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八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問題 導(dǎo)學(xué)案
【知識(shí)清單】
1.最短路徑問題解題根據(jù)：
（1）兩點(diǎn)的所有連線中，段線最短.
（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.
2.最短路徑問題類型：
（1）在直線上找一點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到直最短路徑問題線異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)的距離（PA＋PB）最短。
如圖所示，連接AB,與直線相交于一點(diǎn)P,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短",可知P點(diǎn)就是要找的點(diǎn).
（2）在直線上找一點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到直線同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)的距離的和（PA＋PB）最小.
如圖所示.在直線旁作以直線為對(duì)稱軸的A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A',再將這一對(duì)稱點(diǎn)A'與另一點(diǎn)B連接交直線于P點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)。
（3）在直線1、2上分別求點(diǎn)M、N,使△PMN的周長(zhǎng)最小.
如圖所示，分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線1、2的對(duì)稱點(diǎn)P',P",連接P'P",與兩直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,N。△PMN周長(zhǎng)的最小值為線段P'P"的值。
（4）在直線1、2上分別求點(diǎn)M、N,,使四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。
如圖所示，分別作點(diǎn)P,Q關(guān)于直線1、2的對(duì)稱點(diǎn)P',Q',連接P'Q',與兩直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,N四邊形PMNQ周長(zhǎng)的最小值為P'Q'+PQ的值。
【典型例題】
考點(diǎn)1：等邊三角形的性質(zhì)
例1．如圖，在中，，，的面積為12，于點(diǎn)，直線垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接，，則的周長(zhǎng)的最小值是（ ）

A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【分析】連接，由得到是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)及的面積為12得到，，由直線垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，由是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)得到，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值等于為的長(zhǎng)，即可得到的周長(zhǎng)最小值為
【詳解】解：如圖，連接，

∵，
∴是等腰三角形，
∵，于點(diǎn)D，的面積為12，
∴，,
∴，
∵直線垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴，
∵是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值等于為的長(zhǎng)，
∴的周長(zhǎng)為，
即的周長(zhǎng)的最小值是7．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱最短路線問題的應(yīng)用、三角形的面積等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值等于為的長(zhǎng)．
考點(diǎn)2：等邊三角形的判定
例2．如圖，在中，的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)、，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是以下哪條線段的長(zhǎng)度（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到當(dāng)時(shí)，的值最小，即的值最小，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，
是線段的垂直平分線，
，
，
的最小值的最小值，
，
當(dāng)時(shí)，的值最小，即的值最小，
的最小值是線段的長(zhǎng)度，
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3：等邊三角形的判定和性質(zhì)
例3．如圖，從地到地的最短路線是( )

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來判斷即可．
【詳解】解：由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知地到地的最短路線是，沿直線行走，所以從地到地的最短路線是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)4：含30度角的直角三角形
例4．如圖所示，從甲到乙共有，，三條路線，最短的路線是（ ）

A． B． C． D．無法確定
【答案】B
【分析】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短，甲到乙最短的路線是從甲到乙的線段，由此解答即可．
【詳解】解：甲到乙最短的路線是，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，解題的是理解最短路線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
【鞏固提升】
選擇題
1．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（ ）

A．12 B．8 C．10 D．20
2．如圖，邊長(zhǎng)為的等邊中，是上中線且，點(diǎn)在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長(zhǎng)的最小值是（ ）

A． B． C． D．
3．如圖，等腰的底邊，面積為，腰的垂直平分線分別交于點(diǎn)E、F，若D為邊的中點(diǎn)，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為多少？（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
4．小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（　　）．
A． B． C． D．
5．如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點(diǎn) M、N，使得的周長(zhǎng)最小，則的度數(shù)為（　　 ）

A． B． C． D．
二、填空題
6．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是14，腰的垂直平分線分別交，邊于，點(diǎn)，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為 ；

7．如圖，的面積是，最長(zhǎng)邊，平分，點(diǎn)M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
8．如圖，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．

9．如圖，，點(diǎn)M、N分別在射線、上，，的面積為12，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積最小值為 ．

10．如圖，在中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，的最小值等于 ．

三、解答題
11．如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．

(1)作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形；
(2)點(diǎn)P在直線上，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，僅用無刻度的直尺在直線上作出點(diǎn)P的位置．
12．如圖，的坐標(biāo)分別是．

(1)如圖1，畫出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形；
(2)如圖2，在軸上找出點(diǎn)，使最小，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
13．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形)的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系；
(2)請(qǐng)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)請(qǐng)?jiān)谳S上求作一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小(保留作圖痕跡，不寫作法)．
14．在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、B、C三點(diǎn)在格點(diǎn)上．
(1)作出關(guān)于x軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在y軸上求作點(diǎn)D，使得值最小，請(qǐng)你直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)．
15．在網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中、、、．

(1)請(qǐng)作出四邊形關(guān)于軸對(duì)稱的四邊形，并寫出點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在直線上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，在圖中標(biāo)出的位置，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（保留畫圖過程的痕跡）．
16．如圖，在中，，，，平分，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)______，______度；
(2)當(dāng)四邊形為軸對(duì)稱圖形時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)若是等腰三角形，求的度數(shù)；
(4)若點(diǎn)在線段上，連接、，直接寫出的值最小時(shí)的長(zhǎng)度．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案
1．C
【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接，

∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
解得，
∵是線段的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴的長(zhǎng)為的最小值，
∴周長(zhǎng)的最小值為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱——最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
2．B
【分析】由題意等邊三角形性質(zhì)和全等三角形判定得出，進(jìn)而作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于E，此時(shí)的值最小，最后依據(jù)周長(zhǎng)的最小值求值即可得出答案．
【詳解】解：如圖，

∵都是等邊三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)()，
作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于，此時(shí)的值最小，
∵
∴是等邊三角形，
∴
∵
∴
∴周長(zhǎng)的最小值．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短路徑問題和等邊三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱性質(zhì)得出的值最小．
3．B
【分析】連接，，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，，推出，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接，．

是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，解得，
是線段的垂直平分線，
點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，，
，
的長(zhǎng)為的最小值，
的周長(zhǎng)最短．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
4．C
【分析】本題利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．
【詳解】解：如圖：作點(diǎn)關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)，連接交街道所在直線于點(diǎn)，
，
，
在街道上任取除點(diǎn)以外的一點(diǎn)，連接，，，
，
在中，兩邊之和大于第三邊，
，
，
點(diǎn)到兩小區(qū)送奶站距離之和最小．

故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短路線的問題，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題．會(huì)作對(duì)稱點(diǎn)是解此類問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用．另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會(huì)有變式：請(qǐng)你找出點(diǎn)的位置．
5．C
【分析】根據(jù)要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，即可得出，進(jìn)而得出即可得出答案．
【詳解】解：作A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，，交于M，交于N，則，即為的周長(zhǎng)最小值．作延長(zhǎng)線，

∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．
6．9
【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接，．

是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，解得，
是線段的垂直平分線，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
的長(zhǎng)為的最小值，
的周長(zhǎng)最短．
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
7．10
【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于N，則CE的長(zhǎng)即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于N，
平分，于點(diǎn)E， 于N，
，
，
根據(jù)垂線段最短可知，CE的長(zhǎng)即為的最小值，
的面積是，最長(zhǎng)邊，
，
，
即的最小值為10．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱——最短路徑問題，關(guān)鍵是根據(jù)垂線段最短將的最小值轉(zhuǎn)化為CE ．
8．
【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，證明即可．
【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，

，，，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，
，
，即的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，最短路徑問題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出對(duì)稱點(diǎn)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用．
9．
【分析】連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，先利用三角形的面積公式求出，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，的面積最小，由此即可得．
【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，

，且，
，
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，
，，，
，
，
的面積為，
由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，
的面積的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．
10．3
【分析】根據(jù)是的平分線確定出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)作于交于，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)即為使最小的點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，利用三角形的面積求出，再根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等可得，從而得解．
【詳解】解：如圖，過作于交于，

則，
是的平分線，
，
，
，
，
點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，
過點(diǎn)作于交于，
由軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)即為使最小的點(diǎn)，，
過點(diǎn)作于，
，，
，
解得，
是的平分線，與關(guān)于對(duì)稱，
，
是等腰三角形，
，
即的最小值是3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形兩腰上的高相等的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)并準(zhǔn)確確定出點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
11．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形；
（2）連接交直線于點(diǎn)，即可使周長(zhǎng)最小．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，
此時(shí)周長(zhǎng)最小．
點(diǎn)即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．
12．(1)作圖見詳解
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）根據(jù)圖形關(guān)于軸對(duì)稱的作法即可求解；
（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的位置，根據(jù)圖形與坐標(biāo)即可求解．
【詳解】（1）解：關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，如圖所示，

∴即為所求圖形．
（2）解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)的值最小，

∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的變換，對(duì)稱—最短路徑的知識(shí)，掌握?qǐng)D像關(guān)于軸對(duì)稱的作法，最短路徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
13．(1)見解析
(2)見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系即可；
（2）畫出A、B、C關(guān)于y軸對(duì)稱的并依次連接，寫出坐標(biāo)即可；
（3）作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P；
【詳解】（1）解：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系

（2）如圖，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）如圖，點(diǎn)即為所求

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換、最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．
14．(1)見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)是
(2)見解析，D點(diǎn)坐標(biāo)是
【分析】（1）先根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、，再順次連接可得，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與y軸交于點(diǎn)D，則此時(shí)最小，根據(jù)圖形可得點(diǎn)D坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)是；
（2）解：如上圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與y軸交于點(diǎn)D，則此時(shí)最小，D點(diǎn)坐標(biāo)是.
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-軸對(duì)稱變換、利用軸對(duì)稱性質(zhì)求最短路徑，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
15．(1)圖見解析，
(2)圖見解析，
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)畫圖即可求解；
（2）根據(jù)尺規(guī)作圖——最短路徑問題進(jìn)行分析即可求解．
【詳解】（1）解：如圖：

（2）解：如圖：

過點(diǎn)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線交于點(diǎn)交于點(diǎn)，即為所求；
根據(jù)圖象可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了畫已知圖形的對(duì)稱圖形，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)確定點(diǎn)坐標(biāo)，尺規(guī)作圖——最短路徑問題等，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
16．(1)4；45
(2)
(3)或或
(4)2
【分析】（1）根據(jù)題意可得，則，即可求得AE的長(zhǎng)，再根據(jù)平分，即可求得的度數(shù)；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得答案；
（3）根據(jù)題意可得，分三種情況：，，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（4）過點(diǎn)M作，點(diǎn)P關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，根據(jù)，可得，則，，因此，以此得點(diǎn)E，M，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，最后根據(jù)解含30度角的直角三角形即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）解：，，
，
，
點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
平分，
，
故答案為：4；45．
（2）∵四邊形為軸對(duì)稱圖形，平分，
∴對(duì)稱軸為直線，
∴．
（3）∵平分，，
∴．
當(dāng)時(shí)，，
∴；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
綜上所述，的度數(shù)為或或．
（4）如圖，點(diǎn)M在上，且，作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，

，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)E，M，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，
又根據(jù)垂線段最短，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱——最短路徑問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，角平分線的性質(zhì)，本題綜合性較強(qiáng)，作出輔助線，找到最短路徑是解題關(guān)鍵．
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