資源簡介

4.2.1指數函數的概念
學習目標
1.能從教材實例中抽象出指數函數的概念．
2.能從教材實例中體會指數型函數模型在實際問題中的應用．
學習重點：指數函數的概念．
學習難點：指數函數解析式、指數函數的實際應用．
知識回顧
1.根式與指數式的互化： 時,
2.實數指數冪的運算性質：
3.研究一個函數一般研究函數的哪些內容？怎樣研究？
預習導引（自主學習課本111-115頁，先了解本節知識要點！）
1.對數據變化規律進行分析時經常通過數據間的運算結果尋找規律，其中增加（減少）量和增長（減少）率是兩個常見的參考方向，通過學習問題1與問題2可以發現：
(1)從數據運算結果看變化規律：
(2)根據研究可以提取出哪些函數關系？
2.函數圖象呈直線形式時稱為線性變化，其它為非線性變化.觀察呈非線性變化的函數表達式的形式特征，給出一類函數定義：
指數函數定義：一般地，函數_____________叫做指數函數.其中指數x是自變量,定義域是_________.
對底數的要求是：_________________
指數冪的系數為：___________________
猜測函數值y_____0,理由：
四、典型例題（結果背后的理解更為重要！）
題型一 指數函數的概念
例1．(1)給出下列函數：①；②；③；④；⑤.其中，指數函數的個數是( )
A． B． C． D．
(2)若函數(x是自變量)是指數函數，則的取值范圍是( )
A． B． C. D.
題型二 指數函數解析式
例2．已知指數函數，且，求,,的值.
思路分析：求函數值前應先求出什么？
例3．若函數是指數函數，則的值為( )
A． B． C． D．
跟蹤訓練 指數函數的圖象經過點，那么等于( )
A． B． C． D．
題型三 函數模型的實際應用
自學課本114頁例2
例4．在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數增長，那么經過天，該湖泊的藍藻會變為原來的多少倍？（參考數據:）
例5．某種細菌經60分鐘培養，可繁殖為原來的2倍，且知該細菌的繁殖規律為，其中k為常數，t表示時間(單位：小時)，y表示細菌個數，10個細菌經過7小時培養，細菌能達到的個數為( )
A． B． C． D．
課時作業
1．下列函數中，不能化為指數函數的是( )
A． B．
C． D．
2．函數是指數函數，則有( )
A．或 B．
C． D．
3. 下列圖象中，有可能表示指數函數的是（ ）
A. B. C. D.
4．若點在函數的圖象上，則的值為( )
A． B．
C． D．
5．某地為了保護水土資源，實行退耕還林，如果2016年退耕8萬公頃，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕( )
A．萬公頃 B．萬公頃
C．萬公頃 D．萬公頃
6．*(多選)設指數函數，則下列等式中不正確的有( )
A． B．
C． D．
7．若函數是指數函數，則實數的取值范圍為________．
8．已知函數，經過點，，則的值為________．
9．已知函數是指數函數，如果，那么________.(填“>”“＝”或“<”)
10．若指數函數的圖象與冪函數的圖象相交于一點，則＝_____，＝______．
11. 一種產品原來的年產量是件，今后年內，計劃使產量平均每年比上一年增加，寫出年產量（單位：件）關于經過的年數的函數解析式為________.
12. 當死亡生物組織內碳14的含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到碳14了.如果死亡生物組織內的碳14經過九個“半衰期”后，那么用一般的放射性探測器能測到碳14嗎？
13．已知函數是指數函數．
(1)求的表達式；
(2)判斷的奇偶性，并加以證明．
14．某商品價格(單位：元)因上架時間(單位：天)的不同而不同，假定商品的價格與上架時間的函數關系是一種指數型函數，即.當商品上架第1天的價格為96元，而上架第3天的價格為54元時，該商品上架第4天的價格為多少元
**15．已知函數，且，，求函數的一個解析式.
指數函數的概念 參考答案
(1)B (2)C
例3.D 跟蹤訓練 D
例4.解析：設現在的藍藻量為，經過30天后的藍藻量為，則，
，∴經過30天，該湖泊的藍藻會變為原來的6.16倍.
例5.B 解析：設原來的細菌數為a，由題意可得，在函數y＝10ekt中，
當t＝1時，y＝2a，所以2a＝10ek即ek＝，當a＝10時，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t，
若t＝7，則可得此時的細菌數為y＝10×27＝1 280，
課時作業 參考答案
1.解析：選B.對于A，y＝2x·3x＝6x是指數函數；對于B，y＝2x－1＝不是指數函數；對于C，y＝32x＝9x是指數函數；對于D，y＝4－x＝是指數函數．
2.解析：選B.因為函數y＝(a2－3a－3)ax是指數函數，所以解得a＝4.
3.解析：由于（，且），所以A，B，D都不正確，故選C.
4.解析：選A.點(a，27)在函數y＝()x的圖象上，所以27＝()a，即33＝3，所以＝3，解得a＝6，所以＝.故選A.
5.解析：選D.根據題意，2016年退耕8萬公頃，以后每年比上一年增加10%，則每年的退耕還林畝數為前一年的1.1倍,所以2023年退耕畝數為8×1.17(萬公頃).所以D選項是正確的．
6.解析：選CD.f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)·f(y)，A正確；f(x－y)＝ax－y＝＝，B正確；f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正確；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正確．
7.解析：因為函數y＝(a2－3a)x是指數函數，所以解得所以實數a的取值范圍是.
8.解析：由解得所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7.
9.解析：因為函數f(x)是指數函數，所以設f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，則由f(3)＝9f(1)，得a3＝9a，解得a＝3或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝3x，由此可得f(8)>f(4).
10. 解析：設指數函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，冪函數g(x)＝xα，將(2，4)代入兩個解析式得4＝a2，4＝2α，解得a＝2，α＝2，故f(x)＝2x，g(x)＝x2.
11.解析：由題意，今后年內，年產量隨時間變化的增長率為，又原來的年產量是a件，∴．
12.解析：由題意，經過九個“半衰期后”，碳14的含量為，所以能探測到．
13.解析：(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝2x.(2)F(x)＝f(x)－f(－x)＝2x－2－x是奇函數．證明如下：F(x)的定義域是R，關于原點對稱，且F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)，所以F(x)是奇函數．
14.解析：由題意可知解得所以當x＝4時，y＝k·a4＝.
15.解析：由己知得，，，
，
，又.

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