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人教版八年級數學上冊 13.3.1 等腰三角形 導學案
【知識清單】
1.定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形性質
①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；
②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.
3.等腰三角形的判定
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.
【典型例題】
考點1：等邊對等角
例1．下列關于等腰三角形的說法錯誤的是（ ）
A．等腰三角形的角平分線，中線，高線互相重合，簡稱“三線合一” B．等腰三角形兩底角的平分線相等
C．等腰三角形兩腰上的高相等 D．等腰三角形兩腰上的中線相等
【答案】A
【分析】直接根據等腰三角形的性質逐項判斷即可．
【詳解】解：A、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，簡稱“三線合一”故錯誤；
B、等腰三角形中，兩底角相等，所以兩底角的平分線也相等，故正確；
C、等腰三角形兩腰相等，由面積相等可知，兩腰上的高也相等，故正確；
D、由對稱性可知等腰三角形兩腰上的中線相等，故正確．
故選：A．
【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質，熟練掌握性質是解題關鍵．
考點2：三線合一
例2．如圖，在中，，，于點E，若，的周長為10，則的長為（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】根據已知可得，從而可得，然后利用等腰三角形三線合一性質計算解答．
【詳解】解：，且的周長為10，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故選B．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關鍵．
考點3：等角對等邊
例3．在中，，，那么這個三角形是（　　）
A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】根據三角形內角和求出的度數即可判斷三角形的形狀．
【詳解】解：在中，，，
，
∴，
故，
所以的形狀是等腰三角形．
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形內角和，等腰三角形的判定，解題關鍵是熟記三角形內角和定理，求出求出的度數．
考點4：已知兩點組成等腰三角形的點
例4．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，若在坐標軸上找一點C，使得是等腰三角形，則這樣的點C有（　　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】D
【分析】由題意知、是定點，是動點，所以要分情況討論：以、為腰、以、為腰或以、為腰．則滿足條件的點可求．
【詳解】解：由題意可知：以、為腰的三角形有3個；
以、為腰的三角形有2個；
以、為腰的三角形有2個．
故選：D．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質；分類別尋找是正確解答本題的關鍵．
考點5：等腰三角形的性質和判定
例5．如圖，在中，，邊的垂直平分線交，于點，，且，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據垂直平分線的性質得出，則，根據求出，即可求解．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握垂直平分線上的點到兩端距離相等．
考點6：三角形邊角的不等關系
例6．如圖，在ABC中，∠C＝90°，點D為BC上一點，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F為AC上一點，則下列結論中正確的是（　　）
A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC
【答案】C
【分析】在直角三角形DCF中，利用斜邊長度大于直角邊長度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，故A選項錯誤，同理，D選項錯誤，假設BD＝FD，則可以判定△DBE≌△DFC，所以∠B＝∠DFC，而在題目中，∠B是定角，∠DFC隨著F的變化而變化，假設不成立，故B選項是錯誤的，由DE＝DC，DC⊥AC，DE⊥AB，根據Rt△DEA≌Rt△DCA（HL）得到C選項是正確的．
【詳解】解：（1）在直角三角形DCF中，利用斜邊長度大于直角邊長度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，
故A選項錯誤；
（2）△BDE與△DCF，只滿足∠DEB＝∠DCF＝90°，DC＝DE的條件，不能判定兩個三角形全等，故不能得到BD＝FD，
另一方面，假設BD＝FD，
在Rt△DBE與△DFC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠DFC，
而圖中∠B大小是固定的，∠DFC的大小隨著F的變化而變化，故上述假設是不成立的，
故B選項錯誤；
（3）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE，
在Rt△DEA和Rt△DCA中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DCA（HL），
∴∠1＝∠2，
故C選項正確；
（4）在直角三角形ABC中，利用斜邊長度大于直角邊長度，可以得到AB＞AC，
故D選項錯誤，
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形三邊不等關系關系，掌握全等三角形的性質與判定，直角三角形三邊關系是解題關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．在中，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在四邊形中，點在上，，且，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
3．如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是( )

A． B． C． D．
4．高臺縣崇文樓始建2011年，取“崇文尚德·大運高臺”之意，總高米，由臺明、樓身和寶頂三部分組成．建這座樓的主要目的是為了延續高臺人杰地靈、源遠流長的文脈，在當今文化大發展時代，激勵莘莘學子努力學習、求學上進，將來回報和建設家鄉、建設祖國．如圖，“崇文樓”的頂端可看作等腰三角形，，D是邊上的一點．下列條件不能說明是的角平分線的是（ ）

A． B． C． D．
5．在如圖所示的網格中，在格點上找一點P，使為等腰三角形，則點P有（　　）
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
6．如圖，在中，，，點在的垂直平分線上，平分，則圖中等腰三角形的個數是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在中，，，則是（ ）
A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
8．如圖，在中，的平分線交于點D，，過點D作交于點E，若的周長為16，則邊的長為（　　）

A．10 B．8 C．6 D．16
9．如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，與x軸的夾角為，點P是x軸上動點，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．6個
10．如圖，在中，，M，N，K分別是上的點，且，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
11．如圖，中，垂直平分，點P為直線上的任一點，則周長的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
二、填空題
12．如圖，點B，D在射線上，點C，E在射線上，且，已知，則 °．

13．如圖所示的人字梯撐開后側面是一個等腰三角形，若梯子長等于，梯子完全撐開后頂端離地面的高度等于，則此時梯子側面寬度等 ．

14．如圖，在正方形的網格中，點A，B在小方格的頂點上，要在小方格的頂點上確定一點，且使是等腰三角形，則點的個數為
．
15．如圖，在中，，和的平分線分別交于點、，若，，，則 ．
16．中，，，將折疊，使得點B與點A重合．折痕D分別交、于點D、P，當中有兩個角相等時，的度數為 ．

17．等腰三角形的一邊長11cm，另一邊長5cm，它的第三邊長為 ．
三、解答題
18．如圖，為等腰直角三角形，，點D在上，點E在的延長線上，且．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
19．如圖，在中，，，是邊上的中線，的垂直平分線交于點，交于點，．

(1)求證：；
(2)試判斷的形狀，并說明理由．
20．已知：如圖，在和中，，，垂足分別為，，，求證：是等腰三角形．

21．如圖，已知坐標系內點，在坐標軸上找一點A，使是等腰三角形（利用尺規作圖，找到所有滿足條件的情況，保留作圖痕跡，并簡單寫出作圖說明）．
22．如圖1，，其中，．

(1)若兩個三角形按圖2方式放置，、交于點，連接、，則與的數量關系為______，與的位置關系為_______；并證明；
(2)若兩個三角形按圖3方式放置，其中C、B（D）、F在一條直線上，連接，為中點，連接、．探究線段與之間的關系，并證明．
23．如圖，在△ABC中，AB=AC．
（1）利用尺規作圖作邊BC的高AD，垂足為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：BD=CD．
（3）如果三角形的周長是22，一邊長為5，求它的另外兩邊長．
參考答案
1．C
【分析】根據等邊對等角得到，利用三角形內角和定理計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和，解題的關鍵是掌握等腰三角形等邊對等角的性質．
2．B
【分析】由平行線的性質可得，在中，根據其內角和為，聯立，即可求出的度數．
【詳解】∵ ，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，即，
聯立，
解得，．
故選：B
【點睛】此題考查了平行線的性質、等邊對等角、三角形內角和定理等知識，解題關鍵是找出各角的關系．
3．B
【分析】如圖，連接，只要證明，即可推出，由，推出、、共線時，的值最小，最小值為的長度；
【詳解】如圖連接PC，
∴垂直平分，
∴、、共線時，的值最小，最小值為的長度；

故選B
【點睛】本題考查軸對稱最短問題，等腰三角形的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型
4．C
【分析】根據等腰三角形“三線合一”的性質，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：，，
，即是的高線，
是等腰三角形，，
是的角平分線，故A選項不符合題意；
是等腰三角形，，
是的角平分線，故B選項不符合題意；
若，不能說明是的角平分線，故C選項符合題意；
，
，
是的角平分線，故D選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質是解題的關鍵．
5．C
【分析】分三種情況討論：以為腰，點為頂角頂點；以為腰，點為頂角頂點；以為底．
【詳解】解：如圖：如圖，以為腰，點為頂角頂點的等腰三角形有5個；以為腰，點為頂角頂點的等腰三角形有3個；不存在以為底的等腰，所以合計8個．
故選：C．
【點睛】本題考查等腰三角形的定義，網格圖中確定線段長度；在等腰三角形腰、底邊待定的情況下，分類討論是解題的關鍵．
6．D
【分析】根據題意可得，進而可得，得出，根據垂直平分線的性質可得，進而得出，根據角平分線的定義得出，進而可得，，得出，，得出，進而即可求解．
【詳解】解：在中，，
是等腰三角形；
，
，
，
點在的垂直平分線上，
，
是等腰三角形；
，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
，，
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形，
綜上所述，等腰三角形有，，，，，共個，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，垂直平分線的性質，等腰三角形的判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
7．B
【分析】根據三角形內角和定理求出的度數，根據等角對等邊即可得出結論．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查的是三角形內角和定理，以及等腰三角形的判定，熟知三角形的內角和等于，是解答此題的關鍵．
8．A
【分析】由題意可知，，有，可知，由三角形的周長可求的值，由可求的值．
【詳解】解：是的平分線
∵
∴
∴
∴
∵的周長為16，
∴
∵，
∴
∴
故選A．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定，解題的關鍵在于推導出．
9．A
【分析】由題意得：，從而利用等邊三角形的判定可得是等邊三角形，然后分三種情況：當時，當時，當時，即可解答．
【詳解】解：如圖：
由題意得：，
∵是等腰三角形，
∴是等邊三角形，
分三種情況：
當時，以點O為圓心，以長為半徑作圓，交x軸于點，；
當時，以點A為圓心，以長為半徑作圓，交x軸于點；
當時，作的垂直平分線，交x軸于點；
綜上所述：以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有2個，
故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，坐標與圖形的性質，分三種情況討論是解題的關鍵．
10．D
【分析】根據等腰三角形的性質得出兩個底角相等，根據三角形全等的判定定理得出，根據三角形的外角性質得出的度數，即可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
．
故選：D．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理及三角形外角性質，熟練掌握相關判定定理及性質是解題關鍵．
11．B
【分析】連接PC，由題意易得，進而可得要使周長為最小，則需滿足為最小，即為最小，然后根據三角形邊角不等關系可得當點A、P、C三點共線時滿足題意，最后問題可求解．
【詳解】解：連接PC，如圖所示：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴的周長為，
若使周長為最小，則需滿足為最小，即為最小，
∵，
∴當點A、P、C三點共線時，為最小，即為AC的長，
∴的周長最小值為；
故選B．
【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質定理及三角形邊角不等關系，熟練掌握線段垂直平分線的性質定理及三角形邊角不等關系是解題的關鍵．
12．
【分析】由“等邊對等角”可得，由三角形的外角性質可得，據此即可求解．
【詳解】解：∵
∴
根據三角形的外角性質有：
∵
∴
解得：
故答案為：
【點睛】本題考查了等邊對等角、三角形的外角性質．熟記相關結論是解題關鍵．
13．
【分析】根據勾股定理求出，再根據等腰三角形三線合一得出，即可求解．
【詳解】解：∵，，，
∴根據勾股定理可得：，
∵，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握等腰三角形頂角的角平分線，底邊上的高，底邊上的中線重合．
14．8
【分析】根據等腰三角形的判定找出符合條件的所有點C即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示：
點C在、、、位置上時，；
點C在、位置時，；
點C在、位置上時，，
即滿足條件的點的個數為8，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，能找出符合條件的所有點是解題關鍵，注意有兩邊相等的三角形是等腰三角形．
15．4
【分析】利用角平分線以及平行線的性質，得到和，利用等角對等邊得到，，最后通過邊與邊之間的關系即可求解．
【詳解】解：如下圖所示：
、分別是與的角平分線，
，，
∵，
，，
，，
，，
，
故答案為：4．
【點睛】本題主要是考查了等角對等邊以及角平分線和平行的性質，熟練根據角平分線和平行線的性質，得到相等角，這是解決該題的關鍵．
16．或或；
【分析】分，，三類討論結合折疊的性質及三角形內角和定理即可得到答案；
【詳解】解：①當時，
∵，
∴，
∴，
∵將折疊，使得點B與點A重合，
∴，
此時，符合題意；
②當時
∵，
∴，
∴，
∴
∵將折疊，使得點B與點A重合，
∴，
此時，符合題意；
③當時
∵，
∴
∴
∵將折疊，使得點B與點A重合，
∴，
此時，符合題意；
綜上所述答案為：或或；
【點睛】本題考查折疊的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是注意分類討論．
17．11cm
【分析】分兩種情況，當腰長分別為5cm或11cm時，結合三角形三邊關系，求解即可．
【詳解】解：當腰長為5cm時，則三角形三邊分別為5cm、5cm、11cm，
，不滿足三角形三邊關系，不能構成三角形，舍去，
當腰長為11cm，則三角形三邊分別為5cm、11cm、11cm，
，滿足三角形三邊關系，符合題意．
故答案為：11cm．
【點睛】此題考查了等腰三角形的定義，以及三角形三邊關系，解題的關鍵是掌握等腰三角形的定義以及三角形三邊關系．
18．(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據等腰直角三角形的定義得到，，再利用證明即可；
（2）根據等腰直角三角形的性質得到，繼而求出，根據全等三角形的性質得到，再利用角的和差計算即可．
【詳解】（1）解：∵為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）∵為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用全等三角形的性質得到相等的角．
19．(1)見解析
(2)是等邊三角形，理由見解析
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得出，，，進而根據，得出，根據等角對等邊即可得證；
（2）根據是的垂直平分線，得出，根據等邊對等角得出，進而得出，可得是等邊三角形；
【詳解】（1）∵，，是邊上的中線，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）結論：是等邊三角形．
∵垂直平分線段，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，是邊上的中線，
∴，
∴，
∴是等邊三角形．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定，掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．
20．見詳解
【分析】由題意易證，則有，然后問題可求證．
【詳解】證明：∵，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定及等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定及等腰三角形的判定是解題的關鍵．
21．見解析
【分析】根據等腰三角形的定義畫出圖形即可．
【詳解】解：如圖，以O為圓心，為半徑作，與坐標軸有4個交點；以P為圓心，為半徑作，與坐標軸有2個交點（點O除外）；作線段的垂直平分線與坐標軸有2個交點，
觀察圖象可知，滿足條件的點A有8個．
【點睛】本題考查作圖-復雜作圖、等腰三角形的判定、線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是學會把復雜作圖拆解成基本作圖，會利用分類討論的思想解決問題，屬于中考常考內容．
22．(1)，
(2)，．
【分析】（1）利用全等三角形的性質，線段的垂直平分線的判定定理即可解決問題；
（2）結論：，．如圖3中，延長交的延長線于．想辦法證明是等腰直角三角形，即可解決問題．
【詳解】（1）解：如圖，

∵（已知），
，，
，
，，
，
，
，
垂直平分線段．
，
故答案為：，；
（2）結論：，．
理由：如圖，延長交的延長線于．

，，，共線，
∴，
，
，，
，
，，
，
，
即，
∵（已知），
，，
，
，
，
．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
23．（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）8.5.
【分析】（1）分別以B、C為圓心，大于BC的長為半徑畫圓，在三角形內部交點為E，連接AE并延長交BC于點D即為所求；
（2）證明三角形ABD與三角形ADC全等即可；
（3）分類討論：①AB=5,則,，三角形要滿足兩邊之和大于第三邊,此時，不符舍去；②BC=5，則.
【詳解】（1） 如圖，分別以B、C為圓心，大于BC的長為半徑畫圓，在三角形內部交點為E，連接AE并延長交BC于點D即為所求；
（2）證明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD與△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD=CD．
（3）分類討論：①AB=5,則,，三角形要滿足兩邊之和大于第三邊,此時，不符舍去；②BC=5，則.
【點睛】本題考查等腰三角形的性質以及三角形三邊關系，靈活運用等腰三角形的性質和分類討論的思想是解題的關鍵.
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