資源簡(jiǎn)介

24.1　圓的有關(guān)性質(zhì)
24.1.4　圓周角
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解圓周角的定義,掌握?qǐng)A周角定理.
2.初步運(yùn)用圓周角定理解決相關(guān)問題.
3.掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì),并能靈活運(yùn)用.
重點(diǎn)：圓周角與圓心角的關(guān)系，圓周角的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓周角的特征；圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì).
難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理.
學(xué)習(xí)過程
一、創(chuàng)設(shè)問題情境
問題 如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗AB觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物，同學(xué)甲站在圓心O的位置.同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（∠AOB和∠ACB）有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角（∠ADB和∠AEB）和同學(xué)乙的視角相同嗎？
二、自主學(xué)習(xí)
自學(xué)：認(rèn)真研讀課本內(nèi)容，了解圓周角的概念和圓周角與圓心角之間的關(guān)系;進(jìn)一步了解圓周角的概念以及能夠判斷一個(gè)角是否是圓心角.
了解圓周角的概念和圓周角與圓心角之間的關(guān)系.
三、揭示問題規(guī)律
(一）圓周角定義：1.定義:________________________________________叫圓周角.辨析:圖中的角是圓周角的是_____________.
頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交的角 E
2.在圖1中畫出弧所對(duì)的圓周角.能畫幾個(gè)
無數(shù)個(gè)
（二）圓周角定理
在下圖中畫出所對(duì)的圓周角.
1.量出所對(duì)的圓周角和∠AOB的度數(shù)你會(huì)發(fā)現(xiàn): .
2.嘗試證明你的發(fā)現(xiàn).
所對(duì)的圓周角等于∠AOB
以下圖為例：圓心O在∠BAC的內(nèi)部
歸納:圓周角定理: .在圖中,由圓周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等
思考:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓周角相等,它們所對(duì)的弧一定相等嗎 為什么
相等
推論1：同弧所對(duì)的圓周角 .
推論2：等弧所對(duì)的圓周角 .
推論3：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是 .反之，直角所對(duì)的弦是 .
相等 相等 90° 直徑
（三）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)多邊形叫做 ,這個(gè)圓叫做這個(gè) .
問題1:如圖,四邊形ABCD叫做☉O的內(nèi)接四邊形,而☉O叫做四邊形ABCD的外接圓,
猜想:∠A與∠C,∠B與∠D之間的關(guān)系為 . 由此得出圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):　 .
圓內(nèi)接多邊形 圓內(nèi)接四邊形 ∠A+∠C =180° ∠B+∠D=180°
圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.
四、嘗試應(yīng)用
【例1 】如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，AC、BD為四邊形ABCD的對(duì)角線.若弧AB=弧AD，則∠1與∠2是否相等，為什么？
【例2 】如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求證：∠FGD＝∠ADC.
證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
五、自主總結(jié)
1.本節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角、圓內(nèi)接四邊形的概念，圓周角與圓心角關(guān)系定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理.
2.常見的輔助線：有圓周角構(gòu)造圓心角；有直徑，連接圓周角
3.本節(jié)課用到的思想方法：類比法，分類討論思想，方程的思想
達(dá)標(biāo)測(cè)試
一、選擇題
1.在同圓中，同弦所對(duì)的圓周角（　?。?br/>A. 相等 B. 互補(bǔ) C. 相等或互補(bǔ) D. 互余
2.如圖，AB是⊙O的直徑，∠D＝35°，則∠BOC的度數(shù)為（　?。?br/>A．120° B．70° C．100° D．110°
3.如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是（　?。?br/>A．30°B．45°C．60°D．70°
3題圖 4題圖 5題圖
4.如圖，⊙C過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi)弧OB上一點(diǎn)，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長(zhǎng)為（　?。?br/>A．6 B．5 C．3 D．3
5.如圖，兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，小圓經(jīng)過大圓的圓心O，點(diǎn)C，D分別在兩圓上，若∠ADB=100°，則∠ACB的度數(shù)為（　?。?br/>A．35°B．40°C．50°D．80°
二、填空題
6.如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，則∠DOC的度數(shù)是________度．
6題圖 7題圖
7.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD=________度．
8.如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠AOC＝100°，則∠CBE＝　 　．
9.已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度數(shù)；
（2）求證：BD=CD．
24.1.4圓周角
1.C
2.D【解析】∵＝，又∠D＝35°，
∴∠AOC＝2∠D＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．故選：D．
3.C
4.C 解析：∵四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直徑，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半徑長(zhǎng)=3．
5.B 解析：連OA，OB，如圖，∵A，B，O，D都在⊙O上，∴∠D+∠AOB=180°，而∠ADB=100°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB= ∠AOB=40°．
6.48 解析：∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OC,∵∠A=42°,∴∠ACO=∠A=42°,∵D為AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°-∠DCO=90°-42°=48°．
7.38 解析：∵AB=AC=AD，∴點(diǎn)B，C，D可以看成是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上的三個(gè)點(diǎn)，∴∠CBD是弧CD對(duì)的圓周角，∠CAD是弧CD對(duì)的圓心角；∵∠CAD=76°，∴∠CBD= ∠CAD= ×76°=38°．
8.50°解析：∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC＝∠AOC＝50°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠CBE＝180°﹣130°＝50°．
9.（1）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．又∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°．∴∠EBC=22.5°．（2）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=CD．

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