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人教版八年級數學上冊 14.1.4 整式的乘法 導學案
【知識清單】
1.單項式乘以單項式
單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.
2.單項式乘以多項式
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).
3.多項式乘以多項式
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.
要點詮釋：運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質符號，單項式乘以多項式各項的結果，要用“＋”連結，最后寫成省略加號的代數和的形式．根據多項式的乘法，能得出一個應用比較廣泛的公式：.
【典型例題】
考點1：同底數冪
例1．若，，求的值（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】把化為，再把，代入進行計算即可．
【詳解】解：∵，，
∴
；
故選B
【點睛】本題考查的是冪的乘方運算的逆運算，同底數冪的除法運算的逆運算，熟記運算法則是解本題的關鍵．
考點2：單項式及運算
例2．已知單項式與的積為，那么、的值為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】2．B
【分析】按照單項式乘單項式計算單項式與的積，再根據單項式與的積為，即可求得答案．
【詳解】解：∵，單項式與的積為，
∴，，
故選：B
【點睛】此題考查了單項式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
考點3：多項式及運算
例3．如果的乘積中不含的一次項，則為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運用多項式乘以多項式展開，含的一次項的系數為零即可求解．
【詳解】解：
，
∵乘積中不含的一次項，
∴，解得，，
故選：．
【點睛】本題主要考查整式的乘法運算，不含某次項的運算，掌握整式乘法運算法則是解題的關鍵．
考點4：整式及運算
例4．等式 中的括號內應填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用整式的乘法運算法則、乘除法互為逆運算及冪的運算法則求解．
【詳解】由原式，得
∴括號中式子應為．
故選C．
【點睛】本題主要考查整式的乘法運算、乘除法互為逆運算、冪的運算法則等知識；能夠運算乘、除法互為逆運算的性質，對原等式進行變形是解題關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．如圖所示，在這個運算程序當中，若開始輸入的x是48，則經過2022次輸出的結果是（ ）

A．3 B．6 C．12 D．24
2．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．若單項式和的積為，則ab的算術平方根為（ ）
A． B． C．5 D．10
5．下列計算正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
6．某校利用課后服務開展了主題為“浸潤書香，放飛悅讀”的讀書活動．現需購買甲，乙兩種圖書共300本供學生閱讀，其中甲種圖書的單價為元/本，乙種圖書的單價為元/本，若購買甲種圖書本，則該校購買甲乙兩種圖書總費用為（　?。?br/>A．元 B．元
C．元 D．元
7．若a，b均為整數，且，則等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．16
8．已知，則代數式的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
9．如果，那么的值為（ ）
A．21 B．29 C． D．
10．有若干張如圖所示的正方形，和長方形卡片，如果要拼一個長為，寬為的長方形，則需要卡片的張數為( )

A．5 B．4 C．3 D．2
11．觀察下列等式：，，，由此可得：若，則的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為，下列說法中正確的是（　　）
①小長方形的較長邊為；
②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；
③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；
④當時，陰影A和陰影B的面積和為定值．
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
13．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
14．任意給定一個非零數，按下列程序計算，最后輸出的結果是(　　)

A． B． C． D．
二、填空題
15．已知與為同類項，求 ．
16．若，則的值為 ．
17．根據如圖所示的，，三個圖所表示的規律，依次下去第個圖中平行四邊形的個數是 ．

18．已知，，則的值為 ．
19．計算（為常數）的值，把x，y的值代入計算時，粗心的小明把y的值看錯了，其結果等于9，細心的小紅把正確的x，y的值代入計算，結果恰好也是9，為了探個究竟，小紅又把y的值隨機地換成了2023，結果竟然還是9，根據以上情況，探究其中的奧妙，可以推斷出n的值為 ．
三、解答題
20．請按下列程序計算，把答案寫在表格內，然后看看有什么規律，想想為什么會有這樣的規律？

(1)填寫表格內的空格：
輸入 3 2 1 ……
輸出答案 ……
(2)你發現的規律是： ．
(3)請用符號語言論證你的發現．
21．計算下列各題：
(1)；
(2)．
22．已知．
(1)求A和B；
(2)若y滿足，請用含x的代數式表示y；
(3)在（2）的條件下，當時，求的值．
23．先化簡，再求值：，其中；
24．化簡求值：，其中．
25．觀察等式．
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
總結規律，解答下列問題：
(1)寫出第5個等式：______ ；
(2)寫出第n個等式：______ 用含n的式子表示；
(3)求……的值．
26．化簡求值，已知，其中滿足．
試卷第1頁，共3頁
參考答案
1．B
【分析】由程序圖可知，第一次輸入，輸出結果為，第二次輸入，輸出結果為，第三次輸入，輸出結果為，第四次輸入，輸出結果為，第五次輸入，輸出結果為，第六次輸入，輸出結果為，第七次輸入，輸出結果為，第八次輸入，輸出結果為，進而可推導一般性規律為：從第三次開始，每三次為一個循環，根據，可確定經過2022次輸出的結果．
【詳解】解：第一次輸入，輸出結果為，
第二次輸入，輸出結果為，
第三次輸入，輸出結果為，
第四次輸入，輸出結果為，
第五次輸入，輸出結果為，
第六次輸入，輸出結果為，
第七次輸入，輸出結果為，
第八次輸入，輸出結果為，
∴推導一般性規律為：從第三次開始，每三次為一個循環，
∴，
∴經過2022次輸出的結果是6，
故選：B．
【點睛】本題考查了程序流程圖與代數式求值，數字類規律探索．解題的關鍵是找出一般性變化規律．
2．D
【分析】根據合并同類項、同底數冪的乘除法、冪的乘方法則分別計算即可判斷．
【詳解】解：A、，故錯誤，不合題意；
B、不能合并，故錯誤，不合題意；
C、，故錯誤，不合題意；
D、，故正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了合并同類項、同底數冪的乘除法、冪的乘方，熟練掌握這些法則是解題的關鍵．
3．D
【分析】根據合并同類項、冪的乘方、積的乘方、單項式乘以單項式的運算法則進行運算即可．
【詳解】A、與x不是同類項，不能合并，該選項錯誤；
B、，該選項錯誤；
C、，該選項錯誤；
D、，該選項正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了合并同類項、冪的乘方、積的乘方、單項式乘以單項式等運算法則，解題的關鍵是熟知各種運算法則的具體應用．
4．C
【分析】根據單項式乘單項式的運算法則，和同底數冪的乘法法則，求出，再進行計算即可．
【詳解】解：，
∴，解得：，
∴；
故選C．
【點睛】本題考查單項式乘單項式，以及求一個數的算術平方根．熟練掌握單項式乘單項式的乘法法則是解題的關鍵．
5．B
【分析】根據合并同類項，整式乘法運算，同底數冪的乘法運算，積的乘方運算即可求解．
【詳解】解：、，故原選項錯誤，不符合題意；
、，故原選項正確，符合題意；
、，故原選項錯誤，不符合題意；
、，故原選項錯誤，不符合題意；
故選：．
【點睛】本題主要考查整式的混合運算，掌握合并同類項，同底數冪的乘法運算，積的乘方運算的方法，單項式乘以多項式的計算方法等知識是解題的關鍵．
6．D
【分析】先根據題意求出乙種圖書的數量，再求出甲乙兩種圖書的總費用即可．
【詳解】解：∵甲，乙兩種圖書共300本，甲種圖書有本，
∴乙種圖書有本，
甲種圖書的單價為元/本，乙種圖書的單價為元/本，
∴該校購買甲乙兩種圖書總費用為
故選：D．
【點睛】本題主要考查了根據題意列代數式，讀懂題意是解題的關鍵．
7．C
【分析】根據得到，則，求出，代入即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故選：C
【點睛】此題考查了單項式乘多項式和多項式相等，熟練掌握單項式乘多項式乘法法則是解題的關鍵．
8．B
【分析】根據，得到，整體代入代數式進行求值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
；
故選B．
【點睛】本題考查代數式求值，熟練掌握多項式乘多項式法則，以及整體思想，是解題的關鍵．
9．B
【分析】根據多項式乘多項式法則把等式的左邊展開，根據題意求出m、n的值，計算即可．
【詳解】解：，
則，，
∴，
故選B．
【點睛】本題考查多項式乘以多項式，掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．
10．A
【分析】根據題意，求得長方形的面積，進而根據題意，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴需要卡片的張數為張，
故選：A．
【點睛】本題考查了多項式乘以多項式與圖形面積，熟練掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．
11．C
【分析】根據題意得到，又由得到，則可得，即可得到的值
【詳解】解：由題意可知，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C
【點睛】本題考查整式的運算規律，解題的關鍵是分析歸納等式，找到規律．
12．A
【分析】由題意知，小長方形的較長邊為，陰影A的較短邊為，較長邊為，陰影B的較短邊為，較長邊為15，根據各說法列代數式求解，進而可判斷各說法的正誤．
【詳解】解：由題意知，小長方形的較長邊為，①正確，故符合要求；
陰影A的較短邊為，陰影B的較短邊為，
∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；②錯誤，故不符合要求；
陰影A的較長邊為，陰影B的較長邊為15，
∴陰影A和陰影B的周長和為，
∴若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值，③正確，故符合要求；
當時，陰影A和陰影B的面積和為，④錯誤，故不符合要求；
∴正確的有①③，
故選：A．
【點睛】本題考查了列代數式以及整式的混合運算．正確的列代數式表示陰影的邊長是解題的關鍵．
13．D
【分析】根據積的乘方運算法則，即可判斷A；根據合并同類項法則，即可判斷B；根據單項式乘以單項式運算法則，即可判斷C；根據多項式除以單項式的運算法則，即可判斷D．
【詳解】解：A、，故A不正確，不符合題意；
B、，不是同類項，不能合并，故B不正確，不符合題意；
C、，故C不正確，不符合題意；
D、，故D正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握整式混合運算的運算法則和運算順序．
14．A
【分析】根據程序圖可得：，再計算即可求解．
【詳解】解：根據程序圖可得：，
即最后輸出的結果是．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了整式四則混合運算，理解程序圖，熟練掌握整式四則混合運算法則是解題的關鍵．
15．2
【分析】首先根據同底數冪的除法法則、冪的乘方運算法則將轉變為，再根據同類項的定義可知，然后將其代入求值即可．
【詳解】解：∵，
又∵與為同類項，
∴，
∴．
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了同底數冪的除法、冪的乘方運算、同類項的定義以及代數式求值等知識，熟練掌握同類項的定義以及相關運算法則是解題關鍵．
16．4
【分析】先利用單項式乘單項式法則計算，再根據等式得到指數間關系，最后求出．
【詳解】解：∵
，
∴，
∴①，②．
∴，得．
故答案為：4．
【點睛】本題考查了整式的運算，掌握單項式乘單項式法則是解決本題的關鍵．
17．
【分析】首先發現第一個圖中平行四邊形的個數是個，第二個圖中平行四邊形的個數是，第三個圖中平行四邊形的個數是，由此發現規律解答即可．
【詳解】解：第一個圖中平行四邊形的個數是個，
第二個圖中平行四邊形的個數是，
第三個圖中平行四邊形的個數是，
第個圖中平行四邊形的個數是，
因此第個圖中平行四邊形的個數是個；
故答案為：．
【點睛】本題考查圖形的變化規律，找出一行中的平行四邊形的個數，再找出所有的行數，由此找出第個圖中平行四邊形的個數為，是解題的關鍵．
18．
【分析】根據多項式乘以多項式的計算法則求出，然后代值計算即可．
【詳解】解：∵，，
∴
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，代數式求值，熟知多項式乘以多項式的計算法則是解題的關鍵．
19．
【分析】根據已知，原式的值與y的取值無關，化簡后令相關項的系數為0，即可解得答案．
【詳解】解：
根據已知，原式的值與y的取值無關，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查整式的化簡求值，解題的關鍵是讀懂題意，列出關于n的方程．
20．(1)3，2，1
(2)無論輸入什么數，輸出的結果和原數相等
(3)見解析
【分析】（1）根據程序流程圖代值計算即可；
（2）根據（1）所求可以發現無論輸入什么數，輸出的結果和原數相等；
（3）設輸入的數字為n，只需要證明即可．
【詳解】（1）解：當時，輸出的結果為：
；
當時，輸出的結果為：
；
當時，輸出的結果為：
；
填表如下：
輸入 3 2 1 ……
輸出答案 3 2 1 ……
（2）解：由（1）可知，無論輸入什么數，輸出的結果和原數相等，
故答案為：無論輸入什么數，輸出的結果和原數相等；
（3）解：設輸入的數字為n，
由程序計算得：．
∴無論輸入什么數，輸出的結果和原數相等．
【點睛】本題主要考查了代數式求值，整式的四則混合計算，正確理解題意是解題的關鍵．
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）根據積的乘方，單項式乘以單項式法則計算即可；
（2）根據多項式乘多項式法則作答．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，積的乘方，單項式乘以單項式等知識點，掌握其法則是解本題的關鍵．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用多項式除以單項式法則得到A，利用單項式乘以多項式法則即可得到B；
（2）把（1）中求得的A和B代入即可得到答案；
（3）把代入（2）中關系式得求得，再整體代入即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
；
（2）由，得到
；
（3）把代入（2）中關系式得，
解得．
原式．
【點睛】此題考查了整式的乘法和除法，代數式的求值，熟練掌握多項式除以單項式法則、單項式乘以多項式法則、整體代入是解題的關鍵．
23．，
【分析】利用多項式乘以多項式和單項式乘以多項式計算法則進行計算，再合并同類項，化簡后，再代入x的值可得答案．
【詳解】原式
，
當時，
原式；
【點睛】此題考查了整式的混合運算--化簡求值，熟練掌握整式的運算法則是解答本題的關鍵．
24．，
【分析】根據整式的乘法法則，直接相乘，然后合并同類項即可化簡，再將代入求值．
【詳解】解：
，
將代入得，原式．
【點睛】本題考查整式的化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則是解題的關鍵．
25．(1)
(2)
(3)……的值是
【分析】先根據已知算式得出規律，再根據得出的規律得出答案即可；
先根據已知算式得出規律，再根據得出的規律得出答案即可；
原式乘，再根據得出的規律進行計算即可．
【詳解】（1）第5個等式是
故答案為：；
（2）第n個等式是
故答案為：；
（3）……
……
，
即……的值是
【點睛】本題考查了多項式乘多項式，數字的變化類等知識點，能根據已知算式得出規律是解此題的關鍵．
26．，
【分析】運用整式乘除法運算法則化簡，再代入求值即可．
【詳解】解：
，
當時，原式．
【點睛】本題主要考查整式的乘除法運算，掌握其運算法則是解題的關鍵．
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