.已知實數a，b滿足等式＝，下列五個關系式：①0其中可能成立的式子有________.(填上所有可能成立式子的序號)
12.已知冪函數f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函數且在(0，＋∞)上為增函數.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求當x∈[－1,1]時，函數g(x)＝f(x)－mx是單調函數，求m的取值范圍.
參考答案
例3、比較下列各組數中兩個數的大小：
(1)與； (2)與.
【解】 (1)因為冪函數y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函數，
又>，
所以>.
(2)因為冪函數y＝x－1在(－∞，0)上是減函數，又－<－，
所以>.
例4、解不等式
已知函數f(x)＝x.(1)討論函數f(x)的單調性；(2)若(a＋1)<(3－2a)，求實數a的取值范圍．
【解】 (1)f(x)＝x的定義域為(0，＋∞).
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因為x2>x1>0，所以x1－x2<0，且 ·(＋)>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)(2)由(1)知f(x)＝x在區間(0，＋∞)上是減函數，所以(a＋1)<(3－2a) 等價于解得檢測反饋參考答案
1、A 2、D
3、D 4、 5、
6． <, >
課時作業 參考答案
一、選擇題
1.答案 C解析 根據冪函數的定義知，y＝是冪函數，
y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是冪函數.
2.答案 A解析 由y＝(m2＋m－5)xm是冪函數，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵該函數在第一象限內是單調遞減的，∴m<0.故m＝－3.
3.答案 C解析 因為函數f(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，又04.若α∈，則使冪函數y＝xα為奇函數且在(0，＋∞)上單調遞增的α值的個數為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 A解析 ∵冪函數y＝xα是奇函數，∴α＝－1，，1,3.又∵冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增，
∴α＝，1,3.故選A
5.已知冪函數f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，則n的值為( )
A.－3 B.1 C.2 D.1或2
答案 B解析 由于f(x)為冪函數，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，經檢驗只有n＝1適合題意，故選B.
.
二、填空題
6..已知冪函數f(x)＝ (m∈Z)的圖象與x軸，y軸都無交點，且關于原點對稱，則函數f(x)的解析式是________.
答案 f(x)＝x－1解析 ∵函數的圖象與x軸，y軸都無交點，∴m2－1<0，解得－17.已知x2>，則x的取值范圍是________________.
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 作出函數y＝x2和y＝的圖象(如圖所示).
由圖象易知x<0或x>1.
三、解答題
8..
當m=2時， 定義域為
當m=-1時，
9.已知冪函數f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數，且f(－x)＝f(x)，求m的值.
解 因為f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數，所以3m－5<0，故m<.又因為m∈N，所以m＝0或m＝1，當m＝0時，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合題意；當m＝1時，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合題意.
綜上知，m＝1.
10.已知冪函數f(x)的圖象過點(25,5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函數g(x)＝f(2－x)，求g(x)的定義域、值域.
解 (1)設f(x)＝xα，則由題意可知25α＝5，
∴α＝，∴f(x)＝.
(2)∵g(x)＝f(2－x)＝，
∴要使g(x)有意義，只需2－x≥0，即x≤2，解得∴g(x)的定義域為(-∞,2]，
又2－x≥0，∴g(x)的值域為[0，＋∞).
11.已知實數a，b滿足等式＝，下列五個關系式：①0答案 ①③⑤
解析 首先畫出y1＝與y2＝的圖象(如圖)，已知＝＝m，作直線y＝m.
若m＝0或1，則a＝b；若0若m>1，則112.已知冪函數f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函數且在(0，＋∞)上為增函數.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求當x∈[－1,1]時，函數g(x)＝f(x)－mx是單調函數，求m的取值范圍.
解 (1)∵冪函數f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上為增函數，∴(2k－1)(3－k)>0，解得∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.
當k＝1時，(2k－1)(3－k)＝2，滿足函數f(x)為偶函數，
當k＝2時，(2k－1)(3－k)＝3，
不滿足函數f(x)為偶函數，∴k＝1，且f(x)＝x2.
(2)∵f(x)＝x2，∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，
函數g(x)的對稱軸為直線x＝.
要使函數g(x)當x∈[－1,1]時是單調函數，
則≤－1或≥1，解得m≤－2或m≥2，
故m的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞).

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