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人教版八年級數(shù)學上冊 14.1.3 積的乘方 導學案
【知識清單】
積的乘方： (為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.
【典型例題】
考點1：各的乘方運算
例1．下列計算中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，合并同類項的法則進行運算即可．
【詳解】解：A、，故錯誤，不符合題意；
B、，故正確，符合題意；
C、，故錯誤，不符合題意；
D、與不屬于同類項，不能合并，故錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
考點2：積的乘方的逆用
例2．計算的結果為（ ）
A． B． C． D．125
【答案】C
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則把原式變形，根據(jù)積的乘方法則計算即可．
【詳解】解：原式
，
故選：C．
【點睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法和積的乘方運算，掌握運算法則是解題的關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．計算的結果為（ ）
A． B． C． D．
4．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列等式中正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．計算的結果為（ ）
A． B． C． D．8
7．計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
8．計算的結果是（　　）
A．1 B． C． D．
9．已知，，（ ）
A．10 B．20 C．40 D．50
10．計算的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．計算： .
12．已知，則
13．計算： ．
14．計算：若，則 ．
三、解答題
15．已知：，
(1)求的值；
(2)求 的值．
16．若（且，m、n是正整數(shù)），則．利用上面的結論解決下面的問題：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求a的值．
17．閱讀材料，回答下列問題：
材料一：積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
即：．
材料二：等式成立
試求：（1） ．
（2） ．
18．已知為正整數(shù)，且，，求的值．
19．一個正方體，它的體積是棱長為2cm的正方體的體積的27倍，求這個正方體的棱長是多少？
20．用簡便方法計算：
(1)；
(2)．
21．2022年北京冬奧會開幕式主火炬臺由96塊小雪花形態(tài)和6塊橄欖枝構成的巨型“雪花”形態(tài)，在數(shù)學上，我們可以通過“分形”近似地得到雪花的形狀．
【觀察思考】
將一個邊長為1的等邊三角形（如圖①）的每一邊三等分，以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形，并去掉所作的等邊三角形的一條邊，得到一個六角星（如圖②），稱為第一次分形．接著對每個等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過程，即在每條邊三等分后的中段向外畫等邊三角形，得到一個新的圖形（如圖③），稱為第二次分形。不斷重復這樣的過程，就得到了“科赫雪花曲線”．
【規(guī)律總結】
（1）第四次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個的_________倍；
（2）試猜想第n次分形后所得圖形的邊數(shù)為_________（用含n的代數(shù)式表示）．
【問題解決】
（3）若該圖①中等邊三角形的邊長為1，根據(jù)以上步驟進行操作，得到了一個周長為的圖形，按此規(guī)律計算，要想得到此圖形，需要經(jīng)過多少次分形？
參考答案
1．D
【分析】接利用合并同類項法則以及冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法運算法則、積的乘方運算法則分析得出答案．
【詳解】解：A、不能合并，故該選項錯誤；
B、，故該選項錯誤；
C、，故該選項錯誤；
D、，故該選項正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了合并同類項以及同底數(shù)冪的乘法運算、積的乘方運算，正確掌握相關運算法是解題關鍵．
2．C
【分析】先把左右兩邊分別計算，再對應字母指數(shù)相等求值即可．
【詳解】∵
∴，
∴，
解得，
∴；
故選：C．
【點睛】本題考查單項式的乘法，冪的綜合運算，熟記同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方運算法則是解題的關鍵．
3．A
【分析】根據(jù)乘方法則及同底數(shù)冪的乘法法則計算即可．
【詳解】解：，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了乘方的法則及同底數(shù)冪的乘法法則，即負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，掌握相關運算法則是解題關鍵．
4．C
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和積的乘方法則計算，并判斷即可．
【詳解】解：，故選項A錯誤；
，故選項B錯誤；
，故選項C正確；
，故選項D錯誤；
故選：C．
【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法及積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
5．D
【分析】根據(jù)合并同類項，積的乘方，對各選項進行判斷作答即可．
【詳解】解：，錯誤，故A不符合要求；
，錯誤，故B不符合要求；
，錯誤，故C不符合要求；
，正確，故D符合要求；
故選：D．
【點睛】本題考查了合并同類項，積的乘方．解題的關鍵在于正確的運算．
6．B
【分析】根據(jù)積的乘方逆運算和同底數(shù)冪的乘法逆運算計算即可．
【詳解】解：．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了積的乘方逆運算、同底數(shù)冪的乘法逆運算等知識，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
7．C
【分析】利用積的乘方的逆用 靈活運用即可．
【詳解】解：，
，
，
，
，
故選：．
【點睛】此題考查了積的乘方的逆用，靈活利用積的乘方的逆用是解題的關鍵．
8．D
【分析】根據(jù)積的乘方以及積的乘方的逆運算計算，即可求解．
【詳解】解：原式
故選：D．
【點睛】本題主要考查了積的乘方以及積的乘方的逆運算，熟練掌握積的乘方以及積的乘方的逆運算法則是解題的關鍵．
9．B
【分析】逆用積的乘方和冪的乘方公式即可解答．
【詳解】解：，，
,
,
,
,
．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了積的乘方和冪的乘方，靈活逆用積的乘方和冪的乘方是解答本題的關鍵．
10．B
【分析】利用積的乘方的逆用法則進行運算即可.
【詳解】解：，
故選：B.
【點睛】本題主要考查積的乘方的逆用，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.
11．
【分析】根據(jù)冪的乘方進行化簡，再整理為指數(shù)相同的冪的乘法，根據(jù)積的乘方可得答案．
【詳解】解：
故答案為：．
【點睛】本題考查積的乘方和冪的乘方，先觀察式子的特點，化為指數(shù)相同的冪的乘法進行計算即可．
12．1089
【分析】將所求式子利用冪的乘方和積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法法則變形為，再整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴
故答案為：1089．
【點睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，靈活運用法則變形是解題的關鍵．
13．
【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的逆用法則，積的乘方的逆用法則計算即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆用，積的乘方的逆用．熟練掌握其運算法則是解題關鍵．
14．3
【分析】根據(jù)積的乘方的運算法則求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了積的乘方運算，解答本題的關鍵是掌握積的乘方的運算法則．
15．(1)6
(2)108
【分析】（1）將代入計算可得；
（2）將代入計算可得．
【詳解】（1）當時，
；
（2）當時，
．
【點睛】本題考查的是冪的乘方與積的乘方法則，熟知冪的乘方法則是底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則是把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘是解答此題的關鍵．
16．(1)4
(2)3
【分析】（1）根據(jù)冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則，進行計算即可解答；
（2）根據(jù)冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則，進行計算即可解答．
【詳解】（1）解：（1），
，
，
，
，
，
解得：，
的值為4．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
的值為3．
【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握它們的運算法則是解題的關鍵．
17．220 333300
【分析】（1）根據(jù)將變形為，再利用進行計算即可得到答案；
（2）先利用將變形為，再利用進行計算即可得到答案．
【詳解】解：（1），
，
原式
，
故答案為：220；
（2），
，
原式
，
故答案為：333300．
【點睛】本題主要考查了積的乘方，熟練掌握的積的乘方的運算法則，能準確利用題中所給的公式是解題的關鍵．
18．97
【分析】通過積的乘方法則、冪的乘方法則、同底數(shù)冪乘法的逆用將所求式子進行變形，再將，整體代入求解．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查已知式子的值求代數(shù)式的值，解題的關鍵是熟練掌握積的乘方法則、冪的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則．
19．
【分析】設該正方體的棱長為cm，根據(jù)題意建立等量關系，再開立方即可求解．
【詳解】解：設該正方體的棱長為cm，由題意得：
即
解得：
故：該正方體的棱長為．
【點睛】本題考查積的乘方的逆運算、立方根．根據(jù)實際問題建立等量關系是解題關鍵．
20．(1)
(2)8
【分析】（1）先將小數(shù)化為分數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則進行計算即可；
（3）根據(jù)乘法結合律和積的乘方逆運算，先計算后兩項乘積，再求解即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的簡便運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)范圍內依舊適用各個運算律，以及熟練運用同底數(shù)冪的運算法則．
21．（1）4；（2）；（3）5
【分析】（1）根據(jù)第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是12，第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是48，可得答案；
（2）由（1）可得第次分形后所得圖形的邊數(shù)是，
（3）根據(jù)圖形變化規(guī)律可得：第次分形后所得圖形的邊數(shù)是，邊長為，由此得方程求解．
【詳解】解：（1）等邊三角形的邊數(shù)為3，
第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是，
第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是，
第三次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是，
第四次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是，
，
故答案為：4，
（2）由（1）可知每一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個“雪花曲線”邊數(shù)的4倍，
所以第次分形后所得圖形的邊數(shù)是，
故答案為：．
（3）第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是12，邊長是，
第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是48，邊長是，
，
所以第次分形后所得圖形的邊數(shù)是，邊長為，所以周長為．
當周長為時，即：，
．
∴經(jīng)過5次分形后得到了一個周長為的圖形．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，解題關鍵是找出圖形之間的聯(lián)系，得出運算規(guī)律．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

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