資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題二十四 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、表面積和體積
知識(shí)歸納
一、構(gòu)成空間幾何體的基本元素—點(diǎn)、線、面
（1）空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．
（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．
二、簡(jiǎn)單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺(tái)
1．棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．
（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；
（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；
（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；
（6）長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體；
（7）正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體．
2．棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．
（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐．
3．棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．
簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．
三、簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球
1．圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．
2．圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．
3．圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．
4．球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度）．
四、組合體
由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．
五、表面積與體積計(jì)算公式
表面積 柱體 為直截面周長(zhǎng) 體積
錐體
臺(tái)體
球
六、空間幾何體的直觀圖
1．斜二測(cè)畫法
斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：
（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．
（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．
（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊?jiǎn)化為“橫不變，縱減半”．
（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．
注：直觀圖和平面圖形的面積比為．
2．平行投影與中心投影
平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．
方法技巧與總結(jié)
典例分析
題型一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
【例1-1】(多選題)下列命題正確的是( )
A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形
C．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
D．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行
【答案】BD
【詳解】對(duì)A，棱臺(tái)指一個(gè)棱錐被平行于它的底面的一個(gè)平面所截后，截面與底面之間的幾何形體，其側(cè)棱延長(zhǎng)線需要交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故B正確；
對(duì)C，用平面截圓柱得到的截面也可能是橢圓，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，棱柱的面中，至少上下兩個(gè)面互相平行，故D正確；
【例1-2】(多選題)下列命題正確的是( )
A．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線
B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
C．以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)
D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
【答案】AC
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)圓錐的母線的定義，可知A正確；
對(duì)于B，把梯形的腰延長(zhǎng)后有可能不交于一點(diǎn)，此時(shí)得到幾何體就不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，根據(jù)圓臺(tái)的定義，可知C正確；
對(duì)于D，當(dāng)平面不與圓柱的底面平行且不垂直于底面時(shí)，得到的截面不是圓和矩形，故D錯(cuò)誤.
【例1-3】(多選題)《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼 耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則( )
A．“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形； B．“羨除”一定不是臺(tái)體；
C．不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“羨除”； D．“羨除”至多有兩個(gè)面為梯形.
【答案】ABC
【詳解】由題意知：，四邊形為梯形，如圖所示：
對(duì)于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形，故A正確；
對(duì)于B：由于，所以：“羨除”一定不是臺(tái)體，故B正確；
對(duì)于C：假設(shè)四邊形和四邊形BCDF為平行四邊形，則，
且，則四邊形為平行四邊形，與已知的四邊形為梯形矛盾，故不存在，故C正確；
對(duì)于D：若，則“羨除”三個(gè)面為梯形，故D錯(cuò)誤．
【例1-4】某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個(gè)石凳都是由正方體截去八個(gè)相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是( )

A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形
B．該幾何體恰有12個(gè)面
C．該幾何體恰有24條棱
D．該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)
【答案】B
【詳解】據(jù)圖可得該幾何體的面是等邊三角形或正方形，A正確；該幾何體恰有14個(gè)面，B不正確；
該幾何體恰有24條棱，C正確；該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)，D正確．
題型二、空間圖形的展開圖問題
【例2-1】如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開圖，如果將它還原為長(zhǎng)方體，那么線段AB與線段CD所在的直線( )
A．平行 B．相交 C．是異面直線 D．可能相交，也可能是異面直線
【答案】C
【詳解】如圖，將展開圖還原成長(zhǎng)方體，易得線段AB與線段CD是異面直線，
【例2-2】如圖①，這是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，將小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，這時(shí)小正方體正面朝上的圖案是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由圖①可知，“同心圓”和“圓”相對(duì)，“加號(hào)”和“箭頭”相對(duì)，“心形”和“星星”相對(duì)．
由圖②可得，小正方體從如圖②所示的位置翻到第6格時(shí)正面朝上的圖案是．
題型三、最短路徑問題
【例3-1】如圖，圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為( )
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【詳解】圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，由題得,
所以.
所以在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為.
【例3-2】如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長(zhǎng)為的正，糧堆母線的中點(diǎn)處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是___________.
【答案】
【詳解】由題意得：圓錐的底面周長(zhǎng)是，則，解得：
可知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是，如圖所示：
則圓錐的側(cè)面展開圖中：，，
所以在圓錐側(cè)面展開圖中：
【例3-3】如圖，在直三棱柱中，，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F的最短路徑長(zhǎng)度為________．

【答案】/
【詳解】若從E到F經(jīng)過棱則沿棱展開如圖，過作于，則，，故.
若從E到F經(jīng)過棱則沿棱展開如圖，，，.
若從E到F經(jīng)過棱則沿棱展開如圖，，，.
若從E到F經(jīng)過棱則沿棱展開如圖，由題意，為等腰直角三角形，
四邊形為正方形，故為等腰直角三角形，故四邊形為直角梯形.
又，，故.
故沿棱柱的表面從E到F的最短路徑長(zhǎng)度為.

題型四、立體圖形的直觀圖
【例4-1】如圖，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長(zhǎng)是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可得：，
由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：，可得，
所以原三角形的周長(zhǎng).
【例4-2】如圖，一個(gè)用斜二測(cè)畫法畫出來的三角形是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，則原三角形的面積是( )
A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2
C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2
【答案】C
【詳解】∵S△A′B′C′＝a2sin 60°＝a2，∴S△ABC＝S△A′B′C′＝a2.
【例4-3】(多選題)如圖所示，四邊形是由斜二測(cè)畫法得到的平面四邊形水平放置的直觀圖，其中，，，點(diǎn)在線段上，對(duì)應(yīng)原圖中的點(diǎn)，則在原圖中下列說法正確的是( )
A．四邊形的面積為14
B．與同向的單位向量的坐標(biāo)為
C．在向量上的投影向量的坐標(biāo)為
D．的最小值為17
【答案】ABD
【詳解】由直觀圖可得，四邊形為直角梯形，且，
則四邊形的面積為，故A正確；
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，則，
所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為，故B正確；
，則在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；
設(shè)，則，
則，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確.
題型五、空間幾何體的表面積
【例5-1】如圖，斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，則該斜三棱柱的側(cè)面積是_________．
【答案】/
【詳解】過點(diǎn)作于，如圖所示，
，，，
≌，，
，即，
又，平面，
又平面，，
又，，
∴平行四邊形為矩形，
∴該斜三棱柱的側(cè)面積為：.
【例5-2】如圖一個(gè)正六棱柱的茶葉盒，底面邊長(zhǎng)為，高為，則這個(gè)茶葉盒的表面積為______.
【答案】
【詳解】由題設(shè)，一個(gè)底面的面積為，
一個(gè)側(cè)面矩形面積為，所以茶葉盒的表面積為.
【例5-3】攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)底面棱長(zhǎng)為，正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則側(cè)面為等邊三角形，
則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為.
【例5-4】陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是( )

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可得圓錐體的母線長(zhǎng)為，
所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，
圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為.
【例5-5】由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為，則以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為( )
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【詳解】如圖為正四棱柱，為側(cè)面三角形底邊上的高，設(shè)，
由已知側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為，所以，
連接，設(shè)其交點(diǎn)為，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危詾榈闹悬c(diǎn)，
因?yàn)?，，又，平面?br/>所以平面，又平面，
所以，即為以為斜邊的直角三角形，
因?yàn)?，，所以?br/>所以以四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積，
四棱錐的側(cè)面積，
所以，所以以四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為.
【例5-6】河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺(tái)為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺(tái)．已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為，高為2，體積為，則該“方斗”的側(cè)面積為( )
A．24 B．12 C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，記正四棱臺(tái)為，其底面為正方形，
側(cè)面為四個(gè)等腰梯形，把該四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐如圖，
設(shè)是底面上與的交點(diǎn)，是底面上與的交點(diǎn)
則是正四棱錐的高，為正四棱臺(tái)的高，
設(shè)，，則上、下底面的面積分別為、，
由題意，所以，
在中，，所以為PA的中點(diǎn)，
在中，，所以，所以，
又，解得，，
所以，
所以側(cè)棱長(zhǎng)是，由勾股定理可得側(cè)面的高為，
所以側(cè)面積為.
題型六、空間幾何體的體積
（一）直接利用公式求體積
【例6-1】一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半徑為1的半圓，則該圓錐的體積為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】母線長(zhǎng)為1，設(shè)底面圓半徑為，則，∴，∴，
故圓錐的體積為.
【例6-2】已知正四棱臺(tái)中，，，則其體積為________.
【答案】
【詳解】如圖正四棱臺(tái)中，
則，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，又，所以，
即正四棱臺(tái)的高，
所以棱臺(tái)的體積.
【例6-3】紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái),如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個(gè)空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內(nèi)水深約( )cm
A．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.1
【答案】C
【詳解】解:由題知礦泉水的體積為,將圓臺(tái)的中軸面拿出,補(bǔ)全為一個(gè)三角形如圖所示:
加入礦泉水后,記石瓢壺內(nèi)水深為,水平面半徑為,
由圖可知,所以有
即,解得,
由,得,即,解得:,
故加入礦泉水后圓臺(tái)的體積為:
,解得,
所以.
【例6-4】如圖，已知四棱柱的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在上且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)DE，交于點(diǎn)F，AC，BD交于點(diǎn)G，連接FG，
則三棱錐就是三棱錐與三棱錐的公共部分．
因?yàn)?，所以，所以?br/>設(shè)點(diǎn)到平面ABCD距離為，則點(diǎn)F到平面ABCD的距離是，又，
所以三棱錐的體積為．
（二）割補(bǔ)法求體積
【例6-5】如圖，在三棱柱中，底面ABC，，點(diǎn)D是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為( )
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
【答案】D
【詳解】不妨令，且上下底面等邊三角形，
又底面ABC，易知為直三棱柱，即側(cè)面為矩形，
所以三棱柱體積，
而，故，
所以，故，所以.
【例6-6】如圖是兩個(gè)直三棱柱和重疊后的圖形，公共側(cè)面為正方形，兩個(gè)直三棱柱底面是腰為2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為______．
【答案】/
【詳解】依題意中，，，則，
該幾何體可視為直三棱柱的側(cè)面和側(cè)面在形外附著兩個(gè)三棱錐、，且為中點(diǎn)，有平面，平面，
所以幾何體體積.
【例6-7】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐的體積為___________.

【答案】
【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交
于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面.
因?yàn)?，則，
又因?yàn)?，所以，即，解得?br/>同理可得，則，，
因?yàn)?，所以，又，則，
同理可得；
所以，
，，
，
，
.
【例6-8】如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得.

(1)求證：平面平面；
(2)若，分別為，的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【詳解】（1），，，
，平面，
平面，
又平面，，
由直角梯形，，，
，，得，
則，所以，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
由（1）得，則，
，，，
，
即三棱錐的體積為.
（三）等體積法求體積
【例6-9】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．
(1)求證：平面平面PCD；
(2)求三棱錐的體積．
【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，
點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，F(xiàn)分別是棱PB的中點(diǎn)，
所以O(shè)E為三角形的中位線，OF為三角形的中位線，
所以,，平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
而,平面，平面，平面平面PCD.
（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以為等邊三角形，
所以，因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，底面ABCD，
所以，，所以和均為直角三角形，
所以，，
所以，所以，所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)體積相等法可知，
所以，所以.
，
故三棱錐的體積為.
【例6-10】如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦切危?br/>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平?br/>所以平面，又因?yàn)槠矫妫?br/>所以，又因?yàn)椋?br/>所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?
（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br/>所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，
所以三棱錐和三棱錐的體積相等，
所以，連接交線段與點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，?br/>所以，，所以，
由（1）平面，，所以.
考點(diǎn)七、空間幾何體的截面問題
【例7-1】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為______．
【答案】
【詳解】如圖，在正方體中，
平面平面，
平面與平面的交線必過且平行于，
故平面經(jīng)過的中點(diǎn)，連接，得截面，
易知截面是邊長(zhǎng)為的菱形，其對(duì)角線，
，截面面積．
【例7-2】如圖，在三棱錐O－ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過三條棱OA，OB，OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為________．
答案　S3可將其放置在以O(shè)為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體中，
設(shè)三邊OA，OB，OC分別為a，b，c，且a>b>c，
利用等體積法易得S1＝a，S2＝b，S3＝c，
∴S－S＝(a2b2＋a2c2)－(b2a2＋b2c2)＝c2(a2－b2)，
又a>b，∴S－S>0，即S1>S2，同理，平方后作差可得，S2>S3，∴S3【例7-3】在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H．D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________．
答案　　解析　如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接SG，BG．
易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，
BG 平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB．
因?yàn)镾B∥平面DEFH，SB 平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，
則SB∥HD．同理SB∥FE．
又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點(diǎn)，
從而得HFACDE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，
所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝·＝．
【例7-4】已知在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長(zhǎng)方體所得的截面形狀為( )
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】C
【詳解】如圖連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
則五邊形即為平面截該長(zhǎng)方體所得的截面多邊形.
其中因?yàn)?，，?br/>所以，則，所以，
又，所以，所以，則，
顯然，則，所以.
【例7-5】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)? )
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，連接， ，平面，平面，則，又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
同理，，平面，平面，所以平面，
因此平面與平面重合或平行，
取的中點(diǎn)，連接，則，，
同理可證平面，由于，，所以三棱錐是正三棱錐，
與平面的交點(diǎn)是的中心，
正方體棱長(zhǎng)為，則，，
所以，所以，
由棱錐的平行于底面的截面的性質(zhì)知，當(dāng)平面從平面平移到平面時(shí)，
，即，，，顯然，
平面過平面再平移至平面時(shí)，
如圖，把正方形沿旋轉(zhuǎn)到與正方形在同一平面內(nèi)，
如圖，則共線，由正方形性質(zhì)得，同理，，
因此此種情形下，截面的周長(zhǎng)與截面的周長(zhǎng)相等，平移平面，一直到平面位置處，
由正方體的對(duì)稱性，接著平移時(shí)，截面周長(zhǎng)逐漸減少到，
綜上，的值域是．
【例7-6】在正棱臺(tái)中，為棱中點(diǎn).當(dāng)四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該四棱臺(tái)的截面面積是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，
該四棱臺(tái)的高，.
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以該四棱臺(tái)的體積為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，.
取的中點(diǎn)，連接、，
顯然有，平面，平面，
所以平面，因此平面就是截面.
顯然，
在直角梯形 中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，設(shè)，
則，，
所以梯形的面積為，故選：C.
【例7-7】已知正方體的棱長(zhǎng)為4，M，N分別是側(cè)面和側(cè)面的中心，過點(diǎn)M的平面與直線ND垂直，平面截正方體所得的截面記為S，則S的面積為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方體的棱長(zhǎng)為4，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
側(cè)面的中心，側(cè)面的中心，而，有，
顯然點(diǎn)M在平面與平面的交線上，設(shè)為這條交線上任意一點(diǎn)，
，而平面，則，
即，令，得點(diǎn)，令，得點(diǎn)，連，
平面與平面必相交，
設(shè)為這條交線上任意一點(diǎn)，，
由，即，令，
得點(diǎn)，連，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>則平面與平面的交線過點(diǎn)G，與直線FE平行，
過G作交于，，
由得，即，
顯然平面與平面都相交，
則平面與直線相交，令交點(diǎn)為，，
由得，
連接得截面五邊形，即截面為五邊形，
，取中點(diǎn)，連接，
則，在中，，
的面積，
在中，，
邊上的高，
梯形面積，
所以S的面積為.故選：C
題型八、與球有關(guān)的切、接問題
（一）幾何體的外接球
【例8-1】如圖所示的糧倉(cāng)可近似為一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體，且圓錐的底面圓與圓臺(tái)的較大底面圓重合.已知圓臺(tái)的較小底面圓的半徑為1，圓錐與圓臺(tái)的高分別為和3，則此組合體的外接球的表面積是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)外接球半徑為R，球心為O，圓臺(tái)較小底面圓的圓心為，
則，而，故.
【例8-2】在正四棱臺(tái)中，上 下底面邊長(zhǎng)分別為，該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，則該正四棱臺(tái)的高為__________.
【答案】1或7
【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的外接球的半徑為，則，解得，
連接相交于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，連接，
則球心在直線上，連接，
如圖1，當(dāng)球心在線段上時(shí)，
則，
因?yàn)樯?下底面邊長(zhǎng)分別為，
所以，
由勾股定理得，，
此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為，
如圖2，當(dāng)球心在的延長(zhǎng)線上時(shí)，
同理可得，，
此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為.
【例8-3】已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則( )
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，正三棱錐中，，
則，所以，同理可得，
即，，兩兩垂直，可把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，
則該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，即正方體的體對(duì)角線就是球的直徑，
所以球心位于正方體對(duì)角線的中點(diǎn),
所以三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，所以.
【例8-4】在四面體中，，，，，則該四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，，平?所以平面.
設(shè)底面的外心為，外接球的球心為，則平面，所以.
設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所?
因?yàn)槠矫?，平?所以，所以.
因此四邊形為平行四邊形，所以.
因?yàn)?，?br/>所以,
由正弦定理，得.
所以該外接球的半徑滿足,
故該外接球的表面積為.
【例8-5】在正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)之和為定值，當(dāng)正三棱柱外接球的表面積取得最小值時(shí)，正三棱柱的側(cè)面積為( )
A．12 B．16 C．24 D．18
【答案】D
【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，，為正實(shí)數(shù)，
設(shè)，為正常數(shù)，，
設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，底面外接圓半徑為，
由正弦定理得，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
所以正三棱柱外接球的表面積的最小值，．則，
此時(shí)正三棱柱的側(cè)面積為．
【例8-6】在三棱錐，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，則該三棱錐的外接球的表面積為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，
因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切危?br/>所以的外接圓的圓心為，
設(shè)的外接圓圓心為，其半徑為，
則在上，所以，
由面面垂直的性質(zhì)可知，平面，
所以，
即為該三棱錐的外接球的球心，
由正弦定理可知，，
故該三棱錐的外接球的表面積為.
【例8-7】正四棱臺(tái)高為2，上下底邊長(zhǎng)分別為2和4，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，，，為外接球球心，
設(shè)外接球半徑為R，分別為棱臺(tái)上下底面的中心，
則，
由勾股定理得：，，
設(shè)，則，，
故，解得：，
故，
故球的表面積為.
【例8-8】已知球O中有兩個(gè)半徑為2的截面圓，，圓與圓的相交弦， 的中點(diǎn)為P，若，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，連接，，，，則，，
且截面圓， 而截面圓，故，，
在中，，同理，
連接，由,知，
則,即OP平分，
由，得，
故在中，，
連接OB，在中，球O的半徑，
故球O的表面積.
【例8-9】已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為2，.將沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當(dāng)三棱錐的表面積最大時(shí)，三棱錐的外接球體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得：均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
為全等的等腰三角形，
則三棱錐的表面
，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，三棱錐的表面積取最大值，
此時(shí)為直角三角形，，
取的中點(diǎn)，連接，
由直角三角形的性質(zhì)可得：，
即三棱錐的外接球的球心為，半徑為，
故外接球體積為.
【例8-10】如圖，在四棱錐中，，，，P為側(cè)棱SA的中點(diǎn)，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OC，OP.
因?yàn)椋?，所?
又，即，所以四邊形OABC為平行四邊形，
所以，同理可得.
因?yàn)?，且P為側(cè)棱SA的中點(diǎn)，所以，
所以在中，.（點(diǎn)撥：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）
所以，
所以四棱錐外接球的球心為O，半徑為2，
故外接球的表面積為，故選：B.
【例8-11】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取、中點(diǎn)、，正方形中心，中點(diǎn)，連接，
根據(jù)題意可得平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
在等腰中，，，同理，
則等腰梯形的高為，
根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，芻甍的外接球的球心在直線上，連接，
正方體的外接圓的半徑，
則有，
而，，
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線（含點(diǎn)）時(shí)，視為非負(fù)數(shù)，
若點(diǎn)在線段的延線（不含點(diǎn)）時(shí)，視為負(fù)數(shù)，
即有，
則，解得，
則芻甍的外接球的半徑為，
則芻甍的外接球的表面積為，故選：C.
【例8-12】《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，則平面.
取BC的中點(diǎn)G，連接FG，作，垂足為H，如圖所示，
由題意得，，，
，，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，即：這個(gè)羨除的外接球的球心為O，半徑為2，
∴這個(gè)羨除的外接球體積為.
∵，面，面，
∴面，即：點(diǎn)A到面的距離等于點(diǎn)B到面的距離，
又∵，
∴，
∴這個(gè)羨除的體積為，
∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為.故選：A.
（二）幾何體的內(nèi)切球
【例8-13】已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，點(diǎn)為球心，內(nèi)切球的半徑為，
為切點(diǎn)，設(shè)，即，
由條件可知，，
在中，，即，解得：，
所以圓錐內(nèi)切球的體積.
【例8-14】古希臘偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于敘拉古城，在其輝煌的職業(yè)生涯中，最令他引以為傲的是記錄在《論球和圓柱》中提到的：假設(shè)一個(gè)圓柱外切于一個(gè)球，則圓柱的體積和表面積都等于球的一倍半（即）．現(xiàn)有球與圓柱的側(cè)面與上下底面均相切（如圖），若圓柱又是球的內(nèi)接圓柱，設(shè)球，圓柱的表面積分別為，體積分別為，則__________；_________．
【答案】
【解析】設(shè)球O的半徑為r，體積為，表面積為，
則圓柱的底面半徑為r，高為，球半徑為，
由阿基米德得出的結(jié)論，
又球O與球的半徑比為，所以，
所以.
【例8-15】(多選題)下列關(guān)于三棱柱的命題，正確的是（ ）
A．任意直三棱柱均有外接球
B．任意直三棱柱均有內(nèi)切球
C．若正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則該三棱柱的體積為
D．若直三棱柱的外接球球心在一個(gè)側(cè)面上，則該三棱柱的底面是直角三角形
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，取連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線段的中點(diǎn)，
則點(diǎn)到直三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)的距離均為，其中為底面三角形外接圓半徑，為直三棱柱的高，
點(diǎn)即為直三棱柱的外接球球心，A正確；
對(duì)于B，若直三棱柱有內(nèi)切球，則其高等于直徑，底面內(nèi)切圓半徑等于內(nèi)切球半徑，
即底面內(nèi)切圓半徑需為直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若正三棱柱的內(nèi)切球半徑為，則正三棱柱的高為，底面正三角形的高為，
設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為，則，解得：，
該正三棱柱的體積，C正確；
對(duì)于D，若外接球球心在直三棱柱的側(cè)面上,則球心為該側(cè)面的中心，其到底面三角形各頂點(diǎn)的距離相等，
球心在底面上的射影到底面三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離也相等，
又側(cè)面中心在底面的投影在底面三角形的一條邊上，
該投影為底面三角形一條邊的中點(diǎn)，且到另一頂點(diǎn)的距離為該邊長(zhǎng)的一半，
該底面三角形為直角三角形，D正確.
【例8-16】(多選題)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，高為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．三棱錐的表面積為
C．三棱錐的外接球的表面積為
D．三棱錐的內(nèi)切球的表面積為
【答案】ABD
【詳解】如圖，取棱的中點(diǎn)，連接
則正三棱錐中，.
因?yàn)槠矫?，且?br/>所以平面，則，故A正確；
作平面，垂足為，則.
由正三棱錐的性質(zhì)可知在上，且.
因?yàn)?，所以，則.
因?yàn)?，所以，則三棱錐的表面積，故B正確；
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則在上，
連接，則，即，解得，
則三棱錐的外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤.
設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，
解得，從而三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，故D正確.
【例8-17】如圖，正四棱臺(tái)的上 下底面邊長(zhǎng)分別為2，分別為的中點(diǎn)，8個(gè)頂點(diǎn)
構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為___________.
【答案】
【詳解】該十面體及內(nèi)切球的正投影為等腰梯形與內(nèi)切圓，如圖所示：
，可得,故
【例8-18】已知三棱柱中，，，平面平面，，若該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，則三棱錐體積為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】如圖所示，因?yàn)椋?，，所以平面?br/>又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>過點(diǎn)作，則平面，則，
又因?yàn)椋云矫?，平面，所?
設(shè)則，
又因?yàn)槿忮F內(nèi)切球的體積為，則，則，
，即，則，解得，
棱柱的高等于內(nèi)切球直徑，所以，
故三棱錐的體積為.故選：D
【例8-18】已知三棱錐P－ABC的所有頂點(diǎn)均在半徑為2的球的O球面上，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若三棱錐P－ABC的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)底面的中心為Q，連接BQ，OQ，則，且底面ABC，
如圖，延長(zhǎng)QO交球面于點(diǎn)P，連接OB，此時(shí)三棱錐P－ABC的體積取得最大值，
因?yàn)榍騉的半徑為2，所以，
在中，，
所以三棱錐P－ABC的體積的最大值為，
此時(shí)，
所以，
所以，解得．
題型九、立體幾何中的軌跡問題
【例9-1】在正三棱柱中，，以的中點(diǎn)M為球心，4為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（ ）
A．2π B．3π C．4π D．8π
【答案】C
【詳解】取的中點(diǎn)分別為，N為四邊形的中心，
連接MN，，
因?yàn)?，故四邊形為正方形，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，
平面且，
因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，
由勾股定理得，
所以題中所求交線軌跡為以N為圓心，2為半徑的圓，
球與側(cè)面的交線軌跡如圖所示，故交線長(zhǎng)．
【例9-2】已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，以BD為直徑的球面與的交線為L(zhǎng)，則交線L的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取BD的中點(diǎn)為，所以為球心，過作平面于點(diǎn)，
即為的中心，延長(zhǎng)交所以交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
所以，，
取的中點(diǎn)，連接，，則平面，
因?yàn)槠矫?，即，且?br/>，
所以為以BD為直徑的球面上一點(diǎn)，
分別取的中點(diǎn)，連接，且，
所以也為以BD為直徑的球面上一點(diǎn)，
則為等邊三角形，的外接圓即為四邊形的外接圓，
為外接圓的半徑，所以，
所以以BD為直徑的球面與的交線L長(zhǎng)為外接圓周長(zhǎng)的，
所以.故選：A.
【例9-3】(多選題)如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，M是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為
B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為
C．若保持，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為
D．平面被正方體截得截面為等腰梯形
【答案】BCD
【詳解】對(duì)于A，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，
連接，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，如圖：因?yàn)槠矫?，平面，，又?br/>，，平面 ，
所以平面 ，平面 .
所以'，同理可得，，，平面 .
所以平面 .
所以過點(diǎn)作交交于，過作交交于，
由，可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面.
則平面平面.
設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，
由點(diǎn)在棱上，且，可得，所以，故B正確；
對(duì)于C，如圖：若，則在以為球心，為半徑的球面上，
過點(diǎn)作平面，則，此時(shí).
所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時(shí)圓心角為.
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度，故C正確；
對(duì)于D，如圖：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于，連接，
所以平面被正方體截得的截面為.
，所以，，所以，
所以，所以，且，
所以截面為梯形，，所以截面為等腰梯形,故D正確.


【例9-4】已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為棱的中點(diǎn)，N為底面正方形ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度為________．
【答案】
【詳解】如圖所示，取BC中點(diǎn)G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，

故MN與底面ABCD的夾角即，∴，則，
故N點(diǎn)在以G為原點(diǎn)為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的軌跡為圖示中的圓弧，易知，
所以長(zhǎng)為.
【例9-5】(多選題 )直三棱桂中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（ ）
A．
B．三棱錐的體積為定值
C．四面體的外接球表面積為
D．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
【答案】ABD
【詳解】由題意可知：直三棱柱為正方體ABCD-A1B1C1D1的一半，如圖所示.
對(duì)于A，連接AB1，A1B，結(jié)合正方體的特征，易知BE⊥AB1，AB1⊥A1B，
故AB1⊥面A1BE，面A1BE，則，即A正確；
對(duì)于B，由題意可知F到上下底面的距離均為0.5，
故是定值，即B正確；
對(duì)于C，四面體的外接球即正方體的外接球，
故其直徑為，所以其表面積為,即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，連接A1C，取其中點(diǎn)O，連接OF，易知OF為的中位線，故E從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中F的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為BC一半，即D正確.
綜上ABD三項(xiàng)正確.
題型十、立體幾何中的最值問題
【例10-1】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，M是面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【詳解】如圖，連接BD，，，易知平面，
∵，∴平面，即M在線段上，
將沿著展開，使得D，B，C，四點(diǎn)共面，如圖，
又因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故此時(shí)，，，
由平面內(nèi)二點(diǎn)間的直線距離最短得，
【例10-2】將一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，體積為，
由與相似，可得，則，
所以圓柱的體積為，
所以圓柱的最大體積為，此時(shí).
【例10-3】已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長(zhǎng)度的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)榍虻捏w積為，故球的半徑R滿足，故，
而，，，故，故，
故，
設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，則，故，
點(diǎn)D在球的截面圓上，設(shè)截面圓所在的平面為α，
因?yàn)椋云矫姒僚c平面ABC在球心的異側(cè)，
設(shè)球心到平面ABC的距離為d，而△ACB外接圓的半徑為，
則，故球心到平面α的距離為，故截面圓的半徑為，
設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，則E的軌跡為圓，圓心為△ABC的外心即AB的中點(diǎn)，
當(dāng)CE最長(zhǎng)時(shí)CD最長(zhǎng)，此時(shí)，故CD長(zhǎng)度的最大值為.
【例10-4】粽子，古稱“角黍”，早在春秋時(shí)期就已出現(xiàn)，到晉代成為了端午節(jié)的節(jié)慶食物．現(xiàn)將兩個(gè)正四面體進(jìn)行拼接，得到如圖所示的粽子形狀的六面體，其中點(diǎn)G在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若此六面體的體積為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】D
【詳解】設(shè)，則正四面體的高為，
因?yàn)榱骟w的體積為，
所以，
解得，
的最小值為等邊三角形高的2倍，即.
【例10-5】已知正三棱柱所有頂點(diǎn)都在球O上，若球O的體積為，則該正三棱柱體積的最大值為________.
【答案】8
【詳解】設(shè)正三棱柱的上，下底面的中心分別為，連接，
根據(jù)對(duì)稱性可得，線段的中點(diǎn)即為正三棱柱的外接球的球心，
線段為該外接球的半徑，設(shè)，
由已知，所以，即，
設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，
則，，在中，，
所以，，
又的面積，
所以正三棱柱的體積，
設(shè)，則，，
所以，，所以，
令，可得或，舍去，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，
所以當(dāng)時(shí)，三棱柱的體積最大，最大體積為.
【例10-6】如圖，在三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)M在上，，
過點(diǎn)M作三棱錐外接球的截面，則截面圓周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，和為等邊三角形，如圖所示，
取中點(diǎn)為E，連接，則，由平面平面，
平面平面，故平面，
，
球心O在平面的投影為的外心，
過O作于H，易得，
則在中，，
所以外接球半徑，連接，
因?yàn)?，所以H，O，M三點(diǎn)共線，
所以，
當(dāng)M為截面圓圓心時(shí)，截面圓的周長(zhǎng)最小，
此時(shí)，截面圓半徑，
所以截面圓周長(zhǎng)的最小值為．
【例10-7】已知正四棱錐的體積為，則該正四棱錐內(nèi)切球表面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，在正四棱錐中，M、N分別是線段的中點(diǎn)，
該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是的內(nèi)切圓．圓心為E．
設(shè)，
則圓E的半徑．．
于是，正四棱錐的體積為，即有，
所以，
此時(shí)，該正四棱錐內(nèi)切球的表面積．
，即．
當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故．
【例10-8】已知四棱錐的底面是矩形，.若四棱錐的外接球的體積為，設(shè)是該球上的一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，在矩形中，連接對(duì)角線，
記，則點(diǎn)為矩形的外接圓圓心，
設(shè)，在中，由余弦定理得，
即，的外接圓半徑為.
記的外接圓圓心為，則，取的中點(diǎn)，連接，
顯然，，且共線，
因?yàn)椋?br/>所以平面，即平面，平面，有，
而平面，所以平面.
過作平面，使，連接，于是，則四邊形為矩形，
有，則平面，
根據(jù)球的性質(zhì)，得點(diǎn)為四棱錐外接球的球心，
因?yàn)榍虻捏w積為，所以，解得，
而，在中，，
所以外接圓直徑.
取的中點(diǎn)，連接，顯然為外接圓圓心，則平面，且，
所以四棱錐的外接球上的點(diǎn)到平面的距離的最大值為8，
即三棱錐的高的最大值為8，而，
故三棱錐的體積的最大值為.
【例10-9】已知三棱錐，為中點(diǎn)，，側(cè)面底面，則過點(diǎn)的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接，，由，
可知：和是等邊三角形，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等邊三角形，為中點(diǎn)，
所以，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，
所以底面，而底面，因此，
所以是矩形，和是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
所以兩個(gè)三角形的高，
在矩形中，，連接，
所以，
設(shè)過點(diǎn)的平面為，當(dāng)時(shí)，
此時(shí)所得截面的面積最小，該截面為圓形，
，
因此圓的半徑為：，所以此時(shí)面積為，
當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時(shí)，此時(shí)截面的面積最大，面積為：，
所以截面的面積范圍為．
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專題二十四 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、表面積和體積
知識(shí)歸納
一、構(gòu)成空間幾何體的基本元素—點(diǎn)、線、面
（1）空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．
（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．
二、簡(jiǎn)單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺(tái)
1．棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．
（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；
（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；
（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；
（6）長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體；
（7）正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體．
2．棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．
（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐．
3．棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．
簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．
三、簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球
1．圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．
2．圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．
3．圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．
4．球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度）．
四、組合體
由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．
五、表面積與體積計(jì)算公式
表面積 柱體 為直截面周長(zhǎng) 體積
錐體
臺(tái)體
球
六、空間幾何體的直觀圖
1．斜二測(cè)畫法
斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：
（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．
（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．
（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊?jiǎn)化為“橫不變，縱減半”．
（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．
注：直觀圖和平面圖形的面積比為．
2．平行投影與中心投影
平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．
典例分析
題型一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
【例1-1】(多選題)下列命題正確的是( )
A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形
C．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
D．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行
【例1-2】(多選題)下列命題正確的是( )
A．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線
B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
C．以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)
D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
【例1-3】(多選題)《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼 耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則( )
A．“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形； B．“羨除”一定不是臺(tái)體；
C．不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“羨除”； D．“羨除”至多有兩個(gè)面為梯形.
【例1-4】某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個(gè)石凳都是由正方體截去八個(gè)相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是( )
A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形
B．該幾何體恰有12個(gè)面
C．該幾何體恰有24條棱
D．該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)
題型二、空間圖形的展開圖問題
【例2-1】如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開圖，如果將它還原為長(zhǎng)方體，那么線段AB與線段CD所在的直線( )
A．平行 B．相交 C．是異面直線 D．可能相交，也可能是異面直線
【例2-2】如圖①，這是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，將小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，這時(shí)小正方體正面朝上的圖案是( )
A． B． C． D．
題型三、最短路徑問題
【例3-1】如圖，圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為( )
A． B． C．3 D．2
【例3-2】如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長(zhǎng)為的正，糧堆母線的中點(diǎn)處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是___________.
【例3-3】如圖，在直三棱柱中，，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F的最短路徑長(zhǎng)度為________．

題型四、立體圖形的直觀圖
【例4-1】如圖，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長(zhǎng)是( )
A． B．
C． D．
【例4-2】如圖，一個(gè)用斜二測(cè)畫法畫出來的三角形是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，則原三角形的面積是( )
A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2
C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2
【例4-3】(多選題)如圖所示，四邊形是由斜二測(cè)畫法得到的平面四邊形水平放置的直觀圖，其中，，，點(diǎn)在線段上，對(duì)應(yīng)原圖中的點(diǎn)，則在原圖中下列說法正確的是( )
A．四邊形的面積為14
B．與同向的單位向量的坐標(biāo)為
C．在向量上的投影向量的坐標(biāo)為
D．的最小值為17
題型五、空間幾何體的表面積
【例5-1】如圖，斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，則該斜三棱柱的側(cè)面積是_________．
【例5-2】如圖一個(gè)正六棱柱的茶葉盒，底面邊長(zhǎng)為，高為，則這個(gè)茶葉盒的表面積為______.
【例5-3】攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為( )
A． B． C． D．
【例5-4】陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是( )
A． B．
C． D．
【例5-5】由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為，則以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為( )
A．2 B． C． D．4
【例5-6】河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺(tái)為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺(tái)．已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為，高為2，體積為，則該“方斗”的側(cè)面積為( )
A．24 B．12 C． D．
題型六、空間幾何體的體積
（一）直接利用公式求體積
【例6-1】一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半徑為1的半圓，則該圓錐的體積為( )
A． B． C． D．
【例6-2】已知正四棱臺(tái)中，，，則其體積為________.
【例6-3】紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái),如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個(gè)空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內(nèi)水深約( )cm
A．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.1
【例6-4】如圖，已知四棱柱的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在上且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為( )
A． B． C． D．
（二）割補(bǔ)法求體積
【例6-5】如圖，在三棱柱中，底面ABC，，點(diǎn)D是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為( )
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
【例6-6】如圖是兩個(gè)直三棱柱和重疊后的圖形，公共側(cè)面為正方形，兩個(gè)直三棱柱底面是腰為2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為______．
【例6-7】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐的體積為___________.

【例6-8】如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得.

(1)求證：平面平面；
(2)若，分別為，的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.
（三）等體積法求體積
【例6-9】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．
(1)求證：平面平面PCD；
(2)求三棱錐的體積．
【例6-10】如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積．
考點(diǎn)七、空間幾何體的截面問題
【例7-1】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為______．
【例7-2】如圖，在三棱錐O－ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過三條棱OA，OB，OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為________．
【例7-3】在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H．D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________．
【例7-4】已知在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長(zhǎng)方體所得的截面形狀為( )
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【例7-5】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)? )
A． B． C． D．
【例7-6】在正棱臺(tái)中，為棱中點(diǎn).當(dāng)四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該四棱臺(tái)的截面面積是( )
A． B． C． D．
【例7-7】已知正方體的棱長(zhǎng)為4，M，N分別是側(cè)面和側(cè)面的中心，過點(diǎn)M的平面與直線ND垂直，平面截正方體所得的截面記為S，則S的面積為( )
A． B． C． D．
題型八、與球有關(guān)的切、接問題
（一）幾何體的外接球
【例8-1】如圖所示的糧倉(cāng)可近似為一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體，且圓錐的底面圓與圓臺(tái)的較大底面圓重合.已知圓臺(tái)的較小底面圓的半徑為1，圓錐與圓臺(tái)的高分別為和3，則此組合體的外接球的表面積是( )
A． B． C． D．
【例8-2】在正四棱臺(tái)中，上 下底面邊長(zhǎng)分別為，該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，則該正四棱臺(tái)的高為__________.
【例8-3】已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則( )
A． B． C． D．
【例8-4】在四面體中，，，，，則該四面體的外接球的表面積為( )
A． B． C． D．
【例8-5】在正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)之和為定值，當(dāng)正三棱柱外接球的表面積取得最小值時(shí)，正三棱柱的側(cè)面積為( )
A．12 B．16 C．24 D．18
【例8-6】在三棱錐，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，則該三棱錐的外接球的表面積為( )
A． B． C． D．
【例8-7】正四棱臺(tái)高為2，上下底邊長(zhǎng)分別為2和4，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積為( )
A． B． C． D．
【例8-8】已知球O中有兩個(gè)半徑為2的截面圓，，圓與圓的相交弦， 的中點(diǎn)為P，若，則球O的表面積為( )
A． B． C． D．
【例8-9】已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為2，.將沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當(dāng)三棱錐的表面積最大時(shí)，三棱錐的外接球體積為( )
A． B． C． D．
【例8-10】如圖，在四棱錐中，，，，P為側(cè)棱SA的中點(diǎn)，則四棱錐外接球的表面積為( )
A． B． C． D．
【例8-11】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為( )
A． B． C． D．
【例8-12】《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為( )
A． B． C． D．
（二）幾何體的內(nèi)切球
【例8-13】已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐內(nèi)切球的體積為( )
A． B． C． D．
【例8-14】古希臘偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于敘拉古城，在其輝煌的職業(yè)生涯中，最令他引以為傲的是記錄在《論球和圓柱》中提到的：假設(shè)一個(gè)圓柱外切于一個(gè)球，則圓柱的體積和表面積都等于球的一倍半（即）．現(xiàn)有球與圓柱的側(cè)面與上下底面均相切（如圖），若圓柱又是球的內(nèi)接圓柱，設(shè)球，圓柱的表面積分別為，體積分別為，則__________；_________．
【例8-15】(多選題)下列關(guān)于三棱柱的命題，正確的是( )
A．任意直三棱柱均有外接球
B．任意直三棱柱均有內(nèi)切球
C．若正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則該三棱柱的體積為
D．若直三棱柱的外接球球心在一個(gè)側(cè)面上，則該三棱柱的底面是直角三角形
【例8-16】(多選題)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，高為，則下列結(jié)論正確的是( )
A．
B．三棱錐的表面積為
C．三棱錐的外接球的表面積為
D．三棱錐的內(nèi)切球的表面積為
【例8-17】如圖，正四棱臺(tái)的上 下底面邊長(zhǎng)分別為2，分別為的中點(diǎn)，8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為___________.
【例8-18】已知三棱柱中，，，平面平面，，若該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，則三棱錐體積為( )
A． B． C．2 D．4
【例8-18】已知三棱錐P－ABC的所有頂點(diǎn)均在半徑為2的球的O球面上，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若三棱錐P－ABC的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則( )
A．1 B． C． D．
題型九、立體幾何中的軌跡問題
【例9-1】在正三棱柱中，，以的中點(diǎn)M為球心，4為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為( )
A．2π B．3π C．4π D．8π
【例9-2】已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，以BD為直徑的球面與的交線為L(zhǎng)，則交線L的長(zhǎng)度為( )
A． B． C． D．
【例9-3】(多選題)如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，M是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有( )
A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為
B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為
C．若保持，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為
D．平面被正方體截得截面為等腰梯形
【例9-4】已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為棱的中點(diǎn)，N為底面正方形ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度為________．
【例9-5】(多選題 )直三棱桂中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則( )
A．
B．三棱錐的體積為定值
C．四面體的外接球表面積為
D．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
題型十、立體幾何中的最值問題
【例10-1】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，M是面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為( )
A． B． C． D．2
【例10-2】將一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為( )
A． B． C． D．
【例10-3】已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長(zhǎng)度的最大值為( )
A． B． C． D．
【例10-4】粽子，古稱“角黍”，早在春秋時(shí)期就已出現(xiàn)，到晉代成為了端午節(jié)的節(jié)慶食物．現(xiàn)將兩個(gè)正四面體進(jìn)行拼接，得到如圖所示的粽子形狀的六面體，其中點(diǎn)G在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若此六面體的體積為，則下列說法正確的是( )
A． B．
C．的最小值為 D．的最小值為
【例10-5】已知正三棱柱所有頂點(diǎn)都在球O上，若球O的體積為，則該正三棱柱體積的最大值為________.
【例10-6】如圖，在三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)M在上，，過點(diǎn)M作三棱錐外接球的截面，則截面圓周長(zhǎng)的最小值為( )
A． B． C． D．
【例10-7】已知正四棱錐的體積為，則該正四棱錐內(nèi)切球表面積的最大值為( )
A． B． C． D．
【例10-8】已知四棱錐的底面是矩形，.若四棱錐的外接球的體積為，設(shè)是該球上的一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為( )
A． B． C． D．
【例10-9】已知三棱錐，為中點(diǎn)，，側(cè)面底面，則過點(diǎn)的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為( )
A． B． C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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