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人教版八年級數學上冊 13.3.2 等邊三角形 導學案
【知識清單】
1.定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
2.等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.　　
3.等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
【典型例題】
考點1：等邊三角形的性質
例1．如圖，等邊中和分別為、邊上的點，且，和交于點，則的度數為（ ）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】C
【分析】先根據等邊三角形的性質得到，，再證明得到，然后利用等量代換得到．
【詳解】解：為等邊三角形，
，，
在和中，
，
，
，
．
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．也考查了等邊三角形的性質．
考點2：等邊三角形的判定
例2．下列命題中正確的是（ ）
A．等腰三角形的角平分線、中線和高重合
B．等腰三角形兩腰上的高相等
C．已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為16
D．有一個角等于的三角形是等邊三角形
【答案】B
【分析】根據等腰三角形的性質和等邊三角形的判定進行逐項分析即可．
【詳解】解：A. 等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線和高重合，故該選項說法錯誤；
B. 等腰三角形兩腰上的高相等，故該選項說法正確；
C. 已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為16或17，故該選項說法錯誤；
D. 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，故該選項說法錯誤；
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質和等邊三角形的判定是解題的關鍵．
考點3：等邊三角形的判定和性質
例3．如圖，等邊中，D為中點，點P、Q分別為上的點，，，在上有一動點E，則的最小值為（ ）

A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】作點Q關于的對稱點，連接交于E，連接，此時的值最小．最小值．
【詳解】解：如圖，∵是等邊三角形，
∴，，
∵D為中點，
∴，
作點Q關于的對稱點，連接交于E，連接，此時的值最小．最小值，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴的最小值為．
故選：B．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．
考點4：含30度角的直角三角形
例4．如圖，平分，，于D，若，，則的長為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】作于，根據直角三角形的性質求出，根據角平分線的定義求出的度數，根據平行線的性質得到，根據直角三角形的性質求出，根據角平分線的性質得到答案．
【詳解】解：作于，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
平分，，，
．
故選：C．

【點睛】本題考查的是直角三角形的性質和角平分線的性質，掌握在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半、角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．下列命題是真命題的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一個內角
B．有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等
C．等腰三角形一邊上的中線也是這邊上的高
D．等邊三角形是軸對稱圖形
2．如圖，等邊中，、分別為、邊上的點，，連接、交于點，、的平分線交于邊上的點，與交于點，連接下列說法：；；；；其中正確的說法有（ ）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
3．下列說法錯誤的是（ ）
A．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形
B．等腰三角形的角平分線，中線，高相互重合
C．如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等
D．三個角都相等的三角形是等邊三角形
4．若一個三角形是軸對稱圖形，且有一個內角為，則這個三角形的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等邊三角形 D．上述三種情形都有可能
5．如圖，C為線段上一動點（不與點A，E重合），在同側分別作正和正，與交于點O，與交于點P，與交于點Q，連接，以下五個結論：；；；；．一定成立的結論有（ ）．
A． B． C． D．
6．如圖，是等邊三角形，，若，，則四邊形的周長為（ ）

A．8 B．9 C．13 D．15
7．如圖，在中，，，過點作交于點，過點作交于點，則的長為（ ）

A． B． C． D．
8．在中，，，如果，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．如圖，已知等邊中，點D，E分別在邊，上，把沿直線翻折，使點B落在點處，，分別交邊于點F，G.若，則的度數為 度．

10．若中，，請?zhí)砑右粋€條件使是等邊三角形，則添加的條件可以是 ．（寫出一個即可）
11．在扇形中，，扇形所在圓的半徑為12，點P，N，M分別是弧，線段，上的動點，則周長的最小值為 ．

12．在中，，，，則斜邊上的高線長是 ．
三、解答題
13．已知：中，，分別以斜邊和一條直角邊在內作等邊三角形和等邊三角形（或等邊三角形）．

(1)如圖1，直線交邊于點，求證：；
(2)如圖2，直線交邊的延長線于點，線段，，之間有怎樣的數量關系？并給出證明．
14．如圖，在中，，，是邊的中點，，，點、為垂足．求證：

(1)；
(2)是等邊三角形．
15．是等邊三角形，點、分別在邊，上，，交于點，．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，為的角平分線，點在的延長線上，，連接，，求證：．
16．如圖，等邊三角形中，D、E分別是、邊上的點，，與相交于點P，，Q是射線上的動點．

(1)圖中共有__________組全等，請選擇其中的一組全等予以證明．
(2)若為直角三角形，求的值．
17．如圖，已知等邊的邊長為，現有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，運動時間為，已知點M的速度，點N的速度為．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

(1)當點N第一次到達B點時，點M的位置在______；當M、N運動______秒時，點N追上點M；
(2)當點M、N在邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時M、N運動的時間．
參考答案
1．D
【分析】根據三角形的外角的性質，全等三角形的判定，軸對稱圖形的定義一一判斷即可．
【詳解】解：A、三角形的外角大于它的任何一個內角，錯誤，應該是三角形的外角大于它的任何一個和它不相鄰的內角，本選項不符合題意；
B、有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等，錯誤，應該是有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，本選項不符合題意；
C、等腰三角形一邊上的中線也是這邊上的高，錯誤，應該是等腰三角形底邊上的中線也是這邊上的高，本選項不符合題意；
D、等邊三角形是軸對稱圖形，正確，本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
2．A
【分析】根據等邊三角形的性質，證明；即可得①正確；證明，，再由，即可得②正確；先證，得，再證，即可得③正確；先證，得，再證，由，即可得④正確；
【詳解】解：是等邊三角形，
，
在和中，
，
，故①正確；
，
，
，
，
，
，
，
的平分線交于邊上的點G，
，
，
，故②正確；
如下圖，過點G作于T，于J，于K，

平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正確；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正確；
綜上：正確的有4個；
故選A．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義和性質，三角形內角和定理，三角形的外角，解題的關鍵是證三角形全等．
3．B
【分析】根據等邊三角形的判定，等腰三角形的性質與判定，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故該選項正確，不符合題意；
B. 等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合，故該選項不正確，符合題意；
C. 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等，故該選項正確，不符合題意；
D. 三個角都相等的三角形是等邊三角形，故該選項正確，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握等邊三角形的判定定理，等腰三角形的性質與判定定理是解題的關鍵．
4．C
【分析】三角形是軸對稱圖形，則該三角形是等腰三角形，根據有一個內角是的等腰三角形是等邊三角形，即可作出判斷．
【詳解】解：因為三角形是軸對稱圖形，
則該三角形是等腰三角形，根據有一個內角是的等腰三角形是等邊三角形．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定方法，解題的關鍵是熟練掌握判定方法，此題比較簡單，易于掌握．
5．D
【分析】①由于和是等邊三角形，可知，，，從而證出，可推知；②由得，加之，，得到，再根據推出為等邊三角形，又由，根據內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③同②得：，即可得出結論；④根據，，可知，可知④錯誤；⑤利用等邊三角形的性質，，再根據平行線的性質得到，于是可知⑤正確．
【詳解】解：①∵和是等邊三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，①正確；
②，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，②正確；
③與②的過程同理得：，
∴，
③正確；
④∵，且，
∴，故④錯誤；
⑤∵，
∴，
∵是等邊三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴⑤正確．
故選：D
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．
6．C
【分析】根據等邊三角形的判定和性質求解，即可得到答案．
【詳解】解：是等邊三角形，
，，
，
，
，
，，
是等邊三角形，
，
，
四邊形的周長為，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質、平行線的性質，解題關鍵是掌握等邊三角形三條邊相等，三個角均為．
7．B
【分析】作于，由，得到，求出，得到，因此，求出的長，即可得到的長，從而求出的長．
【詳解】解：作于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質，含角的直角三角形的性質，掌握以上知識點是解題的關鍵．
8．B
【分析】根據直角三角形的性質：的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解．
【詳解】如圖，

∵，，
∴，
故選：．
【點睛】此題考查了含角的直角三角形的性質，正確掌握含角的直角三角形定理是解題的關鍵．
9．
【分析】根據等邊三角形的性質，折疊的性質，得到，結合，根據三角形內角和定理，對頂角的性質得，根據得，計算即可．
【詳解】∵等邊，沿直線翻折，使點B落在點處，
∴，
∵，
根據三角形內角和定理，對頂角的性質得
∴，
∵，
∴，
故答案為：40．
【點睛】本題考查了折疊的性質，等邊三角形的性質，三角形內角和定理，對頂角的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．
10．或，或，或，，或，或．
【分析】根據等邊三角形的判定方法添加條件即可．
【詳解】如圖，

①∵中，，
，
若添加，
則是等邊三角形（有一個角是的等腰三角形是等邊三角形），
同理，也可以添加，或；
②∵中，，
若添加，
則，
則是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形），
同理，也可以添加；
③∵中，，
，
若添加，
則，
則是等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形），
同理，也可以添加．
綜上，添加的條件可以是：或，或，或，，或，或．
故答案為：或，或，或，，或，或．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定方法是解題的關鍵．
11．12
【分析】作點關于的對稱點，連接，根據周長等于，當四點共線時，周長最小，根據對稱性進行求解即可．
【詳解】解：作點關于的對稱點，連接，

則：，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵周長等于，
當四點共線時，周長最小，即為的長，
∴周長的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查利用軸對稱解決周長最短問題．解題的關鍵是掌握成軸對稱的性質，構造將軍飲馬模型．
12．
【分析】根據直角三角形 角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，再根據等面積法即可解答．
【詳解】解：如圖，過作于點，

∵，，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴，
∴斜邊上的高線長，
故答案為：．
【點睛】此題考查了直角三角形 角所對的直角邊等于斜邊的一半和等面積法，解題的關鍵是熟記性質及其應用．
13．(1)見解析
(2)，見解析
【分析】（1）結合等邊三角形的性質，證明，由全等三角形的性質可得，易得，即可證明；
（2）同理（1），證明，且，易得，即可獲得答案．
【詳解】（1）證明：∵與是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）．
證明：由（1）知，同理可證及，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．
14．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用證明，進而解答即可；
（2）由，進而得到．由（1）得，求出．所以是等邊三角形．
【詳解】（1）解：證明：，
．
，，
．
是邊的中點，
．
，，
．
在和中，
，
，
．
（2）由（1）得，
．
，
由（1）得，
．
．
是等邊三角形．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，解決本題的關鍵是熟記等腰三角形的性質以及全等三角形的性質．
15．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據，，可證得，進而證得．
（2）作，交的延長線于點，作，交于點，根據角平分線的性質，可證得，進而可證得，，根據，可求得為等邊三角形．
【詳解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）如圖所示，作，交的延長線于點，作，交于點．

∵，
∴．
∵為的角平分線，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，，，
∴．
在和中
∴．
∴，，，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴為等邊三角形．
∴．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質、等邊三角形的性質、角平分線的性質，能根據題意構建輔助線是解題的關鍵．
16．(1)2，證明見解析
(2)2或8
【分析】（1）利用等邊三角形的性質，以及證明即可；
（2）分為直角，兩種情況，結合30度角的直角三角形的性質，進行求解即可．
【詳解】（1）解：圖中有2組全等，；
證明：∵等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵Q是射線上的動點，當為直角三角形時：
①當時，如圖，

則：，
∴；
②當時，如圖，

則：，
∴．
綜上：．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形．熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等，是解題的關鍵．
17．(1)中點，6
(2)存在，運動的時間是時．得到以為底邊的等腰三角形
【分析】（1）求出運動的路程即可判斷的位置，由題意得：，求出的值即可；
（2）列出關于的方程，求出的值，即可解決問題．
【詳解】（1）當點第一次到達點時，
，
運動了，
點的位置在中點；
當點追上點時，
由題意得：，
，
當、運動6秒時，點追上點，
故答案為：中點，6．
（2）如圖，，
作于，
，，
，
，
，

、運動的時間是時．得到以為底邊的等腰三角形．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，一元一次方程的應用，關鍵是由題意得到關于的方程．
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