資源簡介

3.（上海卷）函數的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則的取值范圍是__________。
17）（全國卷Ⅰ）
設函數圖像的一條對稱軸是直線。
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函數的單調增區間；
（Ⅲ）畫出函數在區間上的圖像。
解：（Ⅰ）的圖像的對稱軸，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由題意得
所以函數
（Ⅲ）由
x
0
y
－1
0
1
0
故函數
已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
17．本小題主要考查三角函數的基本公式、三角恒等變換、三角函數在各象限符號等基本知識，以及推理和運算能力.滿分12分.
解法一：（Ⅰ）由
即
又 故
解法二：（Ⅰ）聯立方程
由①得將其代入②，整理得
故
函數的圖象為，如下結論中正確的是__________（寫出所有正確結論的編號）．
①圖象關于直線對稱；
②圖象關于點對稱；
③函數在區間內是增函數；
④由的圖角向右平移個單位長度可以得到圖象．
①②③
（安徽理6）
函數的圖象為，
①圖象關于直線對稱；
②函數在區間內是增函數；
③由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象．
以上三個論斷中，正確論斷的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
C
（北京理1）
已知，那么角是（　　）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
（北京理13）
2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值等于 ．
已知函數的最小正周期為，則該函數的圖象（ ）
A．關于點對稱 B．關于直線對稱
C．關于點對稱 D．關于直線對稱
A
（福建文5）
函數的圖象（　　）
Ａ．關于點對稱 Ｂ．關于直線對稱
Ｃ．關于點對稱 Ｄ．關于直線對稱
A
（廣東理3）
已知簡諧運動的圖象經過點，則該簡諧運動的最小正周期和初相分別為（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
A
（海南、寧夏理3）
函數在區間的簡圖是（　　）
是第四象限角，，則（ ）
A． B． C． D．
D
全國卷1理（12）
已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
A
（上海理6）
要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向左平移個單位
A
（陜西理4）
下面有五個命題：
①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點.
④把函數
⑤函數
其中真命題的序號是 （寫出所言 ）
① ④
（天津理3）
設函數，則（ ）
A．在區間上是增函數 B．在區間上是減函數
C．在區間上是增函數 D．在區間上是減函數
A
（浙江理2）
若函數，（其中，）的最小正周期是，且，則（ ）
A． B．
C． D．
D
（浙江理12）
1 函數y=－x·cosx的部分圖像是( )
2 函數f(x)=cos2x+sin(+x)是( )
A 非奇非偶函數 B 僅有最小值的奇函數
C 僅有最大值的偶函數 D 既有最大值又有最小值的偶函數
3 函數f(x)=()｜cosx｜在［－π，π］上的單調減區間為_________
4 設ω＞0，若函數f(x)=2sinωx在［－，］上單調遞增，則ω的取值范圍是_________
5 設二次函數f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不論α、β為何實數恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0
(1)求證 b+c=－1；
(2)求證c≥3；
(3)若函數f(sinα)的最大值為8，求b，c的值
6 用一塊長為a，寬為b(a＞b)的矩形木板，在二面角為α的墻角處圍出一個直三棱柱的谷倉，試問應怎樣圍才能使谷倉的容積最大？并求出谷倉容積的最大值
7 有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上，然后作其最大內接矩形，試問 工人師傅是怎樣選擇矩形的四點的？并求出最大面積值
8 設－≤x≤，求函數y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值
9 是否存在實數a，使得函數y=sin2x+a·cosx+a－在閉區間［0，］上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由
參考答案
1 解析 函數y=－xcosx是奇函數，圖像不可能是A和C，又當x∈(0, )時，y＜0
答案 D
2 解析 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+］－1
答案 D
3 解 在［－π,π］上，y=｜cosx｜的單調遞增區間是［－,0］及［,π］ 而f(x)依｜cosx｜取值的遞增而遞減,故［－,0］及［,π］為f(x)的遞減區間
4 解 由－≤ωx≤，得f(x)的遞增區間為［－,］，由題設得
5 解 (1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立 ∴f(1)≤0
從而知f(1)=0∴b+c+1=0
(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0 又因為b+c=－1,∴c≥3
(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－)2+c－()2,
當sinα=－1時，［f(sinα)］max=8,由解得b=－4,c=3
6 解 如圖，設矩形木板的長邊AB著地，并設OA=x，OB=y，則a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα)
∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤ (當且僅當x=y時取“=”號)，故此時谷倉的容積的最大值V1=(xysinα)b= 同理，若木板短邊著地時，谷倉的容積V的最大值V2=ab2cos,
∵a＞b,∴V1＞V2
從而當木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時，谷倉的容積最大，其最大值為a2bcos
7 解 如下圖，扇形AOB的內接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設∠AOP=θ，則∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，，
∴PQ=Rsin(45°－θ)
S矩形MNPQ=QP·NP=R2sinθsin(45°－θ)
=R2·［cos(2θ－45°)－］≤R2，
當且僅當cos(2θ－45°)=1,即θ=22 5°時，S矩形MNPQ的值最大且最大值為R2
工人師傅是這樣選點的，記扇形為AOB，以扇形一半徑OA為一邊，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22 5°，P為邊與扇形弧的交點，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，則矩形MNPQ為面積最大的矩形，面積最大值為R2
8 解 ∵在［－］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，
∴原函數可化為y=log2(1－sin2x)=log2cos2x，
又cosx＞0在［－］上恒成立，
∴原函數即是y=2log2cosx,在x∈［－］上，≤cosx≤1
∴log2≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－］上，ymax=0,　ymin=－1
綜合上述知，存在符合題設
課前后備注 　

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