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正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(2)——對(duì)稱性、單調(diào)性與最值
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.利用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性求與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握正、余弦函數(shù)的對(duì)稱性；
2.會(huì)利用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)解決一些有關(guān)問題，了解正、余弦函數(shù)的對(duì)稱性及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
重點(diǎn)難點(diǎn): 正、余弦函數(shù)的對(duì)稱性及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
二、預(yù)習(xí)導(dǎo)引（復(fù)習(xí)課本204-206頁，熟悉正余弦函數(shù)的主要性質(zhì)，然后完成下表）
圖象
定義域
值域
取最大值時(shí)自變量的集合
取最小值時(shí)自變量的集合
奇偶性
周期
最小正周期
單增區(qū)間
單減區(qū)間
對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
三、探究合作
例1. 下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)的自變量的集合，并求出最大值、最小值.
(2)
例2.利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小
（1）與 （2）與
例3.（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ；
（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ；
（3）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
（4）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
例4.已知函數(shù)
求：（1）最小正周期； （2）最值及取到最值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的集合；
（3）單調(diào)遞減區(qū)間； （4）對(duì)稱軸方程，對(duì)稱中心坐標(biāo).
四、檢測(cè)反饋
1．函數(shù)（的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（ ）
A． B． C． D．
2．函數(shù)f(x)＝sin的一個(gè)遞減區(qū)間是( )
A. B．[－π，0] C. D.
3.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 .
4. 函數(shù)f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈，當(dāng)x＝________時(shí)f(x)最小，最小值為________．
5．函數(shù)y＝cos2x＋sin x的最大值為________________.
6．已知函數(shù)，求：
（1）函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量的集合；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
課時(shí)作業(yè)
1．函數(shù)y＝|sin x|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B. C. D.
2．對(duì)于函數(shù)f(x)＝sin 2x，下列選項(xiàng)中正確的是( )
A．f(x)在上單調(diào)遞增 B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．f(x)的最小正周期為2π D．f(x)的最大值為2
3．(多選)下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．cos 400°>cos C．sin 3>sin 2 D．sin >cos
4．函數(shù)y＝2sin(ω>0)的周期為π，則其單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
5．(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)的一個(gè)周期為2π B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
C．f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝ D．f(x)在上單調(diào)遞減
6．函數(shù)y＝cos x在區(qū)間[－π，a]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是________．
7．若y＝asin x＋b的最大值為3，最小值為1，則ab＝________.
8．已知函數(shù)f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x值．
9．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時(shí)x的值．
（選做）10．函數(shù)f(x)＝sin，x∈[0，π]的單調(diào)遞增區(qū)間為________，單調(diào)遞減區(qū)間為________．
課時(shí)作業(yè) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(2)——對(duì)稱性、單調(diào)性與最值 答案
1、答案 C解析 由y＝|sin x|的圖象知，該函數(shù)在上單調(diào)遞增．
2、答案 B解析 因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin x在上單調(diào)遞減，所以f(x)＝sin 2x在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(－x)＝sin[2(－x)]＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；f(x)的最小正周期為π，故C錯(cuò)誤；f(x)的最大值為1，故D錯(cuò)誤．
3、答案 BD解析 y＝sin x在上單調(diào)遞增，又－<－，∴sincos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立．
y＝sin x在上單調(diào)遞減，又<2<3<π，∴sin 2>sin 3、故C不成立．sin ＝－sin ，cos ＝－cos ＝－sin＝－sin .∵0<<<，且y＝sin x在上單調(diào)遞增．∴sin cos ，故D成立．
4、答案 C解析 ∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
5、ABC解析 A顯然正確．f(x)的對(duì)稱軸方程為x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z，當(dāng)k＝3時(shí)，x＝，故B正確．令f(x)＝0，∴x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，∴x＝為f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，故C正確．令t＝x＋，當(dāng)x∈時(shí)，t∈，
由y＝cos t的圖象知y＝cos t在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不正確．
6、答案 (－π，0]
解析 因?yàn)閥＝cos x在[－π，0]上單調(diào)遞增，在[0，π]上單調(diào)遞減，所以只有－π7、答案 ±2解析 當(dāng)a>0時(shí)，得所以ab＝2.當(dāng)a<0時(shí)，得所以ab＝－2，綜上所述ab＝±2.
8、解 (1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．
(2)當(dāng)3x＋＝2kπ－π(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值－2.
即x＝－(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值－2.
9、解 (1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，則由≤x≤可得0≤t≤，
所以當(dāng)t＝，即x＝時(shí)，ymin＝×＝－1，
當(dāng)t＝，即x＝時(shí)，ymax＝×1＝.
10、答案
解析 f(x)＝－sin，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．又0≤x≤π，所以0≤x≤，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，同理f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以f(x)在x∈[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

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