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第七章 三角形教材分析
北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)08.4.3
一、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．了解與三角形有關(guān)的線段（邊、高、中線、角平分線）．理解三角形兩邊之和大于第三邊，會根據(jù)三條線段的長度判斷它們能否構(gòu)成三角形，會畫出任意三角形的高、中線、角平分線．了解三角形的穩(wěn)定性．
2．了解與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角、外角），會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180o，探索并了解三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
3．了解多邊形的有關(guān)概念（邊、內(nèi)角、外角、對角線、正多邊形），探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式．
4．通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計(jì)．
二、本章知識結(jié)構(gòu)框圖：
三、課時(shí)安排：
本章教學(xué)時(shí)間約需9課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：
7.1 與三角形有關(guān)的線段 2課時(shí)
7.2 與三角形有關(guān)的角 2課時(shí)
7.3 多邊形及其內(nèi)角和 2課時(shí)
7.4 課題學(xué)習(xí) 鑲嵌 1課時(shí)
數(shù)學(xué)活動
小結(jié) 2課時(shí)
四、本章重點(diǎn)、難點(diǎn)及四基：
1．重點(diǎn)：畫任意三角形的高、中線、角平分線，三角形三邊關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理及推論，多邊形的內(nèi)角和與外角和公式．
2．難點(diǎn)：畫鈍角三角形的高，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理及推論的應(yīng)用．
3．基礎(chǔ)知識：與三角形有關(guān)的線段，有關(guān)的角，多邊形的有關(guān)概念，多邊形的內(nèi)角和與外角和公式．
4．基本技能：會根據(jù)三條線段的長度判斷它們能否構(gòu)成三角形，會畫出任意三角形的高、中線、角平分線．會證明三角形內(nèi)角和定理及推論，能運(yùn)用幾種圖形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計(jì)．
5．基本的數(shù)學(xué)思想：類比的思想（如多邊形的有關(guān)概念可類比三角形的有關(guān)概念給出）；方程的思想（計(jì)算三角形的邊、角時(shí)常用）；轉(zhuǎn)化的思想（如多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為平角或同旁內(nèi)角）；數(shù)形結(jié)合的思想（以數(shù)定形，以形馭數(shù)）；建模的思想（從實(shí)際問題中建立三角形的模型，如：方位角）；分類討論的思想（如給出等腰三角形的兩個邊，應(yīng)對哪個邊是腰進(jìn)行分類）．
6．基本實(shí)踐活動（如鑲嵌、用木棍擺三角形、對正方形的正方形拆分）．
五、本章內(nèi)容的新課程標(biāo)準(zhǔn)要求：
1．了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性．
2．探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，了解正多邊形的概念．了解四邊形的不穩(wěn)定性．
3．通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計(jì)．
4．證明三角形的內(nèi)角和定理及推論（三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）．
六、2008年北京市考試說明中與本章有關(guān)部分：
1.基本要求：了解三角形的有關(guān)概念；了解三角形的穩(wěn)定性；會正確對三角形進(jìn)行分類；理解三角形內(nèi)角和、外角和及三邊關(guān)系；會畫三角形的主要線段；了解三角形的內(nèi)心、重心. 了解多邊形及正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；知道用任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面；了解四邊形的不穩(wěn)定性.
2.略高要求：會運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及推論；會按要求解三角形的邊、角的計(jì)算問題； 會用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計(jì)算問題；能用正三角形、正方形、正六邊形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計(jì).
3.較高要求：能依圖形條件分解與拼接簡單圖形.
七、總的教學(xué)建議：
加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系，從實(shí)踐中來到實(shí)踐中去.
三角形是最常見的幾何圖形之一，在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用．學(xué)生可以通過舉出三角形的實(shí)際例子認(rèn)識和感受三角形，形成三角形的概念．多邊形概念的引入，也可類似處理．
三角形有很多重要的性質(zhì)，如穩(wěn)定性，三角形的內(nèi)角和等于180o．學(xué)生可以通過觀察、實(shí)驗(yàn)體會這些性質(zhì)，明白在工程建筑、機(jī)械制造中經(jīng)常采用三角形結(jié)構(gòu)的道理，并解決與求角有關(guān)的實(shí)際問題．
鑲嵌可以從用地磚鋪地引入，進(jìn)而探究一些多邊形能否鑲嵌成平面圖案，運(yùn)用通過探究得出的結(jié)論又可以進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計(jì)，應(yīng)關(guān)注上述從實(shí)踐到理論，再從理論到實(shí)踐的全過程，搞好每個環(huán)節(jié)的教學(xué)．
2．加強(qiáng)與已學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，但要學(xué)會用新的知識解決問題．
學(xué)生在前兩個學(xué)段已學(xué)過三角形的一些知識，對三角形的許多重要性質(zhì)有所了解，在第三學(xué)段又學(xué)過線段、角以及相交線、平行線等知識，初步了解了一些簡單幾何和平面圖形及其基本特征，會進(jìn)行簡單的說理．
上述內(nèi)容是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)：三角形的高、中線、角平分線分別與已學(xué)過的垂線、線段的中點(diǎn)、角的平分線有關(guān)；用拼圖的方法認(rèn)識三角形的內(nèi)角和等于180o，可以啟發(fā)學(xué)生得出證明這個結(jié)論正確的方法，關(guān)鍵是拼接結(jié)果中蘊(yùn)含了添加輔助線的方法，而證明的過程中要用到平行線的性質(zhì)與平角的定義．關(guān)注本章內(nèi)容與已學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，有助于學(xué)生掌握本章所學(xué)內(nèi)容．另一方面，通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生又可以進(jìn)一步豐富對圖形的認(rèn)識和感受，同時(shí)復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)的內(nèi)容．
3．加強(qiáng)推理能力的培養(yǎng)．
在本章中加強(qiáng)推理能力的培養(yǎng)，一方面可以提高學(xué)生已有的水平，另一方面又可以為學(xué)生正式學(xué)習(xí)證明作準(zhǔn)備，為達(dá)到上述要求，應(yīng)關(guān)注以下內(nèi)容的教學(xué)：
（1）由“兩點(diǎn)之間，線段最短”說明“三角形兩邊的和大于第三邊”；
（2）由平行線的性質(zhì)與平角的定義證明“三角形的內(nèi)角和等于180o”；
（3）由“三角形的內(nèi)角和等于180o”得出“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”；
（4）由“三角形的內(nèi)角和等于180o”得出多邊形內(nèi)角和公式；
（5）由多邊形內(nèi)角和公式得出多邊形外角和公式；
（6）由多邊形內(nèi)角和公式說明任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面．
上述內(nèi)容包含了推理，要與學(xué)生共同分析得出結(jié)論的思路．可多提出一些問題，并留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷得出結(jié)論的過程．
4．把握好教學(xué)要求．
與三角形有關(guān)的一些概念在本章中只要求達(dá)到了解（認(rèn)識）的程度就可以了，進(jìn)一步的要求可通過后續(xù)學(xué)習(xí)達(dá)到。如在本章中知道什么是三角形的角平分線就可以了，如學(xué)生在畫角平分線時(shí)發(fā)現(xiàn)三條角平分線交于一點(diǎn)，就直接肯定這個結(jié)論，對這個結(jié)論的證明在后面學(xué)習(xí)“全等三角形”一章時(shí)再介紹．同樣，三條中線交于一點(diǎn)的結(jié)論也可直接點(diǎn)明，以后還會知道這個點(diǎn)是三角形的重心．
在本章中，三角形的穩(wěn)定性是通過實(shí)驗(yàn)得出的，待以后學(xué)過“三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”，可進(jìn)一步明白其中的道理．證明三角形的內(nèi)角和等于180o有一定的難度，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析拼接所得圖形，并在如何添加輔助線上加強(qiáng)指導(dǎo)，以使學(xué)生能順利理解和掌握證明方法．要明確本章是初步介紹證明階段，對推理的要求應(yīng)循序漸進(jìn)．
八、幾點(diǎn)變化：
1．會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180o，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析拼接所得圖形，并在如何添加輔助線上加強(qiáng)指導(dǎo)，原來為“說明”，“不要在輔助線上花太多的精力，以免影響對內(nèi)容本身的理解與掌握”．
2．本章是初步介紹證明階段，原為“正式介紹證明的準(zhǔn)備階段”．
3．課題學(xué)習(xí) 鑲嵌 1課時(shí) ，原為“2課時(shí)”．
4．基本要求：理解三角形內(nèi)角和、外角和及三邊關(guān)系，略高要求：會運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及推論；原為“基本要求：經(jīng)歷探索三角形內(nèi)角和、外角和、三邊關(guān)系的過程；會用三角形外角性質(zhì)及三邊關(guān)系” .
5．略高要求：會按要求解三角形的邊、角的計(jì)算問題；原為“會按要求解較復(fù)雜的三角形的邊、角的計(jì)算問題” .
6．較高要求：能依圖形條件分解與拼接簡單圖形，原為“能依條件分解與拼接圖形”.
九、具體的教學(xué)建議

●7.1.1三角形的邊
1．在學(xué)生小學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確定義三角形、三角形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角等概念：
(1) 由不在同一條直線上的三條線段 首尾順次相接所組
成的圖形叫做三角形.
說明：三個條件缺一不可。
(2) 三角形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角(簡稱三角形的角)
(3) 表示
①△ABC
②頂點(diǎn)A所對的邊a = ∠A所對的邊a = ∠A的對邊(讓學(xué)生說∠B、∠C的對邊)
∠A、∠B、∠C的鄰邊
2．三角形的分類
說明：等邊三角形是特殊的等腰三角形。
3．三邊關(guān)系
(1) 問：是任意的三條線段，都可以實(shí)現(xiàn)首尾順次相接組成三角形嗎？
(2) 用兩點(diǎn)之間線段最短證明三邊關(guān)系定理
定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.
表示：，，
推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊.
表示：,,,,
,
說明：如何真正來使用這條定理呢？(用書P65練習(xí)2讓學(xué)生體會總結(jié))
①兩條較短邊之和大于最長邊；
②三角形任意一邊大于另兩邊之差(的絕對值)，小于另兩邊之和。
③等腰三角形兩腰之和大于第三邊；
④等邊一定可以.

●7.1.2三角形的高、中線與角平分線
這是三角形中重要的三種線段，教學(xué)時(shí)始終應(yīng)堅(jiān)持對文、圖、式的把握.
1．高，小學(xué)時(shí)已有接觸，結(jié)合所學(xué)的垂線的畫法，首先讓學(xué)生畫出各類三角形的三條高，從而去理解概念的合理性和嚴(yán)密性。
(1) 定義：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作的垂線段，叫做這條邊上的高.
(2) 圖：應(yīng)注意標(biāo)垂足和直角符號，是線段.
(3) 表示：如，AD是△ABC的邊BC上的高.
(4) 說明：①不同的三角形，三條高的位置不同；
②三條高所在的直線交于一點(diǎn)(垂心)，位置各不相同.
③可出一些變式題，讓學(xué)生思考.
2．三角形的中線
(1) 定義：在三角形中，連結(jié)一個頂點(diǎn)和它的對邊中
點(diǎn)的線段叫做這條邊上的中線.
(2) 圖：中點(diǎn) 中線
(3) 表示：AD是△ABC的中線 = AD是△ABC中BC邊上的中線 = D是邊BC的中點(diǎn)
(4) 說明：①三角形的中線一定在形內(nèi)；
②三條中線共點(diǎn)(重心)，一定在形內(nèi).(可讓學(xué)生做模型體會重心)
③三角形的中線可以將三角形分成兩個面積相等的三角形，同時(shí)在將來的學(xué)習(xí)中，中線也有很重要的用處.(如倍長中線)
3．三角形的角平分線
(1) 定義：三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，
連結(jié)這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)的線段，叫做三角
形這個內(nèi)角的平分線.
(2) 圖：射線 線段
(3) 表示：AD是△ABC的角平分線
(4) 說明：①三角形的角平分線一定在形內(nèi)；
②三條角平分線共點(diǎn)(內(nèi)心)，一定在形內(nèi).
③三角形的角平分線(線段) ≠ 角的平分線(射線)
知識點(diǎn)對比
名稱
性質(zhì)或定義
圖例
符號表示
與以前鏈接
三角形的邊
三角形兩邊之和大于第三邊
a＋b＞c
b＋c＞a
c＋a＞b
兩點(diǎn)之間，線段最短
三角形的高
從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得的線段AD
AD⊥BC
或∠ADB＝
∠ADC＝90o
垂線
三角形的中線
連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對的邊BC的中點(diǎn)D，所得的線段AD
BD＝DC＝BC
或：BC＝2BD＝2DC
線段的中點(diǎn)
三角形的角平分線
畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點(diǎn)D，所得的線段AD
∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD
或：∠BAD＝∠CAD＝∠BAC
角的平分線
例題選講：
例1．如圖1，圖中共有多少個三角形？8
例2．判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形.
(1) 3k，4k，5k (k>0) 能
(2) m+1，2m，m+1 (m>0) 能
(3) a，b，a+b+1 (a>0，b>0) 不能
例3．在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把三角形的周長分為12和15的兩部分，求三角形各邊的長。（8，8，11或10，10，7）
例4．（1）已知三角形的兩邊分別為5cm和6cm，求第三邊c的取值范圍及三角形周長的取值范圍；（1（2）已知三角形的三邊分別為14，4 x和3 x，求x的取值范圍；（2（3）已知三角形的三邊分別為a，a－1和a＋1，求a的取值范圍。（a>2）
例5 (1) 已知等腰三角形的一邊等于8cm，一邊等于6cm，求它的周長.（20 cm或22 cm）
(2) 一個等腰三角形的周長為30cm，一邊長為6cm，求其它兩邊的長.（11 cm，11 cm）
例6 已知：如圖2，△ABC中，D是AB上除頂點(diǎn)外的一點(diǎn).
求證：AB+AC>DB+DC.
例7 已知：如圖3，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn).求證：PA+PB+PC>(AB+BC+AC).
例8 已知：如圖4，D、E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn).求證：AB+AC>BD+DE+EC.(提示：延長BD、CE，交于F，轉(zhuǎn)化為例10)
例9 已知：如圖5，在△ABC中，AB=AC，周長為16cm，AC邊上的中線BD把△ABC分成周長差為2cm的兩個三角形，求△ABC各邊的長.(6cm,6cm,4cm或cm, cm,cm)
例10．如圖6，在小河的同側(cè)有A，B，C三條村莊，圖中的線段表示道路，某郵遞員從A村送信到B村，總是走經(jīng)過C村的道路，不走經(jīng)過D村的道路，這是為什么呢？請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識加以證明。（提示：AD+DE>AC+CE，EB+CE>BC，所以AD+DE +EB+CE >AC+CE +BC， 所以AD+DB> AC+BC）
●7.1.3 三角形的穩(wěn)定性
1．組織學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)去感受三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)收集生活中的應(yīng)用實(shí)例；
2．如何使不穩(wěn)定的多邊形變得穩(wěn)定；(P70第10題)（多邊形的三角形拆分）
3．可向?qū)W生說明，三角形的穩(wěn)定性是可以嚴(yán)格證明的.(利用全等三角形的“邊邊邊”判定)
●7.2.1 三角形的內(nèi)角
本節(jié)的重點(diǎn)是證明和熟練運(yùn)用“三角形內(nèi)角和為180(”.
1．讓學(xué)生回憶小學(xué)所學(xué)過的這個定理，引導(dǎo)他們證明.
2．在證明的過程中，一定要充分地向?qū)W生展示分析的思路，并體會各種證法異同點(diǎn).
3．可讓學(xué)生利用內(nèi)角和定理證明“直角三角形的兩個銳角互余”. (P73例1有多種證法，可參考教參，引導(dǎo)學(xué)生積極思考.)
●7.2.2 三角形的外角
1．三角形的外角的實(shí)質(zhì)就是內(nèi)角的鄰補(bǔ)角.
外角的特征：(1) 頂點(diǎn)是三角形的一個頂點(diǎn)；(2) 一條邊就是三角形的邊；(3) 另一邊是三角形某邊的延長線.
2．應(yīng)該有一些基本的判斷題和問題，幫助學(xué)生理解外角的概念，如：
(1) 判斷下列圖中∠1、∠2是三角形的外角嗎？

(2) 問：三角形每個頂點(diǎn)處有幾個外角，它們之間有什么關(guān)系？(向?qū)W生說明我們考慮外角的原則)
(3) 三角形的外角中至少有多少個鈍角？若一個三角形的三個外角都是鈍角，則這個三角形是什么三角形？
3．由鄰補(bǔ)角的定義和三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)外角的性質(zhì)定理.
(1) 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
(2) 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.
(3) 三角形的外角和為360(.(可利用上面外角的性質(zhì)(1)，以及內(nèi)角和定理證明；也可以用鄰補(bǔ)角的定義，以及內(nèi)角和定理證明)
知識點(diǎn)對比：
項(xiàng)目
主題
定義
特征及圖例
有關(guān)結(jié)論
相關(guān)鏈接
三角形的內(nèi)角
相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角
內(nèi)角的特征：(1) 頂點(diǎn)是三角形的一個頂點(diǎn)；(2) 兩條邊就是三角形的邊；
三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180o.
平行線的性質(zhì)
直角三角形的兩個銳角互余.
三角形的外角
三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角
外角的特征：(1) 頂點(diǎn)是三角形的一個頂點(diǎn)；(2) 一條邊就是三角形的邊；(3) 另一邊是三角形某邊的延長線.
三角形的外角的性質(zhì)：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；
（2）三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角
(3) 三角形的外角和為360(.
三角形的外角的實(shí)質(zhì)就是內(nèi)角的鄰補(bǔ)角.
例題選講：
例11．下列四個圖中能說明∠1>∠2的圖是( ). C

A B C D
例12．已知：如圖7，直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P，試說明：∠P=90o.




例13．如圖8，在銳角三角形ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，且CD、BE交于一點(diǎn)P，若∠A=50o，求∠BPC的度數(shù)。 （130o）
例14．如圖9，D是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試說明：∠ADB=∠1+∠2+∠C.
例15．如圖10，若P為∠B、∠C平分線的交點(diǎn)，求∠BPC∠A的值。（90o）
P91 10題
例16．如右圖11，△ABC的兩條外角平分線交于點(diǎn)D,則下列等式成立的是（ ）C
(A) ∠A+∠D=90o (B) ∣∠A-∠D∣=90o
(C) ∠A+∠D=90o (D) ∣∠A-∠D∣=90o
例17、如圖，△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點(diǎn)D，試探求∠D與∠A之間的大小關(guān)系. ∠D=∠A
例18． 已知：如圖12，在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，AD、BE相交于點(diǎn)F.
求：∠C+∠1+∠2+∠3. （180o）
例19． 已知：如圖13，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，
∠A與∠1+∠2之間有什么關(guān)系，請猜想并證明. （2∠A=∠1+∠2）
例20．把一副三角板按如圖14方式放置，則兩條斜邊所形成的鈍角_______度．（165o）
例21．某零件的形狀如圖15所示，圖紙上要求∠A=90o，∠B=32o，∠C=21o，當(dāng)檢驗(yàn)員量得∠BDC=145o就斷定這個零件不合格。請你解釋一下，這是為什么？（需∠BDC=143o）
例22．已知：如圖16，△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，求∠A. （36o）
例23．如圖17，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD為∠BAC的平分線，∠B=50o，
∠C=70o，求∠DAE的度數(shù)。 （10o） P91 8題
●7.3.1 多邊形
1．本節(jié)的教學(xué)，要以三角形為基礎(chǔ)，可以仿照三角形建立多邊形的有關(guān)概念，如多邊形、多邊形的邊、內(nèi)角、外角、內(nèi)角和、外角和等都可同三角形類比，讓學(xué)生理解這些概念。
2．多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.如果這個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形.（n≥3，且n為整數(shù)）
說明：
(1) 為什么多邊形的概念中要提到“在平面內(nèi)”，而三角形卻不必強(qiáng)調(diào)；
(2) 三角形是最簡單的多邊形，因此很多有關(guān)多邊形的問題都應(yīng)轉(zhuǎn)化為三角形來研究，同時(shí)它也一般不叫做“三邊形”.
3．介紹如何辨別凹凸多邊形，并強(qiáng)調(diào)我們研究的類型.
4．對角線是多邊形(n>3)所特有的概念，它的重要之處是將多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解決，此處可以引申講解一些問題，如：
(1) 從n邊形的任一頂點(diǎn)，可以引多少條對角線，它們將多邊形分成了幾個三角形；
(2) n邊形一共有多少條對角線？(，數(shù)的方法一定要抓住概念中“不相鄰的兩個頂點(diǎn)”來考慮)
5．正多邊形的概念一般說來必須同時(shí)滿足“各邊相等”和“各角相等”，只有三角形例外，滿足其一即可.
說明：
(1) 只滿足“各邊相等”的反例：菱形；
(2) 只滿足“各角相等”的反例：矩形.

●7.3.2 多邊形的內(nèi)角和
1．通過對多邊形內(nèi)角和公式的探究和推導(dǎo)，讓學(xué)生充分的體會三角形在研究多邊形問題的過程中所發(fā)揮的重要作用，在探究的過程中應(yīng)讓學(xué)生充分的討論，發(fā)現(xiàn)不同的證法.
說明：可以將各種證法統(tǒng)一起來，即點(diǎn)O在不同的位置.
2．利用內(nèi)角和以及鄰補(bǔ)角的定義，推導(dǎo)外角和公式，引導(dǎo)學(xué)生體會變與不變的關(guān)系.
例題選講
例24．一個多邊形的內(nèi)角和是540o，那么這個多邊形的對角線的條數(shù)是（ ） A
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2
例25．已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和共2160o，求這個多邊形的邊數(shù)。 （12）
例26．一個凸多邊形的內(nèi)角和與它的一個外角的和為2005o，求多邊形的邊數(shù)。（13 提示：用2005÷180=11余25，n-2=11，n=13）
例27．若多邊形最多有四個鈍角，那么此多邊形的邊數(shù)最多是______. （七 提示：從外角考慮，外角和中最多有三個鈍角，加上四個銳角，最多有七個外角）
例28．如果一個凸多邊形，除了一個內(nèi)角以外，其它內(nèi)角的和為2570(，求這個沒有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù). （130o 提示：用2570÷180=14余50，180o-50o =130o）
●7.4 課題學(xué)習(xí) 鑲嵌
1．本節(jié)課是引導(dǎo)學(xué)生探索并推導(dǎo)平面圖形的鑲嵌，通過這個過程可以加深學(xué)生對多邊形內(nèi)角和的理解.
2．用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題。
3．通過學(xué)生探究和實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)他們總結(jié)平面鑲嵌的條件是：
(1) 拼接在同一點(diǎn)的各個角的和恰好等于360(；
(2) 相鄰的多邊形有公共邊.
4．主要解決的問題是：
(1) 什么樣的正多邊形可以實(shí)現(xiàn)自鑲嵌？
假定有正n邊形，則此正n(n ( 3)邊形的每一個內(nèi)角等于，如果在一個頂點(diǎn)周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360(，因此有=360(，化簡得，所以此不定方程有且只有三組正整數(shù)解即分別用6個正三角形或4個正方形或3個正六邊形可平面鑲嵌.
(2) 用全等的任意n邊形進(jìn)行自鑲嵌，易證三角形和四邊形可以，當(dāng)n ( 5時(shí)，只對于特殊的全等n邊形還可能，如右圖，是圣地亞哥的一位婦女瑪喬里·賴斯于1977年12月找到的。
(3) 可向?qū)W生介紹，可以用(1)的辦法，設(shè)4元不定方程研究用兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，可能的結(jié)果有以下幾種：3個正三角形和2個正方形，或4個正三角形和1個正六邊形，或2個正三角形和2個正六邊形，或1個正三角形和2個正12邊形，或1個正四邊形和2個正8邊形.
十、中考鏈接：
1.（07浙江金華）如圖，直線，，為垂足．如果，那么的度數(shù)是 °． （70）
2.（07四川資陽） 如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于( ) C
A. 90° B. 135°
C. 270° D. 315°
3.（07山東濟(jì)南）已知一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比是，則其最大內(nèi)角的度數(shù)為（ ） C
A． B． C． D．
4.（07山東濱州）如圖3所示，每個小方格都是邊長為1的正方形，點(diǎn)是方格紙的兩個格點(diǎn)（即正方形的頂點(diǎn)），在這個的方格紙中，找出格點(diǎn)，使的面積為1個平方單位的直角三角形的個數(shù)是 ． 6
5.（07浙江蕭山）三角形的兩邊長為4cm和7cm，則這個三角形面積的最大值為___________cm2. 14
6.（07江蘇無錫）八邊形的內(nèi)角和為 度． 1080
7.（07山東聊城）在下列四組多邊形地板磚中，①正三角形與正方形；②正三角形與正六邊形；③正六邊形與正方形；④正八邊形與正方形．將每組中的兩種多邊形結(jié)合，能密鋪地面的是（　?。? D
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
8.（07福建龍巖）
答案：
9.（07福建泉州）（8分）已知正n邊形的周長為60，邊長為a
⑴當(dāng)n=3時(shí)，請直接寫出a的值；
⑵把正n邊形的周長與邊數(shù)同時(shí)增加7后，假設(shè)得到的仍是正多邊形，它的邊數(shù)為n+7，周長為67，邊長為b。有人分別取n等于3、20、120，再求出相應(yīng)的a與b，然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，a與b一定不相等?！蹦阏J(rèn)為這種說法對嗎？若不對，請求出不符合這一說法的n的值。
答案：（1）；（2）60.
10．（07遼寧大連旅順口）如圖①，為等邊三角形，面積為．分別是三邊上的點(diǎn)，且，連結(jié)，可得．
（1）用S表示的面積= ，的面積= ；
（2）當(dāng)分別是等邊三邊上的點(diǎn)，且時(shí)，如圖②，求的面積和的面積；
（3）按照上述思路探索下去，當(dāng)分別是等邊三邊上的點(diǎn)，且時(shí)（為正整數(shù)）， 的面積= ，
的面積= ．
答案：(1) ，
（2），
(3) ，

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