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課題：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程根的判別式
1．根的判別式：
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即
當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．
相反地,也可以根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的情況判別
2．判別式的應(yīng)用
（1））不解一元二次方程，判斷方程根的情況．
（2）已知方程的根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍
（3）證明字母系數(shù)方程根的情況
　　　
典例強(qiáng)化
例1．不解方程，判斷下列方程的根的情況：
（1）2x2+3x-4=0 （2） 5(x2+1)-7x=0 （3）ax2+bx=0(a≠0)
例2．當(dāng)k取什么值時(shí)，已知關(guān)于x的方程：2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；（3）方程無(wú)實(shí)根；
例3．若關(guān)于x的方程(m2-1)x2-2（m+2）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．
例4．求證：關(guān)于x的方程：x2-(m+2)x+2m-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
韋達(dá)定理
對(duì)于一元二次方程，當(dāng)判別式時(shí)，其求根公式為；若兩根為，當(dāng)△≥0時(shí)，則兩根的關(guān)系為 根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；
它的逆定理也是成立的，即當(dāng)時(shí)，那么則是的兩根．
說(shuō)明：定理成立的條件是 ≥0
2．以，為兩根的方程為
用韋達(dá)定理分解因式．
典例強(qiáng)化
例1．不解方程說(shuō)出下列方程的兩根和與兩根差：
（1） （2） （3）
例2．已知關(guān)于的方程，是否存在負(fù)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的的值；若不存在，說(shuō)明理由．
例3．分解因式：
（1） （2）
例4．已知方程，作一個(gè)新的一元二次方程，使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數(shù)
例5．設(shè)是方程的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值：
　　　
隨堂基礎(chǔ)鞏固
1． 若方程的兩根之差為1，則的值是 _____
2． 已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 _______ ．
3． 設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _____ ，= _____ ．
4． 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩根為，且滿足，求的值．
5． 若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值．
6． 已知關(guān)于的方程的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(zhǎng)．
（1） 取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？
（2）當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是時(shí)，求的值．
7． 已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11．求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．
8． 某商店購(gòu)進(jìn)一種商品，進(jìn)價(jià)30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價(jià)X(元)滿足關(guān)系：P=100-2X銷售量P，若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤(rùn)，那么每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？每天要售出這種商品多少件？
課時(shí)跟蹤訓(xùn)練
選擇題
1．關(guān)于的方程中，如果，那么根的情況是（ ）
A． 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B． 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C． 沒有實(shí)數(shù)根 D． 不能確定
2．設(shè)是方程的兩根，則的值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
3． 下列方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A． 2y2+5=6y B． x2+5=2x C． x2－x+2=0 D． 3x2－2x+1=0
4． 一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是( )
A． B． C． D．
5．若是方程的兩個(gè)根，則的值為( )
A． B． C． D．
6． 以方程x2＋2x－3＝0的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是（ ）
A． y2+5y－6=0 B． y2+5y＋6=0 C． y2－5y＋6=0 D． y2－5y－6=0
7． 如果是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足，，那么等于（ ）
A． 2 B．－2 C． 1 D．－1
二、填空題
8． 如果一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么＝ ．
9． 如果關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是 ．
10． 已知是方程的兩根，則＝ ，＝ ，＝
11． 若關(guān)于的方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則＝ ．
12． 已知關(guān)于的方程，若有一個(gè)根為0，則=，這時(shí)方程的另一個(gè)根是 ；若兩根之和為－，則= ，這時(shí)方程的 兩個(gè)根為 ．
13． 如果是一個(gè)完全平方式，則= ；
14． 方程沒有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù)= ;
15． 已知方程兩根的和與兩根的積相等，則= ;
16． 設(shè)關(guān)于的方程的兩根是和，且，則值為 ;
17． 若方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ;
18． 如果關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1－，那么另一個(gè)根是 ，a的值為 ．
19． 關(guān)于x的方程，當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)正數(shù)根；當(dāng)m 時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根；當(dāng)m 時(shí)，方程有一個(gè)根為0．
20．已知實(shí)數(shù)滿足，則= ，= ，= ．
三、解答題
24． 求證：不論k為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的式子都可以分解成兩個(gè)一次因式的積．
25． 當(dāng)k取什么實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式可因式分解．
26． 已知關(guān)于x的方程兩根相等，方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍．求證：方程一定有實(shí)數(shù)根．
27． 已知方程的兩根之比為2∶3，方程的兩根相等(mn≠0)．求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，方程恒有實(shí)數(shù)根．
28． 設(shè)方程的兩根為，不解方程，求下列各式的值:
（1） （2） 　　 （3）　
（4） (5 ； (6
29． 已知，，m，n為實(shí)數(shù)，且，求代數(shù)式的值
30． 方程x2+3x+m=0中的m是什么數(shù)值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足：(1)一個(gè)根比另一個(gè)根大2；(2)一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍；(3)兩根差的平方是17
31． 若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值．
32． 關(guān)于x的方程，其中m．n分別是一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)．
(1)求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
(2)若方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值是8，等腰三角形的面積是12，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．
33． 已知是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；是關(guān)于y的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m．n的值．
34． 在解方程時(shí)，小張看錯(cuò)了p，解得方程的根為1與－3；小王看錯(cuò)了q，解得方程的根為4與－2．這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么
35． 對(duì)于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？請(qǐng)您說(shuō)明理由．

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