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綜合試題解析與反思
歐陽尚昭
【題1】已知數列滿足，且對一切，有，其中．
（1）求證：對一切，有；
（2）求數列的通項公式；
（3）求證：．
【解析】（1）∵，
∴，又
∴．
（2）由及，兩式相減得
，化簡得，
∵∴，由可得，
由此可得，∴
（3）
【反思】1．本題的第一問和第二問屬于常規基礎題，第三問采用的裂項法證明不等式，其關鍵之處有兩個地方：一是，它既進行了合情合理地放縮，又得到了數字1；二是，所有的這些努力都是為后續的裂項創造了條件，使得后續工作的開展能夠水到渠成；
2．我們說學數學不做題目是不行的，但是做太多了，營養價值不高也沒有用．選題要精，要選一些營養高的題目，通過對題目的深入思考，找到解決問題的思路，掌握學習的規律，這樣才能夠提高學習效率。所以，特別是在復習的最后階段，以及平時的學習階段，不同類型的題目要多做一些，同一個類型的題目，做上三四道，體會一下規律就行了．如果同一個類型的題目，做上三四十到五十道，那樣的單調反復，對提高學習效率沒有什么大的效果．題不求多，但求精彩．這有點兒像吃飯，吃不飽不好，但過飽，甚至飽了還要往肚里塞，不但后塞進去的食物不會吸收，甚至引起腸胃功能紊亂，連開始吃進去的食物都不能消化吸收．同時，營養價值很低的食物吃很多，不如吃適量的高營養的食物．因此，本題的營養價值就在于合情合理地放縮對我們的論證帶來了巨大的財富和智慧．
【題2】已知函數（為自然對數的底數），
（1）判斷的奇偶性；
（2）在上求函數的極值；
（3）用數學歸納法證明：當時，對任意正整數都有
【解析】（1）∵，∴為R上的偶函數．
（2）當時，，令，有
當變化時，，的變化情況如下表：
0
-

極大值
由表可知，當=時，的極大值為
（3）當時，，考慮到時有：
… ①，所以只要用數學歸納法證明不等式①對一切正整數都成立即可．
（ⅰ）當時，設，∵時，，∴是增函數，故有，
∴當時，不等式①都成立.
（ⅱ）假設時，不等式①都成立，即
當時，設，有，
故為增函數，∴
即這就是說，時不等式①都成立.
根據（ⅰ）、（ⅱ）不等式①對一切正整數都成立.
【反思】1．如何運用數學歸納法證題，應該說對大多數學生都不陌生，然而，本題的數學歸納法卻是別有洞天，因為，它在“傳統”證法的基礎上，有多了一個條件且在其定義域內不斷地變化，因而使得本題的證明過程豐富多彩，因為在抓住的證明時，我們看到，無論是證還是時，都需要證及在上恒成立，于是聯想函數的單調性，進而利用導數這個有用的工具去解決所待證的問題；
2．要注意進行編織知識網絡，幫助同學掌握知識之間的聯系，同時要注意用數學思維方法帶動知識和技能的復習，使同學們經過系統復習，能夠居高臨下，能夠把握知識之間的先后聯系，能夠做一道題目會一片，這樣能力上才有可能提高，才能發現解題規律．要避免題海戰術，老師要深入題海，精選例題，精選深入思想方法，深入基礎知識、數學營養比較高的題目，給同學們認真的解剖挖掘，通過對一個題目的審題，發現條件和結論之間的聯系，打開解題思路，然后制定解題計劃，把題目有條有理的解答出來．解題之后，還要注意總結、拓寬、延伸，努力做到以例積類，這樣的話，學生、老師做的題目不算太多，但是營養價值高，思維價值高，學生收益大，就可以提高復習的效力，靠以精取勝，以學生能夠把握知識系統來取勝，把握解題規律來取勝，這樣學生通過復習，例題的知識網絡構建起來了，解題的規律總結出來了，就會變得比較聰明，就會變得比較智慧．
【題3】已知函數
（1）求函數的單調區間；
（2）如果關于的方程有實數根，求實數的取值集合；
（3）是否存在正數，使得關于的方程有兩個不相等的實數根？如果存在，求滿足的條件；如果不存在，說明理由．
【解析】（1）函數的定義域為，又，
由或；由或．
因此的單調增區間為；單調減區間為．
（2）∵，
∴實數的取值范圍就是函數的值域．于是，令，得，并且當時，；當時，，∴時，取得最大值，且，又當無限趨近于0時，無限趨近于無限趨近于0，進而有無限趨近于，∴的值域為．
即的取值集合．
（3）這樣的正數不存在．（反證法）
假設存在正數，使得關于的方程有兩個不相等的實數根和，則
則
根據對數函數定義域知，
又由（1）知，當時，，
∴，，
再由可得，由于，
∴不妨設，由（*）、（**）可得：，由比例的性質得：
即 ①，由于是區間上的恒正增函數，且，∴，又由于是區間上的恒正減函數，且，∴，
這與①式矛盾，因此，滿足條件的不存在．
【反思】1．本題的第（1）問是導數的應用之一 ——求函數的單調區間；本題的第（2）問是求實數的取值范圍問題，但實質上是就是函數的值域；這兩問屬于常規問題；
2．本題的第（3）問也是常見的存在性問題，但處理起來卻顯得有些與平常不同，在這里，要注意以下幾點：①細節問題：如由對數函數的定義域知，在聯系到，進而得到，又，于是不妨設；還有函數及函數分別是區間上的恒正增函數和恒正減函數等細節問題，這些細節處理得好，對我們正確地解決問題將起到積極的作用；②轉化問題：由比例性質將轉化為的目的是為了方便使用復合函數的單調性來解決問題；③矛盾問題：在用反證法的過程中，“矛盾”的出現是由于“自相矛盾”的結果，而推出這個結果產生是由于利用了函數的單調性來導出的．由是觀之，本題的營養價值的確是充分的．

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