資源簡介

4.1數(shù)列的概念
1、數(shù)列的概念：
一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用表示……第個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項，用表示。其中第1項也叫做首項。
2、數(shù)列的一般形式：
數(shù)列的一般形式可以寫成：，…，，…，或簡記為。其中是數(shù)列的第項。
3、要點詮釋：
①數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；
②定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)。
③與的含義完全不同：表示一個數(shù)列，表示數(shù)列的第項。
4、函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系：
數(shù)列是從正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，…，}）到實數(shù)集的函數(shù)，其自變量是序號，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第項，記為。
①數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上。②數(shù)列的通項公式實際上就是相應函數(shù)的解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)。③數(shù)列的圖象是落在軸右側(cè)的一群孤立的點。④跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項公式。
5、數(shù)列的分類：
有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列。例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列。
無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列。例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，…是無窮數(shù)列。
遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列。
遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列。
常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。
擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列。
6、數(shù)列的通項公式：
如果數(shù)列的第項與它的序號之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的通項公式。不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的。
7、遞推公式：
像這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式。知道了首項和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項了。
8、數(shù)列的前項和：
我們把數(shù)列從第1項起到第項止的各項之和，稱為數(shù)列的前項和，記作，
即。故。
9、數(shù)列的前項和公式：
如果數(shù)列的前項和與它的序號之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前項和公式。
10、數(shù)列的單調(diào)性（拓展）：
若數(shù)列中，若，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若，則數(shù)列為遞減數(shù)列。
數(shù)列單調(diào)性判斷：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)判斷單調(diào)性。②作差法、作商法判斷大小。
【題型1】根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項
1．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，則144是該數(shù)列的第（　　）項
A．10 B．11 C．12 D．13
2．已知數(shù)列，，，3，，…，則是這個數(shù)列的（　　）
A．第12項 B．第13項 C．第14項 D．第25項
3．是數(shù)列、、、、 的（　　）
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
4．已知數(shù)列1、、2、、4、…，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，16是該數(shù)列的（　　）
A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項
5．數(shù)列的第8項是（　　）
A． B． C． D．
【題型2】觀察法求數(shù)列通項
1．數(shù)列，…，則該數(shù)列的第n項為（　　）
A． B． C． D．
2．數(shù)列的一個通項公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知數(shù)列{an}為1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36，…，則數(shù)列{an}的一個通項公式是（　　）
A．（﹣1）n n2 B．（﹣1）n+1 n2 C．（﹣1）n+1 n3 D．（﹣1）n n3
4．數(shù)列1，3，7，13，21，…的一個通項公式為an＝（　　）
A．n2﹣n B．n2﹣n﹣1 C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n
5．數(shù)列的一個通項公式為（　　）
A． B．
C． D．
【題型3】根據(jù)數(shù)列的通項公式求值
1．數(shù)列{an}的通項為an＝7﹣2n（n∈N+），則a3的值為（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．若數(shù)列{an}的通項公式為，則a4＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2+2n，則下列各數(shù)是{an}中的項的是（　　）
A．10 B．18 C．26 D．63
4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2﹣2n，則下列各數(shù)中，不是數(shù)列{an}中的項的是（　　）
A．0 B．8 C．16 D．24
5．已知數(shù)列{an}滿足，則下列各數(shù)中屬于數(shù)列{an}中的項的是（　　）
A．3 B．2 C．3 D．4
【題型4】數(shù)列的單調(diào)性
1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an，那么這個數(shù)列是（　　）
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．擺動數(shù)列 D．常數(shù)列
2．下列通項公式中，對應數(shù)列是遞增數(shù)列的是（　　）
A．a(chǎn)n＝1﹣n
B．
C．
D．
3．已知數(shù)列{an}的通項公式為，且{an}為遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是（　　）
A．λ＞2 B．λ＜2 C．λ＞1 D．λ＜1
4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2+kn+2，若對于n∈N*，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為（　　）
A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＞﹣3 D．k＞﹣2
5．已知數(shù)列{an}滿足an＝2n+kn，若{an}為遞增數(shù)列，則k的取值范圍是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2）
【題型5】數(shù)列的最值
1．已知數(shù)列{an}中，an＝n2﹣5n+4，則數(shù)列{an}的最小項是（　　）
A．第1項 B．第3項、第4項
C．第4項 D．第2項、第3項
2．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若an＝n（8﹣n）（n∈N+）則（　　）
A．{an}有最大項，{Sn}有最大項
B．{an}有最大項，{Sn}有最小項
C．{an}有最小項，{Sn}有最大項
D．{an}有最小項，{Sn}有最小項
3．在數(shù)列{an}中，an＝﹣2n2+29n+3，則此數(shù)列最大項的值是（　　）
A．102 B． C． D．108
4．在數(shù)列{an}中，，則an的最大值是（　　）
A． B． C． D．
5．數(shù)列（　　）
A．既有最大項，又有最小項
B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項
D．既無最大項，又無最小項
【題型6】根據(jù)數(shù)列的前項和公式求值
1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2n，則a2＝　 　．
2．設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a9的值為（　　）
A．15 B．17 C．49 D．64
3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2+1，n∈N*，則a5＝（　　）
A．20 B．17 C．18 D．19
4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2﹣2n+1，則a3＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知數(shù)列an}的前n項和為Sn，若對任意的n∈N*，都有Sn＝2n+n2+n﹣1，則a6＝　 　．
【題型7】根據(jù)數(shù)列的前項和公式求通項公式
1．已知數(shù)列{an}的前n項和，那么它的通項公式為an＝　 　．
2．已知數(shù)列{an}，Sn是它的前n項和，Sn＝3n2+2n+1，則an＝　 　．
3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n﹣2，則an＝　 　．
4．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n 2n，則an＝　 　．
5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝20n2+3n﹣2n，則an的最大值為 　 　．
【題型8】遞推公式
1．數(shù)列{an}中a1＝3，an+1＝2an，則a4等于（　　）
A． B．24 C．48 D．54
2．在數(shù)列{an}中，，則a5＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．
3．數(shù)列{an}滿足a1＝1，an（n≥2），則a5的值為（　　）
A． B． C． D．
4．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap+q＝ap+aq，且a2＝﹣6，那么a10等于（　　）
A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21
5．已知數(shù)列{an}的項滿足an+1an，而a1＝1，通過計算a2，a3，猜想an等于（　　）
A． B． C． D．
【題型9】數(shù)列周期性的應用
1．若數(shù)列滿足，，，則（ ）
A． B．－2 C．3 D．
2．設數(shù)列中，，（且），則（ ）
A．-1 B． C．2 D．
3．已知數(shù)列的前項和為，設，，則（ ）
A． B． C． D．1012
4．已知數(shù)列中，，則 ．
5．在數(shù)列中，，，，則 ．
當堂檢測
一．選擇題（共9小題）
1．對于數(shù)列{an}，“an+1＞|an|（n＝1，2，…）”是“{an}為遞增數(shù)列”的（　　）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．數(shù)列的一個通項公式是（　　）
A． B．
C． D．
3．數(shù)列1，﹣4，9，﹣16，25…的一個通項公式為（　　）
A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝（﹣1）nn2
C．a(chǎn)n＝（﹣1）n+1n2 D．a(chǎn)n＝（﹣1）n（n+1）2
4．有窮數(shù)列1，23，26，29，…，23n+6的項數(shù)是（　　）
A．3n+7 B．3n+6 C．n+3 D．n+2
5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a32﹣a22的值為（　　）
A．9 B．16 C．21 D．11
6．數(shù)列{an}的通項公式，若該數(shù)列的第k項ak滿足40＜ak＜70，則k的值為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知數(shù)列{an}滿足an，n為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（　　）
A． B． C． D．
8．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（　　）
A．1，，，，… B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…
C．﹣1，，，，… D．1，，，…，
9．在數(shù)列{an}中，an+1＝an+2，且a1＝1，則a4等于（　　）
A．8 B．6 C．9 D．7
二．多選題（共2小題）
（多選）10．下列各選項中，使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列的是（　　）
A．
B．
C．a(chǎn)1＝1，an+an+1＝3
D．
（多選）11．數(shù)列{an}滿足，則（　　）
A．數(shù)列{an}的最大項為a6 B．數(shù)列{an}的最大項為a5
C．數(shù)列{an}的最小項為a5 D．數(shù)列{an}的最小項為a4
三．填空題（共4小題）
12．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3+2n，則數(shù)列{an}的通項公式為　 　．
13．數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn，則a6＝　 　．
14．數(shù)列{an}滿足：，則a2010的值為　 　．
15．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n+n，則a5＝　 　．
課后作業(yè)
一、單選題
1．已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A． B．
C． D．
2．數(shù)列，則該數(shù)列的第n項為（ ）
A． B． C． D．
3．已知數(shù)列的通項公式為，則當最小時，（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．已知數(shù)列的通項公式為，前項和為，則取得最小值時，的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
5．若數(shù)列{}的通項公式為則（ ）
A． B． C． D．
6．已知數(shù)列，滿足，，則（ ）
A．18 B．36 C．72 D．144
7．已知數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
8．已知數(shù)列的前項和. 若，則（ ）
A． B． C． D．
9．已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．2
10．設數(shù)列滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
11．已知為數(shù)列的前n項和，若，且，則（ ）
A． B．是周期數(shù)列且周期為4
C． D．
12．已知數(shù)列的通項公式為，則（ ）
A．數(shù)列為遞增數(shù)列 B．
C．為最小項 D．為最大項
三、填空題
13．已知數(shù)列的前項和為，，，且，則 ．
14．已知數(shù)列的前n項和為，若（為非零常數(shù)），且，則 ．
15．已知數(shù)列為遞增數(shù)列，，則的取值范圍是___________.
四、解答題
16．在數(shù)列中，已知，且.
(1)求通項公式.
(2)求證：是遞增數(shù)列.
4.1 數(shù)列的概念
1、數(shù)列的概念：
一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用表示……第個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項，用表示。其中第1項也叫做首項。
2、數(shù)列的一般形式：
數(shù)列的一般形式可以寫成：，…，，…，或簡記為。其中是數(shù)列的第項。
3、要點詮釋：
①數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；
②定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)。
③與的含義完全不同：表示一個數(shù)列，表示數(shù)列的第項。
4、函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系：
數(shù)列是從正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，…，}）到實數(shù)集的函數(shù)，其自變量是序號，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第項，記為。
①數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上。②數(shù)列的通項公式實際上就是相應函數(shù)的解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)。③數(shù)列的圖象是落在軸右側(cè)的一群孤立的點。④跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項公式。
5、數(shù)列的分類：
有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列。例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列。
無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列。例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，…是無窮數(shù)列。
遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列。
遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列。
常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。
擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列。
6、數(shù)列的通項公式：
如果數(shù)列的第項與它的序號之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的通項公式。不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的。
7、遞推公式：
像這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式。知道了首項和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項了。
8、數(shù)列的前項和：
我們把數(shù)列從第1項起到第項止的各項之和，稱為數(shù)列的前項和，記作，
即。故。
9、數(shù)列的前項和公式：
如果數(shù)列的前項和與它的序號之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前項和公式。
10、數(shù)列的單調(diào)性（拓展）：
若數(shù)列中，若，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若，則數(shù)列為遞減數(shù)列。
數(shù)列單調(diào)性判斷：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)判斷單調(diào)性。②作差法、作商法判斷大小。
【題型1】根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項
1．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，則144是該數(shù)列的第（　　）項
A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：由題意可得數(shù)列從第3項起，每一項等于前兩項的和，
所以這個數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，
所以144是該數(shù)列的第12項．
故選：C．
2．已知數(shù)列，，，3，，…，則是這個數(shù)列的（　　）
A．第12項 B．第13項 C．第14項 D．第25項
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，3，， 的通項公式為an，
若，解可得n＝25，則是這個數(shù)列的第25項，
故選：D．
3．是數(shù)列、、、、 的（　　）
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
【解答】解：由題意可知，該數(shù)列為、、、、、、 ，
故是數(shù)列、、、、 的第6項．故選：A．
4．已知數(shù)列1、、2、、4、…，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，16是該數(shù)列的（　　）
A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項
【解答】解：設該數(shù)列為{an}，則，，，，，
根據(jù)以上規(guī)律可額，由可得n＝9．
因此16是該數(shù)列的第9項．
故選：C．
5．數(shù)列的第8項是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：觀察可看為，
分母是2n﹣1，分子為n2，故第8項為．
故選：A．
【題型2】觀察法求數(shù)列通項
1．數(shù)列，…，則該數(shù)列的第n項為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：數(shù)列，…，則該數(shù)列的第n項為．
故選：D．
2．數(shù)列的一個通項公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列，
即，，，，……，故該數(shù)列的一個通項公式可以為．
故選：D．
3．已知數(shù)列{an}為1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36，…，則數(shù)列{an}的一個通項公式是（　　）
A．（﹣1）n n2 B．（﹣1）n+1 n2 C．（﹣1）n+1 n3 D．（﹣1）n n3
【解答】解：由題意知，數(shù)列：1，4，9，16，25， 的通項公式為n2，
所以數(shù)列{an}：1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36， 的通項公式為（﹣1）n+1 n2．
故選：B．
4．數(shù)列1，3，7，13，21，…的一個通項公式為an＝（　　）
A．n2﹣n B．n2﹣n﹣1 C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n
【解答】解：根據(jù)題意，對于數(shù)列1，3，7，13，21，…
有1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，13＝42﹣4+1，21＝42﹣4+1，
歸納可得：an＝n2﹣n+1．
故選：C．
5．數(shù)列的一個通項公式為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：奇數(shù)項為負，偶項為正，可用（﹣1）n來實現(xiàn)，
而各項分母可看作21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31， ，
各項分子均為1，
∴該數(shù)列的通項公式為．
故選：D．
【題型3】根據(jù)數(shù)列的通項公式求值
1．數(shù)列{an}的通項為an＝7﹣2n（n∈N+），則a3的值為（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【解答】解：∵an＝7﹣2n（n∈N+），
∴a3＝7﹣2×3＝1．
故選：A．
2．若數(shù)列{an}的通項公式為，則a4＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，若數(shù)列{an}的通項公式為，
則a4．
故選：C．
3．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2+2n，則下列各數(shù)是{an}中的項的是（　　）
A．10 B．18 C．26 D．63
【解答】解：對于A，an＝n2+2n＝10，解得n＝﹣10，n＝﹣1不是正整數(shù)，故A錯誤；
對于B，，解得n＝﹣1，n＝﹣1，均不是正整數(shù)，故B錯誤；
對于C，，解得n＝﹣10，n＝﹣1不是正整數(shù)，故C錯誤，
對于D，，解得n＝﹣9或n＝7，故數(shù)列{an}的第7項為63．
故選：D．
4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2﹣2n，則下列各數(shù)中，不是數(shù)列{an}中的項的是（　　）
A．0 B．8 C．16 D．24
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，若n2﹣2n＝0，解可得n＝2或0（舍），0是數(shù)列{an}中的項，符合題意；
對于B，若n2﹣2n＝8，解可得n＝4或﹣2（舍），8是數(shù)列{an}中的項，符合題意；
對于C，若n2﹣2n＝16，無正整數(shù)解，16不是數(shù)列{an}中的項，不符合題意；
對于D，若n2﹣2n＝24，解可得n＝6或﹣4（舍），24是數(shù)列{an}中的項，符合題意；
故選：C．
5．已知數(shù)列{an}滿足，則下列各數(shù)中屬于數(shù)列{an}中的項的是（　　）
A．3 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，若3，解可得n，無整數(shù)解，故3不是數(shù)列{an}中的項，
對于B，若2，解可得n，無整數(shù)解，故2不是數(shù)列{an}中的項，
對于C，若3，解可得n，無整數(shù)解，故3不是數(shù)列{an}中的項，
對于D，若4，解可得n＝5，故5是數(shù)列{an}中第5項．
故選：D．
【題型4】數(shù)列的單調(diào)性
1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an，那么這個數(shù)列是（　　）
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．擺動數(shù)列 D．常數(shù)列
【解答】解：an+1﹣an0，∴an+1＞an．
an＞0．數(shù)列是遞增數(shù)列．故選：A．
2．下列通項公式中，對應數(shù)列是遞增數(shù)列的是（　　）
A．a(chǎn)n＝1﹣n
B．
C．
D．
【解答】解：對于A，B選項對應數(shù)列是遞減數(shù)列；
對于C選項，∵an+1﹣an＝4n﹣3＞0，∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；
對于D選項，∵a2＞a3，∴數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列．
故選：C．
3．已知數(shù)列{an}的通項公式為，且{an}為遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是（　　）
A．λ＞2 B．λ＜2 C．λ＞1 D．λ＜1
【解答】解：∵數(shù)列{an}的通項公式為，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，
∴an+1﹣an，n∈N*恒成立，
即λ＜n2+n，n∈N*恒成立，而n2+n，n∈N*隨n的增大而增大，
即當n＝1時，n2+n，n∈N*取得最小值2，則λ＜2，
所以實數(shù)λ 的取值范圍是（﹣∞，2）．
故選：B．
4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2+kn+2，若對于n∈N*，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為（　　）
A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＞﹣3 D．k＞﹣2
【解答】解：因為數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，
所以an+1＞an，即（n+1）2+k（n+1）+2＞n2+kn+2，整理得：k＞﹣（2n+1），
因為當n∈N*時，f（n）＝﹣（2n+1）單調(diào)遞減，
f（n）max＝f（1）＝﹣（2×1+1）＝﹣3，所以k＞﹣3．
故選：C．
5．已知數(shù)列{an}滿足an＝2n+kn，若{an}為遞增數(shù)列，則k的取值范圍是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2）
【解答】解：若{an}為遞增數(shù)列，則an+1﹣an＞0，
則有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，對于n∈N+恒成立．
∴k＞﹣2n，對于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．
故選：A．
【題型5】數(shù)列的最值
1．已知數(shù)列{an}中，an＝n2﹣5n+4，則數(shù)列{an}的最小項是（　　）
A．第1項 B．第3項、第4項
C．第4項 D．第2項、第3項
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}中，an＝n2﹣5n+4，則an+1﹣an＝（n+1）2﹣5（n+1）+4﹣n2+5n﹣4＝2n﹣4，
當n＜2時，有an+1﹣an≤0，則有a1＞a2，
當n＝2時，有an+1﹣an＝0，則有a2＝a3，
當n＞2時，有an+1﹣an＞0，則有a3＜a4＜……，
故數(shù)列{an}的最小項是第2項、第3項．
故選：D．
2．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若an＝n（8﹣n）（n∈N+）則（　　）
A．{an}有最大項，{Sn}有最大項
B．{an}有最大項，{Sn}有最小項
C．{an}有最小項，{Sn}有最大項
D．{an}有最小項，{Sn}有最小項
【解答】解：對于二次函數(shù)y＝﹣x2+8x，其圖象開口向下，
對稱軸為直線x＝4，
即當x＝4時，y＝﹣x2+8x取得最大值，
對于{an}，當n＝4時，an最大，且當1≤n＜8時，an＞0，
當n＞8時，an＜0，當n＝7或8時，Sn最大，
∴{an}有最大項，{Sn}有最大項．
故選：A．
3．在數(shù)列{an}中，an＝﹣2n2+29n+3，則此數(shù)列最大項的值是（　　）
A．102 B． C． D．108
【解答】解：an＝﹣2n2+29n+3對應的拋物線開口向下，對稱軸為n7，
∵n是整數(shù)，
∴當n＝7時，數(shù)列取得最大值，此時最大項的值為a7＝﹣2×72+29×7+3＝108，
故選：D．
4．在數(shù)列{an}中，，則an的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得．
根據(jù)對勾函數(shù)與復合函數(shù)的單調(diào)性，在上遞增，在上遞減，
所以在{an}中，a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞ ．
當n＝3時，，；
當n＝4時，．；
因為，所以，
所以an的最大值是．
故選：D．
5．數(shù)列（　　）
A．既有最大項，又有最小項
B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項
D．既無最大項，又無最小項
【解答】解：∵210＝1024，211＝2048，
∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，{}在1≤n≤10時為減數(shù)列且為負，在n≥11時為減數(shù)列且為正，
∴數(shù)列{}的最小項為第10項，最大項為11項．
故選：A．
【題型6】根據(jù)數(shù)列的前項和公式求值
1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2n，則a2＝　2　．
【解答】解：∵Sn＝2n，∴a1＝S1＝2，a1+a2＝S2＝4，∴a2＝2，
2．設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a9的值為（　　）
A．15 B．17 C．49 D．64
【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a9＝S9﹣S8＝81﹣64＝17．
故選：B．
3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2+1，n∈N*，則a5＝（　　）
A．20 B．17 C．18 D．19
【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2+1，n∈N*，
則a5＝S5﹣S4＝2×52+1﹣（2×42+1）＝18．
故選：C．
4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2﹣2n+1，則a3＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因為數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2﹣2n+1，
所以a3＝S3﹣S2＝（9﹣6+1）﹣（4﹣4+1）＝3．
故選：B．
5．已知數(shù)列an}的前n項和為Sn，若對任意的n∈N*，都有Sn＝2n+n2+n﹣1，則a6＝　44　．
【解答】解：n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+n2+n﹣1﹣[2n﹣1+（n﹣1）2+n﹣2]＝2n﹣1+2n，
∴a6＝25+2×6＝44．
【題型7】根據(jù)數(shù)列的前項和公式求通項公式
1．已知數(shù)列{an}的前n項和，那么它的通項公式為an＝　2n﹣3　．
【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項和，∴n＝1時，a1＝S1＝﹣1．
n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣2n﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]＝2n﹣3．n＝1時也成立．
∴an＝2n﹣3．
2．已知數(shù)列{an}，Sn是它的前n項和，Sn＝3n2+2n+1，則an＝　　．
【解答】解：數(shù)列{an}，Sn是它的前n項和，Sn＝3n2+2n+1，∴a1＝S1＝3+2+1＝6．
當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2+2n+1﹣[3（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]＝6n﹣1，
綜上，an，
3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n﹣2，則an＝　　．
【解答】解：當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n﹣2﹣3n﹣1+2＝2 3n﹣1，
當n＝1時，a1＝31﹣2＝1≠2＝2 30，即n＝1時，a1＝1不符合n≥2時的關(guān)系式an＝2 3n﹣1，
∴an．
4．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n 2n，則an＝　2n﹣1×（n+1）　．
【解答】解：∵Sn＝n 2n，
∴n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n 2n﹣（n﹣1） 2n﹣1＝2n﹣1×（n+1）．
n＝1時，a1＝S1＝2．上式也成立．
∴an＝2n﹣1×（n+1）．
故答案為：2n﹣1×（n+1）．
5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝20n2+3n﹣2n，則an的最大值為 　199　．
【解答】解：Sn＝20n2+3n﹣2n，
當n＝1時，a1＝S1＝20+3﹣2＝21，
當n≥2時，Sn﹣1＝20（n﹣1）2+3（n﹣1）﹣2n﹣1，
兩式相減可得an＝20（2n﹣1）+3﹣2n﹣1＝40n﹣2n﹣1﹣17，
當n＝1時，a1＝22，∴an，
當n≥2時，則an+1﹣an＝40（n+1）﹣2n﹣17﹣（40n﹣2n﹣1﹣17）＝40﹣2n﹣1，
∴a8﹣a7＜0，a7﹣a6＞0，
∴當n＝7時，an最大，a7＝40×7﹣26﹣17＝199，
當n＝1時，a1＝21不是{an}中的最大值．
故答案為：199．
【題型8】遞推公式
1．數(shù)列{an}中a1＝3，an+1＝2an，則a4等于（　　）
A． B．24 C．48 D．54
【解答】解：因為an+1＝2an，所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且公比為2．
所以，
故選：B．
2．在數(shù)列{an}中，，則a5＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．
【解答】解：，則a2＝1﹣2＝﹣1，
a3＝1+1＝2，a4＝1，a5＝1﹣2＝﹣1，
故選：C．
3．數(shù)列{an}滿足a1＝1，an（n≥2），則a5的值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)條件，，，．
故選：C．
4．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap+q＝ap+aq，且a2＝﹣6，那么a10等于（　　）
A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21
【解答】解：∵a4＝a2+a2＝﹣12，
∴a8＝a4+a4＝﹣24，
∴a10＝a8+a2＝﹣30，
故選：C．
5．已知數(shù)列{an}的項滿足an+1an，而a1＝1，通過計算a2，a3，猜想an等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：數(shù)列{an}的項滿足an+1an，而a1＝1，
∴a2．
a3
猜想an．
故選：B．
【題型9】數(shù)列周期性的應用
1．若數(shù)列滿足，，，則（ ）
A． B．－2 C．3 D．
【答案】A
【分析】代入計算出數(shù)列的前幾項，歸納出周期后可得結(jié)論．
【詳解】，則，，，，
所以數(shù)列是周期數(shù)列，且周期是4，因此，
故選：A．
2．設數(shù)列中，，（且），則（ ）
A．-1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】通過遞推式求出數(shù)列的周期，然后利用周期性求值即可.
【詳解】因為，（且），所以，，，，，，
所以數(shù)列是周期為3數(shù)列，所以.
故選：C.
3．已知數(shù)列的前項和為，設，，則（ ）
A． B． C． D．1012
【答案】C
【分析】由已知推得，進而得出的前幾項，觀察可得的周期，根據(jù)數(shù)列的周期性，求和即可得出答案.
【詳解】易知，由得.
又，
所以，，，
故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，
所以.
故選：C.
4．已知數(shù)列中，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可知數(shù)列的周期為6，結(jié)合周期性運算求解.
【詳解】因為，則，
兩式相加得，則，
所以數(shù)列的周期為6，
所以.
故答案為：.
5．在數(shù)列中，，，，則 ．
【答案】
【分析】列舉出前幾項，觀察出其規(guī)律，即可.
【詳解】因為，，，所以，
則，，則，，則，，則，
由此可得數(shù)列的奇數(shù)項均為1，偶數(shù)項依次為3，，3，，，
整個數(shù)列各項為：，
四個一組，以4為周期，
則
所以．
故答案為：
當堂檢測
一．選擇題（共9小題）
1．對于數(shù)列{an}，“an+1＞|an|（n＝1，2，…）”是“{an}為遞增數(shù)列”的（　　）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由an+1＞|an|（n＝1，2，）知{an}所有項均為正項，
且a1＜a2＜…＜an＜an+1，即{an}為遞增數(shù)列
反之，{an}為遞增數(shù)列，不一定有an+1＞|an|（n＝1，2，），如﹣2，﹣1，0，1，2，
故選：B．
2．數(shù)列的一個通項公式是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：數(shù)列的一個通項公式是，，，，…，
即為（1），（），（），（），…，∴an，
故選：C．
3．數(shù)列1，﹣4，9，﹣16，25…的一個通項公式為（　　）
A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝（﹣1）nn2
C．a(chǎn)n＝（﹣1）n+1n2 D．a(chǎn)n＝（﹣1）n（n+1）2
【解答】解：經(jīng)觀察分析數(shù)列的一個通項公式為：an＝（﹣1）n+1n2
故選：C．
4．有窮數(shù)列1，23，26，29，…，23n+6的項數(shù)是（　　）
A．3n+7 B．3n+6 C．n+3 D．n+2
【解答】解：由有窮數(shù)列1，23，26，29，…，23n+6，
可得指數(shù)為：0，3，6，9，…，3n+6．
設3n+6為此數(shù)列的第k項，則3n+6＝0+（k﹣1）×3，
解得k＝n+3．
故選：C．
5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a32﹣a22的值為（　　）
A．9 B．16 C．21 D．11
【解答】解：∵Sn＝n2，
∴a2＝S2﹣S1＝3，a3＝S3﹣S2＝9﹣4＝5，
∴a32﹣a22＝25﹣9＝16；
故選：B．
6．數(shù)列{an}的通項公式，若該數(shù)列的第k項ak滿足40＜ak＜70，則k的值為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：根據(jù)題意，{an}的通項公式，
若該數(shù)列的第k項ak滿足40＜ak＜70，則有40＜2n+2n＜70，
又由n∈Z且n≥1，則n＝5，
故選：C．
7．已知數(shù)列{an}滿足an，n為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由an，得，
又an，n∈N*，又因為y在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，
所以{an}的最大值為a2＝a3，
故選：B．
8．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（　　）
A．1，，，，… B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…
C．﹣1，，，，… D．1，，，…，
【解答】解：A、此數(shù)列1，，，，…是遞減數(shù)列，則A不符合題意；
B、此數(shù)列﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…是遞減數(shù)列，則B不符合題意；
C、此數(shù)列﹣1，，，，…是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列，則C符合題意；
D、此數(shù)列1，，，…，，是有窮數(shù)列，則D不符合題意；
故選：C．
9．在數(shù)列{an}中，an+1＝an+2，且a1＝1，則a4等于（　　）
A．8 B．6 C．9 D．7
【解答】解：因為an+1＝an+2，所以an+1﹣an＝2，........故選：D．
二．多選題（共2小題）
（多選）10．下列各選項中，使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列的是（　　）
A．
B．
C．a(chǎn)1＝1，an+an+1＝3
D．
【解答】解：對選項A：，是遞增數(shù)列，正確；
對選項B：，是遞增數(shù)列，正確；
對選項C：a1＝1，an+an+1＝3，則a2＝2，a3＝1，不是遞增數(shù)列，錯誤；
對選項D：，是遞增數(shù)列，正確．
故選：ABD．
（多選）11．數(shù)列{an}滿足，則（　　）
A．數(shù)列{an}的最大項為a6 B．數(shù)列{an}的最大項為a5
C．數(shù)列{an}的最小項為a5 D．數(shù)列{an}的最小項為a4
【解答】解：根據(jù)題意，因為，
則，
由an+1﹣an＞0，得到9＜2n＜18，且易知，n≤4時，an＜0，當n≥5時，an＞0，
所以，
所以數(shù)列{an}的最大項為a5，最小項為a4，
故選：BD．
三．填空題（共4小題）
12．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3+2n，則數(shù)列{an}的通項公式為　　．
【解答】解：由Sn＝3+2n，當n＝1時，a1＝S1＝5．
當n≥2時，．所以．
13．數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn，則a6＝　　．
【解答】解：S6﹣S5，所以；
14．數(shù)列{an}滿足：，則a2010的值為　﹣3　．
【解答】解：∵，
∴當n＝1時，a23，
當n＝2時，a3，
依此類推，a4，a5＝2，
∴數(shù)列{an}為周期數(shù)列，周期T＝4，
∴a2010＝a2＝﹣3．
15．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n+n，則a5＝　17　．
【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和，則a5＝S5﹣S4＝（25+5）﹣（24+4）＝17，
故答案為：17．
課后作業(yè)
一、單選題
1．已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】，則，，，……，
故為周期為3的數(shù)列，因為，所以.
故選：D
2．數(shù)列，則該數(shù)列的第n項為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】設該數(shù)列為，則
以此類推可得，
故選：D
3．已知數(shù)列的通項公式為，則當最小時，（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【詳解】數(shù)列中，，則，而，
于是當時，，即，當時，，即，
因此當時，數(shù)列單調(diào)遞減，當時，數(shù)列單調(diào)遞增，
所以當且僅當時，最小.
故選：C
4．已知數(shù)列的通項公式為，前項和為，則取得最小值時，的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【詳解】令，解得或，
當時，，故當時遞增，且
當時，，當時遞減，
當時，，當時遞增，
且 故 所以取得最小值時的值為8.
故選：C.
5．若數(shù)列{}的通項公式為則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由通項公式取即可.
【詳解】因為
所以
故選：C.
6．已知數(shù)列，滿足，，則（ ）
A．18 B．36 C．72 D．144
【答案】A
【分析】利用累加法計算即可.
【詳解】由題意可知：，
故選：A
7．已知數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根據(jù)與的關(guān)系進行求解即可.
【詳解】.
故選：C
8．已知數(shù)列的前項和. 若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得，然后根據(jù)求得的值.
【詳解】依題意，
當時，；
當時，，，
兩式相減得，也符合上式，
所以，
，由解得，所以.
故選：B
9．已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．2
【詳解】由得：
，
所以數(shù)列的周期為3，．
故選：D
10．設數(shù)列滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】∵，,
∴，解得，
∴，解得，
∴，解得，
故選：.
二、多選題
11．已知為數(shù)列的前n項和，若，且，則（ ）
A． B．是周期數(shù)列且周期為4
C． D．
【詳解】A選項，當時，，即，解得，
當時，，即，解得，A錯誤；
B選項，當時，，即，解得，
當時，，即，解得，循環(huán)，
故是周期數(shù)列且周期為4，B正確；
C選項，，C正確；
D選項，由于，故，D正確.
故選：BCD
12．已知數(shù)列的通項公式為，則（ ）
A．數(shù)列為遞增數(shù)列 B．
C．為最小項 D．為最大項
【答案】CD
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，利用分離常數(shù)法得出，結(jié)合及函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A、C、D；求得即可判斷B．
【詳解】，
當()時，，且單調(diào)遞減；當()時，，且單調(diào)遞減，
則為最小項，為最大項，故C、D正確，A錯誤；
，，則，故B錯誤，
故選：CD．
三、填空題
13．已知數(shù)列的前項和為，，，且，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項，從而可得出數(shù)列的一個周期性，再根據(jù)數(shù)列的周期性即可得出答案.
【詳解】由題意，，，
，，，
所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，
所以．
14．已知數(shù)列的前n項和為，若（為非零常數(shù)），且，則 ．
【答案】12
【分析】由所給的遞推關(guān)系，令計算出，代入即可得出結(jié)果.
【詳解】由，，
當時，，即，得，
當時，，即，得，
當時，，即，得，
因為，即，又，解得.
15．已知數(shù)列為遞增數(shù)列，，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可得，轉(zhuǎn)化為最值問題，化簡解出即可.
【詳解】∵數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴，
，
化為恒成立，
因為且，則，
.
故答案為：.
四、解答題
16．在數(shù)列中，已知，且.
(1)求通項公式.
(2)求證：是遞增數(shù)列.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項將分別代入可計算出，可求得通項公式；（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義，由即可得出證明.
【詳解】（1）由，且可得
，解得；
因此. 所以，數(shù)列的通項公式為
（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義可知，
，
即，
故是遞增數(shù)列.

展開更多......

收起↑