資源簡介

24.1垂直于弦的直徑
學習目標
1.掌握垂徑定理及相關結論.
2.運用這些結論解決一些有關證明、計算和作圖問題.
重點：理解圓的軸對稱性，掌握垂徑定理及其推論，學會運用垂徑定理等結論解決一些有關證明、計算和作圖問題.
難點：垂徑定理及其推論.
學習過程
一、創設問題情境
問題:你知道趙州橋嗎 它是1 300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37 m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23 m,你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎
二、自主學習
自學教材81---82頁內容并思考：
垂徑定理及其推論的內容的實質是知二推三；
2、通過學習能否用垂徑定理和勾股定理等解決一些有關計算和證明.
三、揭示問題規律
（一）圓的軸對稱性
1.按照課本“探究”的要求折紙，可以發現折線兩側的半圓　　，所有的折痕都交于一點，這點就是　 　.
【答案】重合；圓心
2.要證明圓是軸對稱圖形，只需要證明圓上任意一點關于直徑所在直線(對稱軸)的對稱點也在　 　.
【答案】圓上
3.如圖，點P為⊙O上任意一點，AB為⊙O的任意一條直徑，請說明⊙O關于直線AB對稱，補全下面的說理過程.
證明：過點P作PM⊥AB于點M，并交⊙O于點P'，連接OP、OP'.
在△OPP'中，　 ，且PP'⊥AB，
∴　 　(等腰三角形三線合一)，
即　 　是PP'的垂直平分線，
∴圓上任意一點P關于直線AB的對稱點也在圓上，
∴⊙O關于直線　 　對稱.
【答案】OP=OP'；PM=P'M；AB；AB
（二）垂徑定理
如圖，在⊙O中，弦AB(不是直徑)與直徑CD垂直，垂足為點E，根據圓的軸對稱性，當把⊙O沿CD所在的直線折疊時，點A與點B重合.
(1)線段AE與線段BE重合，所以AE　　BE，即直徑CD平分弦AB；
(2)與 　重合，所以= 　，即直徑CD平分 　；
(3) 　與 　重合，所以 　= 　，即直徑CD平分 　.
思考：直徑CD與弦AB有怎樣的位置關系 這樣的一條直徑CD平分了哪些量
答：直徑CD與弦AB垂直，直徑CD平分了弦AB和弦AB所對的兩條弧.
【答案】(1)=；(2)；；；(3)；；；；
四、嘗試應用
【例1 】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB＝10，EB＝2，求弦CD的長．
解：連接OC，如圖所示：
∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD，OC＝OA＝OB＝5，
∴OE＝OB﹣EB＝5﹣2＝3，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8．
【例2 】趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦）長為37.4m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2m，請求出趙州橋的主橋拱半徑（結果保留小數點后一位）．
解：設O為圓心，作OD⊥AB于D，交弧AB于C，如圖所示：
∵拱橋的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2﹣（OC﹣CD）2，即18.72＝AO2﹣（AO﹣7.2）2，
解得：AO≈27.9m．
即圓弧半徑為27.9m．
答：趙州橋的主橋拱半徑為27.9m
五、自主總結
1.圓的對稱性是垂徑定理證明的根據；
2.能運用垂徑定理和勾股定理進行線段的計算.
達標測試
一、選擇題
1.如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，則下列結論中不成立是（　　）
A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE
2.如圖，在⊙O中，OC⊥弦AB于點C，AB=4，OC=1，則OB的長是(　　)
A. B. C. D.
3.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動點，則OM不可能為(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.直徑為10分米的圓柱形排水管，截面如圖所示．若管內有積水（陰影部分），水面寬AB為8分米，則積水的最大深度CD為（　　）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
5.在半徑為5 cm的圓中，弦AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，則AB和CD的距離是(　　)
A.7 cm B.1 cm C.7 cm或4 cm D.7 cm或1 cm
二、填空題
6.在⊙O中，弦AB＝8，圓心O到AB的距離為2，則⊙O的半徑長是 　 　．
7.如圖，在平面直角坐標系中，圓的半徑為5，圓心的坐標為（6，3），圓與橫軸的交點分別為A，B，則AB＝　 　．
8.點P是⊙O內一點，過點P的最長弦的長為10，最短弦的長為6，則OP的長為 　 　．
9.如圖，在一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60m，拱高PM為18m，當洪水泛濫到跨度只有30m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4m，即PN＝4m時，試通過計算說明是否需要采取緊急措施．
24.1.2 垂直于弦的直徑
1.C【解析】∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，
∴＝，＝，CE＝DE，但OE不一定等于BE，
故選項A、B、D正確，選項C不正確，故選：C．
2.B【解析】連接OB，∵OC⊥AB于C，AB=4，∴BC=AB=×4=2，在Rt△OBC中，∵OC=1，BC=2，∴OB===.故選B.
3.A【解析】①M與A或B重合時OM最長，等于半徑5；
②∵半徑為5，弦AB=8，∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4，
∴OM最短為=3，∴3≤OM≤5，因此OM不可能為2.
4.A【解析】連接OA，如圖所示：
∵⊙O的直徑為10分米，
∴OA＝5分米，
由題意得：OD⊥AB，AB＝8分米，
∴AC＝BC＝AB＝4分米，
∴OC＝＝＝3（分米），
∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），故選：A．
5.D【解析】如圖，作OE⊥AB，交CD于F，連結OA、OC，OA=OC=5 cm，
∵AB∥CD，∴OF⊥CD，
∴AE=AB=3 cm，CF=CD=4 cm，
在Rt△AOE中，OE==4 cm，
在Rt△COF中，OF==3 cm，
當圓心O在平行弦AB與CD之間，EF=OE+OF=4 cm+3 cm=7 cm；
當圓心O在平行弦AB與CD之外，EF=OE-OF=4 cm-3 cm=1 cm；
∴弦AB、CD之間的距離為1 cm或7 cm.
6. ．【解析】∵弦AB＝8，圓心O到AB的距離OC＝2，
∴AC＝BC＝4，∠OCA＝90°，由勾股定理得：AO＝.
7. 8【解析】過圓心P作PH⊥AB于H，連接PA，如圖，則AH＝BH，
∵P（6，3），
∴PH＝3，
在Rt△PAH中，PA＝5，PH＝3，
∴AH＝＝4，
∴AB＝2AH＝8．
8. 4 【解析】過點P作直徑AB，過P作弦CD⊥AB，
則AB＝10，CD＝6，
∴OC＝OA＝OB＝5，
∵AB⊥CD，AB過圓心O，CD＝6，
∴CPDP＝3，∠OPD＝90°，
由勾股定理得：OP＝＝＝4.
9.解：設圓弧所在圓的圓心為O，連接OA、OA′，設半徑為x米，
則OA＝OA′＝OP，
由垂徑定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取緊急措施．

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