資源簡介

正弦函數、余弦函數的性質——周期性與奇偶性
一、學習目標
1.了解周期函數、周期、最小正周期的意義；
2.會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期；
3.掌握y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，會判斷簡單三角函數的奇偶性．
二、復習回顧和預習導引（自主學習課本，了解本節知識體系！）
1.在同一坐標系中畫出正弦函數余弦函數在上的簡圖,并畫出R上的圖象.
2.通過預習你發現正弦函數、余弦函數的主要性質是：（1） （2）
三、探究合作
問題1.（1）你對周期有哪些認識？
（2）周期函數是如何定義的？
,那么就把函數叫做周期函數.
思考：1、周期函數的周期唯一嗎 2、什么是最小正周期？ 3、周期函數都有最小正周期嗎？
（3）通過誘導公式（一）或正弦函數的圖象，我們知道每當角增加或減少時，所得角的正弦函數值與原來角的正弦函數值相等，這說明正弦函數應該是 函數．不但正弦函數具有這種性質，其它的三角函數和不少的函數也都具有這樣的性質.
（4）正弦函數是周期函數， 都是它的周期，最小正周期是 ；
余弦函數是周期函數， 都是它的周期，最小正周期是 ；
例1.求下列函數的最小正周期T.
（1），
,
，
(4)函數，（A>0,ω>0）的周期是什么？函數，（A>0,ω>0）的周期是什么？
跟蹤訓練1 若函數的最小正周期為，求正數的值.
2 等式是否成立 如果這個等式成立,能否說是正弦函數,的一個周期 為什么
問題2．為什么正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數？
例2. 判斷下列函數的奇偶性
(1) f(x)＝sin (2)f(x)＝sin xcos x； (3)f(x)＝＋.
例3. 定義在R上的函數f(x)既是偶函數，又是周期函數，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈時，
f(x)＝sin x，則f 等于( )
四、檢測反饋
1.判斷下列函數的奇偶性
(1)， (2) ，
(3)y=-1, (4)y=,
2.求下列函數的周期;(1),; (2),;
,; (4),.
3．下列函數中最小正周期為的是
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） ( 8 )
4．已知f(x)是R上的奇函數，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，則f(8)＝________.
5.奇函數f(x)滿足f ＝f(x)，當x∈時， f(x)＝cos x，則f 的值為________．
課時作業
1．函數f(x)＝sin，x∈R的最小正周期為( ) A. B．π C．2π D．4π
2．f(x)是定義域R，最小正周期為的函數，若f(x)＝則f 的值等于( )
A．1 B. C．0 D．－
3．設函數f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則函數y＝f(x)的圖象可以是( )
4．如果函數f(x)＝cos(ω>0)的相鄰兩個零點之間的距離為，則ω的值為( )
A．3 B．6 C．12 D．24
5．(多選)函數f(x)＝sin(2x＋φ)是R上的偶函數，則φ的值可以是( )
A. B．π C. D．－
6．已知，若f(5)＝－2，則f(－5)＝________．
7.設函數是以2為最小正周期的周期函數,且當時,.求,的值.
8．已知函數f(x)＝sin是奇函數，則φ∈時，求φ的值．
9．判斷下列函數的奇偶性．
(1)f(x)＝sin (2)f(x)＝|sin x|＋cos x.
10．已知函數y＝sin x＋|sin x|.
(1)畫出函數的簡圖；
(2)此函數是周期函數嗎？若是，求其最小正周期．
（選做）11．已知周期函數的圖象如圖所示，
（1）求函數的周期；
（2）畫出函數的圖象；
（3）寫出函數的解析式.
導學案 參考答案
跟蹤訓練1 k=3
2.等式成立,但不能說是正弦函數,的一個周期.
因為不滿足函數周期的定義,即對定義內任意x,不一定等于,如,所以不是正弦函數,的一個周期.
例2.（1）偶函數 （2）奇函數
（3）既是奇函數又是偶函數
由得cos x＝1，
∴函數的定義域為{x|x＝2kπ，k∈Z}，定義域關于原點對稱．
當cos x＝1時，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝＋既是奇函數又是偶函數．
例3. 解析 f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ＝.
檢測反饋
1.（1）非奇非偶函數（2）偶函數 （3）偶函數 （4） 偶函數
2.(1)(2)(3)(4) 3.（5）（7） 4. -2
5．答案 － 解析 ∵f ＝f(x)，∴T＝，
∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－cos＝－cos ＝－.
課時作業 答案
1. 答案 D 解析 由題意T＝＝4π.
2. 答案 B 解析 f ＝f ＝f ＝sin ＝.
3. 答案 B 解析 由f(－x)＝f(x)，得f(x)是偶函數，圖象關于y軸對稱。由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)的周期為2.故選B.
4. 答案 B 解析 函數f(x)＝cos(ω>0)的相鄰兩個零點之間的距離為，所以T＝2×＝，由＝，解得ω＝6.
5. 答案 ACD 解析 ∵f(x)為偶函數，則需把f(x)化成y＝±cos 2x的形式，∴φ＝＋kπ，k∈Z
6.答案2 解析：f(x)＝，則f(－x)＝＝－＝－f(x)，且定義域關于原點對稱，所以f(x)是奇函數．所以f(－5)＝－f(5)＝2.
7.【詳解】解:由題意可知,;
8.答案 － 解析 由已知＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，又∵φ∈，
∴k＝0時，φ＝－符合條件．
9.解析 (1)f(x)＝sin＝－cos x，x∈R.又f(－x)＝－cos＝－cos x＝f(x)，
所以函數f(x)＝sin是偶函數．
(2)函數的定義域為R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函數是偶函數．
10. 解 (1)y＝sin x＋|sin x|
＝
圖象如圖所示：
由圖象知該函數是周期函數，且最小正周期是2π.
11.【詳解】解：（1）.
（2）把向左平移一個單位得的圖象，即如圖所示
（3）
所以.

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