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第五章 三角函數
5.4.2 正弦函數、余弦函數的性質
第2課時 正弦函數 余弦函數的單調性和最值
學案
一、學習目標
1.理解正弦函數、余弦函數的單調性具有周期性變化規律，通過一個周期內的單調性進而研究在整個定義域上的性質.
2.能夠利用單調性解決一些問題，比如比較大小，求最值等.
基礎梳理
正弦函數、余弦函數的圖象和性質
解析式 y＝sin x y＝cos x
圖象
值域
單調性 在上單調遞增， 在 上單調遞減 在上單調遞增， 在上單調遞減
最值 時，；時， 時， ，時，
三、鞏固練習
1.函數，的單調遞增區間是( )
A. B. C. D.
2.將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，且，則下列說法正確的是( )
A.為奇函數
B.
C.當時，在上有4個零點
D.若在上單調遞增，則的最大值為6
3.關于函數有下述四個結論：
①是偶函數；
②在區間單調遞增；
③在有4個零點；
④的最大值為2.
其中所有正確結論的編號是( )
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
4.已知，函數在上單調遞減，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.已知函數，則( )
A.的最大值為2 B.的最小正周期為π
C.為奇函數 D.的圖象關于直線對稱
6.設函數，則下列結論錯誤的是( )
A.的一個周期為
B.的圖象關于直線對稱
C.的一個零點為
D.在上單調遞減
7.（多選）關于函數，下列說法正確的是( )
A.函數在上的最大值為6 B.函數在上的最小值為-2
C.函數在上單調遞增 D.函數在上單調遞減
8. （多選）已知函數，則( )
A.為的一個周期 B.在上的最大值為1
C.在上單調遞減 D. 的一個零點為
1.答案：B
解析：本題考查正弦型函數的單調區間.令，解得，當時，，即函數的單調遞增區間是.
2.答案：B
解析：由題意得，則，，即，.
對于A項，，又的定義域為R，故為偶函數，A錯誤.
對于B項，，B正確.
對于C項，當時，，由，，得，，
因為，所以x可以取，，，，，即當時，在上有5個零點，C錯誤.
對于D項，由，，得，，則函數在區間上單調遞增，因為在上單調遞增，所以，解得，即的最大值為5，故D不正確.故選B.
3.答案：C
解析：的定義域為，，故是偶函數，①正確；
當時，，其在該區間上單調遞減，②不正確；
當時，，有兩個零點，當時，僅有一個零點，所以在上有三個零點，故③不正確；
當時，，其最大值為2，又是R上的偶函數，所以在R上的最大值為2，④正確.
綜上，①④正確，②③不正確.故選C.
4.答案：C
解析：函數在上單調遞減，周期，解得.
的單調遞減區間滿足，，
即，，
存在，使，均成立，此時，，
，即的取值范圍是，故選C.
5.答案：D
解析：易知的最大值為，因此A錯誤；的最小正周期，因此B錯誤；，
，
則，即不是奇函數，因此C錯誤；令，，得的圖象的對稱軸方程為，，當時，，因此D正確.故選D.
6.答案：D
解析：的周期為，，故A中結論正確；，為的最小值，故B中結論正確；，，故C中結論正確；由于，為的最小值，，故在上不單調，故D中結論錯誤.故選D.
7.答案：BCD
解析：本題考查余弦函數和二次函數的綜合.，當時，，最大值為，最小值為.函數在上單調遞增，在上單調遞減，而二次函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，函數在上單調遞減.
8.答案：AD
解析：根據函數，知的最小正周期為，A正確；因為在上單調遞減，令，則，當時，.所以在上單調遞減，所以在上的最大值為.故B錯誤；易知函數在上單調遞減，在上單調遞增，故C錯誤；因為，所以D正確.故選AD.
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