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第五章 三角函數
5.6 函數
學案
學習目標
1.了解勻速圓周運動的數學模型.
2.了解，，對函數圖象變化的影響，并會由的圖象得到的圖象.
3.了解函數中常數，，的物理意義，理解振幅、頻率、相位、初相的概念.
知識匯總
1.對函數圖象的影響：
一般地，當動點的起點位置所對應的角為時，對應的函數是，把正弦曲線上的所有點向左（當時）或向右（當時）平移個單位長度，就得到函數的圖象.
2.對函數圖象的影響：
一般地，函數的周期是，把圖象上所有點的橫坐標縮短（當時）或伸長（當時）到原來的倍（縱坐標不變），就得到的圖象.
3.對函數圖象的影響：
一般地，函數的圖象，可以看作是把圖象上所有點的縱坐標伸長（當時）或縮短（當時）到原來的倍（橫坐標不變）而得到.從而，函數的值域是，最大值是，最小值是.
4.函數的圖象與的圖象的關系：
函數的圖象向左（或右）平移個單位長度，得到函數的圖象；然后把曲線上各點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變為原來的倍（橫坐標不變），這時的曲線就是函數的圖象.
習題檢測
1.為得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點( )
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
2.函數的最小正周期、振幅、初相分別是( )
A. B. C. D.
3.將函數的圖像向左平移個最小正周期后，所得圖像對應的函數為( )
A. B.
C. D.
4.設，函數的圖像向右平移個單位長度后與原圖像重合，則的最小值是( )
A. B. C. D.3
5.已知函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象關于y軸對稱，則的最小值為( )
A.1 B.2 C. D.5
6.將函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于y軸對稱，則正數的最小值是( )
A. B. C. D.
7.若將函數的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖象，則函數圖象的對稱軸可能是( )
A.直線 B.直線 C.直線 D.直線
8.把函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則( )
A. B.
C. D.
9.將函數的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，若為奇函數，則m的最小值為( )
A. B. C. D.
10.已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得到的函數的圖象關于原點對稱，則m的值可能為( )
A. B. C. D.
11.（多選）函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A.
B.若把函數的圖像向左平移個單位，則所得函數是奇函數
C.若把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數在上是增函數
D.，若恒成立，則的最大值為.
12.函數的圖象可由函數的圖象至少向右平移_______個單位長度得到.
13.已知函數的部分圖象如圖所示，則__________.
14.已知函數滿足，其中，將函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象.
(1)求；
(2)求函數的解析式；
(3)求在上的最值及相應的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因為，所以要得到函數的圖象，只要把函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度，故選D.
2.答案：C
解析：由函數解析式知，最小正周期，函數的振幅為2，在中，令，求得初相為.故選C.
3.答案：C
解析：函數，其最小正周期，其圖像向左平移個最小正周期后，可得的圖像.故選C.
4.答案：C
解析：由函數的圖像向右平移個單位長度后與原圖像重合，得是此函數周期的整數倍.又，，，.故選C.
5.答案：D
解析：，
因為該函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，
所以，
因為的圖象關于y軸對稱，所以是偶函數，
因此有，
因為，所以當時，有最小值，最小值為5.
故選：D.
6.答案：D
解析：將函數的圖象向左平移個單位后，可得函數
的圖象，再根據得到的圖象關于y軸對稱，可得，，即，，令，可得正數的最小值是，故選D.
7.答案：C
解析：由題得，將的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖象，令，，得，，當時，得函數圖象的一條對稱軸為直線.故選C.
8.答案：B
解析：本題考查三角函數圖象的伸縮變換和平移變換、三角函數的解析式.根據題目條件逆向思維，把函數的圖象向左平移個單位長度，可得，再將圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，可得，即.
9.答案：C
解析：由題意知，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到，再將的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，.為奇函數，，，解得，，，m的最小值為.故選C.
10.答案：B
解析：由題意得，，，，，又，，，，將的圖象向右平移個單位長度后得到的函數解析式為，由題意可知，函數為奇函數，，，當時，，故選B.
11.答案：AB
解析：由題圖，知，，.
，即，，
即，，，，故A正確；把的圖像向左平移個單位，所得圖像對應的函數解析式為，是奇函數，故B正確；把的圖像上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，得到圖像對應的函數解析式為，，，在上不是增函數，故C錯誤；，由恒成立，可得恒成立，令，，則，，，，，的最小值為，故D錯誤.故選AB.
12.答案：
解析：本題考查三角函數圖象的平移變換.，令，則，即，當時，.
13.答案：
解析：由題圖可知，所以，因此，所以，又函數圖象過點，所以，即，，解得，，又因為，所以.故答案為.
14.答案：(1)
(2)
(3)當時，取得最小值，當時，取得最大值
解析：(1)函數
.
又，
，，解得，
又，.
(2)由(1)知，函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數)的圖象；
再將得到的圖象向左平移個單位，得到的圖象，
函數.
(3)當時，，，
由(2)知，
所以當時，取得最小值，
當時，取得最大值.
2

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