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3.3勾股定理的簡單應(yīng)用
（五大典型題型培優(yōu)練習(xí)）
【學(xué)習(xí)目標】
掌握梯子滑落問題
掌握航海問題
掌握求旗桿高度問題
掌握是否超速問題
掌握最短路徑問題
【典型例題】
類型一、梯子滑落問題
【例1】如圖，一架25米長的云梯AC斜靠一面豎直的墻AB上，這時梯子底端C離墻7米．如果梯子的頂端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑動了（ ）米
A．7米 B．8米 C．9米 D．10米
舉一反三：
【變式1】如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7米，梯子頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米，則小巷的寬為 _____米．
【變式2】如圖梯子斜靠在豎直的墻，長為，為．
(1)求梯子的長．
(2)梯子的頂端A沿墻下滑到點C，梯子底端B外移到點D，求的長．
【變式3】如圖，一根長10m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端A到地面的距離AO為8m，
（1）當梯子的頂端A下滑1m時，求梯子底端B向外滑行的距離？
（2）請判斷在木棍滑動的過程中，中點P到點O的距離是否變化，并簡述理由；
（3）求木棍滑動的過程中△AOB面積的最大值；
【變式4】現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊員決定用消防車上的云梯救人，已知消防車高3m，云梯最多只能伸長到10m，救人時云梯伸至最長．如圖，云梯先在A處完成從9m高處救人后，然后前進到B處從12m高處救人．
(1)求消防車在A處離樓房的距離（AD的長度）；
(2)求消防車兩次救援移動的距離（AB的長度）（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)）．
類型二、航海問題
【例2】已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（　?。?br/>A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
舉一反三：
【變式1】輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則B處與燈塔A的距離是__________海里．
【變式2】如圖，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東60°的方向，前進20海里到達B點，此時，測得海島C位于北偏東30°的方向，求海島C到航線AB的距離CD．
【變式3】甲、乙兩船同時從港口A出發(fā)，甲船以30海里/時的速度沿北偏東35°方向航行，乙船沿南偏東55°向航行，2小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若C，B兩島相距100海里，問乙船的速度是每小時多少海里？
【變式4】臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力，如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由行駛向，已知點為一海港，且點與直線上的兩點，的距離分別為，，又，以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．
（1）求的度數(shù)．
（2）海港受臺風(fēng)影響嗎？為什么？
（3）若臺風(fēng)的速度為千米/小時，當臺風(fēng)運動到點處時，海港剛好受到影響，當臺風(fēng)運動到點時，海港剛好不受影響，即，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？
類型三、旗桿高度問題
【例3】在繼承和發(fā)揚紅色學(xué)校光榮傳統(tǒng)，與時俱進，把育英學(xué)校建成一所文明的、受社會尊敬的學(xué)校升旗儀式上，如圖所示，一根旗桿的升旗的繩垂直落地后還剩余1米，若將繩子拉直，則繩端離旗桿底端的距離有5米．則旗桿的高度 ．
舉一反三：
【變式1】小紅同學(xué)測量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿的繩子剛好垂到地面上，當她把繩子下端拉開，發(fā)現(xiàn)此時繩子的下端距離旗桿5m，距地面1m，則學(xué)校旗桿的高度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．13m
【變式2】小亮想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多2m，當他把繩子的下端拉開8m后，下端剛好接觸到地面，則學(xué)校旗桿的高度為（ ）
A．m B．m C．m D．m
【變式3】如圖所示，小剛想知道學(xué)校的旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了0.8m，當他把繩子下端拉開4m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，小剛算了算就知道了旗桿的高度．你知道他是怎樣算出來的嗎？
【變式4】如圖，同學(xué)們想測量旗桿的高度（米），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下：
小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余米，如圖；
②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部米，如圖．
小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到如圖點處（）．

(1)請你按小明的方案求出旗桿的高度h（米）；
(2)已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿米遠，此時繩結(jié)離地面多高？
類型四、是否超速問題
【例4】在某段公路的正上方有一攝像頭A距離地面7米，一天李叔叔駕駛的汽車正沿公路筆直勻速駛來，當行駛到B點時第一次攝像，此時AB兩點相距25米，1.5秒后第二次攝像汽車恰好行駛到A點正下方C點，已知該路段限速60km/h，請判斷李叔叔是否超速，說明理由．
舉一反三：
【變式1】交通安全一直是社會關(guān)注的熱點問題，主要安全隱患是超速和超載．交警部門在近年來事故多發(fā)的危險路段設(shè)立了固定測速點．如圖，先在筆直的公路l旁選取一點P，在公路l上確定點O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．這時，測得一輛轎車從B處勻速行駛到A處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°．此路段限速每小時80千米，試判斷此車是否超速？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，1米/秒＝3.6千米/時）
【變式2】某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了后，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速測檢測儀間的距離為，這輛小汽車超速了嗎？
【變式3】某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．

(1)求的長；
(2)這輛小汽車超速了嗎？
如圖，A中學(xué)位于南北向公路l的一側(cè)，門前有兩條長度均為100米的小路通往公路l，與公路l交于B，C兩點，且B，C相距120米．
【變式4】

(1)現(xiàn)在想修一條從公路l到A中學(xué)的新路（點D在l上），使得學(xué)生從公路l走到學(xué)校路程最短，應(yīng)該如何修路（請在圖中畫出）？新路長度是多少？
(2)為了行車安全，在公路l上的點B和點E處設(shè)置了一組區(qū)間測速裝置，其中點E在點B的北側(cè)，且距A中學(xué)170米．一輛車經(jīng)過區(qū)間用時5秒，若公路l限速為（約），請判斷該車是否超速，并說明理由．
類型五、最短路徑問題
【例5】如圖，長方體的長為，寬為，高為，點到點的距離為，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是（ ）
A．4 B．5 C． D．
舉一反三：
【變式1】如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【變式2】如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中，，，點在棱上，且，點是的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點爬行到點，它需要爬行的最短路程是多少？
【變式3】如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于5cm、3cm、1cm，A和B是這兩個臺階的兩個相對的端點，則一只螞蟻從點A出發(fā)經(jīng)過臺階爬到點B的最短路線有多長？
【變式4】如圖①，長方體長AB為8 cm，寬BC為6 cm，高BF為4 cm．在該長體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？
(1)螞蟻從點A爬行到點G，且經(jīng)過棱EF上一點，畫出其最短路徑的平面圖，并標出它的長．
(2)設(shè)該長方體上底面對角線EG、FH相交于點O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．
①螞蟻從點B爬行到點O的最短路徑的長為 cm；
②當點P在BC邊上，設(shè)BP長為a cm，求螞蟻從點P爬行到點O的最短路的長（用含a的代數(shù)式表示）．

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