資源簡(jiǎn)介

千淘萬(wàn)漉雖辛苦,吹盡黃沙始到金
——探中考試題,助課改順行
上饒市教研室 董樂(lè)華
2007年江西省中考數(shù)學(xué)試卷總體上以《中考說(shuō)明》為基本依據(jù)，參照了《課標(biāo)》中“評(píng)價(jià)建議”的要求，堅(jiān)持了以學(xué)生的發(fā)展為本.三個(gè)特點(diǎn):①考查學(xué)生對(duì)三基的理解與掌握，②注重了能力立意，③控制了難度。發(fā)揮功能：充分挖掘了各種已有題型的功能，積極開發(fā)形式新穎的試題，充分發(fā)揮了引導(dǎo)“按課程標(biāo)準(zhǔn)理念所提倡的教學(xué)方式進(jìn)行學(xué)習(xí)和教學(xué)” 、“激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)”的作用，有助于推進(jìn)新課程的順利進(jìn)行。
下面具體說(shuō)明：
一．試題依據(jù)《中考說(shuō)明》，關(guān)注全體，重視基礎(chǔ)——彰顯教學(xué)過(guò)程抓基礎(chǔ)的重要性
1.試題特點(diǎn)
（1）試題首先關(guān)注了《課標(biāo)》中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容.我們的《中考說(shuō)明》是以《課標(biāo)》為指導(dǎo)的,試題根據(jù)《中考說(shuō)明》,整卷通過(guò)三種題型(填空、選擇、解答)①覆蓋了課標(biāo)中85%以上的三級(jí)知識(shí)點(diǎn)(課標(biāo)中共計(jì)43個(gè))；②基本概念和基本技能的占分不低于90分，約75％以上；③對(duì)核心知識(shí)、主干知識(shí)的考查達(dá)到了70％以上。
（2）考查了學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念的掌握程度。
①數(shù)感
例1：（江西第6題） 在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)的距離最近的整數(shù)點(diǎn)所表示的數(shù)是 .
點(diǎn)評(píng): 1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;2.無(wú)理數(shù)的估算; 3. 實(shí)數(shù)的大小比較。4.數(shù)形結(jié)合的思想; 4.與題目“在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)的距離最近的整數(shù)點(diǎn)所表示的數(shù)是 .”比較,感覺(jué)更適合考生, 抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性.
例2：（江西第14題）已知:是整數(shù), 則滿足條件的最小正整數(shù)n為【 】
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
點(diǎn)評(píng):此題涉及數(shù)的分解,開平方, 完全平方等基本知識(shí).題小, 巧,清爽, 入口也寬.最典型的解法是用排除法.
②符號(hào)感
例3：（江西第5題） 在加油站，加油機(jī)顯示器上顯示的某一種油的單價(jià)為每升4.75元，總價(jià)從0元開始隨著加油量的變化而變化，則總價(jià)y（元）與加油量x（升）的函數(shù)關(guān)系式是 .
點(diǎn)評(píng)：1.此題主要是考查直接列式建立函數(shù)關(guān)系式，稍有生活常識(shí)的考生一邊讀題, 一邊會(huì)從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，腦子里會(huì)顯現(xiàn)出加油機(jī)顯示器上那不斷跳躍著的兩組數(shù)字說(shuō)明它們的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系. 尤其顯示器中示數(shù)的跳動(dòng)形象地表現(xiàn)了兩個(gè)變量變化情景，準(zhǔn)確地提示了函數(shù)最本質(zhì)的東西，題中知識(shí)形成和思維的展開顯得自然和諧。2.和下題進(jìn)行比較:
變式: 如圖是某加油站為一輛過(guò)往客車加油時(shí)出現(xiàn)的幾組瞬間數(shù)字，請(qǐng)根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）建立平面直角坐標(biāo)系，猜想并驗(yàn)證付款數(shù)與加油量的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若司機(jī)隨身只攜帶了250元，則至多能加油多少升？
③空間觀念
例4：（江西第15題） 如圖，桌面上放著1個(gè)長(zhǎng)方體和1個(gè)圓柱體,按如圖所示的方式擺放在一起，其左視圖是【 】
④統(tǒng)計(jì)觀念
例5：（江西第20題）某學(xué)校舉行演講比賽，選出了10名同學(xué)擔(dān)任評(píng)委,并事先擬定從如下4個(gè)方案中選擇合理的方案來(lái)確定每個(gè)演講者的最后得分（滿分為10分）：
方案1 所有評(píng)委所給分的平均數(shù).
方案2 在所有評(píng)委所給分中,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算其余給分的平均數(shù).
方案3 所有評(píng)委所給分的中位數(shù).
方案4 所有評(píng)委所給分的眾數(shù).
為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演講成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn). 下面是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖：
（1）分別按上述4個(gè)方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)的演講最后得分；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果,請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說(shuō)明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)演講的最后得分.
點(diǎn)評(píng): 此題有效地考查了統(tǒng)計(jì)中最本質(zhì)的概念和性質(zhì)。
（3）注重?cái)?shù)學(xué)思想的考查――函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、輔助元思想、化歸思想、抽象概括、運(yùn)動(dòng)變化思想、用樣本估計(jì)總體思想等。
題號(hào)
考查知識(shí)點(diǎn)
數(shù)學(xué)思想方法
5
正比例函數(shù)的應(yīng)用
函數(shù)、建模思想
6
實(shí)數(shù)的意義
數(shù)形結(jié)合思想
9
二次函數(shù)與方程
轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想
14
根式化簡(jiǎn)
轉(zhuǎn)化化歸思想
18
分式的運(yùn)算
轉(zhuǎn)化化歸思想
20
統(tǒng)計(jì)應(yīng)用
樣本估計(jì)總體思想
21
二次函數(shù)的最值
數(shù)形結(jié)合思想
23
方程及方程組的應(yīng)用
數(shù)學(xué)建模思想，分類討論思想
24
三角形外心圓切線圖形變換
運(yùn)動(dòng)變化思想
25
坐標(biāo)系上的點(diǎn)、平行四邊形及拋物線上的點(diǎn)等
分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想
試題中重點(diǎn)考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸思想。
例6：（江西第25題）實(shí)驗(yàn)與探究
(1)在圖1、2、3中,給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)(如圖所示),試寫出圖1、2、3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo),它們分別是（5，2）、 、 ；
（2）在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)（如圖所示），試寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo) （C點(diǎn)坐標(biāo)用含a,b,c,d,e,f的代數(shù)式表示），并加以證明；
歸納與發(fā)現(xiàn)
（3）通過(guò)對(duì)圖1、2、3、4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形ABCD
處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（a,b）、B(c,d)、C(m,n)、D(e,f)(如圖4)時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a、c、m、e之間的等量關(guān)系為 ；縱坐標(biāo)b、d、n、f之間的等量關(guān)系為 ；
運(yùn)用與推廣
（4）在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線和三個(gè)點(diǎn)G（）、S（）、H（2c,0）(其中c＞0)，問(wèn)當(dāng)c為何值時(shí), 該拋物線上存在點(diǎn)P，使得以G、S、H、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形? 并求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).
點(diǎn)評(píng): 此題中涉及的數(shù)學(xué)思想很多.
2．導(dǎo)教作用
在平時(shí)的教與學(xué)中，我們對(duì)教科書的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法要達(dá)到非常熟練，對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都必須熟練掌握，絕不能存在僥幸心理，尤其是對(duì)支撐學(xué)科體系的重要知識(shí)點(diǎn)，更要加倍小心，真正達(dá)到以不變應(yīng)萬(wàn)變、融會(huì)貫通。
進(jìn)入復(fù)習(xí)階段要:
(1)重視歸納、梳理，突出“雙基”要求
①首先是歸納、梳理已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)。
方法：a、縱向歸納和梳理。b、橫向歸納與梳理。
例7：（江西第9題）已知二次函數(shù)y=的部分圖象如圖所示, 則關(guān)于x的一元二次方程的解為 .
點(diǎn)評(píng)：滲透了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想
例8：根據(jù)下列表格中二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值，判斷方程（為常數(shù)）的一個(gè)解的范圍是【 】
6.17
6.18
6.19
6.20
A． B． C． D．
②反思并鞏固已知的基本知識(shí)與基本技能
基本知識(shí)是指數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式及其各種知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系；基本技能包括運(yùn)算技能、作圖技能、運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)的技能、簡(jiǎn)單的合情推理和初步的演繹推理技能，以及基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
例9：（江西第7題）如圖, 在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，∠BAD=80°，,則 = 度.
點(diǎn)評(píng)：
例10：（江西第10題）如圖，已知∠AOB,OA=OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形. 請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫出 的平分線(請(qǐng)保留畫圖痕跡).
點(diǎn)評(píng)：
（2）立足數(shù)學(xué)的通解通性通法，抓住知識(shí)的本質(zhì)屬性
所謂數(shù)學(xué)的通性通法，是指《課標(biāo)》中規(guī)定要掌握的運(yùn)算法則、性質(zhì)、公式、方程、基本圖形、函數(shù)圖象及解析式、統(tǒng)計(jì)圖表等，中學(xué)里主要應(yīng)用的有配方法、換元法、待定系數(shù)法、消元法等；所謂通解，是指抓住知識(shí)的本質(zhì)屬性，重視那些對(duì)大部分學(xué)生都適用的解題方法，因?yàn)橹锌荚嚲淼目疾閮?nèi)容、試題素材和試卷形式對(duì)每一位學(xué)生而言都會(huì)盡量做到是公平的。
當(dāng)然復(fù)習(xí)中還應(yīng)關(guān)注那些具有特殊才能和需要特殊幫助的學(xué)生，他們各自的數(shù)學(xué)認(rèn)知特征、已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)差異較大，要給他們提供適當(dāng)?shù)臋C(jī)會(huì)來(lái)表達(dá)自己的數(shù)學(xué)才能。
例11.(2006安徽省)按右圖所示的流程，輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個(gè)要求：
（Ⅰ）新數(shù)據(jù)都在60～100（含60和100）之間；
（Ⅱ）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對(duì)應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大。
（1）若y與x的關(guān)系是y＝x＋p(100－x)，請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)p＝時(shí)，這種變換滿足上述兩個(gè)要求；（可變式）
（2）若按關(guān)系式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k　(a＞0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足上述要求的這種關(guān)系式．（不要求對(duì)關(guān)系式符合題意作說(shuō)明，但要寫出關(guān)系式得出的主要過(guò)程）
點(diǎn)評(píng)：
（3）關(guān)注例、習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想
教學(xué)中，要注意例題的精講，鼓勵(lì)學(xué)生多練，波利亞說(shuō)過(guò)：解題的價(jià)值不是答案本身，而是在于弄清“怎樣想到這個(gè)解法的，是什么促使你這樣想這樣做的”。即引導(dǎo)學(xué)生悟出題中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，在練中尋找規(guī)律，提煉思想，總結(jié)方法，如涉及絕對(duì)值、不等式、方程及函數(shù)的問(wèn)題等就探究能否借助幾何的直觀性來(lái)解決，反之亦然。如此形成數(shù)學(xué)習(xí)慣，以起到舉一反三，事半功倍之效果。
例12.（貴陽(yáng)市）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B、D．（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求一次函數(shù)的解析式．（3）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)的值的的取值范圍．
分析與解答 （1）由圖2－4－20可得C（0，3）．
∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，且拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（－3，0）、B（1，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，3）．
（2）設(shè)一次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)D（－2，3）、
B（1，0）代入解析式，可得
，解得．
∴一次函數(shù)的解析式為．
（3）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．
點(diǎn)評(píng)：本例是一道純函數(shù)知識(shí)的綜合題，主要考查了二次函的對(duì)稱性、對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的求法、一次函數(shù)解析式的求法以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用等．
二．試題堅(jiān)持以生為本,注重了能力立意——教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)
1．試題特點(diǎn)
（1）增加了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的考查
例13：（江西第8題）如圖, 點(diǎn)A、B是⊙O上兩點(diǎn), AB =10,點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)(P與A, B不重合), 連結(jié)AP、PB, 過(guò)O分別作OE⊥AP于E, OF⊥PB于F, 則EF = .
（2）考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)
通過(guò)如第5題、第13題、第20題、第23題等形式，重視聯(lián)系實(shí)際，透視生產(chǎn)和社會(huì)熱點(diǎn)，力舉創(chuàng)設(shè)新的情景，考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。
例14：（江西第23題）2008年北京奧運(yùn)會(huì)的比賽門票開始接受公眾預(yù)訂.下表為北京奧運(yùn)會(huì)官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票價(jià)格，某球迷準(zhǔn)備用8000元預(yù)訂10張下表中比賽項(xiàng)目的門票.
（1）若全部資金用來(lái)預(yù)訂男籃門票和乒乓球門票，試問(wèn)可以訂男籃門票和乒乓球門票各多少?gòu)垼?br/>（2）若在現(xiàn)有資金允許的范圍內(nèi)和總票數(shù)不變的前提下，他想預(yù)訂上述三種球類門票，其中男籃門票數(shù)與足球門票數(shù)相同，且乒乓球門票的費(fèi)用不超過(guò)男籃門票的費(fèi)用，試求他能預(yù)訂三種球類門票各多少?gòu)垼?br/>（3）重視演繹推理能力(邏輯推理)和合情推理能力(如歸納、類比、統(tǒng)計(jì)推斷等)的考查，
例15：（江西第22題）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中, 黑板上畫著如圖所示的圖形,活動(dòng)前老師在準(zhǔn)備的四張紙片上分別寫有如下四個(gè)等式中的一個(gè)等式:
① ② ③ ④
小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機(jī)抽取一張,再?gòu)氖Ｏ碌募埰须S機(jī)抽取另一張. 那么請(qǐng)結(jié)合圖形解答下列兩個(gè)問(wèn)題:
(1)當(dāng)抽得①和②時(shí),用①、②作為條件能判定△BEC是等腰三角形嗎? 說(shuō)說(shuō)你的理由.
(2)請(qǐng)你用樹狀圖或表格表示抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（用序號(hào)表示）,并求以已經(jīng)抽取的兩張紙片上的等式為條件，使△BEC不能構(gòu)成等腰三角形的概率.
另：（江西第25題）
2．導(dǎo)教作用
（1）教學(xué)中聯(lián)系生活實(shí)際與社會(huì)熱點(diǎn)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)
　①平常教學(xué)時(shí)，關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，挖掘現(xiàn)實(shí)生活中的素材進(jìn)行教學(xué)，如在統(tǒng)計(jì)一章，教學(xué)時(shí)要注意和學(xué)生一起挖掘現(xiàn)實(shí)生活中方方面面有趣的、可操作的、真實(shí)的素材，使學(xué)生充分感受統(tǒng)計(jì)在日常生活、社會(huì)和各學(xué)科領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)在解決問(wèn)題中所起的作用，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的積極性。
當(dāng)然教科書編寫也注重了數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的重要作用。如教科書的各節(jié)結(jié)構(gòu)是：
A B C D E F
②復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)要求：Ⅰ、首先使學(xué)生了解構(gòu)建七～九年級(jí)基本的數(shù)學(xué)模型；Ⅱ、其次對(duì)重點(diǎn)問(wèn)題要求學(xué)生靈活掌握；Ⅲ、加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題與其他學(xué)科資源整合的訓(xùn)練。
例16.（鹽城）某校書法興趣準(zhǔn)備到文具店購(gòu)買A，B兩種類型的毛筆，文具店的銷售方法是：一次性購(gòu)買A型毛筆不超過(guò)20支時(shí)，按零售價(jià)銷售；超過(guò)20支時(shí)，超過(guò)部分每支比零售價(jià)低0.4元，其余部分仍按零售價(jià)銷售．一次性購(gòu)買B型毛筆不超過(guò)15支時(shí)，按零售價(jià)銷售；超過(guò)15支時(shí)，超過(guò)部分每支比零售價(jià)低0.6元，其余部分仍按零售價(jià)銷售．
（1）如果全組共有20名同學(xué)，若每人各買1支A型毛筆和2支B型毛筆，共支付145元；若每人各買2支A型毛筆和1支B型毛筆，共支付129元．這家文具店的A，B兩種類型毛筆的零售價(jià)各是多少？
（2）為了促銷，該文具店對(duì)A型毛筆除了原來(lái)的銷售方法外，同時(shí)又推出了一種新的銷售方法：無(wú)論購(gòu)買多少支，一律按原零售價(jià)（即（1）中所求得的A型毛筆的零售價(jià)）的90%出售，現(xiàn)要購(gòu)買A型毛筆a支（a>40），在新的銷售方法和原銷售方法中，應(yīng)選擇哪種方法購(gòu)買花錢較少？并說(shuō)明理由．
（2）教學(xué)中循循善誘,培養(yǎng)推理能力
教科書從七年級(jí)開始就安排了一些說(shuō)理的內(nèi)容，在八年級(jí)的“全等三角形”一章，正式出現(xiàn)
證明及證明的格式。為使學(xué)生達(dá)到《課標(biāo)》中要求的有理有據(jù)地推理證明，精練準(zhǔn)確地表達(dá)推理
過(guò)程，教學(xué)中必須：
　　①注意減緩坡度，循序漸進(jìn)。
　　②在不同的階段，安排不同的練習(xí)內(nèi)容，突出一個(gè)重點(diǎn)，。
③注重分析思路，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問(wèn)題，注重書寫格式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)清楚地表達(dá)思考的過(guò)程。
④通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想；能對(duì)所做出的猜想進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖糇C，能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的嚴(yán)密的邏輯論證，并有條理地表達(dá)自己的證明，與他人交流；能對(duì)他人結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑等．
（3）培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力
教科書在每個(gè)章節(jié)的后面，幾乎都以課題學(xué)習(xí)的形式，為我們提供了很多類似于中考第25題題型的問(wèn)題情景，因?yàn)閺膬?nèi)容而言它也是教材的延伸和發(fā)展。
教學(xué)中要關(guān)注這些課題學(xué)習(xí)問(wèn)題，要有強(qiáng)化意識(shí)。通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題及其變式的訓(xùn)練，不但可以鞏固和提高對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，明確所學(xué)知識(shí)在社會(huì)實(shí)際和日常工作生活中的應(yīng)用，掌握觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、探究，歸納的數(shù)學(xué)技能，還能培養(yǎng)我們不畏艱辛，敢于探索的意志品質(zhì)。在掌握基本知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，養(yǎng)成自主探究、勇于創(chuàng)新的習(xí)慣，努力提高分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。
三．把準(zhǔn)命題尺度, 整體控制難度——體現(xiàn)人性關(guān)愛(ài)的課程理念
1.試題特點(diǎn)
(1) 控制試題難度，保證答題時(shí)間
各種題型的難度平穩(wěn)上升,梯度明顯; 綜合題入口較寬, 前問(wèn)為后問(wèn)搭橋,難度逐步加深; 整卷的難度預(yù)計(jì)是0.6，平均分估計(jì)達(dá)到72分左右。減少了低分率過(guò)低的現(xiàn)象，使得分在48分以下(低分）的控制在了30%以下。實(shí)際上饒市成績(jī)統(tǒng)計(jì)為
考生數(shù)
平均分
整卷難度
及格人數(shù)
及格率
優(yōu)秀人數(shù)
優(yōu)秀率
100分以上
考生比例
110分以上
考生比例
滿分人數(shù)
48分以下
考生比例
71285
65.53
0.55
35122
49.27
13963
19.59
10284
14.43
2493
3.50
10
23218
32.57
（2）試題遵循了命題原則，緊扣《考試說(shuō)明》
①杜絕了出現(xiàn)“繁(題目文字?jǐn)?shù)量保持在350字以內(nèi))、偏(考查內(nèi)容、試題素材和試卷形式對(duì)每一位學(xué)生而言應(yīng)當(dāng)是公平的)、超(不超標(biāo))”試題；
②在各種版本教材的交匯點(diǎn)出題。（說(shuō)明中去掉了“依標(biāo)據(jù)本”這句話）
（2）導(dǎo)教
①知識(shí)的交匯點(diǎn)（結(jié)合課標(biāo)）
如：一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系(課標(biāo)中說(shuō):理解配方法,會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程)，但人教版中數(shù)學(xué)活動(dòng)中有內(nèi)容，北師大沒(méi)有；圓的定義等
②不拔高。如：概率題
課標(biāo)中要求：（1）在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。（2）通過(guò)實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的概率；知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值。（3）通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。
例17.(安徽省)田忌賽馬是一個(gè)為人熟知的故事．傳說(shuō)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊王與田忌各有上、中、下三匹馬，同等級(jí)的馬中，齊王的馬比田忌的馬強(qiáng)．有一天，齊王要與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹馬，每匹馬賽一次，贏得兩局者為勝，看樣子田忌似乎沒(méi)有什么獲勝的希望，但是田忌的謀士了解到主人的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng)……
（1）如果齊王將馬按上、中、下的順序出陣比賽，那么田忌的馬如何出陣，田忌才能取勝？
（2）如果齊王將馬按上、中、下的順序出陣，而田忌的馬隨機(jī)出陣比賽，田忌獲勝的概率是多少？（要求寫出雙方對(duì)陣的所有情況）
例18.一只小老鼠想吃到房間里的食物，如圖共有二個(gè)房間，每個(gè)房間內(nèi)有兩個(gè)櫥柜，其中只有一個(gè)房間內(nèi)的一個(gè)櫥柜內(nèi)有食物.
用樹狀圖表示可能得到食物的情況.
求出成功獲得食物的概率.
實(shí)際考題中有兩個(gè)不足：①?zèng)]有分清孰重孰輕，如第20題。
②把高中內(nèi)容下放：如.在擲骰子實(shí)踐中: (1)一顆骰子,朝上的一面是奇數(shù)點(diǎn)的概率是多少? (2)兩顆骰子,朝上的一面的點(diǎn)數(shù)相同的概率是多少? (3)兩顆骰子,朝上的一面的點(diǎn)數(shù)和是7的概率是多少? (4)兩顆骰子,朝上的一面的點(diǎn)數(shù)和是奇數(shù)的概率是多少?
在體驗(yàn)講題的快樂(lè)中享受數(shù)學(xué)之美
――兼談“講題的四種境界”
黃金聲（臨川二中）
（個(gè)人網(wǎng)站：中考數(shù)學(xué)黃金資源網(wǎng)http://www.maths618.com）
課堂教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，反思自己的每一堂課，都有不盡人意乃至失敗的地方，若要稱之為“藝術(shù)”，更是惶恐之極！中考將至，我們每一位教師都在為上好每一堂課而不懈努力著.如何駕馭“中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課”這匹“烈馬”？如何在課堂教學(xué)中最大限度地培養(yǎng)學(xué)生的能力？本人認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的能力應(yīng)關(guān)注課堂教學(xué)中的六個(gè)維度，即：
①長(zhǎng)度，即在有限的可用時(shí)間內(nèi)增加課堂教學(xué)的實(shí)用時(shí)間；
②寬度，即教師在課堂中力爭(zhēng)滿足更多學(xué)生的合理需求；
③高度，即教師要重視個(gè)人課堂風(fēng)格的形成，使課堂教學(xué)更具創(chuàng)造性；
④密度，即讓更多的學(xué)生熱情地參與到課堂教學(xué)中來(lái)；
⑤深度，即注重思想方法和學(xué)習(xí)策略的自然滲透；
⑥適度，即教師的教和學(xué)生的學(xué)均要尋找適合自己的，因?yàn)檫m合自己的就是最好的.
最糟糕的教學(xué)就是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)公式后做幾十個(gè)類似的題目.數(shù)學(xué)教學(xué)的改革也不能只著眼于講什么、不講什么，先講什么、后講什么，教師應(yīng)該下功夫研究在課本之外有沒(méi)有與眾不同的、更好的表達(dá)方式，不但要教學(xué)生算，更要教學(xué)生想.
――張景中
題1－1 如何理解角的兩種表示方法？
①用圍繞角的三個(gè)大寫英文字母表示：∠ABC
（角的構(gòu)成即“形”）
②用一個(gè)數(shù)字（或希臘字母）表示（角中加上一條弧線）：∠1
（角的大小即“數(shù)”）
題1－2 如圖，正方形和菱形的邊長(zhǎng)相等，比較兩個(gè)圖形的面積關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？
（有人認(rèn)為在小學(xué)階段就可以初步滲透三角函數(shù)概念）
講題，是中考復(fù)習(xí)課的主旋律之一，如何講題，是老師們必須面臨的課題.早在2003年11月，在我校新老初三年級(jí)教師經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)上，我第一次提出了“講題的四種境界”的理念.今天，我將就這一主題與在座的各位交流.那么，什么是“講題的四種境界”呢？
第一種境界：就題講題，把題目講清
（達(dá)成目標(biāo)：一聽就能懂）
第二種境界：發(fā)散試題的多種解(證)法，拓展解題思路，把題目講透
（達(dá)成目標(biāo)：一點(diǎn)就能透）
第三種境界：理清試題的諸多變化，以求探源奠基，把題目講活
（達(dá)成目標(biāo)：一時(shí)忘不了）
第四種境界：探究試題之?dāng)?shù)學(xué)思想方法，以能力培養(yǎng)為終極目標(biāo)，做試題的主人
（達(dá)成目標(biāo)：一用真有效）
就題目的數(shù)量和變化而言，是無(wú)人能講（做）完和參透?jìng)€(gè)中變化的.下面僅就本人在講題中如何突破學(xué)生能力提高的瓶頸等方面的一些淺薄思考與大家一起交流，以求拋磚引玉.
思考之一 會(huì)解題≠會(huì)講題
會(huì)解題：針對(duì)自己存在的問(wèn)題，結(jié)合自己的知識(shí)水平和能力水平，對(duì)試題所反映的信息進(jìn)行處理.其目的是為了求得自己的理解，并能順利地講完此題.
會(huì)講題：針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題，結(jié)合學(xué)生的知識(shí)水平和能力要求，對(duì)試題所反映的信息進(jìn)行處理.其目的是為了讓學(xué)生更好地理解、消化、運(yùn)用.
會(huì)解題是會(huì)講題的基礎(chǔ)，但解題高手不一定是講題高手，同時(shí)，講題高手也不一定是解題高手.
在一次習(xí)題課的課前準(zhǔn)備時(shí)，有如下一道題引起了我的注意：
題2 如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片翻折，則圖中重疊部分是 三角形.
答案很簡(jiǎn)單：等腰三角形.
我的疑問(wèn)：答案為什么不可以是鈍角三角形？是等腰三角形嗎？是不是隨便一折都是等腰三角形？
于是，我用了整整一節(jié)課的時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手折紙?zhí)骄浚⒖偨Y(jié)歸納出如下題組：
題2－1【思維的發(fā)散1】如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片翻折，使重疊部分始終是三角形（陰影部分），隨著∠的大小不同，△ABC也將發(fā)生變化.設(shè)0＜＜90（為什么？）.
（1）當(dāng)重疊部分是銳角三角形時(shí)，應(yīng)滿足什么條件？
（2）當(dāng)重疊部分是直角三角形時(shí)，應(yīng)滿足什么條件？
（3）當(dāng)重疊部分是鈍角三角形時(shí)，應(yīng)滿足什么條件？
題2－2【思維的發(fā)散2】如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片翻折，使重疊部分始終是三角形（陰影部分），隨著∠的大小不同，△ABC也將發(fā)生變化.
（1）如圖1，當(dāng)＝45時(shí)，重疊部分是 三角形；
（2）如圖2，當(dāng)重疊部分為等邊三角形時(shí)，＝ 度；
（3）當(dāng)0＜＜90時(shí)，折紙所得的所有三角形有何共同特點(diǎn)？說(shuō)明理由.
題2－3【思維的拓展】如圖所示，將一張長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B′ 落在邊上的點(diǎn)B處；沿BG折疊，使點(diǎn)D′ 落在點(diǎn)D處，且BD過(guò)F點(diǎn).
（1）求證：四邊形BEFG是平行四邊形；
（2）連結(jié)BB′，判斷△的形狀，并寫出判斷過(guò)程；
（3）四邊形BEFG可能是菱形嗎？說(shuō)明理由.
從思想方法上看，三角形形狀變化體現(xiàn)“分類思想”，而三角形形狀發(fā)生變化的原因是由∠的變化引起的，這又體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化思想”，還有“從特殊到一般思想”、“空間觀念”、“圖形的軸對(duì)稱”等等.
2007年1月10日和9月20日，我以“一張長(zhǎng)方形紙片：折出你的思維”為題，分別在撫州市金溪縣第二中學(xué)和贛州市崇義縣橫水中學(xué)上了這節(jié)課，從課后教師的點(diǎn)評(píng)看，反映還是不錯(cuò)的，這使我倍感鼓舞.這說(shuō)明，我對(duì)這道填空題的探究得到了同行的肯定.
思考之二 清楚≠懂≠會(huì)
清楚：是“分得開”，是教師的講解可以使學(xué)生把事理“分開”了，但是還沒(méi)有“連上”，即沒(méi)有把 “分開”的東西和學(xué)生已知的、熟悉的、可接受的東西連接起來(lái).其講題效果達(dá)到了第一種境界或第二種境界.
懂：是“連得上”，是教師的講解能使學(xué)生把題目中所涉及的綜合的、不熟悉的“知識(shí)結(jié)”分解為已知的、熟悉的、可接受的“點(diǎn)”，又能在這些點(diǎn)之間找到已知的、熟悉的、可接受的“線”.其講題效果達(dá)到了第二種境界或第三種境界.
會(huì)：是通過(guò)教師的講解能使學(xué)生在“連得上”的基礎(chǔ)上對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)絡(luò)、梳理、發(fā)散和拓展，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性和深刻性，并使學(xué)生具備了較強(qiáng)的自主探究能力.其講題效果達(dá)到了第三種境界或第四種境界.
題3 （2007·常州）已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD邊AB、CD、DA上，AH＝2，連接CF．
（1）當(dāng)DG＝2時(shí)，求△FCG的面積；
（2）設(shè)DG＝x，用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積；
（3）判斷△FCG的面積能否等于，并說(shuō)明理由．
講題分析：
第（1）問(wèn)中“DG＝2”寓意于DG＝AH ，即△HAE≌△GDH，且∠GHE＝90°．又由菱形EFGH可得點(diǎn)F（或CF）此時(shí)位于BC邊上，由此可知，四邊形（菱形）EFGH已特殊化為正方形，所以，△FCG的面積等于△GDH的面積．
第（2）問(wèn)中“DG＝x”是讓菱形EFGH一般化．由于可推知
△FCG中，CG＝6－x，所以，作出CG邊上的高FM就成為一種
必然，再連接GE，通過(guò)證明△HAE≌△FMG，得FM＝AH＝2．
第（3）問(wèn)是借助試題中“菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G分別在正方形ABCD邊AB、CD上”的限制作用．由第（2）問(wèn)可知，F(xiàn)M＝AH＝2，是一個(gè)定值，則x的大小就限制了△FCG的面積．因?yàn)镠D＞AH，所以HC＞HB，即①點(diǎn)E不可能與點(diǎn)A重合（x的最小值為0，即HG的最小值等于HD）②點(diǎn)G不能與點(diǎn)C重合（即HG的最大值等于HB）．這樣通過(guò)求出x的值并由此求出HG（或AE）的值就可以正確判斷△FCG的面積能否等于了．
講題反思：
1.第（1）問(wèn)中證明“四邊形（菱形）EFGH為正方形”非常困難，原答案也只用同理可證△GDH≌△FCG模糊了事（到底怎樣證我現(xiàn)在都還沒(méi)有徹底搞懂），能否消除這個(gè)邏輯性障礙？
2.第（2）問(wèn)中“連接GE”是學(xué)生解題的一個(gè)難點(diǎn)，但這一難點(diǎn)的突破沒(méi)有在試題（或解題）中得到暗示．
3.研究發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)F是隨著點(diǎn)G、E的位置變化而變化的，雖然點(diǎn)F到DC的距離FM＝AH＝2，是一個(gè)定值，但點(diǎn)F到AD的距離卻在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，這一核心問(wèn)題卻沒(méi)有在試題中得到體現(xiàn)，動(dòng)態(tài)問(wèn)題的功能打了折扣．
綜上所述，本題圖形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”并未得到真正落實(shí)，于是，我將本題圖形置于平面直角坐標(biāo)系的背景中，以探究動(dòng)態(tài)菱形EFGH中點(diǎn)F的位置變化為主線，斗膽改編成下題：
題4 （臨川二中07年八上期終試題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6.以直線AB為x軸、AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)H、E、G分別在正方形ABCD邊DA、AB、CD上，已知AH＝2.
（1）如圖甲，當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)DG=x.請(qǐng)?jiān)趫D乙中探索：用含x的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m.問(wèn):m有無(wú)最大值和最小值？若有，請(qǐng)求出；若無(wú)，請(qǐng)直接作否定的判斷，不必說(shuō)明理由.
解：（1）如圖甲，連接GE.
∵DG∥BE，∴∠DGE＝∠BEG，
∵HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG，
∴∠DGH＝∠BEF.
在△HDG與△FBE中，
∴△HDG≌△FBE，
∴FB＝HD＝AD－AH＝6－2＝4,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，4）.
（2）如圖乙，連接GE，作FM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M.
同理可證，△HDG≌△FME，
∴ME＝DG＝x，F(xiàn)M＝HD＝4.
在Rt△HDG中，HG2＝42＋x2＝16＋x2，
∵HG＝HE，∴HE2＝HG2＝16＋x2.
在Rt△HAE中，
，
∴AM＝AE＋EM＝，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，4）.
（3）依題意，可知HD＞HA.即：
①當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，m最小，此時(shí)x＝0，
∴m＝＝.
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，m最大，此時(shí)HG2＝HB2＝22＋62＝40，
∴DG＝x＝，
∴m＝＝.
在改卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在做第（1）問(wèn)時(shí)都是僅憑直覺(jué)猜出FB=DH，卻不能通過(guò)推理得出四邊形EFGH為正方形.為了突破這一障礙，在講評(píng)此題時(shí)，我采取化整為零、從易到難的策略，利用從特殊到一般的思想，再輔于整體感知、逆向思維等方法，設(shè)計(jì)了如下題組：
題4－1 如圖所示，正方形ABCD中，E、F、G、H為各邊中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH為正方形.
（圖形的特殊化）
題4－2 如圖所示，正方形ABCD中，E、F、G、H在正方形各邊上，
且AE=BF=CG=DH.求證：四邊形EFGH為正方形.
（圖形的一般化）
方法：證明Rt△DHG≌Rt△AEH.
題4－3 如圖所示，正方形ABCD中，E、F、G、H在正方形各邊上，
且EF=FG=GH=HE.問(wèn)：四邊形EFGH是正方形嗎？說(shuō)明理由.
（整體感知、逆向思維的滲透――掃清障礙）
思考：感覺(jué)Rt△DHG與Rt△AEH全等,但證明時(shí)遇到困難,
怎么辦？
換個(gè)角度！能證明Rt△DHG≌Rt△BFE嗎？
如何證明？方法水到渠成――連接GE！（證明略）
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AH＝x，DG＝BE＝y(tǒng)，
則HD＝1－x，AE＝1－y.
∵HG＝HE，∴HD2＋DG2＝AH2＋AE2，
∴(1-x)2+y2=x2+(1-y)2，∴x=y，∴AH＝BE，
∴Rt△HAE≌Rt△EBF，∴∠HEF＝90°.
∴四邊形EFGH是正方形.
題4－4 如圖所示，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)H、E、G分別在正方形ABCD邊DA、AB、CD上，且H為一定點(diǎn).思考：與Rt△DHG全等的三角形在哪里？能找出來(lái)嗎？題3－3的解題方法具有連續(xù)性嗎？
（為本題的第（2）問(wèn)做鋪墊）
題4－5 觀察點(diǎn)F的坐標(biāo)，你還發(fā)現(xiàn)了什么？
點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為定值，為什么？
始終有Rt△DHG≌Rt△MFE（FM⊥AB），即FM=DH，為什么？
始終有DC∥AB！
由此思考：正方形ABCD可以作怎樣的改變？
將正方形ABCD置換成矩形可以嗎？平行四邊形呢？梯形呢？
思考之三 應(yīng)該有＝想有＋可能有
任何一個(gè)教師，都不會(huì)把學(xué)生完全沒(méi)有學(xué)的、學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平無(wú)法企及的題目拿給學(xué)生做，那么為何有的學(xué)生卻可能對(duì)題目（難題）無(wú)從下手呢？此時(shí)學(xué)生的心態(tài)是怎樣的呢？教師面對(duì)這種情況又該怎樣做呢？
想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，學(xué)生也不例外，此時(shí)教師應(yīng)該盡其所能激發(fā)起學(xué)生的需要和突破難題的欲望，并使他們初步感受到這種需要所能帶來(lái)的那種快感.
可能有：當(dāng)學(xué)生感覺(jué)到利用已有知識(shí)能做而又做不出來(lái)的時(shí)候，此時(shí)教師的啟發(fā)和點(diǎn)撥就顯得至關(guān)重要.
根據(jù)本人的思考，教師的啟發(fā)與點(diǎn)撥可從以下幾方面入手：
1.從學(xué)生已有知識(shí)中“啟”：溫故而知新，以達(dá)承前啟后、承上啟下的目的；
2.從學(xué)生知識(shí)的盲點(diǎn)處“啟”：盲即模糊，或遺忘，此時(shí)善意的提醒、引導(dǎo)就成為解決問(wèn)題的必要手段；
3.從知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)“啟”：一語(yǔ)點(diǎn)醒夢(mèng)中人，頓悟、恍然大悟、大徹大悟由此產(chǎn)生；
4.從知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)“啟”：因勢(shì)利導(dǎo)，順?biāo)浦郏^“唯有源頭活水來(lái)”；
5.有時(shí)教師的一個(gè)手勢(shì)、一幅表情、一點(diǎn)鼓勵(lì)、一種暗示就會(huì)使學(xué)生沖破迷霧，思如泉涌，此時(shí)師生之思之想已如水乳交融，渾然天成.
應(yīng)該有：當(dāng)學(xué)生取得成功后，其喜悅的心情是難以言表的，在今后的學(xué)習(xí)中，就會(huì)更加主動(dòng)地去透視題目中的各種潛在因素，即使在遇到困難時(shí)，也會(huì)堅(jiān)定必勝的信念，這便是教師講題應(yīng)達(dá)到的成功境界.
題5 （2006 · 安徽）如圖，直線 l過(guò)正方形 ABCD 的頂點(diǎn) B , 點(diǎn)A、C 到直線l的距離分別是 1 和 2 , 則正方形的邊長(zhǎng)是 .
講題分析：
1.利用AB＝BC和∠ABC兩個(gè)已知條件，證明△AHM≌Rt△MCN，
得EB＝CF.
2.利用勾股定理求出正方形的邊長(zhǎng)AB＝.
講題反思：
1.正方形 ABCD 的頂點(diǎn) D看起來(lái)是否“很孤單” ？如圖1，能否求出點(diǎn)D到直線 l的距離DG？
∵∠ADH＝∠GBH，tan∠GBH＝，∴H為AB的中點(diǎn)，
∴HG＝AE＝，DH＝，即DG＝3.
2.正方形 ABCD是否“搖搖欲墜”？如圖2，令A(yù)E＝CF，且AB＝.則AE＝CF＝，DG＝.
3.觀察、比較上面兩題中AE、CF、DG的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么？
（AE＋CF＝DG）如圖3，你能證明這個(gè)結(jié)論具有一般性嗎？
作AM⊥DG于點(diǎn)M，可證：
①四邊形AEGM是矩形，則AE＝MG；
②△ADM≌△BCF，∴CF＝DM，∴AE＋CF＝DG.
4.讓直線 l動(dòng)起來(lái)！
如圖4，可證△ADE≌△CBF，得DE＝BF，即點(diǎn)A、D到直線 l的距離之和與點(diǎn)B、C到直線 l的距離之和相等.
思考：直線 l的位置若再發(fā)生變化，還有類似的結(jié)論嗎？你能總結(jié)出一般規(guī)律嗎？
5.如圖5，連接AC，你能利用圖形證明勾股定理嗎？
題6 （2006 · 江西）問(wèn)題背景 某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩個(gè)命題：
①如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON = 60°，則BM = CN.
②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON = 90°,則BM = CN.
然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題：
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON = 108°，則BM = CN.
任務(wù)要求
（1）請(qǐng)你從①、②、③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（說(shuō)明：選①做對(duì)的得4分，選②做對(duì)的得3分，選③做對(duì)的得5分）
（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：
①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，問(wèn)當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM = CN成立？（不要求證明）
②如圖5，在五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，當(dāng)∠BON = 108°時(shí)，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM = CN是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【證法探究】
添加輔助線的思路：非規(guī)則圖形中的對(duì)稱性（旋轉(zhuǎn)對(duì)稱）
1.如圖5-1，連接BD、CE，證（等腰）△BCD≌△CDE，
∴BD = CE，∠BDC =∠CED，∠DBC =∠ECD.
∵∠OBC +∠OCB = 108°，∠OCB +∠OCD = 108°，∴∠MBC =∠NCD.
又∵∠DBC =∠ECD = 36°，∴∠DBM =∠ECN，∠BDM=∠CEN，
∴△BDM ≌ △ECN，即BM = CN.
2.如圖5-2，延長(zhǎng)BM、CD交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CN、DE交于點(diǎn)F.
先證△BCG ≌ △CDF，得BG＝CF，CG＝DF（DG＝EF），∠G＝∠F.
再證△DMG ≌ △ENF，得MG＝NF，∴BM = CN.
3.如圖5-3，延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CB、EA交于點(diǎn)F.
先證（等腰）△AEG ≌ △BAF，得AG＝BF，（即BG＝CF），∠G＝∠F.
再證△BGM ≌ △CFN，得BM = CN.
【逆向思維】
試題中所有命題的逆命題都成立.
【類比拓展】
題7 問(wèn)題背景
（1）如圖1，正三角形ABC中，延長(zhǎng)BA到N，連接CN.作BM＝CN，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M. 延長(zhǎng)NC交BM于點(diǎn)O.
（2）如圖2，正方形ABCD中，延長(zhǎng)AD到N，連接CN.作BM＝CN，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.延長(zhǎng)NC交BM于點(diǎn)O.
（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，延長(zhǎng)ED到N，連接CN.作BM交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交NC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，且∠BOC＝108°.
任務(wù)要求
（1）如圖1，猜想：∠BOC的度數(shù)（不必說(shuō)明理由）.
（2）如圖2，求證：NO⊥BM.
（3）如圖3，求證：BM＝CN.
規(guī)律探究
（1）根據(jù)上述操作與探究所反映的規(guī)律，猜想：如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，按照相應(yīng)操作方式，∠BOC的度數(shù)是多少？（直接用含n的代數(shù)式表示.）
任務(wù)要求
(1)∠BOC=60°.
(2)證明：在Rt△BCM與Rt△CDN中,
∵BC=CD,BM=CN,∴Rt△BCM≌Rt△CDN, ∴∠M=∠N.
∵∠DCN=∠OCM,∠DCN+∠N=90°,∴∠OCM+∠M=90°,
∴∠COM=90°,即NO⊥BM.
(3)證明：∵∠BCD＝∠CDE＝108°，∴∠BCM＝∠CDN，
∵∠∠CDE＝DCN＋∠N＝108°，∠BOC＝∠M＋∠OCM＝108°，
∠DCN＝∠OCM，∴∠N＝∠M.
∵BC＝CD，∴△BCM≌△CDN，∴BM＝CN.
規(guī)律探究
解：（1）∠BOC＝.
思考之四 講題的最高境界＝授之以法＋培之以能＋強(qiáng)之以心
對(duì)應(yīng)于“講題的四種境界”，一個(gè)合格的教師，其講題的效度大致有以下四種水平層次：
1.正確：內(nèi)容正確熟練，進(jìn)度適中切貼，板書工整得當(dāng)，講話清晰從容.
2.易懂：外在關(guān)系注意鋪墊呼應(yīng)，內(nèi)在聯(lián)系注意區(qū)分主次，化難為易注意方式方法，關(guān)鍵突破注意把握時(shí)機(jī).
3.獨(dú)到：說(shuō)之以理見(jiàn)技巧，動(dòng)之以情見(jiàn)門道，感之以美見(jiàn)藝術(shù)，啟之以需見(jiàn)奧妙.
4.固頂：授之以法，培之以能，強(qiáng)之以心.
①授之以法：關(guān)注通性通法，做到深入淺出，讓學(xué)生易學(xué).
②培之以能：引導(dǎo)數(shù)學(xué)思考，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生想學(xué).
③強(qiáng)之以心：鼓勵(lì)提出問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)自主探究，讓學(xué)生會(huì)學(xué).
題5 正方形ABCD中，M是邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DM，作MN⊥DM，交∠CBE的平分線BN于點(diǎn)N.
（1）如圖1，當(dāng)M是AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：DM＝MN；
（2）如圖2，當(dāng)M不是AB的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由.
這是一道“老中考題”，在我教的每一屆學(xué)生中，都有人問(wèn)及.上學(xué)期，當(dāng)又有學(xué)生拿著這道題來(lái)問(wèn)我時(shí)，引起了我的重點(diǎn)思考，并對(duì)此題作了更深入的研究.
師：你是怎樣思考的？
生：作NF⊥AE于點(diǎn)F，證Rt△DAM≌Rt△MFN.
師：能證出來(lái)嗎？
生：不能.
師：為什么？
生：雖然可以證出三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，但卻不能證出一邊對(duì)應(yīng)相等.
師：那就先換個(gè)角度思考.圖中還有可利用的三角形嗎？
生：（猶豫……）有，△MBN.
師：（微笑地看著學(xué)生……）對(duì)！
生：（思考良久……）利用邊DM構(gòu)造出與△MBN全等的三角形.
師：我想，你已經(jīng)做出來(lái)了，回去做好準(zhǔn)備，下節(jié)課就由你來(lái)講這道題，把你的困惑和思考過(guò)程也與全班同學(xué)交流交流，怎么樣？
（話外音：在AD上取一點(diǎn)H，滿足DH=MB即可）
生：（猶豫……）我試試.
當(dāng)這位學(xué)生講完此題后，我又提出了三個(gè)問(wèn)題供大家討論：
①作NF⊥AE，真的不能證出Rt△DAM≌Rt△MFN嗎？（證法探究）
②若DM=MN，則MN⊥DM成立嗎？（逆向思維）
③你能運(yùn)用類比思想對(duì)此題作更深入的思考嗎？（類比拓展）
（話外音：在正多邊形中，類似本題的結(jié)論是否也成立？）
【證法探究】
證法一：（1）如圖1，取AD的中點(diǎn)H，連接MH.
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴DH＝MB，
∵AH＝AM，∠A＝90°，∴∠DHM＝135°，
∵BN平分∠CBE，∴∠MBN＝135°，
∴∠DHM＝∠MBN，
∵M(jìn)N⊥DM，∴∠HDM＝∠BMN，
∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN.
（2）如圖2，在AD上截取DH＝MB，連接MH.
∵AH＝AM，∠A＝90°，∴∠DHM＝135°，
∵BN平分∠CBE，∴∠MBN＝135°，
∴∠DHM＝∠MBN，
∵M(jìn)N⊥DM，∴∠HDM＝∠BMN，
∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN.
證法二：（1）如圖1，作NF⊥AE.
∵M(jìn)N⊥DM，∴∠ADM＝∠FMN，
∴，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴DA＝2MA，∴，
∵BN平分∠CBE，∴NF＝BF，
∵M(jìn)F＝MB＋BF，MB＝MA，∴NF＝MA，
∴Rt△DAM≌Rt△MFN，∴DM=MN.
（2）如圖2，作NF⊥AE.
∵M(jìn)N⊥DM，∴∠ADM＝∠FMN，
∴，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AM＝x，NF＝y(tǒng)，
則MB＝1－x，BF＝y(tǒng).
∴，x－x2＋xy＝y(tǒng)，
∴（x－y）－x（x－y）＝0，（x－y）（1－x）＝0，
∴x＝y(tǒng)，即AM＝NF，
∴Rt△DAM≌Rt△MFN，∴DM＝MN.
【逆向思維】
1.正方形ABCD中，M是邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DM，作MN＝DM，交∠CBE的平分線BN于點(diǎn)N，求證：DM⊥MN.
證明提示：在AD上截取DH＝MB，連接MH，作DP⊥MH，交MH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.
作MQ⊥NB，交NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.
先證Rt△DPH≌Rt△MQB，得DP＝MQ，
再證Rt△DPM≌Rt△MQN，得∠DMP＝∠MNQ，
最后證△DHM≌△MBN，得∠HDM＝∠BMN，
即可得：DM⊥MN.
2.若MN＝DM，DM⊥MN，則BN平分∠CBE.
3. 若MN＝DM，DM⊥MN，且以DM、MN為邊作正方形，則正方形的另一個(gè)頂點(diǎn)必在BC的延長(zhǎng)線上.
【類比拓展】
（1）正三角形ABC中，M是邊BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AM，作∠AMN＝60°，交∠ACP的平分線CN于點(diǎn)N. 求證：AM＝MN.
（2）正五邊形ABCDE中，M是邊BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AM，作∠AMN＝108°，交∠DCP的平分線CN于點(diǎn)N. 求證：AM＝MN.
（3）正六邊形ABCDEF中，M是邊BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AM，作∠AMN＝120°，交∠DCP的平分線CN于點(diǎn)N. 求證：AM＝MN.
（1）證明：如圖，在AB上截取AH＝MC，連接MH.
∵AB＝BC，∴BH＝BM，∴△BMH是正三角形，
∴∠AHM＝∠HMC＝120°.
∵∠AMN＝60°，
∴∠AMH＋∠NMC＝∠HAM＋∠AMH＝60°，
∴∠HAM＝∠CMN，
∵CN平分∠ACP，∠ACP＝120°，∴∠MCN＝120°，
∴∠AHM＝∠MCN，
∴△AHM≌△MCN，∴AM＝MN.
（2）證明：如圖，在AB上截取AH＝MC，連接MH.
∵AB＝BC，∴BH＝BM，
∵∠B＝108°，∴∠BHM＝∠BMH＝36°,∠AHM＝144°,
∵∠AMN＝108°，
∴∠AMH＋∠NMC＝∠HAM＋∠AMH＝36°，
∴∠HAM＝∠CMN，
∵CN平分∠DCP，∠DCP＝72°，∴∠MCN＝144°，
∴∠AHM＝∠MCN，
∴△AHM≌△MCN，∴AM＝MN.
（3）證明：如圖，在AB上截取AH＝MC，連接MH.
∵AB＝BC，∴BH＝BM，
∵∠B＝120°，∴∠BHM＝∠BMH＝30°,∠AHM＝150°,
∵∠AMN＝120°，
∴∠AMH＋∠NMC＝∠HAM＋∠AMH＝30°，
∴∠HAM＝∠CMN，
∵CN平分∠DCP，∠DCP＝60°，∴∠MCN＝150°，
∴∠AHM＝∠MCN，
∴△AHM≌△MCN，∴AM＝MN.
當(dāng)然，教師的講題還有一個(gè)方式的選擇問(wèn)題，其方式的選擇與學(xué)生的基本素質(zhì)、課堂的氛圍以及可能要達(dá)成的特殊目標(biāo)等諸多因素有關(guān).總之，講題的學(xué)問(wèn)高深莫測(cè)，我在此能觸及皮毛就是萬(wàn)幸了.
能把復(fù)雜的問(wèn)（習(xí)）題簡(jiǎn)單化就是完美，能把簡(jiǎn)單的問(wèn)（習(xí)）題深刻化就是杰出！讓我們共同努力，使自己體驗(yàn)講題的快樂(lè)，讓學(xué)生在傾聽講題的快樂(lè)中享受數(shù)學(xué)之美！
如何改編習(xí)題 提高復(fù)習(xí)效率
吉安市永豐縣恩江中學(xué) 鄧武高
依“標(biāo)”據(jù)“本”是搞好中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的要求和方向，在此前提下如何提高課堂復(fù)習(xí)效果，這是每位九年級(jí)教師最關(guān)心的事，對(duì)于復(fù)習(xí)課怎樣上？每人都有自己的“模式”，就是同一人對(duì)不同內(nèi)容也會(huì)有不同的方法，真可謂是有法而無(wú)定法，但不論你使用什么方法，復(fù)習(xí)課總離不開“題”，因?yàn)椤邦}”是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的載體，學(xué)生對(duì)知識(shí)與方法的掌握,能力與思維層次的提高，都是在老師引導(dǎo)下，通過(guò)多次析題，解題的過(guò)程進(jìn)行提煉、概括、感悟才獲得的.換句話來(lái)說(shuō)，要想提高復(fù)習(xí)效果，必須從“題”的角度去想辦法、找出路.筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比認(rèn)為以“題組”形式復(fù)習(xí)不失為一種好方法.
題組的意義與要求
我說(shuō)的“題組”是將一個(gè)已有的習(xí)題（下稱起點(diǎn)題）進(jìn)行系列改編或變式，形成一組題或一個(gè)題鏈.這樣的題組或題鏈決不是簡(jiǎn)單機(jī)械的重復(fù)訓(xùn)練題，它與題海式訓(xùn)練題截然不同.而是有一定系統(tǒng)性、針對(duì)性，有明確的考查目標(biāo)和培養(yǎng)方向，她有利于多方面地促使學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，有利于對(duì)各種數(shù)學(xué)思想方法的熟練掌握，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.
題組編制方法與策略
題組復(fù)習(xí)模式，要真正能促使學(xué)生對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通，解題能力有著質(zhì)的飛躍，很大程度上決定老師改編的題組的質(zhì)量高低，那么改編習(xí)題有哪些方法呢？我認(rèn)為首先要結(jié)合復(fù)習(xí)內(nèi)容，有針對(duì)性地選好起點(diǎn)題，這個(gè)起點(diǎn)題可以是課本上的例、習(xí)題，也可以是往年的中考題.只要題的基礎(chǔ)好，有它的發(fā)展的空間，就可以將它進(jìn)行拓展、引申,即變式或改編.改編的方法很多，例如，改換或置換題設(shè)與結(jié)論，強(qiáng)化或弱化條件；改變或轉(zhuǎn)換考查目標(biāo)與題型，縱向挖掘，橫向發(fā)展，以及改換試題背景，改變命題的呈現(xiàn)形式（如開放、探索式），改換圖形（如由等腰直角三角形改為等邊三角形或直角三角形或一般等腰三角形）等.同一起點(diǎn)題需要進(jìn)行多方面、多角度進(jìn)行改編，在控制難度的前提下，達(dá)到題組所要發(fā)揮的功效.
題組的功能與效果
由于改編起點(diǎn)題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)不斷變更問(wèn)題的過(guò)程，只要先把起點(diǎn)題弄懂了，對(duì)解答相應(yīng)的變式題的情境就熟悉了，解題的突破口也易找到，這比解一個(gè)一個(gè)不太相干題要省時(shí)間.更主要的是題組能把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線，學(xué)生可以將知識(shí)前后聯(lián)系，從整體上去掌握知識(shí)，同時(shí)也能打破學(xué)生的思維定勢(shì)，領(lǐng)悟知識(shí)與方法的內(nèi)在聯(lián)系，拓展思路，發(fā)展智力，創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)也就寓于其中了.又由于在題組中，題與題之間有著“形散而神不散”的本質(zhì)聯(lián)系，其解題規(guī)律也自然得到呈現(xiàn)，在這樣的題組教學(xué)中，不僅能增強(qiáng)學(xué)生舉一反三，觸類旁通的應(yīng)變能力，也能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.
四．改編與復(fù)習(xí)例舉
1．改換題設(shè) 拓展知識(shí)深度和廣度
對(duì)習(xí)題的題設(shè)或結(jié)論進(jìn)行變換、增加或者題設(shè)與結(jié)論置換.這是改編習(xí)題最基本的形式.它能將一個(gè)問(wèn)題從多個(gè)角度或反向來(lái)研究，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)理解,增強(qiáng)學(xué)生解題的應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和想象力.
題組1.
【起點(diǎn)題】（北師版，九年級(jí)上冊(cè)）如圖1，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，求證：AB=AC.
說(shuō)明：本題是通過(guò)平行的性質(zhì)，結(jié)合等角對(duì)等邊來(lái)證明結(jié)論.
改編1、如圖1，∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，且∠1=∠2，求證： AD∥BC.
說(shuō)明：本題將起點(diǎn)題中條件（AD∥BC）與結(jié)論（AB=AC）置換，實(shí)際上就是變換條件和結(jié)論，其功能就本題來(lái)說(shuō)也是考查一般的推理論證過(guò)程，不過(guò)所考查的知識(shí)點(diǎn)發(fā)生了改變（等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)和平行線的判定），又是互逆定理放在上、下題來(lái)思考，對(duì)學(xué)生思維也應(yīng)產(chǎn)生一定的激發(fā)作用，對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)自然深刻的多.
改編2. 如圖2，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，AF為△ABC的中線，求證：AF⊥AD.
說(shuō)明：此題增加了條件“AF為△ABC的中線”，結(jié)論變?yōu)椤癆F⊥AD”此時(shí)實(shí)質(zhì)上是拓展，引申了起點(diǎn)題，將復(fù)習(xí)內(nèi)容予以拓寬（即增加了等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)的考查）.
改編3. 如圖3，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，過(guò)AC的中點(diǎn)H作AD的垂線交AE于G，求證:AG=AB.
說(shuō)明：改編3增加了題設(shè)“過(guò)AC的中點(diǎn)H作AD的垂線交AE于G”，結(jié)論變?yōu)椤癆G=AB”，這樣改的目的是為了加強(qiáng)對(duì)等腰三角形“三線合一”逆向思維，同時(shí)增加了等腰三角形與三角形全等等知識(shí)的綜合運(yùn)用.
改編4. 如圖4，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，過(guò)C作CG⊥AD于G，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連結(jié)FG.
（1）AC與FG有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)AC⊥FG時(shí)，△ABC應(yīng)為什么三角形？
說(shuō)明：此題是從知識(shí)點(diǎn)相對(duì)單一的習(xí)題向有一定綜合度方向進(jìn)行改編，改編后不僅所考查的知識(shí)內(nèi)容有所拓展，思維量也大幅度增加，能力要求也提高到較高的層次.其表現(xiàn)在對(duì)結(jié)論的猜想與驗(yàn)證，同時(shí)又要對(duì)產(chǎn)生某個(gè)結(jié)論的條件進(jìn)行探索.
改編5. 如圖5，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，過(guò)C作CD∥AB交AD于D，那么當(dāng)△ABC增加什么條件時(shí)，BD⊥AC，并說(shuō)明其理由.
說(shuō)明：本題與改編4具有同樣的能力要求，但在知識(shí)點(diǎn)的考查方面卻選擇另一個(gè)角度（補(bǔ)充等邊三角形判定的考查），這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.
本題組是對(duì)起點(diǎn)題的五種變式，主要是從題設(shè)、結(jié)論改變或拓展，知識(shí)內(nèi)容涉及到等腰三角形的性質(zhì)、判定為主線展開；能力方面是從簡(jiǎn)單的推理論證逐步向具有一定綜合運(yùn)用知識(shí)的能力發(fā)展.本題組若僅對(duì)等腰三角形問(wèn)題的復(fù)習(xí)，最多只能用 到“改編5”為止，若要變成綜合題，還可以縱深挖掘，如把起點(diǎn)題圖置于圓中，頂點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，試題綜合性將大大增加.
題組2、
【起點(diǎn)題】如圖6，四邊形ABCD是一張矩形紙片，請(qǐng)你用它折出四個(gè)等腰三角形，并在圖中畫出虛線折痕.
說(shuō)明：本題折疊要求比較簡(jiǎn)單，但方法不唯一.
實(shí)際上就是矩形的對(duì)角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形.
改編1、如圖7，四邊形ABCD是一張正方形紙片，請(qǐng)你按上題方式折疊，試問(wèn)圖中還是四個(gè)等腰三角形嗎？這些等腰三角形有什么變化？
說(shuō)明：本題相對(duì)起點(diǎn)題條件特殊，主要是問(wèn)結(jié)論是否也特殊了？其目的是加強(qiáng)直覺(jué)思維的培養(yǎng)以及對(duì)等腰三角形判定和對(duì)圖形的識(shí)別。（答：8個(gè)，都是等腰直角三角形）.
改編2.你用起點(diǎn)題中的矩形紙片折出一個(gè)等邊三角形（要求：矩形的四頂點(diǎn)中，只能一個(gè)為等邊三角形的頂點(diǎn)），并在圖中畫出虛線折痕.
說(shuō)明：本題是從改變折出的圖形的要求來(lái)構(gòu)題的，由此折疊過(guò)程肯定有所不同，相應(yīng)考查角度也有所改變，起點(diǎn)題是根據(jù)等腰三角形定義來(lái)尋找折疊方法，而本題則是從等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)思考.
【答】：
改編3、請(qǐng)用改編1中的正方形紙片折出一個(gè)等邊三角形（要求：正方形的四個(gè)頂點(diǎn)中，必須有二個(gè)是等邊三角形的頂點(diǎn)），并畫出虛線折痕.
說(shuō)明：本題是為了改變改編2的解答思路，即另辟蹊徑尋找其他折疊方法，這樣有利于對(duì)等腰三角形問(wèn)題的深刻認(rèn)識(shí).
【答：】
以上兩個(gè)題組是運(yùn)用題組復(fù)習(xí)等腰三角形的一個(gè)例舉，題組1偏重基本知識(shí)和基本技能的層面上復(fù)習(xí)，題組2則以實(shí)驗(yàn)操作提高學(xué)生解題能力的層面上復(fù)習(xí),同時(shí)加深了軸對(duì)稱與折疊之間的關(guān)系的理解,對(duì)空間觀念的發(fā)展也起了一定的作用.
2、改變圖形，追求知識(shí)本質(zhì)的理解
題組3.
【起點(diǎn)題】（2007年，江西）如圖8，已知∠AOB，OA=OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）.
說(shuō)明：本題是運(yùn)用矩形對(duì)角互相平分，且交點(diǎn)在等腰△AOB的頂角平分線上來(lái)解決問(wèn)題.
改編1、如圖9，已知∠AOB，⊙P與∠AOB的兩邊相切，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）.
改編2.如圖10，已知∠AOB，E、F分別在OA、OB上，四邊形EOFP是菱形，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）.
改編3.如圖11，已知∠AOB，OA=OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）.
本題組是將起點(diǎn)題中的矩形分別改換成圓、菱形、平行四邊形，雖然大家都能很快找到解決辦法，但它們各自卻用,不同知識(shí)解決同一問(wèn)題,使學(xué)生的思維得以發(fā)散.
題組4.
【起點(diǎn)題】（北師大版八年級(jí)上冊(cè)）如圖12，有一個(gè)圓柱，它的高為12厘米，底面半徑為3厘米，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面對(duì)面與A點(diǎn)相對(duì)的B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？（取3）
說(shuō)明：本題在理解圓柱的展開圖后，運(yùn)用勾股定理求出AB.
改編1、如圖13，一只螞蟻，它想從A點(diǎn)出發(fā)，沿正方體表面把食物搬運(yùn)到B處，它需要爬行的最短路程是多少？
改編2、如圖14，在一個(gè)長(zhǎng)方體中，AC=3cm，CD=5cm，DB=6cm，求在長(zhǎng)方體表面從A到B的最短距離.
改編3、如圖15是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，問(wèn)螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路程是多少？
本題組是將圓柱改成正方體、長(zhǎng)方體和臺(tái)階，圖形發(fā)生變化，也可以說(shuō)是情境（即空間感）有所變化，雖然考查的都是轉(zhuǎn)化思想(由立體轉(zhuǎn)化成平面)，運(yùn)用的知識(shí)都是勾股定理，但轉(zhuǎn)化的過(guò)程卻有所不同.如改編1是沿CD攤開成矩形求對(duì)角線，改編2既可沿EF攤開，又可沿CE攤開，求出各自矩形的對(duì)角線長(zhǎng)后進(jìn)行比較才可確定，改編3應(yīng)把臺(tái)階看成是紙片折成的，拉平（沒(méi)高度）成一張矩形（長(zhǎng)為3×3+2×3=15，寬為20）的紙.由此可看出在解決此題組時(shí)，思維方式是有所不同的,但本質(zhì)卻是一樣.
題組5.
【起點(diǎn)題】（人教實(shí)驗(yàn)版教師用書九年級(jí)上冊(cè)）
如圖16,AD和AC分別是⊙O的直徑和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于點(diǎn)B，若OB=5，則BC等于 .
說(shuō)明：本題主要是考查直徑所對(duì)的圓周角是直角和含30°的直角三角形的相關(guān)性質(zhì)。（BC=5）
改編1、如圖17, AD和AC分別是⊙O的直徑和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AC交AC于點(diǎn)B，連結(jié)BD，若OB=5，求BD的長(zhǎng).
說(shuō)明：本題是把“OB⊥AD”改為“OB⊥AC”, 求BC改為求BD,這樣一改增加了對(duì)垂徑定理和含勾股定理的考查，試題思維量增多了，題也活了。（BD=）
改編2、如圖18,是一塊含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一個(gè)量角器拼在一起,三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合,其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開始(即N點(diǎn)的讀數(shù)為0),現(xiàn)有射線CP繞點(diǎn)C從CA的位置開始按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?度的速度旋轉(zhuǎn)到CB位置,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,射線CP與量角器的半圓弧交于E.
(1) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí),連結(jié)BE,求證:BE=CE；
(2) 當(dāng)射線CP分別經(jīng)過(guò)△ABC的外心、內(nèi)心時(shí),點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少?
(3). 設(shè)旋轉(zhuǎn)秒后,E點(diǎn)處的讀數(shù)為度,求與的函數(shù)式.
說(shuō)明：由于△ACD是一個(gè)含30°的直角三角形，AD把圓分成兩半，如果拿掉圖16中、，此圖就可看成一個(gè)30°角的三角板與一塊量角器的拼圖，若再添一條繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的射線，試題的設(shè)問(wèn)也自然就產(chǎn)生了.本題從考查的知識(shí)點(diǎn)來(lái)看添加內(nèi)心、外心概念、圓心角的性質(zhì)、圓心角與圓周角的關(guān)系、量角器度數(shù)的識(shí)別，而且試題呈現(xiàn)的形式精彩,考查角度有所創(chuàng)新.運(yùn)用函數(shù)思想刻畫是動(dòng)態(tài)過(guò)程，最成功的一點(diǎn)還是逆用了“直徑所對(duì)圓周角是直角”，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生求異思維、逆向思維. ( 答：∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°, BE=EC; E處的讀數(shù)為120、 90 ； =180-4)
本題組由于圖形改變，產(chǎn)生了不同的結(jié)果，三個(gè)題下來(lái)將圓的前大部分知識(shí)串成一線，并用不同形式，不同角度對(duì)圓的最本質(zhì)東西進(jìn)行了考查.因此本題組無(wú)論是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)還是對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)培養(yǎng)及解題能力的提高都將是恰到好處.
3．改換題型，增強(qiáng)思維的靈活性和深刻性
改換題型有兩種情況，一種是僅在形式上的變換，如填空題改選擇題，這種變換在復(fù)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮不了多大的作用，另一種是會(huì)影響解答過(guò)程和思維方式的變化，才對(duì)復(fù)習(xí)效果的提高起一定作用，如封閉性試題改開放探索題，靜態(tài)題改為動(dòng)態(tài)題等.由此可知題型的改換，既可將有關(guān)知識(shí)重心復(fù)習(xí)，又能活躍思維、強(qiáng)化思想方法的掌握.
題組6、【起點(diǎn)題】（人教大綱版初三幾何第4題）
如圖19，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M. 求證：（1）ME=AB；
（2） =BE·BM.
說(shuō)明：本題由正五邊形性質(zhì)可找到許多等角、等邊、平行線段或全等、相似的等腰三角形，因此對(duì)推理論證其結(jié)果并不困難。由此正好適合進(jìn)行題型改編。
改編1.如圖19，設(shè)正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M.
問(wèn)四邊形EMCD是怎樣的四邊形？試證明你的結(jié)論；
（2）觀察圖形，提出一個(gè)與點(diǎn)M有關(guān)的問(wèn)題（不要求解答）.
說(shuō)明：由于起點(diǎn)題的結(jié)論豐富，發(fā)現(xiàn)可以引導(dǎo)學(xué)生去探索圖中某個(gè)三角形或四邊形特征，也可由學(xué)生去尋找題中不同層次、有價(jià)值結(jié)論，于是就改成這樣一道開放探索題。
改編2、：如圖20，五邊形ABCDE是圓的內(nèi)接正五邊形AC與BE交于M，現(xiàn)給你一把無(wú)刻度的直尺，請(qǐng)你確定正五邊形的中心（要求：保留作圖痕跡，不證明）.
說(shuō)明：在改編1的基礎(chǔ)上不難發(fā)現(xiàn)D、M兩點(diǎn)都落在AB的中垂線上，由于存在這個(gè)結(jié)論，自然發(fā)現(xiàn)用無(wú)刻度的直尺可以確定五邊形的中心位置。
改編3、：某校一次數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)中對(duì)如圖21所示的正五角星進(jìn)行如下探討和交流.
A同學(xué):正五角星的五個(gè)角都是
B同學(xué):正五角星是軸對(duì)稱圖形,共有五條對(duì)稱軸
C同學(xué):在不添加輔助線的情況下,圖中共有10個(gè)等腰三角形
D同學(xué):連結(jié)BC、CD后，與BC或CD有關(guān)的等腰三角形有4個(gè)
E同學(xué)；圖中有5點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)
（1）問(wèn)A、B、C、D同學(xué)的說(shuō)法是否全對(duì)？請(qǐng)你將不對(duì)的
或不全對(duì)的說(shuō)法給予糾正（不證明）；
（2）E同學(xué)說(shuō)的黃金分割點(diǎn)，請(qǐng)指出其中一個(gè)點(diǎn)并給出證明.
說(shuō)明：由于正五角星頂點(diǎn)就是正五邊形的頂點(diǎn)，于是將正五邊形改成五角星，這樣改換下的圖形，其本質(zhì)沒(méi)有變，圖形包含諸多結(jié)論仍然存在，前面的改結(jié)論或找方法，這題就改成直接呈現(xiàn)結(jié)論，由學(xué)生辯析、判斷，并驗(yàn)證較深層的結(jié)論，于是形成了這道辯析性交流題.此題的特點(diǎn)是提供思辯素材，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用各種思維形式進(jìn)行討論，辯析錯(cuò)在何處，不僅培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性，而且還提高了學(xué)生解開放題能力，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.
本題組是由一道傳統(tǒng)的幾何證明題改成開放探索題、作圖題、交流題。由于題型的改變就是思維角度或方式的改變，如改編1需要仔細(xì)觀察圖形后合理猜想、尋找、挖掘與M點(diǎn)有關(guān)的結(jié)論;改編題2是限制工具的作圖，其思維角度與前兩題有著根本的不同，需對(duì)正五邊形的性質(zhì)特點(diǎn)從另一角度去探索、尋找到符合要求的求作方法；改編3相對(duì)前面三題更全面地理解、分析、歸納圖中各種關(guān)系。因此本題組有著激發(fā)學(xué)生的探索欲，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索精神，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和深刻性的功能，是復(fù)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行題型分析教學(xué)的好材料。
4．改換角度，理清知識(shí)之間相互聯(lián)系
用改換角度的策略去編制題組，其作用是使學(xué)生學(xué)會(huì)變換角度去認(rèn)識(shí)知識(shí)和思考問(wèn)題.特別是對(duì)互相之間聯(lián)系密切、并經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化的知識(shí)內(nèi)容（如相反數(shù)、絕對(duì)值、數(shù)軸之間的關(guān)系），采用改換角度，形成鏈狀的變式題組來(lái)復(fù)習(xí)，將是事半功倍的效果，因?yàn)槠漕}組功能把相關(guān)知識(shí)（包括方法和技能）自然、順暢、扎實(shí)地聯(lián)系起來(lái)，同時(shí)還使知識(shí)得到深化發(fā)展.如下面題組.
題組7.
【起點(diǎn)題】（人教實(shí)驗(yàn)版九年級(jí)上冊(cè)第12題）